1、 第 1 页 / 共 6 页 第第 57 讲讲 二项式定理二项式定理 一、课程标准 1、能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.基础知识回顾 二、基础知识回顾 1. 二项式定理 公式：(ab)nC0nanC1nan 1bCk na nkbkCn nb n(nN*) 这个公式表示的定理叫做二项式定理在上式中右边的多项式叫做(ab)n的二项展开式，其中的系数 Ckn(k0，1，n)叫做二项式系数，式中的 Cknan kbk叫做二项展开式的通项，用 T k1表示，即 Tk1C k na n kbk 2. 二项展开式形式上的特点 (1)项数为_n1
2、_ (2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n. (3)字母 a 按_降幂_排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按_升幂_排列，从第 一项起，次数由零逐项增 1 直到 n. (4)二项式系数从_C0n_，C1n，一直到 Cn 1 n ，_Cnn_ 3. “杨辉三角”与二项式系数的性质 (1)“杨辉三角”有如下规律：左右两边斜行都是 1，其余各数都等于它“肩上”两个数字之和 (2)对称性：在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 Cm n_C nm n _ (3)增减性与最大值：二项式系数 Ckn，当 kn1 2 时，二
3、项式系数逐渐_增大_；当 kn1 2 时，二项式 系数逐渐_减小_当 n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当 n 是奇数时，中间两项的二项式系数 最大 (4)各二项式系数的和：(ab)n的展开式的各项二项式系数之和为_2n_，即 C0nC1nCnn_2n_. (5)奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即 C0nC2n_C1nC3n_2n 1_ 三、自主热身、归纳总结 1、(12x)5的展开式中，x2的系数为( ) A. 10 B. 20 C. 25 D. 40 2、若 x1 x n 展开式的二项式系数之和为 64，则展开式的常数项为( ) A. 6 B. 12 C. 20 D
4、. 32 3、(xy)n的二项展开式中，第 m 项的系数是( ) 第 2 页 / 共 6 页 A. Cm n B. C m1 n C. Cm 1 n D. (1)m 1Cm1 n 4、(多选)已知(3x1)na0a1xa2x2anxn，设(3x1)n的展开式的二项式系数之和为 Sn，Tna1a2 an，则( ) Aa01 BTn2n(1)n Cn 为奇数时，SnTn；n 为偶数时，SnTn DSnTn 5、(一题两空)若 3x 1 3 x2 m 的展开式中二项式系数之和为 128，则 m_，展开式中 1 x3的系数是 _ 6、(2020 合肥模拟)(x2)3(2x1)2的展开式中 x 的奇次项
5、的系数之和为_ 7、若 x 1 2x n(n4，nN*)的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则 n_. 四、例题选讲 考点一 二项展开式中特定项及系数问题 例 1、 （1）二项式 x 2 2 x 10的展开式中， x项的系数是( ) A.15 2 B15 2 C15 D15 （2）(2019 天津高考) 2x 1 8x3 8的展开式中的常数项为_ （3）(2019 浙江高考)在二项式( 2x)9的展开式中，常数项是_，系数为有理数的项的个数是 _ 变式 1、已知在 3 x 3 3 x n 的展开式中，第 6 项为常数项 (1)求 n； (2)求含 x2项的系数； (3)求展开式中所有的有
6、理项 第 3 页 / 共 6 页 变式 2、求二项展开式中的特定项或指定项的系数 (1)在( x1)4的展开式中，x 的系数为_ (2)(x2xy)5的展开式中，x5y2的系数为_ 方法总结：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要 求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 r1，代回通项公式即可 考点二、 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例 2、在(2x3y)10的展开式中，求： (1) 二项式系数的和； (2) 各项系数的和； (3) 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4) 奇数项系数和与偶数项系数和； (5
7、) x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和 变式 1、(1)(2020 合肥模拟)已知(axb)6的展开式中 x4项的系数与 x5项的系数分别为 135 与18，则(ax b)6的展开式中所有项系数之和为( ) A1 B1 C32 D64 (2)若(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a1|a2|a3|a4|a5|( ) A0 B1 第 4 页 / 共 6 页 C32 D1 (3)在(1x)n(xN*)的二项展开式中，若只有 x5的系数最大，则 n_. 变式 2、对任意实数 x，有 9239 01239 (23)1(1)(1)(1)xaa xa xa xa x.则下
8、列结论成 立的是（ ） A 2 144a B 0 1a C 0129 1aaaa D 9 01239 3aaaaa 变式 3、 （2020 深喀第二高级中学高二期末）已知 5 1 2x 25 0125 aa xa xa x，则 12345 2345aaaaa_. 方法总结：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m (a、bR)的式 子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可；对形如(axby)n (a，bR)的式子求其展 开式各项系数之和，只需令 xy1 即可 考点三 二项式定理的综合应用 例 3 (1)190C110902C2109
9、03C310(1)k90kCk109010C10 10除以 88 的余数是_ (2)设复数 x 2i 1i(i 是虚数单位)，则 C 1 2019xC 2 2019x 2C3 2019x 3C2019 2019x 2019_ 变式 1、 （2020 江苏省南京师大附中高二）已知 21 221 01221 1 n n n xaa xa xax ，n N记 0 21? n nn k k Tka （1）求 2 T的值； （2）化简 n T的表达式，并证明：对任意n N的，n T都能被4 2n整除 第 5 页 / 共 6 页 变式 2、 【陕西省黄陵中学高新部 2017-2018 学年高二下学期开学考
10、试】(1)设 . 求； 求； 求； (2)求除以 9 的余数 方法总结：整除问题，解决整除问题要点为：(1)观察除式与被除式间的关系；(2)将被除式拆成二项式；(3) 结合二项式定理得出结论此外二项式定理还可应用于不等式的证明 五、优化提升与真题演练 1、 【2019 年高考全国卷理数】（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中 x3的系数为（ ） A12 B16 C20 D24 2、【2020 年高考北京】在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为（ ） A5 B5 C10 D10 3、 【2020 年高考全国卷理数】 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为（ ） 4
11、234 01234 31xaa xa xa xa x 01234 aaaaa 024 aaa 1234 aaaa 1227 272727 SCCC 第 6 页 / 共 6 页 A5 B10 C15 D20 4、 【2018 年高考全国卷理数】 5 2 2 x x 的展开式中 4 x的系数为（ ） A10 B20 C40 D80 5、【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小 区至少安排1名同则不同的安排方法共有_种 6、 【2020年高考全国III卷理数】 26 2 ()x x 的展开式中常数项是_（用数字作答） 7、 【2020 年高考天津】在 5 2 2 ()x x 的展开式中， 2 x的系数是_ 8、 【2020 年高考浙江】 二项展开式 2345 0123 5 45 (2 )1xaa xa xa xa xa x， 则 4 a _， 135 aaa _