1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 54 讲讲 抛抛 物物 线线 一、课程标准 1、了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； 2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 二、基础知识回顾 1、 、抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点 F 叫做抛物线的 焦点，直线 l 叫做抛物线的准线 2 、抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y22px (p0) y22px (p0) x22py (p0) x22py (p0) p 的几何意义：焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0)
2、 对称轴 x 轴 y 轴 焦点 F p 2，0 F p 2，0 F 0，p 2 F 0，p 2 离心率 e1 准线 xp 2 xp 2 yp 2 yp 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0，y0) | PF x0p 2 | PF x0p 2 | PF y0p 2 | PF y0p 2 3 、 与焦点弦有关的常用结论 第 2 页 / 共 6 页 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 . (2)|AB|x1x2p 2p sin2( 为 AB 的倾斜角) (3) 1 |AF| 1
3、|BF|为定值 2 p. (4)以 AB 为直径的圆与准线相切 (5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切 三、自主热身、归纳总结 1、抛物线 y24x 的准线方程为( ) A. x1 B. x1 C. y1 D. y1 2、 设抛物线 y28x 上的一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 3、过抛物线 y24x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果 x1x26，则|PQ|( ) A9 B8 C7 D6 4、拋物线 y2ax2(a0)的焦点是( ) A. a 2，0 B.
4、a 2，0 或 a 2，0 C. 0， 1 8a D. 0， 1 8a 或 0， 1 8a 5、已知抛物线 C 与双曲线 x2y21 有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线 C 的方程为_ 6、设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值 范围是_ 四、例题选讲 考点一 抛物线的定义及其应用 第 3 页 / 共 6 页 例 1 (1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线 xy20 上，则抛物线方程为_ (2)动圆过点(1，0)，且与直线 x1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_ 变式 1、(1)若抛物线 y24x 上
5、一点 P 到其焦点 F 的距离为 2，O 为坐标原点，则OFP 的面积为( ) A.1 2 B1 C.3 2 D2 (2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点，若 B(3,2)，则|PB|PF|的最小值为_ 变式 2、(1)定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y22x 上移动，M 为 AB 的中点，则点 M 到 y 轴的最 短距离为( ) A.1 2 B1 C.3 2 D2 (2)设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点， F 为抛物线的焦点， 若 B(3,2)， 则|PB|PF|的最小值为_ 方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与
6、点到直 线的距离的转化 (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离， 构造出“两点之间线段最短”， 使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段 最短”原理解决 考点二 抛物线的标准方程及其几何性质 例 2 已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，过 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，且|AF|4|FB|，O 为 坐标原点，若AOB 的面积为5 8，求 p 的值 第 4 页 / 共 6 页 变式 1、已知点 F1，F2分别是双曲线 3x2y23a2(a0)的左、右焦点，点 P 是抛物线 y28ax 与双曲线的一 个交
7、点，若|PF1|PF212，则抛物线的准线方程为_ 变式 2、（黑龙江省鹤岗一中 2019 届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 P(4，2)的抛物线的 标准方程是( ) Ay2x B.x28y Cy28x 或 x2y Dy2x 或 x28y 变式 3、（山西省临汾一中 2019 届模拟）直线 l 过抛物线 y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于 A，B 两点，若线段 AB 的长是 8，AB 的中点到 y 轴的距离是 2，则此抛物线的方程是( ) Ay212x B.y28x Cy26x Dy24x 方法总结：1求抛物线标准方程的方法 (1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数
8、 p)，那么只需求出 p 即可 (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为 y2 ax(a0)，a 的正负由题设来定；焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可设为 x2ay(a0)，这样就减少了不必 要的讨论 2抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程 (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 考点三 综合考查直线与抛物线的问题 例 3、如图，已知抛物线关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P(2，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物 线上 (1)求抛物线的方程；
9、 (2)若APB 的平分线垂直于 y 轴，求证：直线 AB 的斜率为定值 第 5 页 / 共 6 页 变式 1、如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(8，4)，P(2，t)(t0)上 (1)求 p，t 的值； (2)过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，M 为垂足，直线 AM 与抛物线的另一交点为 B，点 C 在直线 AM 上，若 PA，PB，PC 的斜率分别为 k1，k2，k3，且 k1k22k3，求点 C 的坐标 变式 2、过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于( ) A4 B.9 2 C5 D6 方法总结：(1)直
10、线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关 系 (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用 公式| ABx 1x2p；若不过焦点，则必须用弦长公式 (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入” 等解法涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解 五、优化提升与真题演练 1、 （2020年高考全国卷理数）已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴 的距离为9，则p=（ ） A2 B3 C6 D9 2、 （2020 年高考全国
11、卷理数）设O为坐标原点，直线2x与抛物线 C： 2 2(0)ypx p交于D，E 第 6 页 / 共 6 页 两点，若ODOE，则C的焦点坐标为（ ） A 1 ,0 4 B 1 ,0 2 C (1,0) D (2,0) 3、 （2020 年高考北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为lP是抛物线上异于O的一点，过P作 PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ） A 经过点O B 经过点P C 平行于直线OP D 垂直于直线OP 4、 （2019 全国高考）若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆 22 3 1 xy pp 的一个焦点，则 p=（ ） A2 B3 C4 D8 5、(2018 全
12、国卷)设抛物线 C：y24x 的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为2 3的直线与 C 交于 M，N 两点， 则FM FN ( ) A5 B6 C7 D8 6、（2017 全国高考） 过抛物线 2 :4C yx的焦点F， 且斜率为3的直线交C于点M（在x轴上方） ， l为C的准线，点N在l上且MNl，则点M到直线NF的距离为（ ） A.2 3 B.3 3 C. 5 D.2 2 7、(2018 全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C：y24x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两 点若AMB90 ，则 k_. 8、 （2020 届山东省潍坊市高三上期末）已知P是抛物线 2 4yx上的动点，点P在y轴上的射影是M，点 A的坐标为 2,3，则PAPM的最小值是_ 9、 （2020 届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线 2 20ypx p的焦点为 F(4，0)，过 F 作直线 l 交抛 物线于 M，N 两点，则 p=_， 4 9 NF MF 的最小值为_