1、2020-2021 学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax10 Bx2+30 Cx1 Dy2x 2下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D3 3若，则的值为（ ） A B C D3 4下列计算正确的是（ ） A B C D3 5用配方法解方程 x24x40，下列变形正确的是（ ） A （x2）22 B （x2）24 C （x2）26 D （x2）28 6如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G若 AG2
2、，GD1，DF5，BC4，则 BE 的长为（ ） A B C12 D20 7如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于点 G，则 SDEG：S CFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 8某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为 200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜如图，试验田 一面靠墙，墙长 35m，另外三面用 49m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇 1m 宽的门（不包括篱笆） 设 试验田垂直于墙的一边 AB 的长为 xm，则下列所列方程正确的是（ ） Ax（49+1x）200 Bx（492x）200 Cx（49+12
3、x）200 Dx（4912x）200 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 10一元二次方程 x2x30 根的判别式的值是 11如图，一片树叶放置在 44 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫做格 点， 点 A、 B、 C 均在格点上 若点 A 的坐标为 （1， 1） ， 点 B 的坐标为 （2， 1） ； 则点 C 的坐标为 12如图，四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1关于点 O 成位似图形，若四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1的 位似比为 1：3，则四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1的周长比为 1
4、3如图，身高 1.5m 的小波站在操场上，测得其影长 BC1.8m；同时测得旗杆 AB 的影长 BC18m， 则旗杆 AB 的高度为 m 14如图，ABC 是等腰直角三角形，C90，D 为边 BC 上一点，连结 AD，过点 B 作 BEAD，交 AD 的延长线于点 E若，则的值为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）计算： 16 （6 分）用公式法解方程：3x2x10 17 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2mx20 （1）若方程的一个根为 2，求 m 的值 （2）求证：无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根 18
5、（7 分）如图、图、图，在 44 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的 顶点叫做格点，线段 AB 的端点都在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网 格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法 （1）在图中画出线段 AB 的中点 O （2）在图中的线段 AB 上找到点 C，使得 （3）在图中的线段 AB 上找到点 D，使得 19 （7 分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017 年投入 5 亿元资金， 之后投入资金逐年增长，2019 年投入 7.2 亿元资金用于保障性住房建设假设这两年每年投入的年平均 增长率相同 （1）求该
6、市这两年投入资金的年平均增长率 （2）2020 年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房 补助款 3 万元，求 2020 年该市能够帮助建设保障性住房的户数 20 （7 分）如图，ADEABC，且，点 D 在ABC 内部，连结 BD、CD、CE （1）求证：ABDACE （2）若 CDCE，BD3，且ABD+ACD90，求 DE 的长 21（8 分） 如图， 小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验， 地面上从左往右依次是墙、 木板和平面镜 手 电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处点
7、E 到地面的高度 DE3.5m，点 F 到地面的高度 CF1.5m，灯泡到木板的水平距离 AC5.4m， 墙到木板的水平距离为 CD4m已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D 在同 一水平面上 （1）求 BC 的长 （2）求灯泡到地面的高度 AG 22 （9 分） 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容 例 1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 已知：如图，在ABC 中，ADDB，BEEC，AFFC 求证：AE、DF 互相平分 证明：连结 DE、EF 请根据教材提示，结合图，写出完整的解题过程 【拓展】如图，设图中的 AE 与 D
8、F 的交点为 G，连结 CD，分别交 AE、EF 于点 H、K （1） （2）若四边形 FGHK 的面积为 3，则四边形 ADEF 的面积为 23 （10 分）某商店销售一款运动鞋，进价为每双 40 元，售价为每双 100 元十一期间，商店为了促销， 规定凡是一次性购买 10 双以上的运动鞋，每多买一双，每双运动鞋的售价就减少 2 元，但售价不能低于 每双 70 元假设某顾客一次性购买的运动鞋超过 10 双 （1）如果这位顾客一次性购买 16 双这款运动鞋，那么售价为每双 元 （2）求这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋的双数 （3）如果该商店销售这款运动鞋的总利润为 798 元，求这位顾客
9、一次性购买这款运动鞋的双数 24 （12 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC3，AB5动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长 度的速度沿 AC 向终点 C 运动；同时动点 Q 从点 C 出发，以相同的速度沿 CB 方向运动，当点 P 停止运 动时，点 Q 也随之停止运动当点 P 出发后，连结 PQ，将CPQ 沿 PQ 翻折得到DPQ，点 C 的对称 点为 D设点 P 的运动时间为 t（s） （1）用含 t 的代数式表示 PD 的长 （2）当 PDAB 时，求四边形 CPDQ 的面积 （3）当四边形 CPDQ 的某个内角等于B 时，求 PD 的长 （4）当DPQ 的某条直角边所在
10、的直线与边 AB 的夹角等于A 时，直接写出 t 的值 2020-2021 学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷学年吉林省长春市朝阳区九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 1下列方程是一元二次方程的是（ ） Ax10 Bx2+30 Cx1 Dy2x 【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可 【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项不合题意； B、是一元二次方程，故此选项符合题意； C、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不合题意； D、含有 2 个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题
11、意； 故选：B 2下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A B C D3 【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定 【解答】解：A、2，它的被开方数是 3，与是同类二次根式，故本选项符合题意； B、3，与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、与的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、3 与不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A 3若，则的值为（ ） A B C D3 【分析】根据已知条件得出，再把化成+1，然后进行计算即可得出答案 【解答】解：， ， +1+1； 故选：C 4下列计算正确的是（ ） A B C D3 【分析】根据二次
12、根式的加减法对 A 进行判断；根据二次根式的乘法法则对 B 进行判断；根据二次根式 的除法法则对 C 进行判断；根据二次根式的性质对 D 进行判断 【解答】解：A、与不能合并，所以 A 选项错误； B、原式，所以 B 选项错误； C、原式，所以 C 选项正确； D、原式6+39，所以 D 选项错误 故选：C 5用配方法解方程 x24x40，下列变形正确的是（ ） A （x2）22 B （x2）24 C （x2）26 D （x2）28 【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都配上一次项系数一半的平方，最后依据完全平方公式将 左边写成完全平方式即可得 【解答】解：x24x40， x24x4， 则
13、 x24x+44+4，即（x2）28， 故选：D 6如图，ABCDEF，AF 与 BE 相交于点 G若 AG2，GD1，DF5，BC4，则 BE 的长为（ ） A B C12 D20 【分析】利用平行线分线段成比例定理求解 【解答】解：ABCDEF， ， ADAG+GD，AG2，GD1，DF5，BC4， ， CE， BEBC+CE4+； 故选：B 7如图ABCD，F 为 BC 中点，延长 AD 至 E，使 DE：AD1：3，连结 EF 交 DC 于点 G，则 SDEG：S CFG（ ） A2：3 B3：2 C9：4 D4：9 【分析】先设出 DEx，进而得出 AD3x，再用平行四边形的性质得出
14、 BC3x，进而求出 CF，最后用 相似三角形的性质即可得出结论 【解答】解：设 DEx， DE：AD1：3， AD3x， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，BCAD3x， 点 F 是 BC 的中点， CFBCx， ADBC， DEGCFG， （）2（）2， 故选：D 8某学校生物兴趣小组在该校空地上围了一块面积为 200m2的矩形试验田，用来种植蔬菜如图，试验田 一面靠墙，墙长 35m，另外三面用 49m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇 1m 宽的门（不包括篱笆） 设 试验田垂直于墙的一边 AB 的长为 xm，则下列所列方程正确的是（ ） Ax（49+1x）200 Bx（492x）
15、200 Cx（49+12x）200 Dx（4912x）200 【分析】设当试验田垂直于墙的一边长为 xm 时，则另一边的长度为（49+12x）m，根据花园的面积为 200m2，列出方程并解答； 【解答】解：设当试验田垂直于墙的一边长为 xm 时，则另一边的长度为（49+12x）m， 依题意得：x（49+12x）200， 故选：C 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 10 【分析】利用|a|进行化简即可 【解答】解：原式|10|10， 故答案为：10 10一元二次方程 x2x30 根的判别式的值是 13 【分析】根据一元二次方程根的判别式b24ac 即可求
16、出值 【解答】解：a1，b1，c3， b24ac1+1213 所以一元二次方程 x2x30 根的判别式的值为 13 故答案为：13 11如图，一片树叶放置在 44 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点叫做格 点，点 A、B、C 均在格点上若点 A 的坐标为（1，1） ，点 B 的坐标为（2，1） ；则点 C 的坐标为 （2，2） 【分析】根据点 A 的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案 【解答】解：如图， 点 C 的坐标为（2，2） 故答案是： （2，2） 12如图，四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1关于点 O 成位似图形，若四边形
17、 ABCD 与四边形 A1B1C1D1的 位似比为 1：3，则四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1的周长比为 1：3 【分析】直接利用位似图形的性质得出答案 【解答】解：四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1的位似比为 1：3， 四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1的周长比为：1：3 故答案为：1：3 13如图，身高 1.5m 的小波站在操场上，测得其影长 BC1.8m；同时测得旗杆 AB 的影长 BC18m， 则旗杆 AB 的高度为 15 m 【分析】根据同一时刻物高和影长成正比列出比例式即可求解 【解答】解：根据题意得：， 即：， 解得：AB15， 故答案为：15 1
18、4如图，ABC 是等腰直角三角形，C90，D 为边 BC 上一点，连结 AD，过点 B 作 BEAD，交 AD 的延长线于点 E若，则的值为 【分析】设 CDk，BD2k，则 CBCA3k，想办法用 k 表示 AD，BE 即可解决问题 【解答】解：， 可以假设 CDk，BD2k，则 CBCA3k， C90， ADk， BEAE， EC90， CDABDE， ACDBED， ， ， BEk， ， 故答案为 三、解答题（本大题三、解答题（本大题 10 小题，共小题，共 78 分）分） 15 （6 分）计算： 【分析】根据二次根式的乘除法则运算 【解答】解：原式2 422 0 16 （6 分）用公式
19、法解方程：3x2x10 【分析】根据一元二次方程的公式法即可求出答案 【解答】解：由题意可知：a3，b1，c1， 143（1）1+1213， x 17 （6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2mx20 （1）若方程的一个根为 2，求 m 的值 （2）求证：无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根 【分析】 （1）把 x2 代入原方程，得到关于 m 的方程，解之即可， （2）根据判别式公式，得到0，即可得到答案 【解答】解： （1）根据题意得：222m20， 解得：m1， （2）b24acm2+8， 无论 m 取何实数，m20， 0， 无论 m 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根
20、 18 （7 分）如图、图、图，在 44 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的 顶点叫做格点，线段 AB 的端点都在格点上在图、图、图中，只用无刻度的直尺，在给定的网 格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法 （1）在图中画出线段 AB 的中点 O （2）在图中的线段 AB 上找到点 C，使得 （3）在图中的线段 AB 上找到点 D，使得 【分析】 （1）根据网格即可在图中画出线段 AB 的中点 O； （2）根据网格，利用相似三角形的性质即可在图中的线段 AB 上找到点 C，使得 （3）根据网格，利用相似三角形的性质即在图中的线段 AB 上找到点 D，使得 【解
21、答】解： （1）如图线段 AB 的中点 O 即为所求； （2）如图线段 AB 上点 C 即为所求； （3）如图线段 AB 上点 D 即为所求 19 （7 分）某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017 年投入 5 亿元资金， 之后投入资金逐年增长，2019 年投入 7.2 亿元资金用于保障性住房建设假设这两年每年投入的年平均 增长率相同 （1）求该市这两年投入资金的年平均增长率 （2）2020 年该市计划保持相同的年平均增长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房 补助款 3 万元，求 2020 年该市能够帮助建设保障性住房的户数 【分析】 （1）设该市这两
22、年投入资金的年平均增长率为 x，根据该市 2017 年及 2019 年投入用于保障性 住房建设的资金，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2） 利用能够帮助建设保障性住房的户数2020 年投入用于保障性住房建设的资金3， 即可得出结论 【解答】解： （1）设该市这两年投入资金的年平均增长率为 x， 依题意，得：5（1+x）27.2， 解得：x10.220%，x22.2（不合题意，舍去） 答：该市这两年投入资金的年平均增长率为 20% （2）7.2 亿元72000 万元， 72000（1+20%）328800（户） 答：2020 年该市能够帮助建设保障性住房 2880
23、0 户 20 （7 分）如图，ADEABC，且，点 D 在ABC 内部，连结 BD、CD、CE （1）求证：ABDACE （2）若 CDCE，BD3，且ABD+ACD90，求 DE 的长 【分析】 （1）由相似三角形的性质可得，BACDAE，可得BADCAE，由两组对边成 比例且夹角相等的两个三角形相似可证ABDACE； （2）由相似三角形的性质可得，可求 CE2，由等腰直角三角形的性质可求解 【解答】证明： （1）ADEABC， ，BACDAE， BADCAE， ABDACE； （2）ABDACE， ，ABDACE， 又BD3， CE2， CDCE2， ABD+ACD90， ACD+ACE9
24、0， DCE90， DECD2 21（8 分） 如图， 小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验， 地面上从左往右依次是墙、 木板和平面镜 手 电筒的灯泡在点 G 处，手电筒的光从平面镜上点 B 处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点 E 处点 E 到地面的高度 DE3.5m，点 F 到地面的高度 CF1.5m，灯泡到木板的水平距离 AC5.4m， 墙到木板的水平距离为 CD4m已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D 在同 一水平面上 （1）求 BC 的长 （2）求灯泡到地面的高度 AG 【分析】 （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出 BC 的长； （2）根据
25、相似三角形的性质列方程进而求出 AG 的长 【解答】解： （1）由题意可得：FCDE， 则BFCBED， 故， 即， 解得：BC3； （2）AC5.4m， AB5.432.4（m） ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， FBCGBA， 又FCBGAB， BGABFC， ， ， 解得：AG1.2（m） ， 答：灯泡到地面的高度 AG 为 1.2m 22 （9 分） 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 78 页的部分内容 例 1：求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分 已知：如图，在ABC 中，ADDB，BEEC，AFFC 求证：AE、DF 互相平分 证明：连结 DE、EF
26、请根据教材提示，结合图，写出完整的解题过程 【拓展】如图，设图中的 AE 与 DF 的交点为 G，连结 CD，分别交 AE、EF 于点 H、K （1） （2）若四边形 FGHK 的面积为 3，则四边形 ADEF 的面积为 18 【分析】 【教材呈现】证明 DEAC，且 DEACAF，即可求解； 【拓展】 （1）证明DHGCHE，则，即 DHHC，进而求解； （2） SDHE+SDHGS四边形GFKH+SEHK， 即 2a+SDHG3+a， 故 SDHG3a， 而 K 是平行四边形 DFCE 的对角线的交点， 故 K 是 EF 的中点， 同理 SDHE+SEHKS四边形GFKH+SDGH， 则
27、3a6a， 解得 a， 即可求解 【解答】 【教材呈现】证明：连结 DE、EF， 则 DE 是ABC 的中位线，故 DEAC，且 DEACAF， 故四边形 DAFE 为平行四边形， AE、DF 互相平分； 【拓展】 （1）解：同理可得，四边形 DFCE 为平行四边形，则 KDKC，DFECBE， DGBE，FGEC， DGFGEC， DFBC， DHGCHE， ，即 DHHC， 设 DHx，则 HC2x，CDDH+HC3x，则 CKCDx， 故， 故答案为； （2）解：设HKE 的面积为 a， DHx，HKx，则DHE 的面积为 2a， G 是 DF 的中点， SDHE+SDHGS四边形GFK
28、H+SEHK， 即 2a+SDHG3+a，故 SDHG3a， K 是平行四边形 DFCE 的对角线的交点，故 K 是 EF 的中点， 同理 SDHE+SEHKS四边形GFKH+SDGH， 即 3a6a，解得 a， 故 SEFGa+3， 四边形 ADEF 为平行四边形， 故四边形 ADEF 的面积4SEFG18， 故答案为 18 23 （10 分）某商店销售一款运动鞋，进价为每双 40 元，售价为每双 100 元十一期间，商店为了促销， 规定凡是一次性购买 10 双以上的运动鞋，每多买一双，每双运动鞋的售价就减少 2 元，但售价不能低于 每双 70 元假设某顾客一次性购买的运动鞋超过 10 双
29、（1）如果这位顾客一次性购买 16 双这款运动鞋，那么售价为每双 88 元 （2）求这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋的双数 （3）如果该商店销售这款运动鞋的总利润为 798 元，求这位顾客一次性购买这款运动鞋的双数 【分析】 （1）根据售价原价2超过 10 双的数量，即可求出结论； （2）利用数量（原价最低售价）2+10，即可求出结论； （3）设这位顾客一次性购买这款运动鞋 x 双（10 x25） ，根据该商店销售这款运动鞋的总利润为 798 元，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之即可得出结论 【解答】解： （1）1002（1610）88（元） 故答案为：88； （2） （10070
30、）2+1025（双） 答：这位顾客以最低售价一次性购买这款运动鞋 25 双 （3）设这位顾客一次性购买这款运动鞋 x 双 7983026.6（双） ，26.6 不为整数， 10 x25 依题意，得：x1002（x10）40798， 整理，得：x240 x+3990， 解得：x119，x221 答：这位顾客一次性购买这款运动鞋 19 或 21 双 24 （12 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC3，AB5动点 P 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长 度的速度沿 AC 向终点 C 运动；同时动点 Q 从点 C 出发，以相同的速度沿 CB 方向运动，当点 P 停止运 动时，点 Q 也随之停
31、止运动当点 P 出发后，连结 PQ，将CPQ 沿 PQ 翻折得到DPQ，点 C 的对称 点为 D设点 P 的运动时间为 t（s） （1）用含 t 的代数式表示 PD 的长 （2）当 PDAB 时，求四边形 CPDQ 的面积 （3）当四边形 CPDQ 的某个内角等于B 时，求 PD 的长 （4）当DPQ 的某条直角边所在的直线与边 AB 的夹角等于A 时，直接写出 t 的值 【分析】 （1）根据点 P 的速度和时间 t 可表示点 P 的路程 APt，可得结论； （2）如图 1，延长 PD 交 BC 于点 E，证明ACBQDE，得，可得 DE，再由平行线分 线段成比例定理列比例式：，即，解方程可得
32、 t1，最后由三角形面积可得结 论； （3）存在两种情况：如图 2，CPDB，延长 PD 交 BC 于点 E，证明ACBEDQ，列比例式 可得 DEt，证明PCEBCA，列比例式可得 t 的值，由此计算 PD 的长；如图 3，CQD B，延长 QD 交 AC 于点 E，同理可得结论； （4）分两种情况：如图 4，当四边形 CPDQ 是正方形时，QEBA，根据 PCCQ 列方程可得 t 的值；如图 5，PEAA 时，证明CPDCAB，列比例式可得 t 的值 【解答】解： （1）由题意得：APt， AC3， PC3t， 由折叠得：PDPC3t； （2）如图 1，延长 PD 交 BC 于点 E， C
33、90，AC3，AB5， BC4， 由题意得：APCQt，CPDQ90， DQCQt，QDE90， PDAB， PEAB， QEDB， QDEC90， ACBQDE， ，即， DE， PEAB， ，即， 解得：t1， 四边形 CPDQ 的面积2SCPQ2PCCQ（31）13； （3）当四边形 CPDQ 的某个内角等于B 时，存在两种情况： 如图 2，CPDB，延长 PD 交 BC 于点 E， CPD+APDAPD+B180， A+BED180， BED+QED180， AQED， QDEC90， ACBEDQ， ，即， DEt， CEDA，CC， PCEBCA， ，即， 解得：t， PD3t3； 如图 3，CQDB，延长 QD 交 AC 于点 E， EQAB， PCPD3t， 同理得 ED， EQAB， ，即， 解得：t， PD3t3， 综上，PD 的长是或； （4）分两种情况： 如图 4，当四边形 CPDQ 是正方形时，QEBA， PCCQ， 3tt， t； 如图 5，PEAA 时， 由折叠得：CPQDPQ， 2CPQ+APDAPD+2A180， ACPQ， CC， CPDCAB， ，即， 解得：t， 综上，t 的值为或