1、2019-2020 学年浙江省绍兴市新昌县八年级（下）期中数学试卷学年浙江省绍兴市新昌县八年级（下）期中数学试卷 一、仔细选一选（本题有一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）已知二次根式，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 2 （2 分）如图所示图形是中心对称图形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3 （2 分）为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为（ ） A平均数 B中位数 C众数 D方差 4 （2 分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A对角线互相平分 B对角线互相垂直
2、C对角线相等 D对角线平分一组对角 5 （2 分）用下列哪种方法解方程 3x216x 最合适（ ） A开平方法 B配方法 C因式分解法 D公式法 6 （2 分）一元二次方程 4x22x+0.250 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 7（2 分） 用反证法证明命题 “钝角三角形中必有一个内角小于 45” 时， 首先应该假设这个三角形中 （ ） A有一个内角小于 45 B每一个内角都小于 45 C有一个内角大于等于 45 D每一个内角都大于等于 45 8 （2 分）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结 AC，作 AC 的垂直平
3、分线 MN 分别交 AD、AC、BC 于 M、O、N，连结 AN，CM，则四边形 ANCM 是（ ） A矩形 B菱形 C正方形 D无法判断 9 （2 分）某建筑工程队在工地一边靠墙处，用 81 米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积 为 440 平方米为了方便取物，在各个仓库之间留出了 1 米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一 个 1 米宽的缺口作小门若设 ABx 米，则可列方程（ ） Ax（814x）440 Bx（782x）440 Cx（842x）440 Dx（844x）440 10 （2 分）如图，以ABCD 的四条边为边，分别向外作正方形，连结 EF，GH，IJ，KL如果A
4、BCD 的 面积为 8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（ ） A8 B12 C16 D20 二、认真填一填（本题有二、认真填一填（本题有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）在、中，是最简二次根式的是 12 （3 分）一个多边形的内角和等于外角和的 3 倍，则它的边数是 13 （3 分）已知0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为 14 （3 分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分，80 分，90 分，若依 次按照 2：3：5 的比例确定成绩，则小王的成绩是 分 15 （3 分）把方程 x24x+10 化成（x
5、m）2n 的形式，m，n 均为常数，则 mn 的值为 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 F 是 AD 的中点， 若 AB10，则 EF 17 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 a，点 O 是对角线 AC 的中点，点 E 是 BC 边上的一个动点， OEOF 交 AB 边于点 F，点 G，H 分别是点 E，F 关于直线 AC 的对称点，点 E 从点 C 运动到点 B 时， 则图中阴影部分的面积是 18 （3 分）如图，一个正方形内两个相邻正方形的面积分别为 4 和 2，它们都有两个顶点在大正方形的边 上且组成的图形为轴
6、对称图形，则图中阴影部分的面积为 三、解答题（三、解答题（56 分，分，19、20、21 每题每题 8 分，分，20、21 每题每题 10 分，分，22 题题 12 分）分） 19 （8 分） （1）计算：2（1）+ （2）解方程：2x2+3x0 20 （8 分）如图，AC 是ABCD 的一条对角线，BEAC，DFAC，垂足分别为 E，F （1）求证：ADFCBE； （2）求证：四边形 DFBE 是平行四边形 21 （10 分）某初中要调查学校学生（总数 1000 人）双休日课外阅读情况，随机调查了一部分学生，调查 得到的数据分别制成频数直方图（如图 1）和扇形统计图（如图 2） （1）请补全
7、上述统计图（直接填在图中） ； （2）试确定这个样本的中位数和众数； （3）请估计该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数 22 （8 分）已知方程：x22x80，解决一下问题： （1）不解方程判断此方程的根的情况； （2）请按要求分别解这个方程：配方法；因式分解法 （3）这些方法都是将解 转化为解 ； （4）尝试解方程：x3+2x2+x0 23 （10 分）我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” （1）已知：如图 1，四边形 ABCD 的顶点 A，B，C 在网格格点上，请你在如下的 57 的网格中画出 3 个不同形状的等邻边四边形 ABCD，要求顶点
8、D 在网格格点上 （2）如图 2，矩形 ABCD 中，AB，BC5，点 E 在 BC 边上，连结 DE 画 AFDE 于点 F，若 DE CD，找出图中的等邻边四边形并说明理由； （3）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，AB4，AC2，D 是 BC 的中点，点 M 是 AB 边上一点， 当四边形 ACDM 是“等邻边四边形”时，求 BM 的长 24 （12 分）在矩形 ABCD 中，AB3cm，BC4cm，E，F 是对角线 AC 上的两个动点，分别从 A，C 同时 出发相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动 （1）若 G，H 分别是 AB，D
9、C 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形 （2）在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形 （3） 若 G， H 分别是折线 ABC， CDA 上的动点， 与 E， F 相同的速度同时出发， 当 t 为何值时， 四边形 EGFH 为菱形 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、仔细选一选（本题有一、仔细选一选（本题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 2 分，共分，共 20 分）分） 1 （2 分）已知二次根式，则 a 的取值范围是（ ） A B C D 【分析】直接利用二次根式的性质得出 a 的取值范围 【解答】解：二次根式有意义， 2a10， 解得：a， 则
10、a 的取值范围是：a 故选：D 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键 2 （2 分）如图所示图形是中心对称图形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就 叫做中心对称图形 【解答】解：第一、四个图形是中心对称图形，第二、三个图形不是中心对称图形， 故选：B 【点评】此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3 （2 分）为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为（ ） A平均数 B中位数
11、C众数 D方差 【分析】根据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数 据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 【解答】解：为了比较甲、乙两块地的小麦哪块长得更整齐，应选择的统计量为方差 故选：D 【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离 平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离 平均数越小，即波动越小，数据越稳定 4 （2 分）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A对角线互相平分 B对角线互相垂直 C对角线相等 D对角线平分一组对角 【分析
12、】根据矩形的对角线互相平分、相等和菱形的对角线互相平分、垂直、对角线平分一组对角，即 可推出答案 【解答】解：A、对角线互相平分是菱形矩形都具有的性质，故 A 选项错误； B、对角线互相垂直是菱形具有而矩形不具有的性质，故 B 选项错误； C、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故 C 选项正确； D、对角线平分一组对角是菱形具有而矩形不具有的性质，故 D 选项错误； 故选：C 【点评】本题主要考查对矩形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地根据矩形和菱形的 性质进行判断是解此题的关键 5 （2 分）用下列哪种方法解方程 3x216x 最合适（ ） A开平方法 B配方法 C因式分解
13、法 D公式法 【分析】观察方程特点确定出适当的解法即可 【解答】解：方程 3x216x 最合适因式分解法 故选：C 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键 6 （2 分）一元二次方程 4x22x+0.250 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C没有实数根 D无法判断 【分析】先计算判别式的值，然后利用根的判别式的意义判断方程根的情况 【解答】解：（2）2440.250， 方程有两个相等的实数根 故选：B 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b24ac 有如下关系： 当0 时，方程有两个
14、不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无 实数根 7（2 分） 用反证法证明命题 “钝角三角形中必有一个内角小于 45” 时， 首先应该假设这个三角形中 （ ） A有一个内角小于 45 B每一个内角都小于 45 C有一个内角大于等于 45 D每一个内角都大于等于 45 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立 【解答】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于 45”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于 45，即每一个内角都大于或等于 45 故选：D 【点评】此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤在假设结论不成立时要注意考虑
15、结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否 定 8 （2 分）如图，在给定的一张平行四边形纸片上按如下操作：连结 AC，作 AC 的垂直平分线 MN 分别交 AD、AC、BC 于 M、O、N，连结 AN，CM，则四边形 ANCM 是（ ） A矩形 B菱形 C正方形 D无法判断 【分析】利用 MN 垂直平分 AC 得到 AOCO，AOM90，再由 ADBC 得到MACNCA，则 可证明AOPMCON，所以 OMON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形 ANCM 是菱形； 【解答】证明：MN 垂直平分 AC， AOCO，AOM90， 又ADBC， M
16、ACNCA， 在AOPM 和CON 中， ， AOPMCON， OMON， AC 和 MN 互相垂直平分， 四边形 ANCM 是菱形； 故选：B 【点评】本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几 何图形的性质和基本作图方法解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本 性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作也考查了菱形的判定 9 （2 分）某建筑工程队在工地一边靠墙处，用 81 米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积 为 440 平方米为了方便取物，在各个仓库之间留出了 1 米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一 个 1 米宽
17、的缺口作小门若设 ABx 米，则可列方程（ ） Ax（814x）440 Bx（782x）440 Cx（842x）440 Dx（844x）440 【分析】设仓库的宽为 x 米（ABx 米） ，由铁栅栏的长度结合图形，可求出仓库的长为（844x）米， 再根据矩形的面积公式即可列出关于 x 的一元二次方程，此题得解 【解答】解：设仓库的宽为 x 米（ABx 米） ，则仓库的长为（844x）米， 根据题意得：x（844x）440 故选：D 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的 关键 10 （2 分）如图，以ABCD 的四条边为边，分别向外作正方形，
18、连结 EF，GH，IJ，KL如果ABCD 的 面积为 8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为（ ） A8 B12 C16 D20 【分析】 过 D 作 DNAB 于 N， 过 E 作 EMFA 交 FA 延长线于 M， 连接 AC， BD， 求出EAMBAD， 根据锐角三角形函数定义求出 EMDN，求出AEF 和ABD 面积相等，同理求出理 SBHGSABC，S CIJSCBD，SDLKSDAC，代入 SSAEF+SBGH+SCIJ+SDLK得出 S2S平行四边形ABCD，代入求出即 可 【解答】解：过 D 作 DNAB 于 N，过 E 作 EMFA 交 FA 延长线于 M，连接 AC，BD，
19、 四边形 ABGF 和四边形 ADLE 是正方形， AEAD，AFAB，FABEAD90， EAF+BAD3609090180， EAF+EAM180， EAMDAN， sinEAM，sinDAN， AEAD， EMDN， SAEFAFEM，SADBABDN， SAEFSABD， 同理 SBHGSABC，SCIJSCBD，SDLKSDAC， 阴影部分的面积 SSAEF+SBGH+SCIJ+SDLK2S平行四边形ABCD2816 故选：C 【点评】本题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数的定义，三角形的面积等知识点的应用，关键是 根据 SBHGSABC，SCIJSCBD，SDLKSDAC，进行计
20、算解答即可 二、认真填一填（本题有二、认真填一填（本题有 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）在、中，是最简二次根式的是 【分析】直接利用最简二次根式的概念： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式，分析得出答案 【解答】解：在、中，只有是最简二次根式 故答案为： 【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键 12 （3 分）一个多边形的内角和等于外角和的 3 倍，则它的边数是 8 【分析】一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，而外角和是 360 度，则内角和是 3360 度n 边 形的内角和可以表
21、示成（n2） 180，设这个多边形的边数是 n，就得到方程，从而求出边数 【解答】解：设这个多边形的边数是 n， 依题意有（n2） 1803360， 解得 n8，即它是八边形 故答案为 8 【点评】本题主要考查了多边形内角和公式及外角和定理求多边形的边数，可以转化为方程的问题来 解决 13 （3 分）已知0 是关于 x 的一元二次方程，则 k 为 2 【分析】 根据一元二次方程： 未知数的最高次数是 2； 二次项系数不为 0； 是整式方程； 含有一个未知数， 可得答案 【解答】解：由0 是关于 x 的一元二次方程，得 k222，且 1k0， 解得 k2， 故答案为：2 【点评】本题考查了一元二
22、次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方 程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是 2 14 （3 分）小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为 85 分，80 分，90 分，若依 次按照 2：3：5 的比例确定成绩，则小王的成绩是 86 分 【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可 【解答】解：根据题意得： 85+80+9017+24+4586（分） ， 答：小王的成绩是 86 分 故答案为：86 【点评】此题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解本题的关键 15 （3 分）把方程 x24x+10 化成（x
23、m）2n 的形式，m，n 均为常数，则 mn 的值为 6 【分析】方程配方得到结果，确定出 m 与 n 的值，即可求出 mn 的值 【解答】解：方程 x24x+10，变形得：x24x1， 配方得：x24x+43，即（x2）23， m2，n3， 则 mn6， 故答案为：6 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键 16 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，点 F 是 AD 的中点， 若 AB10，则 EF 2.5 【分析】根据直角三角形的性质得到 CDAB5，根据三角形中位线定理计算即可 【解答】解：ACB90
24、，点 D 是 AB 的中点， CDAB5， 点 F、E 分别是 AD、AC 的中点， EFCD2.5， 故答案为：2.5 【点评】本题考查的是直角三角形的性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并 且等于第三边的一半是解题的关键 17 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，边长为 a，点 O 是对角线 AC 的中点，点 E 是 BC 边上的一个动点， OEOF 交 AB 边于点 F，点 G，H 分别是点 E，F 关于直线 AC 的对称点，点 E 从点 C 运动到点 B 时， 则图中阴影部分的面积是 【分析】连接 BD，证明FOBEOC，同理得到HODGOC，得到答案 【解答】
25、解：连接 BD， 四边形 ABCD 是正方形， BOC90， BOE+EOC90， OEOF， BOE+FOB90， FOBEOC， 在FOB 和EOC 中， ， FOBEOC（ASA） ， 同理，HODGOC， 图中阴影部分的面积ABD 的面积正方形 ABCD 的面积， 故答案为： 【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判 定定理和性质定理是解题的关键 18 （3 分）如图，一个正方形内两个相邻正方形的面积分别为 4 和 2，它们都有两个顶点在大正方形的边 上且组成的图形为轴对称图形，则图中阴影部分的面积为 + 【分析】连接 AC；由正方形的
26、性质和已知条件得出 EF，GH2，EAFGCH90，由轴对 称图形的性质得出 AEAF，CGCH，得出 AMEF，CNGH1，求出 AC 的长，得出正 方形 ABCD 的面积，由大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得出图中阴影部分的面积 【解答】解：如图所示：连接 AC； 正方形 ABCD 内两个相邻正方形的面积分别为 4 和 2， EF，GH2，EAFGCH90， 根据题意得：AEAF，CGCH， AMEF，CNGH1， AC+2+1+3， 正方形 ABCD 的面积AC2（+3）2+， 图中阴影部分的面积+42+； 故答案为：+ 【点评】本题考查了正方形的性质、轴对称图形的性质、等腰直角
27、三角形的性质、正方形面积的计算方 法；熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线求出对角线 AC 是解决问题的关键 三、解答题（三、解答题（56 分，分，19、20、21 每题每题 8 分，分，20、21 每题每题 10 分，分，22 题题 12 分）分） 19 （8 分） （1）计算：2（1）+ （2）解方程：2x2+3x0 【分析】 （1）先去括号，化简二次根式，然后计算加减法； （2）利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解，然后解方程 【解答】解： （1）原式22+22； （2）2x2+3x0 x（2x+3）0 x10，x2 【点评】考查了解一元二次方程因式分解法和二次根式的加减法因式分解法就
28、是先把方程的右边化 为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就 能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方 程的问题了（数学转化思想） 20 （8 分）如图，AC 是ABCD 的一条对角线，BEAC，DFAC，垂足分别为 E，F （1）求证：ADFCBE； （2）求证：四边形 DFBE 是平行四边形 【分析】 （1） 由平行四边形的性质得出 ADBC， ADBC， 得出内错角相等DAFBCE， 证出AFD CEB90，由 AAS 证明ADFCBE 即可； （2）由（1）得：ADFCBE，由全等
29、三角形的性质得出 DFBE，再由 BEDF，即可得出四边形 DFBE 是平行四边形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， DAFBCE， BEAC，DFAC， BEDF，AFDCEB90， 在ADF 和CBE 中， ：ADFCBE（AAS） ； （2）解：如图所示：由（1）得：ADFCBE， DFBE， BEDF， 四边形 DFBE 是平行四边形 【点评】 本题考查了平行四边形的判定与性质、 全等三角形的判定与性质； 熟练掌握平行四边形的性质， 证明三角形全等是解决问题的关键 21 （10 分）某初中要调查学校学生（总数 1000 人）双休日课外阅读情况
30、，随机调查了一部分学生，调查 得到的数据分别制成频数直方图（如图 1）和扇形统计图（如图 2） （1）请补全上述统计图（直接填在图中） ； （2）试确定这个样本的中位数和众数； （3）请估计该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数 【分析】 （1）根据阅读 5 小时以上频数为 6，所占百分比为 12%，求出数据总数，再用数据总数减去其 余各组频数得到阅读 3 小时的频数，进而补全频数分布直方图，分别求得阅读 0 小时和 4 小时的人数所 占百分比，补全扇形图； （2）利用各组频数和总数之间的关系确定中位数和众数； （3）用 1000 乘以每周课外阅读时间不小于 4 小时
31、的学生所占百分比即可 【解答】解： （1）总人数：612%50（人） ， 阅读 3 小时的人数：5046814612（人） ， 阅读 4 小时人数的百分比为 145028%， 阅读 0 小时人数的百分比为 4508% 图如下： （2）中位数是 3 小时，众数是 4 小时； （3）1000（28%+12%） 100040% 400（人） 答：该学校 1000 名学生双休日课外阅读时间不少于 4 小时的人数为 400 人 【点评】此题主要考查了频数分布直方图、扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计 图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题也考查了利用
32、样 本估计总体 22 （8 分）已知方程：x22x80，解决一下问题： （1）不解方程判断此方程的根的情况； （2）请按要求分别解这个方程：配方法；因式分解法 （3）这些方法都是将解 一元二次方程 转化为解 一元一次方程 ； （4）尝试解方程：x3+2x2+x0 【分析】 （1）由 a1，b2，c8，可得b24ac360，即可判定此方程的根的情况； （2）直接利用配方法解一元二次方程；利用十字相等法解一元二次方程； （3）利用消元法，将解一元二次方程转化为解一元一次方程； （4）利用因式分解法求解即可求得答案 【解答】解： （1）a1，b2，c8， b24ac（2）241（8）360， 此方程
33、有两个不相等的实数根； （2）配方法：x22x80， x22x8， x22x+18+1， （x1）29， x13， 解得：x14，x22； 因式分解法：x22x80， （x4） （x+2）0， 解得：x14，x22； （3）答案为：一元二次方程；一元一次方程； （4）x3+2x2+x0， x（x2+2x+1）0， x（x+1）20， x0，x+10， 解得：x10，x2x31 【点评】此题考查了一元二次方程的解法以及根的判别式注意0方程有两个不相等的实数根 23 （10 分）我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” （1）已知：如图 1，四边形 ABCD 的顶点 A，B，C 在网
34、格格点上，请你在如下的 57 的网格中画出 3 个不同形状的等邻边四边形 ABCD，要求顶点 D 在网格格点上 （2）如图 2，矩形 ABCD 中，AB，BC5，点 E 在 BC 边上，连结 DE 画 AFDE 于点 F，若 DE CD，找出图中的等邻边四边形并说明理由； （3）如图 3，在 RtABC 中，ACB90，AB4，AC2，D 是 BC 的中点，点 M 是 AB 边上一点， 当四边形 ACDM 是“等邻边四边形”时，求 BM 的长 【分析】 （1）根据“等邻边四边形”的定义画出 3 个不同形状的等邻边四边形； （2） 根据题意求出 DE， 根据勾股定理求出 CE， 计算得到 BEA
35、B， 根据等邻边四边形的定义判断即可； （3）分 AMAC、DMDC、MAMD 三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算即可 【解答】解： （1）3 个不同形状的等邻边四边形 ABCD 如图所示： （2）四边形 ABEF 和四边形 ABED 都是等邻边四边形， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC5，CDAB， DECD， 由勾股定理得，CE， BEBCCE5， BEAB， 四边形 ABEF 和四边形 ABED 都是等邻边四边形； （3）当 AMAC 时，BM2； 当 DMDC 时，如图 3，作 DHAB 于 H， ACB90，AB4，AC2， BC2，B30， BDDM， 在 RtBDH
36、 中，BHBDcosB， DMDB，DHAB， BM2BH3； 当 MAMD 时，如图 4，作 DHAB 于 H， 设 MAMDx， 由得，BH，DH， 则 MH4xx， 在 RtMDH 中，DM2MH2+DH2，即 x2（x）2+（）2， 解得，x，即 AM， BM4， 综上所述，当 BM 为 2 或 3 或时，四边形 ACDM 是“等邻边四边形” 【点评】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握“等邻边四边形” 的概念、矩形的性质定理是解题的关键 24 （12 分）在矩形 ABCD 中，AB3cm，BC4cm，E，F 是对角线 AC 上的两个动点，分别从 A，C
37、同时 出发相向而行，速度均为 1cm/s，运动时间为 t 秒，当其中一个动点到达后就停止运动 （1）若 G，H 分别是 AB，DC 中点，求证：四边形 EGFH 始终是平行四边形 （2）在（1）条件下，当 t 为何值时，四边形 EGFH 为矩形 （3） 若 G， H 分别是折线 ABC， CDA 上的动点， 与 E， F 相同的速度同时出发， 当 t 为何值时， 四边形 EGFH 为菱形 【分析】 （1）由矩形的性质得出 ABCD，ABCD，ADBC，B90，由勾股定理求出 AC5， 由 SAS 证明AFGCEH，得出 GFHE，同理得出 GEHF，即可得出结论； （2） 先证明四边形 BCH
38、G 是平行四边形， 得出 GHBC4， 当对角线 EFGH4 时， 平行四边形 EGFH 是矩形，分两种情况：AECFt，得出 EF52t4，解方程即可；AECFt，得出 EF5 2（5t）4，解方程即可； （3）连接 AG、CH，由菱形的性质得出 GHEF，OGOH，OEOF，得出 OAOC，AGAH，证出 四边形 AGCH 是菱形，得出 AGCG，设 AGCGx，则 BG4x，由勾股定理得出方程，解方程求 出 BG，得出 AB+BG，即可得出 t 的值 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ABCD，ABCD，ADBC，B90， AC5，GAFHCE， G，H 分别是 AB，D
39、C 中点， AGBG，CHDH， AGCH， AECF， AFCE， 在AFG 和CEH 中， AFGCEH（SAS） ， GFHE， 同理：GEHF， 四边形 EGFH 是平行四边形 （2）解：由（1）得：BGCH，BGCH， 四边形 BCHG 是平行四边形， GHBC4，当 EFGH4 时，平行四边形 EGFH 是矩形，分两种情况： AECFt，EF52t4， 解得：t0.5； AECFt，EF52（5t）4， 解得：t4.5； 综上所述：当 t 为 0.5s 或 4.5s 时，四边形 EGFH 为矩形 （3）解：连接 AG、CH，如图所示： 四边形 EGFH 为菱形， GHEF，OGOH，OEOF， OAOC，AGAH， 四边形 AGCH 是菱形， AGCG， 设 AGCGx，则 BG4x， 由勾股定理得：AB2+BG2AG2， 即 32+（4x）2x2， 解得：x， BG4， AB+BG3+， 即 t 为s 时，四边形 EGFH 为菱形 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、 菱形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线证 明四边形是菱形，运用勾股定理得出方程才能得出结果