1、 第 1 页 / 共 7 页 第第 56 讲讲 排列与组合排列与组合 一、课程标准 1、通过实例，理解排列、组合的概念 2、能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 分类加法计数原理 完成一件事， 有n类方式， 在第1类方式中有m1种不同的方法， 在第2类方式中有m2种不同的方法， ， 在第 n 类方式中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N_m1m2mn_种不同的方法 2. 分步乘法计数原理 完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m1种不同的方法，做第 2 步有 m2种不同的方法， 做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N
2、_m1m2mn_种不同的方法 3. 排列与排列数 (1)排列：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的_一个排列_ (2)排列数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的_排列数_，用符号_Am n_表示 (3)排列数公式： Am nn(n1)(n2)(nm1)_ n！ （nm）！_(n，mN *，并且 mn) Ann_n (n1) (n2) 3 2 1_n！ ，规定 0！_1_ 4. 组合与组合数 (1)组合：一般地，从 n 个不同元素中取出
3、 m(mn)个元素合并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的_一个组合_ (2)组合数的定义：从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的_组合数_，用符号_Cm n_表示 (3)组合数公式： Cm nA m n Am m n（n1）（n2）（nm1） m！ _ n！ m！（nm）！_(n，mN *，并且 mn) (4)组合数的性质： 性质 1：Cm n_C nm n _ 性质 2：Cm n1_C m1 n Cm n_ 第 2 页 / 共 7 页 性质 3：mCm n_n C m1 n1_ 三、自主热身、归纳总结 1、
4、某校“数学俱乐部”有高一学生 7 人，高二学生 10 人，高三学生 8 人，若从每一个年级各选 1 名担任 负责人，则有_种不同的选法( ) A. 25 B. 280 C. 560 D. 580 2、从 5 名男生和 4 名女生种选出 4 人参加辩论赛，如果男生中的甲与女生中的乙至少要有 1 人在内，那么 有_种不同选法( ) A. 20 B. 60 C. 78 D. 91 3、 已知集合M=1，-2，3，N=-4，5，6，-7，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b则下 列说法正确的有（ ） A. b a 表示不同的正数的个数是6 B. b a 表示不同的比1小的数的个数是6 C.（
5、a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6 D.（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6 4、(1)7C364C47_； (2)A36_ _ 5、某地区计划实施新高考考试方案,现模拟选科,其中语文、数英语为必选科目.从物理、化生物、历史、地 理、政治、信息技术七科中任选三科,组合成“3+3”模式.若小王同学在物理和化学这两科中至多选一科,则他 选择的组合方式有 种(用数字作答). 四、例题选讲 考点一 两个计数原理的应用 例 1、(1)已知一个三位数从 0，1，2，3，4 中任意选取如果三位数的中数字不允许重复使用，那么能得到 多少个三位数？如果三位数中的数字允许重复使用，那么能得到多少个三位数？
6、 (2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1，2，9 的 9 个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共 边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1，5，9 的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共 有多少种？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第 3 页 / 共 7 页 变式 1、甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是 9,0,2,1,5,为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行 规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符 合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案种数为( ) A.64 B.80 C.
7、96 D.120 变式 2、满足 a，b1，0，1，2，且关于 x 的方程 ax22xb0 有实数解的有序数对(a，b)的个数为 _. 方法总结：利用两个计数原理解决应用问题的一般思路： (1)弄清完成一件事是做什么 (2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类 (3)弄清分步、分类的标准是什么 (4)利用两个计数原理求解 考点二 排列的应用 例 2 有 4 个男生，3 个女生按下列要求排队拍照，各有多少种不同的排列方法？ (1)7 个人排成一列，4 个男生必须连排在一起； (2)7 个人排成一列，3 个女生中任何两个均不能排在一起； (3)7 个人排成一列，甲、乙、丙三人顺序一定； (4)7
8、个人排成一列，但男生必须连排在一起，女生也必须连排在一起，且男甲与女乙不能相邻 变式 1、有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数 (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； 第 4 页 / 共 7 页 (5)全体排成一排，男生互不相邻 变式 2、 （1）高三要安排毕业晚会的 4 个音乐节目，2 个舞蹈节目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求 2 个舞 蹈节目不连排，则不同排法的种数是( ) A1 800 B3 600 C4 320 D5 040 （2）
9、将 7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁 4 人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两 人必须相邻，则不同的排法共有( ) A1 108 种 B1 008 种 C960 种 D504 种 方法总结：(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一 般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采 用间接法 (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问 题的常用方法 考点三 组合的应用 例 3、某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货现
10、从 35 种商品中选取 3 种 (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ 第 5 页 / 共 7 页 变式 1、按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？ (1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本； (2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本； (3)平均分成三份，每份 2 本； (4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人
11、 2 本； (5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本； (6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本； (7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本 变式 2、 （1）从1,2,3，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是( ) A72 B70 C66 D64 （2） 从 2 位女生， 4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有_ 种(用数字作答) （3）(2019 辽宁五校协作体联考)在爸爸去哪儿第二季第四期中，村长给 6 位“萌娃”布置一项搜 寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由
12、于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任 务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的小孩须 被均分成两组，一组去远处，一组去近处那么不同的搜寻方案有_种 第 6 页 / 共 7 页 方法总结：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取 (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处 理 考点四
13、排列与组合问题的综合应用 例 4、(1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有 5 位选手参加，其中 3 位女生，2 位男生，如果 2 位男生不能 连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为_ (2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市 关系要好的 A，B，C，D 四个家庭各有两个孩子共 8 人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽 车出去游玩，每车限坐 4 名(乘同一辆车的 4 个孩子不考虑位置)，其中 A 家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则 乘坐甲车的 4 个孩子恰有 2 个来自于同一个家庭的乘坐方式共有_种 变式： （1）某学校
14、获得 5 个高校自主招生推荐名额，其中甲大学 2 个，乙大学 2 个，丙大个，并且甲大学 和乙大学都要求必须有男生参加， 学校通过选拔定下 3 男 2 女共 5 个推荐对象， 则不同的推荐方法共有( ) A.36 种 B.24 种 C.22 种 D.20 种 （2）从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求 甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安 排种数为_.(用数字作答) 方法总结：(1)解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个 原理做最后处理
15、 (2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)或间接法(排除法)来解决，分类标准应统一，避免出现 重复或遗漏 五、优化提升与真题演练 1、 【2020 年新高考全国卷】6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲场馆 安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（ ） A120 种 B90 种 C60 种 D30 种 2、 【2020年高考全国II卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小 第 7 页 / 共 7 页 区至少安排1名同则不同的安排方法共有_种 3、 【2018 年高考全国卷理数】从
16、2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选， 则不同的选法共有_种 （用数字填写答案） 4、 【2018 年高考浙江卷】从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共可以组 成_个没有重复数字的四位数(用数字作答) 5、 【湖北省孝感市八校 2017-2018 学年高二上学期期末考试】3 名男生 4 名女生站成一排，求满足下列条件 的排法共有多少种？ （1）任何 2 名女生都不相邻，有多少种排法？ （2）男生甲、乙相邻，有多少种排法？（结果用数字表示） 6、平面上有 9 个点，其中 4 个点在同一条直线上（4 个点之间的距离各不相等） ，此外任何三点不共线 （1）过每两点连线，可得几条直线？ （2）以每三点为顶点作三角形可作几个？； （3）以一点为端点，作过另一点的射线，这样的射线可作出几条？ （4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量？