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第56讲 排列与组合(学生版)备战2021年新高考数学微专题讲义

1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 56 讲讲 排列与组合排列与组合 一、课程标准 1、通过实例,理解排列、组合的概念 2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 分类加法计数原理 完成一件事, 有n类方式, 在第1类方式中有m1种不同的方法, 在第2类方式中有m2种不同的方法, , 在第 n 类方式中有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N_m1m2mn_种不同的方法 2. 分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成 n 个步骤,做第 1 步有 m1种不同的方法,做第 2 步有 m2种不同的方法, 做第 n 步有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N

2、_m1m2mn_种不同的方法 3. 排列与排列数 (1)排列:一般地,从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的_一个排列_ (2)排列数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的_排列数_,用符号_Am n_表示 (3)排列数公式: Am nn(n1)(n2)(nm1)_ n! (nm)!_(n,mN *,并且 mn) Ann_n (n1) (n2) 3 2 1_n! ,规定 0!_1_ 4. 组合与组合数 (1)组合:一般地,从 n 个不同元素中取出

3、 m(mn)个元素合并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的_一个组合_ (2)组合数的定义:从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的_组合数_,用符号_Cm n_表示 (3)组合数公式: Cm nA m n Am m n(n1)(n2)(nm1) m! _ n! m!(nm)!_(n,mN *,并且 mn) (4)组合数的性质: 性质 1:Cm n_C nm n _ 性质 2:Cm n1_C m1 n Cm n_ 第 2 页 / 共 7 页 性质 3:mCm n_n C m1 n1_ 三、自主热身、归纳总结 1、

4、某校“数学俱乐部”有高一学生 7 人,高二学生 10 人,高三学生 8 人,若从每一个年级各选 1 名担任 负责人,则有_种不同的选法( ) A. 25 B. 280 C. 560 D. 580 2、从 5 名男生和 4 名女生种选出 4 人参加辩论赛,如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内,那么 有_种不同选法( ) A. 20 B. 60 C. 78 D. 91 3、 已知集合M=1,-2,3,N=-4,5,6,-7,从M,N这两个集合中各选一个元素分别记作a,b则下 列说法正确的有( ) A. b a 表示不同的正数的个数是6 B. b a 表示不同的比1小的数的个数是6 C.(

5、a,b)表示x轴上方不同的点的个数是6 D.(a,b)表示y轴右侧不同的点的个数是6 4、(1)7C364C47_; (2)A36_ _ 5、某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数英语为必选科目.从物理、化生物、历史、地 理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他 选择的组合方式有 种(用数字作答). 四、例题选讲 考点一 两个计数原理的应用 例 1、(1)已知一个三位数从 0,1,2,3,4 中任意选取如果三位数的中数字不允许重复使用,那么能得到 多少个三位数?如果三位数中的数字允许重复使用,那么能得到多少个三位数?

6、 (2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1,2,9 的 9 个小正方形(如图),使得任意相邻(有公共 边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为 1,5,9 的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共 有多少种? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第 3 页 / 共 7 页 变式 1、甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是 9,0,2,1,5,为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行 规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符 合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为( ) A.64 B.80 C.

7、96 D.120 变式 2、满足 a,b1,0,1,2,且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a,b)的个数为 _. 方法总结:利用两个计数原理解决应用问题的一般思路: (1)弄清完成一件事是做什么 (2)确定是先分类后分步,还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 (4)利用两个计数原理求解 考点二 排列的应用 例 2 有 4 个男生,3 个女生按下列要求排队拍照,各有多少种不同的排列方法? (1)7 个人排成一列,4 个男生必须连排在一起; (2)7 个人排成一列,3 个女生中任何两个均不能排在一起; (3)7 个人排成一列,甲、乙、丙三人顺序一定; (4)7

8、个人排成一列,但男生必须连排在一起,女生也必须连排在一起,且男甲与女乙不能相邻 变式 1、有 3 名男生、4 名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数 (1)选 5 人排成一排; (2)排成前后两排,前排 3 人,后排 4 人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; 第 4 页 / 共 7 页 (5)全体排成一排,男生互不相邻 变式 2、 (1)高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目,2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序,要求 2 个舞 蹈节目不连排,则不同排法的种数是( ) A1 800 B3 600 C4 320 D5 040 (2)

9、将 7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排,若甲不能在排头,乙不能在排尾,丙、丁两 人必须相邻,则不同的排法共有( ) A1 108 种 B1 008 种 C960 种 D504 种 方法总结:(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时一 般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采 用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问 题的常用方法 考点三 组合的应用 例 3、某市工商局对 35 种商品进行抽样检查,已知其中有 15 种假货现

10、从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有 2 种假货在内,不同的取法有多少种? 第 5 页 / 共 7 页 变式 1、按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本; (3)平均分成三份,每份 2 本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人

11、 2 本; (5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本; (7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本 变式 2、 (1)从1,2,3,10中选取三个不同的数,使得其中至少有两个相邻,则不同的选法种数是( ) A72 B70 C66 D64 (2) 从 2 位女生, 4 位男生中选 3 人参加科技比赛, 且至少有 1 位女生入选, 则不同的选法共有_ 种(用数字作答) (3)(2019 辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜 寻空投食物的任务已知:食物投掷地点有远、近两处;由

12、于 Grace 年纪尚小,所以要么不参与该项任 务,但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;所有参与搜寻任务的小孩须 被均分成两组,一组去远处,一组去近处那么不同的搜寻方案有_种 第 6 页 / 共 7 页 方法总结:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不 含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义, 谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处 理 考点四

13、排列与组合问题的综合应用 例 4、(1)在高三某班进行的演讲比赛中,共有 5 位选手参加,其中 3 位女生,2 位男生,如果 2 位男生不能 连续出场,且女生甲不能排第一个,那么出场的顺序的排法种数为_ (2)大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市 关系要好的 A,B,C,D 四个家庭各有两个孩子共 8 人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽 车出去游玩,每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置),其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则 乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同一个家庭的乘坐方式共有_种 变式: (1)某学校

14、获得 5 个高校自主招生推荐名额,其中甲大学 2 个,乙大学 2 个,丙大个,并且甲大学 和乙大学都要求必须有男生参加, 学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象, 则不同的推荐方法共有( ) A.36 种 B.24 种 C.22 种 D.20 种 (2)从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求 甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安 排种数为_.(用数字作答) 方法总结:(1)解排列与组合综合题一般是先选后排,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个 原理做最后处理

15、 (2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决,分类标准应统一,避免出现 重复或遗漏 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年新高考全国卷】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去 1 个场馆,甲场馆 安排 1 名,乙场馆安排 2 名,丙场馆安排 3 名,则不同的安排方法共有( ) A120 种 B90 种 C60 种 D30 种 2、 【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小 第 7 页 / 共 7 页 区至少安排1名同则不同的安排方法共有_种 3、 【2018 年高考全国卷理数】从

16、2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选, 则不同的选法共有_种 (用数字填写答案) 4、 【2018 年高考浙江卷】从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6 中任取 2 个数字,一共可以组 成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 5、 【湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试】3 名男生 4 名女生站成一排,求满足下列条件 的排法共有多少种? (1)任何 2 名女生都不相邻,有多少种排法? (2)男生甲、乙相邻,有多少种排法?(结果用数字表示) 6、平面上有 9 个点,其中 4 个点在同一条直线上(4 个点之间的距离各不相等) ,此外任何三点不共线 (1)过每两点连线,可得几条直线? (2)以每三点为顶点作三角形可作几个?; (3)以一点为端点,作过另一点的射线,这样的射线可作出几条? (4)分别以其中两点为起点和终点,最多可作出几个向量?