1、 第 1 页 / 共 9 页 第第 52 讲讲 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 b2 y2 a21(ab0) 图形 性质 范围 axa， byb bxb， aya 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0) 顶点 A1(a,0)，A2(a,0)， B1(0，b)，B2(0，b) A1(0， a)，A2(0，a)， B1(b,0)，B2(b,0) 轴 长轴 A1A2
2、的长为 2a，短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F22c 离心率 ec a， e(0,1) a，b，c 的关系 c2a2b2 2、焦半径：椭圆上的点 P(x0，y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分 别记作 r1|PF1|，r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0)，r1aex0，r2aex0； (2)y 2 a2 x2 b21(ab0)，r1aey0，r2aey0； (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形：椭圆上的点 P(x0，y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形，F1PF2，
3、PF1F2的面积 第 2 页 / 共 9 页 为 S，则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时， 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|，当|y0|b 时，即点 P 为短轴端点时，S 取最大值，最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 4、 AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点 M(x0，y0)，则 (1)弦长 l 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1y2|； (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0. 5、直线与椭圆的关系 将直线方程
4、与椭圆方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc 0) 再求一元二次方程的判别式，当： 0直线与椭圆相交； 0直线与椭圆相切； 0直线与椭圆相离 6、设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，k 为直线 l 斜率，则 AB （1k2）|x1x2| 三、自主热身、归纳总结 1、直线 ykxk1(k 为实数)与椭圆x 2 9 y 2 41 的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 第 2 题图 2、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2分别为椭圆 C：x 2
5、a2 y2 b21(ab0)的右、下、上顶点， F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1，则椭圆 C 的离心率是_ 第 3 页 / 共 9 页 3、中心为原点，一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆，截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标为1 2，则该椭圆的方程 是_ 4、已知直线 yx1 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率为 2 2 ，焦距为 2，则 线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C. 2 D2 5、 (一题两空)已知点 F1， F2分别是椭圆x 2 25 y2 91 的左、 右焦点， 点 P 在此椭圆上， 则椭圆离心率为_，
6、 PF1F2的周长为_ 四、例题选讲 考点一 椭圆的离心率的值 例 1 (1)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A，左焦点为 F， 第(1)题图 上顶点为 B，若BAOBFO90，则椭圆的离心率是_ (2)已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点，A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点P 为椭圆 C 上一点，且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为_ 变式 1、(1)已知 F1，F2是椭圆 C：x 2
7、a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P120 ，则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 第 4 页 / 共 9 页 变式 2、（四川省乐山一中 2019 届质检）设 F 是椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点，P 是椭圆 C 上的 点，圆 x2y2a 2 9与线段 PF 交于 A，B 两点，若 A，B 三等分线段 PF，则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 3 B. 5 3 C. 10 4 D. 17 5 变式 3、 焦点在 x 轴上
8、的椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形， 该三角形内切圆的半径为b 3，则椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 变式 4、(2017 苏北四市一模） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B1，B2分别为椭圆 C：x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的右、下、上顶点，F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1，则椭圆 C 的离心率是_ 方法总结：求离心率的值关键是找到等式关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率。常见的等式关系主要 有：1、题目中给出等式关系；2、通过几何关系如垂直或者夹
9、角的关系得出等式关系；3、挖掘题目中的等 式关系。 考点二 椭圆离心率的范围 例 2、(2020 福州模拟)过椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线，交 C 于 A，B 两点，直线 l 过 C 的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点，则 C 的离心率的取值范围是_ 变式 1、设 F1，F2是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P，使F1PF2120，则椭圆离心率 e 的取值范围 是_ 第 5 页 / 共 9 页 变式 2、 (2020 上饶模拟)已知两定点 A(1,0)和 B(1,0)， 动点 P(x， y)在直线 l： yx2 上移动， 椭圆 C
10、 以 A， B 为焦点且经过点 P，则椭圆 C 的离心率的最大值为_ 变式 3、已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F2(3,0)，离心率为 e. (1)若 e 3 2 ，求椭圆的方程； (2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A，B 两点，M，N 分别为线段 AF2，BF2的中点，若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且 2 2 e 3 2 ，求 k 的取值范围 变式 4、 (2018 苏中三市、 苏北四市三调） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F，P为右准线上一点点Q在椭圆上，且FQFP （1）若椭圆的离心
11、率为 1 2 ，短轴长为2 3 求椭圆的方程； （2）若在x轴上方存在PQ，两点，使OFPQ， ， ，四点共圆，求椭圆离心率的取值范围 求离心率的值关键是找到不等关系，解出 a 与 c 的关系，进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有： 1、若椭圆上的点，则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围；2、若是椭圆上的点，则研究此点到焦 第 6 页 / 共 9 页 点的范围；要特别注意离心率的范围。 考点三 直线与椭圆的综合问题 例 3、2018 江苏高考如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点( 3，1 2)，焦点 F1( 3，0)，F2( 3， 0)，圆 O 的直径为 F1F2. (
12、1)求椭圆 C 及圆 O 的方程； (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标； 直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，若AOB 的面积为2 6 7 ，求直线 l 的方程 变式 1、在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2y2b2经过椭圆 E：x 2 4 y 2 b21(0bb0)的一个顶点为 B(0,4)， 离心率 e 5 5 ， 直线 l 交椭圆于 M，N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4，求弦|MN|的长； (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F，求直线 l 方程的一般式 第 7 页 /
13、共 9 页 方法总结：直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程：可依题设条件，寻找确定该直线的两个条件，进而得到直线方程 (2)求面积：先确定图形的形状，再利用条件寻找确定面积的条件，进而得出面积的值 (3)弦长问题：利用根与系数的关系、弦长公式求解 (4)中点弦或弦的中点问题：一般利用点差法求解，注意判断直线与椭圆是否相交 五、优化提升与真题演练 1、（江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测）设 A，B 分别为椭圆 C： 22 22 1 xy ab (ab 0)的右顶点和上顶点，已知椭圆 C 过点 P(2，1)，当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率
14、为_. 2、【2019 年全国卷】 设12 FF，为椭圆 C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点， M 为 C 上一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形，则 M 的坐标为_. 3、(2018 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 41 的一个焦点为(2,0)，则 C 的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 2 D.2 2 3 4、(2017 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆 与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D
15、.1 3 5、(2017 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为直径的 圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为( ) 第 8 页 / 共 9 页 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 6、(2017 扬州期末）如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)，圆 O：x 2y2b2，过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l：ykxb 分别交圆 O、椭圆 C 于不同的两点 P，Q，设AP PQ. (1) 若点 P(3,0)，点 Q(4，1)，求椭圆 C 的方程； (2) 若 3，求椭圆 C 的离心率 e
16、 的取值范围 7、(2017 苏北四市摸底）如图，椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为 A，B，右焦点为 F，点 P 在椭圆 C 上，且 OPAF. (1) 若点 P 坐标为( 3，1)，求椭圆 C 的方程； (2) 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q，若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍，求椭圆 C 的离心率； 第 9 页 / 共 9 页 8、(2019 南通、泰州、扬州一调）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F， 右顶点为 A，上顶点为 B. (1) 已知椭圆的离心率为1 2，线段 AF 中点的横坐标为 2 2 ，求椭圆的标准方程； (2) 已知ABF 外接圆的圆心在直线 yx 上，求椭圆的离心率 e 的值