1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 49 讲讲 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 一、课程标准 1、能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 二、基础知识回顾 1、 直线与圆的位置关系 (1)三种位置关系：相交、相切、相离 相离 相切 相交 图形 量化 方程观点 0 0 0 几何观点 dr dr dr (2)圆的切线方程的常用结论 过圆 x2y2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为 x0 xy0yr2； 过圆(xa)2(yb)2r2上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2； 过
2、圆 x2y2r2外一点 M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x0 xy0yr2. 三、自主热身、归纳总结 1、若直线 axby1 与圆 x2y21 相交，则点 P(a，b)与圆的位置关系为( ) A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 位置不确定 2、直线 kxy4k30 与圆 x2y26x8y210 的交点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 或 2 3、若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是( ) A. 3，1 B. 1，3 第 2 页 / 共 6 页 C. 3，1 D. (，31，) 4、过点(2，3)与圆(
3、x1)2y21 相切的直线的方程为_ 5、直线 l：3xy60 与圆 x2y22x4y0 相交于 A，B 两点，则 AB_ 6、(多选)已知直线 x2ya0 与圆 O：x2y22 相交于 A，B 两点(O 为坐标原点)，且AOB 为等腰直角 三角形，则实数 a 的值为( ) A. 6 B. 5 C 6 D 5 7、(多选)已知圆 C：(x3)2(y3)272，若直线 xym0 垂直于圆 C 的一条直径，且经过这条直径的 一个三等分点，则 m( ) A2 B4 8、 (2019 湖南长沙月考)设直线 l： (m1)x(2m1)y3m0(mR)与圆(x1)2y28 相交于 A， B 两点， C 为
4、圆心，且ABC 的面积等于 4，则实数 m_. 四、例题选讲 考点一、直线与圆的位置关系 例 1、(1)直线 l：mxy1m0 与圆 C：x2(y1)25 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 (2)已知点 P(a，b)(ab0)是圆 x2y2r2内的一点，直线 m 是以 P 为中点的弦所在的直线，直线 l 的方 程为 axbyr2，那么( ) Aml，且 l 与圆相交 Bml，且 l 与圆相切 Cml，且 l 与圆相离 Dml，且 l 与圆相离 变式 1、(1)(2020 杭州模拟)若无论实数 a 取何值时，直线 axya10 与圆 x2y22x2yb0 都相 交，则实数 b
5、 的取值范围为( ) A(，2) B(2，) 第 3 页 / 共 6 页 C(，6) D(6，) (2)若圆 x2y2r2(r0)上恒有 4 个点到直线 xy20 的距离为 1，则实数 r 的取值范围是( ) A( 21，) B( 21， 21) C(0， 21) D(0， 21) 变式 2、 已知圆 C 的方程为 x2(y4)24，点 O 是坐标原点，直线 l：ykx 与圆 C 交于 M，N 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长之比为 13 的两段弧？若能，求出直线 l 的方程；若不能，请说明理 由 方法总结：判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何
6、法：利用 d 与 r 的关系 (2)代数法：联立方程之后利用 判断 (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题 考点二 圆的弦长问题 例 2、已知直线 axy2a0 与圆 C：(x3)2(y1)29 相交于 A，B 两点，若弦 AB 的长为 3 2，求 实数 a 的值 变式 1、 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3xy1 30 被圆 x2y26x2y10 截得的弦长为 _ （2） 当直线l： axy2a0被圆C： (x3)2(y1)29截得的弦长最短时， 实数a的值为_ （3）若直线 l：a
7、xy2a0 与圆 C：(x3)2(y1)29 相交于 A，B 两点，且ACB90 ，则 第 4 页 / 共 6 页 实数 a 的值为_ 变式 2、 （1） 过点 M(1， 2)的直线 l 与圆 C： (x3)2(y1)29 相交于 A， B 两点， 若弦 AB 的长为 2 5， 则直线 l 的方程为 _ （2） 已知圆C： (x1)2(y2)22截y轴所得线段与截直线y2xb所得线段的长度相等， 则b_. 方法总结：弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程在判别式 0 的前提下，利 用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长 (2)几何方法：若弦心距为
8、d，圆的半径长为 r，则弦长 l2 r2d2. 考点三 圆的切线问题 例 3、（徐州一中 2019 届模拟）已知点 P( 21,2 2)，点 M(3,1)，圆 C：(x1)2(y2)24. (1)求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2)求过点 M 的圆 C 的切线方程 变式 1、已知点 P( 21，2 2)，点 M(3，1)，圆 C：(x1)2(y2)24. (1) 求过点 P 的圆 C 的切线方程； (2) 求过点 M 的圆 C 的切线方程，并求出切线长 第 5 页 / 共 6 页 变式 2、已知圆 C：(x1)2(y2)210，求满足下列条件的圆的切线方程 (1)与直线 l1：xy40
9、平行； (2)与直线 l2：x2y40 垂直； (3)过切点 A(4，1) 方法总结：求圆的切线方程应注意的问题 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程若点在圆上(即为切点)， 则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜率不存在的切线 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年天津卷】知直线380 xy和圆 222( 0)xyrr相交于 ,A B两点若| 6AB ，则r 的值为_ 2、 【2020 年浙江卷】 .设直线: (0)l ykxb k ， 圆 22 1: 1Cxy， 22 2:( 4)1Cxy， 若直线l与 1 C， 2 C都
10、相切，则k _；b=_ 3、 【2020 年全国 2 卷】 .若过点 （2， 1） 的圆与两坐标轴都相切， 则圆心到直线230 xy的距离为 （ ） A. 5 5 B. 2 5 5 C. 3 5 5 D. 4 5 5 4、 【2020 年全国 3 卷】若直线 l与曲线 y= x和 x 2+y2=1 5 都相切，则 l的方程为（ ） A. y=2x+1 B. y=2x+ 1 2 C. y= 1 2 x+1 D. y= 1 2 x+ 1 2 5、（2020 届清华大学附属中学高三第一学期 12 月月考）已知直线0 xym与圆O： 22 1xy相交 第 6 页 / 共 6 页 于A，B两点，若OAB
11、为正三角形，则实数m的值为（ ） A 3 2 B 6 2 C 3 2 或 3 2 D 6 2 或 6 2 6、 （2020 届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线 1: 0lkxy()kR与直线 2: 220lxkyk 相交于点 A，点 B 是圆 22 (2)(3)2xy上的动点，则|AB的最大值为（ ） A3 2 B5 2 C5 2 2 D3 2 2 7、【2019 年高考浙江卷】已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是r.若直线230 xy与圆 C 相切于 点( 2, 1)A ，则m=_，r=_ 8、 (2017 全国卷)在直角坐标系 xOy 中， 曲线 yx2mx2 与 x 轴交于 A， B 两点， 点 C 的坐标为(0,1)， 当 m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现 ACBC 的情况？说明理由； (2)证明过 A，B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值