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第52讲 椭圆的几何性质(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 9 页 第第 52 讲讲 椭圆的几何性质椭圆的几何性质 一、课程标准 1、掌握椭圆的性质,能够正确求出椭圆的性质 2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围 3、掌握直线与椭圆的位置关系 二、基础知识回顾 1、 椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2 a2 y2 b21(ab0) x2 b2 y2 a21(ab0) 图形 性质 范围 axa, byb bxb, aya 对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:(0,0) 顶点 A1(a,0),A2(a,0), B1(0,b),B2(0,b) A1(0, a),A2(0,a), B1(b,0),B2(b,0) 轴 长轴 A1A2

2、的长为 2a,短轴 B1B2的长为 2b 焦距 |F1F22c 离心率 ec a, e(0,1) a,b,c 的关系 c2a2b2 2、焦半径:椭圆上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分 别记作 r1|PF1|,r2|PF2|. (1)x 2 a2 y2 b21(ab0),r1aex0,r2aex0; (2)y 2 a2 x2 b21(ab0),r1aey0,r2aey0; (3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) 3、焦点三角形:椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的PF1F2叫做焦点三角形,F1PF2,

3、PF1F2的面积 第 2 页 / 共 9 页 为 S,则在椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)中 (1)当 P 为短轴端点时, 最大 (2)S1 2|PF1|PF2| sin b 2tan 2c|y0|,当|y0|b 时,即点 P 为短轴端点时,S 取最大值,最大值为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(ac) 4、 AB 为椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的弦,A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),则 (1)弦长 l 1k2|x1x2| 1 1 k2|y1y2|; (2)直线 AB 的斜率 kABb 2x 0 a2y0. 5、直线与椭圆的关系 将直线方程

4、与椭圆方程联立,消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元二次方程 ax2bxc0(或 ay2byc 0) 再求一元二次方程的判别式,当: 0直线与椭圆相交; 0直线与椭圆相切; 0直线与椭圆相离 6、设直线 l 与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),k 为直线 l 斜率,则 AB (1k2)|x1x2| 三、自主热身、归纳总结 1、直线 ykxk1(k 为实数)与椭圆x 2 9 y 2 41 的位置关系为( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能 第 2 题图 2、如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2分别为椭圆 C:x 2

5、a2 y2 b21(ab0)的右、下、上顶点, F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1,则椭圆 C 的离心率是_ 第 3 页 / 共 9 页 3、中心为原点,一个焦点为 F(0,5 2)的椭圆,截直线 y3x2 所得弦中点的横坐标为1 2,则该椭圆的方程 是_ 4、已知直线 yx1 与椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)相交于 A,B 两点,若椭圆的离心率为 2 2 ,焦距为 2,则 线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C. 2 D2 5、 (一题两空)已知点 F1, F2分别是椭圆x 2 25 y2 91 的左、 右焦点, 点 P 在此椭圆上, 则椭圆离心率为_,

6、 PF1F2的周长为_ 四、例题选讲 考点一 椭圆的离心率的值 例 1 (1)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左顶点为 A,左焦点为 F, 第(1)题图 上顶点为 B,若BAOBFO90,则椭圆的离心率是_ (2)已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点,A,B 分别为椭圆 C 的左、右顶点P 为椭圆 C 上一点,且 PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为_ 变式 1、(1)已知 F1,F2是椭圆 C:x 2

7、a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P120 ,则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 第 4 页 / 共 9 页 变式 2、(四川省乐山一中 2019 届质检)设 F 是椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的一个焦点,P 是椭圆 C 上的 点,圆 x2y2a 2 9与线段 PF 交于 A,B 两点,若 A,B 三等分线段 PF,则椭圆 C 的离心率为( ) A. 3 3 B. 5 3 C. 10 4 D. 17 5 变式 3、 焦点在 x 轴上

8、的椭圆方程为x 2 a2 y2 b21(ab0), 短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形, 该三角形内切圆的半径为b 3,则椭圆的离心率为( ) A.1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 变式 4、(2017 苏北四市一模) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A,B1,B2分别为椭圆 C:x 2 a2 y2 b2 1(ab0)的右、下、上顶点,F 是椭圆 C 的右焦点若 B2FAB1,则椭圆 C 的离心率是_ 方法总结:求离心率的值关键是找到等式关系,解出 a 与 c 的关系,进而求出离心率。常见的等式关系主要 有:1、题目中给出等式关系;2、通过几何关系如垂直或者夹

9、角的关系得出等式关系;3、挖掘题目中的等 式关系。 考点二 椭圆离心率的范围 例 2、(2020 福州模拟)过椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点作 x 轴的垂线,交 C 于 A,B 两点,直线 l 过 C 的左焦点和上顶点若以 AB 为直径的圆与 l 存在公共点,则 C 的离心率的取值范围是_ 变式 1、设 F1,F2是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点 P,使F1PF2120,则椭圆离心率 e 的取值范围 是_ 第 5 页 / 共 9 页 变式 2、 (2020 上饶模拟)已知两定点 A(1,0)和 B(1,0), 动点 P(x, y)在直线 l: yx2 上移动, 椭圆 C

10、 以 A, B 为焦点且经过点 P,则椭圆 C 的离心率的最大值为_ 变式 3、已知椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的右焦点为 F2(3,0),离心率为 e. (1)若 e 3 2 ,求椭圆的方程; (2)设直线 ykx 与椭圆相交于 A,B 两点,M,N 分别为线段 AF2,BF2的中点,若坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上,且 2 2 e 3 2 ,求 k 的取值范围 变式 4、 (2018 苏中三市、 苏北四市三调) 如图, 在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点为F,P为右准线上一点点Q在椭圆上,且FQFP (1)若椭圆的离心

11、率为 1 2 ,短轴长为2 3 求椭圆的方程; (2)若在x轴上方存在PQ,两点,使OFPQ, , ,四点共圆,求椭圆离心率的取值范围 求离心率的值关键是找到不等关系,解出 a 与 c 的关系,进而求出离心率的范围。常见的等式关系主要有: 1、若椭圆上的点,则根据范围分布找到横坐标或者纵坐标的范围;2、若是椭圆上的点,则研究此点到焦 第 6 页 / 共 9 页 点的范围;要特别注意离心率的范围。 考点三 直线与椭圆的综合问题 例 3、2018 江苏高考如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 过点( 3,1 2),焦点 F1( 3,0),F2( 3, 0),圆 O 的直径为 F1F2. (

12、1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. 若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; 直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,若AOB 的面积为2 6 7 ,求直线 l 的方程 变式 1、在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 O:x2y2b2经过椭圆 E:x 2 4 y 2 b21(0bb0)的一个顶点为 B(0,4), 离心率 e 5 5 , 直线 l 交椭圆于 M,N 两点 (1)若直线 l 的方程为 yx4,求弦|MN|的长; (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的右焦点 F,求直线 l 方程的一般式 第 7 页 /

13、共 9 页 方法总结:直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略 (1)求直线方程:可依题设条件,寻找确定该直线的两个条件,进而得到直线方程 (2)求面积:先确定图形的形状,再利用条件寻找确定面积的条件,进而得出面积的值 (3)弦长问题:利用根与系数的关系、弦长公式求解 (4)中点弦或弦的中点问题:一般利用点差法求解,注意判断直线与椭圆是否相交 五、优化提升与真题演练 1、(江苏省南通市通州区 2019-2020 学年高三第一次调研抽测)设 A,B 分别为椭圆 C: 22 22 1 xy ab (ab 0)的右顶点和上顶点,已知椭圆 C 过点 P(2,1),当线段 AB 长最小时椭圆 C 的离心率

14、为_. 2、【2019 年全国卷】 设12 FF,为椭圆 C: 22 +1 3620 xy 的两个焦点, M 为 C 上一点且在第一象限.若 12 MFF 为等腰三角形,则 M 的坐标为_. 3、(2018 全国卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 41 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 2 D.2 2 3 4、(2017 全国卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的圆 与直线 bxay2ab0 相切,则 C 的离心率为( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D

15、.1 3 5、(2017 全国卷)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2为直径的 圆与直线 bxay2ab0 相切,则 C 的离心率为( ) 第 8 页 / 共 9 页 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 6、(2017 扬州期末)如图,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0),圆 O:x 2y2b2,过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l:ykxb 分别交圆 O、椭圆 C 于不同的两点 P,Q,设AP PQ. (1) 若点 P(3,0),点 Q(4,1),求椭圆 C 的方程; (2) 若 3,求椭圆 C 的离心率 e

16、 的取值范围 7、(2017 苏北四市摸底)如图,椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的上、下顶点分别为 A,B,右焦点为 F,点 P 在椭圆 C 上,且 OPAF. (1) 若点 P 坐标为( 3,1),求椭圆 C 的方程; (2) 延长 AF 交椭圆 C 于点 Q,若直线 OP 的斜率是直线 BQ 的斜率的 2 倍,求椭圆 C 的离心率; 第 9 页 / 共 9 页 8、(2019 南通、泰州、扬州一调)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆x 2 a2 y2 b21(ab0)的左焦点为 F, 右顶点为 A,上顶点为 B. (1) 已知椭圆的离心率为1 2,线段 AF 中点的横坐标为 2 2 ,求椭圆的标准方程; (2) 已知ABF 外接圆的圆心在直线 yx 上,求椭圆的离心率 e 的值