1、2020 年北京市中考数学各地区模拟试题分类（二）二次函数 一选择题 1（2020怀柔区模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（0，3），点B的坐标为（2，2）将 二次函数ymx22mx+m2（m0）的图象经过左（右）平移a（a0）个单位再上（下）平移b（b0） 个单位得到图象M， 使得图象M的顶点落在线段AB上 下列关于a，b的取值范围， 叙述正确的是 （ ） A1a2，3b4 B1a3，4b5 C2a3，5b6 D3a5，4b6 2（2020丰台区二模）如图，抛物线yx21将该抛物线在x轴和x轴下方的部分记作C1，将C1沿x 轴翻折记作C2，C1和C2构成的图形记作C3关于图形C3，给
2、出如下四个结论，其中错误的是（ ） A图形C3恰好经过 4 个整点（即横、纵坐标均为整数的点） B图形C3上任意一点到原点的距离都不超过 1 C图形C3的周长大于 2 D图形C3所围成的区域的面积大于 2 且小于 3（2020东城区二模）若点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线ya（x+1）2+2（a0）上，则下列结论正 确的是（ ） A2y1y2 B2y2y1 Cy1y22 Dy2y12 4（2020房山区一模）已知关于n的函数san2+bn（n为自然数），当n9 时，s0；当n10 时，s 0则n取（ ）时，s的值最小 A3 B4 C5 D6 5（2020通州区一模）在平面直角坐标系xO
3、y中，点A（1，2），B（2，3），yax2的图象如图所示， 则a的值可以为（ ） A0.7 B0.9 C2 D2.1 6（2020西城区校级模拟）已知二次函数yax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x 1 0 1 4 y 10 5 2 5 则当x1 时，y的最小值是（ ） A2 B1 C D0 7（2020海淀区校级模拟）如图，抛物线yx28x+15 与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C， 点D （0，2），点E （0，6），点P是平面内一动点，且满足DPE90，M是线段PB的中点， 连结CM则线段CM的最大值是（ ） A3 B C D5 8 （2020丰台区模拟）
4、向空中发射一枚炮弹， 第x秒时的高度为y米， 且高度与时间的关系为yax2+bx+c （a0），若此炮弹在第 6 秒与第 17 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A第 8 秒 B第 10 秒 C第 12 秒 D第 15 秒 9（2020西城区校级模拟）定点投篮是同学们喜爱的体育项目之一，某位同学投出篮球的飞行路线可以 看作是抛物线的一部分，篮球飞行的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系 yax2+bx+c（a0） 下表记录了该同学将篮球投出后的x与y的三组数据， 根据上述函数模型和数据， 可推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为（ ） x（单位：
5、m） 0 2 4 y（单位：m） 2.25 3.45 3.05 A1.5m B2m C2.5m D3m 10（2020丰台区模拟）使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x （单位：度）（0 x90）近似满足函数关系yax2+bx+c（a0）如图记录了某种家用燃气灶烧 开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一 壶水最节省燃气的旋钮角度约为（ ） A18 B36 C41 D58 二填空题 11（2020海淀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，有五个点A（2，0），B（0，2），C（2， 4），D（4，2），E（7
6、，0），将二次函数ya（x2）2+m（m0）的图象记为W下列的判断中： 点A一定不在W上； 点B，C，D可以同时在W上； 点C，E不可能同时在W上 所有正确结论的序号是 12（2020石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，函数y1x（xm）的图象与函数y2x2（xm）的 图象组成图形G对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个 满足条件的实数m的值为 （写出一个即可） 13（2020丰台区一模）已知函数ykx2+（2k+1）x+1（k为实数） （1）对于任意实数k，函数图象一定经过点（2，1）和点 ； （2）对于任意正实数k，当xm时，y随着x的增大而增大
7、，写出一个满足题意的m的值为 14（2020西城区一模）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x0 时，y的最小值为1，写出一个 满足上述条件的二次函数表达式 15 （2020平谷区一模）二次函数yax2+bx+c（0 x3）的图象如图所示，则y的取值范围是 16（2020朝阳区模拟）若点（m，m），（n，n）（mn）都在抛物线yx2+2x+c上，且m1n，则c 的取值范围是 17（2020北京模拟）如图，抛物线yx2+2x+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C， 抛物线的顶点为D，下列四个结论： 点C的坐标为（0，m）； 当m0 时，ABD是等腰直角三角形； 若a1，则b4；
8、抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x11x2，且x1+x22，则y1y2 其中结论正确的序号是 18（2020海淀区校级一模）若函数y的函数值y6，则自变量x的值为 三解答题 19（2020西城区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22x3 与x轴相交于A，B（点A 在点B的左边），与y轴相交于C （1）求直线BC的表达式 （2）垂直于y轴的直线l与直线BC交于点N（x1，y1），与抛物线相交于点P（x2，y2），Q（x3，y3）若 x1x2x3，结合函数图象，求x1+x2+x3的取值范围 20（2020海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx
9、5a与y轴交于点A，将点A 向左平移 4 个单位长度，得到点B，点B在抛物线上 （1）求点B的坐标（用含A的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P（1，2a），Q（4，2）若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围 21（2020朝阳区三模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数yax22ax+c的图象经过点A（1，1）， 将A点向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到点B，直线y2x+m经过点B，与y轴交 于点C （1）求点B，C的坐标； （2）求二次函数图象的对称轴； （3）若二次函数yax22ax+c（1x2）的图象与射线CB恰有一个公
10、共点，结合函数图象，直接 写出a的取值范围 22（2020昌平区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2+mx+3 与x轴交于点A和点B（点A在 点B的左侧） （1）若抛物线的对称轴是直线x1，求出点A和点B的坐标，并画出此时函数的图象； （2）当已知点P（m，2），Q（m，2m1）若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求 m的取值范围 23（2020石景山区二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+3a（a0）与y轴交于点A，与 x轴交于点B，C（点B在点C左侧）直线yx+3 与抛物线的对称轴交于点D（m，1） （1）求抛物线的对称轴； （2）直接写出点C的坐标；
11、（3）点M与点A关于抛物线的对称轴对称，过点M作x轴的垂线l与直线AC交于点N，若MN4，结合 函数图象，求a的取值范围 24（2020密云区二模）有这样一个问题：探究函数yx34x+1 的图象与性质 文文根据学习函数的经验，对函数yx34x+1 的图象与性质进行了探究 下面是文文的探究过程，请补充完整： （1）函数yx34x+1 的自变量x的取值范围是 ； （2）如表是y与x的几组对应值： x 3 2 1 0 1 2 3 y 5 1 m 3 则m的值为 ； （3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点根据描出的点，画出该函 数的图象； （4） 请你根据探究二次函数与
12、一元二次方程关系的经验， 结合图象直接写出方程4x1 的正数 根约为 （结果精确到 0.1） 25（2020门头沟区二模）有这样一个问题：探究函数y+x的图象与性质 小菲根据学习函数的经验，对函数y+x的图象与性质进行了探究 下面是小菲的探究过程，请补充完整： （1）函数y+x的自变量x的取值范围是 （2）如表是y与x的几组对应值 x 3 2 1 1 2 3 y m 2 表中m的值为 （3） 如图， 在平面直角坐标系xOy中， 描出补全后的表中各组对应值所对应的点， 并画出该函数的图象； （4）根据画出的函数图象，写出： x1.5 时，对应的函数值y约为 （结果保留一位小数）； 该函数的一条性
13、质： 26 （2020平谷区二模） 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx22mx1（m0）与x轴的交点为A，B， 与y轴交点C （1）求抛物线的对称轴和点C坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域为图形W （不含边界） 当m1 时，求图形W内的整点个数； 若图形W内有 2 个整数点，求m的取值范围 参考答案参考答案 一选择题 1解：ymx22mx+m2m（x1）22， 二次函数的顶点坐标为（1，2）， 点A坐标为（0，3），点B的坐标为（2，2）， 二次函数图象是向左平移a个单位，再向上平移b个单位得到图象M， 平移后的顶点坐标为（1a，2
14、+b） 图象M的顶点落在线段AB上， 21a0，22+b3， 解得：1a3，4b5， 故选：B 2解：如图所示， A、图形C3恰好经过（1，0）、（1，0）、（0，1）、（0，1）4 个整点，故正确； B、由图象可知，图形C3上任意一点到原点的距离都不超过 1，故正确； C、图形C3的周长小于O的周长，所以图形C3的周长小于 2，故错误； D、图形C3所围成的区域的面积小于O的面积，大于O内接正方形的面积，所以图形C3所围成的区域 的面积大于 2 且小于 ，故正确； 故选：C 3解：抛物线ya（x+1）2+2（a0）的对称轴为直线x1， 而A（1，y1）到直线x1 的距离比点B（2，y2）到直
15、线x1 的距离小， 所以 2y1y2 故选：A 4解：函数san2+bn（n为自然数），当n9 时，s0；当n10 时，s0， a0，该函数图象开口向上， 当s0 时，9n10， n0 时，s0， 该函数的对称轴n的值在 4.55 之间， 各个选项中，当n5 时，s取得的值最小， 故选：C 5解：x1 时，y2，即a2； 当x2 时，y3，即 4a3，解得a， 所以a2 故选：B 6解：由表可知，当x1 时，y10，当x0 时，y5，当x1 时，y2， ， 解得， 抛物线的解析式为yx24x+5， 其对称轴为直线x2 x1， 当x2 时，y最小1 故选：B 7解：解方程x28x+150 得x1
16、3，x25，则A（3，0）， 抛物线的对称轴与x轴交于点C， C点为AB的中点， DPE90， 点P在以DE为直径的圆上，圆心Q点的坐标为（4，0）， AQ5，Q的半径为 2， 延长AQ交Q于F，此时AF最大，最大值为 2+57， 连接AP， M是线段PB的中点， CM为ABP为中位线， CMAP， CM的最大值为 故选：C 8解：此炮弹在第 6 秒与第 17 秒时的高度相等， 抛物线的对称轴是：x11.5， 炮弹所在高度最高时： 时间是第 12 秒 故选：C 9解：设二次函数的解析式为yax2+bx+c， 根据表可得：， 解得：， y0.2x2+x+2.250.2（x2.5）2+3.5， 可
17、推断出篮球飞行到最高点时，水平距离为 2.5 米， 故选：C 10解：由图象可得， 该函数的对称轴x且x54， 36x54， 故选：C 二填空题（共 8 小题） 11解：由二次函数ya（x2）2+m（m0）可知，对称轴为直线x2，顶点为（2，m）， 点A（2，0）， 点A在对称轴上， m0， 点A一定不在W上；故正确； B（0，2），C（2，4），D（4，2）， 三点不在一条直线上，且B、D关于直线x2 对称， 点B，C，D可以同时在W上；故正确； E（7，0）， E关于对称轴的对称点为（3，0）， C（2，4）， 三点不在一条直线上， 点C，E可能同时在W上，故错误； 故正确结论的序号是，
18、故答案为 12解：由解得或， 函数y1x的图象与函数y2x2的图象的交点为（0，0）和（1，1）， 函数y1x（xm）的图象与函数y2x2（xm）的图象组成图形G 由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，则 0m1， 故答案为答案不唯一，如：1（0m1）， 13解：（1）ykx2+（2k+1）x+1（k为实数） 当x2 时，y4k+（2k+1）（2）+11， 当x0 时，y0+0+11， 对于任意实数k，函数图象一定经过点（2，1）和点 （0，1）， 故答案为：（0，1）； （2）k为任意正实数， k0， 函数图象开口向上， 函数ykx2+（2k+1）
19、x+1 的对称轴为x11， 在对称轴右侧，y随x的增大而增大， xm时，y随x的增大而增大， m1， 故m0 时符合题意（答案不唯一，m1 即可） 故答案为：0 14解：y是以x为自变量的二次函数，且当x0 时，y的最小值为1， 二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，1）， 故满足上述条件的二次函数表达式可以为：yx21 故答案为：yx21 15解：由图象可知， 当 0 x3 时，函数值y的取值范围1y3 故答案为：1y3 16解：点（m，m），（n，n）（mn）都在抛物线yx2+2x+c上， 一次函数yx与抛物线yx2+2x+c有两个不同的交点， 则有x2+2x+cx， 14c0， c，
20、 m1n， 当x1 时，3+c1， c2， c2， 故答案为c2 17解：抛物线与y轴的交点坐标为（0，m）， C（0，m）， 故正确； 当m0 时，抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（0，0）、（2，0）， 对称轴为x1， ABD是等腰直角三角形， 故正确； 当a1 时，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， 对称轴x1， 另一个交点坐标为（3，0）， b3， 故错误； 观察二次函数图象可知： 当x11x2，且x1+x22，则y1y2 故正确 故答案为： 18解：把y6 代入函数y， 先代入上边的方程得x2， 再代入下边的方程x3， 故x2 或2 或 3， 故答案为x2 或2 或 3 三解答
21、题（共 8 小题） 19解：（1）由yx22x3 得到：y（x3）（x+1），C（0，3） 所以A（1，0），B（3，0）， 设直线BC的表达式为：ykx+b（k0）， 则， 解得， 所以直线BC的表达式为yx3； （2）由yx22x3 得到：y（x1）24， 所以抛物线yx22x3 的对称轴是直线x1，顶点坐标是（1，4） y2y3， x2+x32 令y4，yx3，x1 x1x2x3， 1x10，即 1x1+x2+x32 20解：（1）抛物线yax2+bx5a与y轴交于点A， A（0，5a）， 点A向左平移 4 个单位长度，得到点B（4，5a）； （2）A与B关于对称轴x2 对称， 抛物线对
22、称轴x2； （3）对称轴x2， b4a， yax2+4ax5a， a0 时，点A（0，5a）在y轴负半轴上， 此时，点P，Q位于抛物线内部（如图 1） 所以，抛物线与线段PQ无交点； 当a0 时，点A（0，5a）在y轴正半轴， 当Q点在抛物线上时，则 216a16a5a，解得a， 即当a0 时，（如图 2），结合图象，抛物线与线段PQ有一个交点； 综上，a的取值范围是a0 21解：（1）点A（1，1）向右平移 3 个单位长度，再向上平移 2 个单位长度，得到点B， 点B（2，3）， 直线y2x+m经过点B， 34+m， m1， 直线解析式为：y2x1， 直线y2x+m与y轴交于点C 点C（0，
23、1）； （2）二次函数yax22ax+c的对称轴直线x1； （3）二次函数yax22ax+c的图象经过点A（1，1）， 1a+2a+c， c13a， 抛物线解析式为：yax22ax+13a， 顶点坐标为（1，14a） 当a0 时，如图所示， 当113a3 时，二次函数yax22ax+c（1x2）的图象与射线CB恰有一个公共点， 0a； 当a0 时，如图所示， 113a3， a0， 综上所述：当 0a或a0 时，二次函数yax22ax+c（1x2）的图象与射线CB恰有 一个公共点 22解：（1）抛物线的对称轴是直线x1， 1， m2， 抛物线的解析式为yx2+2x+3， 令y0，则x2+2x+3
24、0， x1 或x3， A（1，0），B（3，0）， 画出图象如图 1 所示； （2）P（m，2），Q（m，2m1）， 当xm时，ym2+m2+33， 点P在抛物线与x轴围成的图象的内部， 当xm时，ym2m2+32m2+3， 当m0 时，点P在第一象限内， 点P在抛物线与x轴围成的图象的内部， 线段PQ只有和在xm左侧的抛物线相交， 抛物线与线段PQ恰有一个公共点， 2m2+32m1， m2 或m1， m0， m1， 当m0 时，点P在第一象限内， 点P在抛物线与x轴围成的图象的内部， 线段PQ只有和在xm右侧的抛物线相交， 抛物线与线段PQ恰有一个公共点， 2m2+32m1， m2 或m1，
25、 m0， m2， 即满足条件的m的范围为m2 或m1 23解：（1）直线yx+3 与抛物线的对称轴交于点D（m，1）， 则 1m+3，解得：m2 抛物线的对称轴为直线x2； （2）设点B、C的横坐标分别为x1，x2， 则令yax2+bx+3a0，则x1x23， 函数的对称轴为x2（x1+x2），解得：x1+x24， 联立并解得：x11，x23， 故点C的坐标为（3，0）； （3）抛物线yax2+bx+3a与y轴交于点A， 点A的坐标为（0，3a） 点M与点A关于抛物线的对称轴对称， 点M的坐标为（4，3a） 当a0 时，如图 1 MNy轴， ，即 ENa 当MN3a+a4 时，得a1 结合函数
26、图象，若MN4，得a1 当a0 时，如图 2 同理可得MN|3a|+|a|4a4 时，得a1 结合函数图象，若MN4，得a1 综上所述，a的取值范围是a1 或a1 24（1）x取任意实数； 故答案为：x取任意实数； （2）把x1 代入yx34x+1 得，y4+1， 故答案为：； （3）根据列表、描点、连线得出函数y4x+1 的图象，所画的图象如图所示： （4）通过图象直观得出函数的图象与x轴正半轴交点的横坐标 故答案为：0.3 或 2.7 25解：（1）函数y+x的自变量x的取值范围是x0 故答案为：x0； （2）令x1， y10， m0， 故答案为 0； （3）如图 （4）根据函数图象，x1.5 时，对应的函数值y约为 1.9， 故答案为 1.9； 该函数的性质：当x0 时，y随x的增大而增大； 故答案为当x0 时，y随x的增大而增大 26解：（1）抛物线的解析式为ymx22mx1（m0）， 抛物线的对称轴为直线x1， 令x0，则y1， C（0，1）； （2）当m1 时，抛物线的解析式为yx22x1， 由（1）知，C（0，1），抛物线的对称轴为直线x1， 抛物线还经过（2，1）， 抛物线的顶点坐标为（1，2）， 图形W内的整点只有（1，1）一个； 如图， 由知，抛物线过点（0，1），（2，1）， 图形W内有 2 个整数点， 32， 1m2