1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 51 讲讲 椭圆的方程椭圆的方程 一、课程标准 1、了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 2、经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程 3、通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想 4、了解椭圆的简单的应用. 二、基础知识回顾 1、 椭圆的定义 平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数(大于| F1F2)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 集合 PM| MF1|MF22a，|F1F22c，其中 a0，c0，且 a，c 为常数 (1)若 ac，则集合 P 为椭圆； (2
2、)若 ac，则集合 P 为线段； (3)若 ac，则集合 P 为空集 2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分 别记作 r1|PF1|，r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0)，r1aex0，r2aex0； (2)y 2 a2 x2 b21(ab0)，r1aey0，r2aey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，PF1F2的面积 为 S，则在椭圆x 2 a2 y2 b21(
3、ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时， 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 第 2 页 / 共 6 页 三、自主热身、归纳总结 1、(2020 河南洛阳一模)已知椭圆 x2 11m y2 m31 的长轴在 y 轴上，且焦距为 4，则 m 等于( ) A5 B6 C9 D10 2、适合 b1，c 15，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是( ) A. x2 4 y21 B. x2 16y 21 C. y2 4 x21 D. y2 16x 21 3
4、、 已知方程 x2 2k y2 k11 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( ) A. ，3 2 B. (1，2) C. 1，3 2 D. 1，3 2 3 2，2 4、 若点 D(2，3)在椭圆 M： x2 m2 y2 n21(m0，n0)上，且其中一个焦点是(2，0)，则椭圆 M 的方程 为 （ ） A. x2 12 y2 161 B. x2 16 y2 121 C. x2 48 y2 641 D. x2 64 y2 481 5、 (2020 安徽江南十校模拟)已知椭圆 G 的中心为坐标原点 O， 点 F， B 分别为椭圆 G 的右焦点和短轴端点 点 O 到直线 BF 的距
5、离为 3，过 F 垂直于椭圆长轴的弦长为 2，则椭圆 G 的方程是( ) A.x 2 4 y2 21 B.y 2 4 x2 21 第 3 页 / 共 6 页 C.x 2 16 y2 41 D.y 2 16 x2 41 四、例题选讲 考点一 椭圆的定义及其应用 例 1 已知圆 F1：(x1)2y216，定点 F2(1，0)，动圆 M 过点 F2，且与圆 F1相内切，那么点 M 的轨迹 C 的方程为_ 变式 1、(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为 O，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于点 P，则点 P 的轨迹是
6、（ ） A椭圆 B双曲线 C抛物线 D圆 (2)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上一点，且PF1 PF2 .若PF1F2的面 积为 9，则 b_. 变式 2、如图，圆 O 的半径为定长 r，A 是圆 O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 Q 的轨迹是_ 第 4 页 / 共 6 页 变式 3、曲线x 2 25 y2 91 与曲线 x2 25k y2 9k1(k9)的（ ） A长轴长相等 B短轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 方法总结：椭圆定义的应用主要
7、有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当 P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点 F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义 和余弦定理可求| PF1|PF2，通过整体代入可求其面积等 考点二 椭圆的标准方程 例 2 求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个顶点为(3，0)，(3，0)，离心率为2 2 3 ； (2)过点( 3， 5)，且与椭圆y 2 25 x2 91 有相同焦点的椭圆的标准方程 变式 1、求满足下列条件的椭圆的标准方程 (1) 经过点 P(2 3，0)，Q(0，2)两点； (2) 与椭圆x 2 4 y 2 31 有相同的焦点且
8、经过点(2， 3) 第 5 页 / 共 6 页 变式 2、（江西金溪一中 2019 届模拟）(1)若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆 的标准方程为（ ） A.x 2 5y 21 B.x 2 4y 21 C.x 2 5y 21 或x 2 4 y2 51 D以上答案都不正确 (2)一个椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x 轴上，P(2， 3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成 等差数列，则椭圆的方程为（ ） A.x 2 8 y2 61 B. x2 16 y2 61 C.x 2 8 y2 41 D. x2 16 y2 41 变式 3、在平面直角坐标系
9、xOy 中，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，椭圆上动点 P 到一个焦点的 距离的最小值为 3( 21)，求椭圆 C 的标准方程 方法总结：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤： 作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上、在 y 轴上，还是两个坐标轴上都有可能； 设方程：根据上述判断设方程x 2 a2 y2 b21(ab0)或 x2 b2 y2 a21(ab0)或 mx 2ny21(m0，n0)； 找关系：根据已知条件，建立关于 a、b、c 的方程组； 得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求 五、优化提升与真题演练 第 6 页 / 共 6 页 1、 【20
10、19 年高考全国卷】已知椭圆 C 的焦点为，过 F2的直线与 C 交于 A，B 两点若 ，则 C 的方程为（ ） A B C D 2、 设点 F1，F2分别是椭圆x 2 25 y2 161 的左、右焦点，点 P 为椭圆上一点，点 M 是 F1P 的中点，OM3， 则点 P 到椭圆左焦点的距离为_ 3、 已知 F1，F2是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且F1PF260，S PF1F23 3，则 b_ 4、点 P 是椭圆x 2 25 y2 161 上一点，F1，F2 是椭圆的两个焦点，且PF1F2的内切圆半径为 1，当 P 在第一象 限时，P 点的纵坐标为_ 5、【2019 年高考全国 卷理数】设 12 FF， 为椭圆C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点，M为C上一点且在第一象限. 若 12 MFF 为等腰三角形，则M的坐标为_. 6、已知椭圆的长轴长是短轴长的 3 倍，且过点 A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程 12 1,01,0FF()， () 22 | 2|AFF B 1 | |ABBF 2 2 1 2 x y 22 1 32 xy 22 1 43 xy 22 1 54 xy