1、 - 1 - 北师大版北师大版八年级数学下册八年级数学下册各章知识要点总结各章知识要点总结 第一章第一章三角形的证明三角形的证明 一、全等三角形判定、性质：一、全等三角形判定、性质： 1.判定(SSS)（SAS)(ASA)(AAS)（HL 直角三角形） 2.全等三角形的对应边相等、对应角相等. 二、等腰三角形的性质二、等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等；(定义) 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ）. 推论 1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.（三线合一三线合一） 推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60； 等腰三角形
2、是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形. 三、等腰三角形的判定三、等腰三角形的判定 1.1.有关的定理及其推论有关的定理及其推论 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”.） 推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形是等边三角形. 推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形是等边三角形. 2.反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为反证法反证法 四、直角三角形四、直角三角形 1 1、直角三角形的性质、直角三角形的性质 直角三角形的两锐角互余 - 2 -
3、 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 2 2、直角三角形判定、直角三角形判定 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 3 3、互逆命题、互逆定理、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题 称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理， 其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 五、线段的垂直
4、平分线、角平分线五、线段的垂直平分线、角平分线 1 1、线段的垂直平分线、线段的垂直平分线. . 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.（外心外心） 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 2 2、角平分线、角平分线. . 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.（内心内心） 判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. - 3 - 第二章一元一次不等式和一元一次不等式组第二章一元一次不等式
5、和一元一次不等式组 1.定义定义：一般地，用符号“”（或“”）,“”（或“”）连接的式子叫做不等式. 2.基本性质基本性质：性质 1：.不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变.如果 ab, 那么 a+cb+c,a-cb-c.（注：移项要变号，但不等号不变） 性质 2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.如果 ab,并且 c0,那 么 acbc, c b c a . 性质 3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.如果 ab,并且 c0,那 么 acbaba a- -b0a=bb0a=ba a- -b=0abb=0aba a- -b0bb 大大
6、取大 bx ax xa 小小取小 bx ax axb 大小小大中间找 bx ax 无解 大大小小解不了 (是空集) ba b a b a b a - 5 - 平移作图要注意：方向；距离.整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点按一定方 向和一定的距离平行移动. 二、图形的旋转二、图形的旋转 1 旋转的定义：旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动 称为旋转.这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角. 关键：a.旋转不改变图形的形状和大小旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）. b.图形旋转四要素旋转四要素：原位置、旋转中心、
7、旋转方向、旋转角. 2 旋转的规律旋转的规律(性质性质)： 一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转 中心的连线所成的角都等于旋转角，对应线段相等，对应角相等.注意：旋转后，原图形与旋 转后的图形全等. 3 简单的旋转作图：简单的旋转作图： 旋转作图要注意：旋转方向；旋转角度. 整个旋转作图， 就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角 度旋转移动. 三、三、中心对称中心对称 1概念：概念：中心对称、对称中心、对称点 把一个图形绕着某一点旋转 180，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个 点对称或中心对称，这个点
8、叫做它们的对称中心. 2中心对称的基本性质：中心对称的基本性质： （1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质. （2）成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分. 3中心对称图形概念：中心对称图形概念：中心对称图形、对称中心 - 6 - 把一个平面图形绕某个点旋转 180，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图 形叫做中心对称图形.这个点叫做它的对称中心. 4、中心对称与中心对称图形的区别与联系、中心对称与中心对称图形的区别与联系 如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果 把一个中心对称图形沿着过对称中心的任一
9、条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对 称.5、图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比 6、图案的分析与设计首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运 动变换而形成.图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转轴对称、平移、旋转三种方法. 第第四四章因式分解章因式分解 一、公式：一、公式： 1.因式分解因式分解定义：定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解因式分解，因式分解 也可称为分解因式. 2.公因式：公因式：把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式公因式. 3.提公因式法：提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因
10、式，那末就可以把这个公因式提出来，从而将 多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法提公因式法 4.找公因式的一般步骤：找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字 母，字母的指数取较低的； （3）取相同的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有这些因式的乘积即为公因式. 5.公式法：公式法： （1）ma+mb+mc=m(a+b+c)（2）a2_b2=(a+b)(a-b)（3）a22ab+b2ab+b2 2= =（a ab b）2 2 6.、分解因式的一般步骤为、分解因式的一般步骤为: - 7 - （1）若有“-”先提取“-”，若多项式
11、各项有公因式,则再提取公因式. （2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式. （3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止. 7、因式分解与整式乘法是相反方向的变形、因式分解与整式乘法是相反方向的变形. . （1）把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算. （2）把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解. 补充：十字相乘法补充：十字相乘法. 十字分解法能用于二次三项式（一元二次式）的分解因式（不一定是整数范围内）.对于像 ax+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）这样的整式来说，这个方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因 数 a1,a2的积
12、，把常数项 c 分解成两个因数 c1,c2的积，并使 a1c2+a2c1正好等于一次项的系数 b. 那么可以直接写成结果:ax+bx+c=(a1x+c1） (a2x+c2） .在运用这种方法分解因式时， 要注意观察， 尝试，并体会，它的实质是二项式乘法的逆过程.当首项系数不是 1 时，往往需要多次试验， 务必注意各项系数的符号.基本式子：x+(p+q）x+pq=(x+p）(x+q）. 第第五五章分式与分式方程章分式与分式方程 1.1.分式的定义分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A B 叫做分式，其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母.对于任意一个分式
13、，坟墓都不能为零. 2.2.注意事项注意事项 （1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含 字母. （2）分式有意义的条件：分母不为零，即分母中的代数式的值不能为零. - 8 - （3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零 3.3.分式的基本性质：分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘 （或除以） 同一个不等于零的整式， 分式的值不变. 用式子表示 )0(, M MB MA B A MB MA B A 注意：注意： （1） 利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形， 不改变分式值的大小， 只改变形式. （2）应用基本性质时，要注意 C0，以及隐含的 B
14、0. （3）注意“都” ，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避 免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误. 4.4.分式的乘除：分式的乘除：两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,分母相乘的积作为积的分母;两个 分式相除,把除式的分子、分母颠倒位置后再与被除式相乘.即: BD AC D C B A , CB DA C D B A D C B A 5.分式乘方：分式乘方：把分子、分母分别乘方.即: )( 为正整数n B A B A n n n 逆向运用 n n n B A B A ,当 n 为整数时,仍然有 n n n B A B A 成立. 6.最简分式：最简
15、分式：分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式最简分式. 7.7.分式的通分和约分：关键先是分解因式分式的通分和约分：关键先是分解因式 （1）分式的约分约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，这种变形 称为分式的约分约分. （2）最简分式最简分式：分子与分母没有公因式的分式 （3）分式的通分通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式，这一过程 称为分式的通分通分. （4）最简公分母最简公分母：最简单的公分母简称最简公分母最简公分母. 8.8.分式的加减：分式的加减：(1)同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;上述法则用式子表示是: C BA C B
16、 C A - 9 - (2)异号分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法则进 行计算; 上述法则用式子表示是: BD BCAD BD BC BD AD D C B A 9.9.分式的符号法则分式的符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个分式的值不变.用式子表示为 注：分子与分母变号时，是指整个分子或分母同时变号，而不是指改变分子或分母中的部分项 的符号. 10.10.分式方程：分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程分式方程. 增根：增根：分式方程的增根必须满足两个条件： （1）增根是最简公分母为 0； （2）增根是分式方程化成的整式方程的
17、根. 11.11.分式方程的解法：分式方程的解法： (1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母， 化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根 注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增 根，因此分式方程一定要验根因此分式方程一定要验根. . 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方 程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 12.12.列分式方程解应用题列分式方程解应用题: :步骤：（1）审审题（2）设设未知数（3）列列方程（4）解解方程（5）检验验 （6）写出答答案，检验时要注意从方
18、程本身和实际问题两个方面进行检验检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验. . 应用题基本类型；应用题基本类型； a.行程问题：b.数字问题 c.工程问题d.顺水逆水问题 e相遇问题 f 追及问题 g 流水问题 h 浓度问题 m 利润与折扣问题 - 10 - 第六章平行四边形第六章平行四边形 一、平行四边形的性质一、平行四边形的性质 1、定义：、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2、性质、性质: :（1）平行四边形的对边平行且相等.（2）平行四边形的邻角互补（3）平行四边形 的对角相等（4）平行四边形的对角线互相平分. 二、平行四边形的判定二、平行四边形的判定 1、平行四
19、边形的判定、平行四边形的判定 （1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 （2）定理 1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 （3）定理 2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （4）定理 3：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 2、两条平行线的距离、两条平行线的距离:两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两 条平行线的距离.平行线间的距离处处相等. 3、平行四边形的面积：S 平行四边形=底高=ah 三、三角形的中位线三、三角形的中位线 1、概念、概念：连接三角两边中点的线段叫做三角的中位线（共三条中位线） 2、定理：、定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 四、多边形的内角和与外角和四、多边形的内角和与外角和 1、多边形的内角和定理：、多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于（n-2）180； 多边形的外角和定理：多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360 . 2、正多边形的每个内角度数：、正多边形的每个内角度数：（n-2）180/n - 11 - 3、中心对称图形：、中心对称图形：线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形，边数为偶数的正多边形 不是中心对称图形：四边形、三角形、梯形、边数为奇数的正多边形等 4、常见的轴对称图形：、常见的轴对称图形：等腰三角形、等腰梯形、矩形、菱形、正方形