1、2019-2020 年浙江省绍兴市越城区绍初教育集团八年级（下）期中数学试卷年浙江省绍兴市越城区绍初教育集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分）分） 1 （3 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx2 Cx2 Dx2 2 （3 分）下列各式与是同类二次根式的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A B2 C4224 D2 4 （3 分）有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是 5，那么这组数据的方差是（ ） A10 B C2 D 5 （3 分）如果关于 x 的一元二次方程 k2x2（2k+1）x+10
2、有两个实数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak Bk且 k0 Ck Dk且 k0 6 （3 分）如果关于 x 的一元二次方程（m+1）x2+x+m22m30 有一个根为 0，则 m 的值（ ） A1 B3 C1 或 3 D以上答案都不对 7 （3 分）若 ， 是方程 x22x30 的两个实数根，则 2+2+ 的值为（ ） A10 B9 C7 D5 8 （3 分）已知 a，b，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）0 的根的情况是（ ） A没有实数根 B可能有且只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分）
3、分） 9（4分） 某商品经过连续两次降价， 销售单价由原来的125元降到80元， 则平均每次降价的百分率为 10 （4 分）某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在学校参加体育锻炼时间，列表如下： 锻炼时间（小时） 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 则这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是 ； 11 （4 分）如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数是和1，则点 C 所 对应的实数是 12 （4 分）已知 x 为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）150，则 2x2+3 的值为 13 （4 分）若 1x5，化简+|x
4、5| 14 （4 分）在等腰ABC 中，三边分别为 a、b、c，其中 a4，b、c 恰好是方程 x2（2k+1）x+5（k） 0 的两个实数根，则ABC 的周长为 三、解答题三、解答题 15 （12 分）计算 （1）2+2； （2） （）2（+） （） ； （3）已知：x1，y1+，求 x2+y2xy 的值 16 （8 分）选择适当的方法解下列方程： （1） （2x1）240； （2）x2x20 17 （8 分）为了解学生的课外阅读情况，李老师随机调查了一部分学生，得到了他们上周双休日课外阅读 时间（记为 t，单位：h）的一组样本数据，其部分条形图和扇形图如下： （1）请补全条形图和扇形图；
5、（2）试确定这组样本数据的中位数和众数； （3）估计全班学生上周双休日的平均课外阅读时间 18 （6 分）一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以 40 海里/时的 速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到 A 处时测 得台风中心移到位于点 A 正南方的 B 处，且 AB100 海里若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途 中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由 19 （8 分）商场某种商品平均每天可销售 40 件，每件盈利 60 元为减少库存，商场决定采取适当的降价 措施经
6、调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多销售 2 件 （1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 3150 元？ （2）商场日盈利能否达到 3300 元？ （3）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？ 20 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC13 厘米，BC10 厘米，ADBC 于点 D，动点 P 从点 A 出发 以每秒 1 厘米的速度在线段 AD 上向终点 D 运动设动点运动时间为 t 秒 （1）求 AD 的长； （2）当PDC 的面积为 15 平方厘米时，求 t 的值； （3）动点 M 从点 C 出发以每秒 2 厘米的速度在射线 CB 上运动点 M 与点 P 同时出发，且
7、当点 P 运动 到终点 D 时，点 M 也停止运动是否存在 t，使得 SPMDSABC？若存在，请求出 t 的值；若不存 在，请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分）分） 1 （3 分）函数 y的自变量 x 的取值范围是（ ） Ax0 Bx2 Cx2 Dx2 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可求解 【解答】解：根据题意得：x+20，解得，x2 故选：C 【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不
8、能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 2 （3 分）下列各式与是同类二次根式的是（ ） A B C D 【分析】利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可 【解答】解：A、2，故不与是同类二次根式，故此选项错误； B、2，故不与是同类二次根式，故此选项错误； C、5，故不与是同类二次根式，故此选项错误； D、2，故，与是同类二次根式，故此选项正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键 3 （3 分）下列运算正确的是（ ） A B2 C4224 D2 【分析】分别利用二次根式的混合运算法则以及二次根式的性质化简求出
9、即可 【解答】解：A、无法计算，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、4224，正确； D、2，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键 4 （3 分）有一组数据如下：3、a、4、6、7，它们的平均数是 5，那么这组数据的方差是（ ） A10 B C2 D 【分析】根据算术平均数的计算公式求出 a 的值，根据方差的计算公式计算即可 【解答】解：3、a、4、6、7，它们的平均数是 5， （3、a、4、6、7）5， 解得，a5 S2（35）2+（55）2+（45）2+（65）2+（75）2 2， 故选：C 【点评】 本题考查的是算术平均数和
10、方差的计算， 掌握方差的计算公式 S2 （x1 ） 2+ （x2 ）2+ +（xn ）2是解题的关键 5 （3 分）如果关于 x 的一元二次方程 k2x2（2k+1）x+10 有两个实数根，那么 k 的取值范围是（ ） Ak Bk且 k0 Ck Dk且 k0 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得出 k20，且b24ac0，建立关于 k 的 不等式组，求出 k 的取值范围 【解答】解：由题意知，k20，且b24ac（2k+1）24k24k+10 解得 k且 k0 故选：D 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b24ac：当0，方程有两 个不相等的
11、实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二 次方程的定义 6 （3 分）如果关于 x 的一元二次方程（m+1）x2+x+m22m30 有一个根为 0，则 m 的值（ ） A1 B3 C1 或 3 D以上答案都不对 【分析】 把 x0 代入方程 （m21） x2+ （m+1） x20 中， 解关于 m 的一元二次方程即可求得 m 的值 【解答】解：把 x0 代入方程（m+1）x2+x+m22m30 中，得 m22m30， 解得 m3 或1， 当 m1 时，原方程二次项系数 m+10，舍去， 故选：B 【点评】本题考查的是一元二次方程解的定义能使方程成立的未知数的值，
12、就是方程的解，同时，考 查了一元二次方程的概念 7 （3 分）若 ， 是方程 x22x30 的两个实数根，则 2+2+ 的值为（ ） A10 B9 C7 D5 【分析】根据根与系数的关系得到 +2，3，再利用完全平方公式得到 2+2+（+）2 ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：根据题意得 +2，3， 所以 2+2+（+）2 22（3） 7 故选：C 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x1+x2 ，x1x2 8 （3 分）已知 a，b，c 分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）0 的根的情况是（ ）
13、A没有实数根 B可能有且只有一个实数根 C有两个相等的实数根 D有两个不相等的实数根 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况 能够根据三角形的三边关系，得到关于 a，b，c 的式子的符号 【解答】解：（2c）24（a+b）24c2（a+b）24（a+b+c） （cab） ， 根据三角形三边关系，得 cab0，a+b+c0 0 该方程没有实数根 故选：A 【点评】本题是方程与几何的综合题 主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点重点是对（2c）24（a+b） （a+b） 进行因式分解 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分）分） 9
14、（4 分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的 125 元降到 80 元，则平均每次降价的百分率为 20% 【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格（1每次降价的百分率）2现在价格，设出未 知数，列方程解答即可 【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得， 125（1x）280， 解得 x10.220%，x21.8（不合题意，舍去） ； 故答案为：20% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格（1每次降价的百分 率）2现在价格 10 （4 分）某中学随机调查了 15 名学生，了解他们一周在学校参加体育锻炼时间，列表如下： 锻炼时
15、间（小时） 5 6 7 8 人数 2 6 5 2 则这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是 6 ； 6 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可 【解答】解：共有 15 个数，最中间的数是 8 个数， 这 15 名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是 6； 6 出现的次数最多，出现了 6 次，则众数是 6； 故答案为：6，6 【点评】此题考查了中位数和众数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间 的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数 11 （4 分）如图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点
16、 A 对称，A、B 两点对应的实数是和1，则点 C 所 对应的实数是 2+1 【分析】设点 C 所对应的实数是 x根据中心对称的性质，即对称点到对称中心的距离相等，即可列方 程求解即可 【解答】解：设点 C 所对应的实数是 x 则有 x（1） ， 解得 x2+1 故答案是：2+1 【点评】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，根据题意列出关于 x 的方程是解答此题的关键 12 （4 分）已知 x 为实数，且满足（2x2+3）2+2（2x2+3）150，则 2x2+3 的值为 3 【分析】设 2x2+3t，且 t3，根据一元二次方程的解法即可求出答案 【解答】解：设 2x2+3t，且 t3， 原方
17、程化为：t2+2t150， t3 或 t5（舍去） ， 2x2+33， 故答案为：3 【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型 13 （4 分）若 1x5，化简+|x5| 4 【分析】直接利用 x 的取值范围，进而利用绝对值和二次根式的性质化简求出答案 【解答】解：1x5， +|x5| x1+5x 4 故答案为：4 【点评】此题主要考查了二次根式和绝对值的化简，正确掌握相关性质是解题关键 14 （4 分）在等腰ABC 中，三边分别为 a、b、c，其中 a4，b、c 恰好是方程 x2（2k+1）x+5（k） 0 的两个实数根，则ABC 的周长为 9
18、或 10.5 【分析】根据等腰ABC 中，当 a 为底，b，c 为腰时，bc，得出（2k+1）245（k） 4k2+4k+120k+154k216k+160，解方程求出 k2，则 b+c2k+15；当 a 为腰时，则 b4 或 c 4，然后把 b 或 c 的值代入计算求出 k 的值，再解方程进而求解即可 【解答】解：等腰ABC 中，当 a 为底，b，c 为腰时，bc，若 b 和 c 是关于 x 的方程 x2（2k+1）x+5 （k）0 的两个实数根， 则（2k+1）245（k）4k2+4k+120k+154k216k+160， 解得：k2， 则 b+c2k+15， ABC 的周长为 4+59；
19、 当 a 为腰时，则 b4 或 c4， 若 b 或 c 是关于 x 的方程 x2（2k+1）x+5（k）0 的根， 则 424（2k+1）+5（k）0， 解得：k， 解方程 x2x+100， 解得 x2.5 或 x4， 则ABC 的周长为：4+4+2.510.5 故答案为为 9 或 10.5 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，等腰三角形的性质及三角形 三边关系定理，综合性较强，难度中等 三、解答题三、解答题 15 （12 分）计算 （1）2+2； （2） （）2（+） （） ； （3）已知：x1，y1+，求 x2+y2xy 的值 【分析】 （1）先把二次根式化为
20、最简二次根式，然后合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算； （3） 先计算出 x+y， xy， 再利用完全平方公式得到原式 （x+y） 23xy， 然后利用整体代入的方法计算 【解答】解： （1）原式4+ ； （2）原式2+2+3（23） 2+6； （3）x1，y1+， x+y2，xy121， x2+y2xy （x+y）23xy 223（1） 7 【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值二次根式 运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰 16 （8 分）选择适当的方法解下列方程： （1） （2x
21、1）240； （2）x2x20 【分析】 （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用公式法求解可得 【解答】解： （1）（2x1）24， 2x12 或 2x12， 解得 x或 x； （2）a，b1，c2， （1）24（2）130， 则 x 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方 法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键 17 （8 分）为了解学生的课外阅读情况，李老师随机调查了一部分学生，得到了他们上周双休日课外阅读 时间（记为 t，单位：h）的一组样本数据，其部分条形图和扇形图如下： （1）请补全条形
22、图和扇形图； （2）试确定这组样本数据的中位数和众数； （3）估计全班学生上周双休日的平均课外阅读时间 【分析】 （1）由条形统计图知：读 1 小时的人数为 3 人，在扇形统计图中占的比例为 12%，总调查人 数可求出这样可分别求出读 2 小时的人数，读 3 小时的人数，以及读 4 小时的人数占的比例，再计算 其在扇形统计图中的圆心角最后求出读 5 小时的人数占的比例和读 5 小时的人数； （2）根据中位数和众数的定义解答 （3）根据平均数的定义计算即可 【解答】解： （1）由条形统计图知，读 1 小时的人数为 3 人，在扇形统计图中占的比例为 12%，总调 查人数312%25 人，读 2 小
23、时的人数2516%4 人，读 3 小时的人数2524%6 人，读 4 小时的人数占的比例72528%，在扇形统计图中的圆心角36028%100.8，读 5 小时的人 数占的比例128%24%16%12%8%12%，读 5 小时的人数2512%3 人 条形图 扇形图 （2）中位数是 3（h） ，众数是 4（h） ； （3）112%+216%+324%+428%+512%+68%3.36（h） 估计全班学生上周双休日的平均课外阅读时间为 3.36h 【点评】平均数、众数及中位数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，但描述的角度和适用范围有所 不同 平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何
24、数据的变动都会相应引起平均数的变动，众 数着眼于对各数据出现的频数的考查，其大小只与这组数据中的部分数据有关 当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量，中位数则仅与数据的 排列位置有关，某些数据的变动对它的中位数没有影响当一组数据中的个别数据变动较大时，可用它 来描述其集中趋势 本题还考查了从统计图中获取信息的能力 18 （6 分）一艘轮船以 20 海里/时的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以 40 海里/时的 速度由南向北移动，距台风中心 20 海里的圆形区域（包括边界）都属于台风区域，当轮船到 A 处时测 得台风中心移到位于点 A 正南方的 B
25、 处，且 AB100 海里若这艘轮船自 A 处按原速度继续航行，在途 中是否会遇到台风？若会，则求出轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由 【分析】假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为 th，此时轮船位于 C 处，台风中心移到 E 处，连接 CE，由题意得：AC20t，AEABBE10040t，EC20，根据勾股定理可得（20t）2+（10040t） 2202，方程无解，进而可得不会受影响 【解答】解：不会受影响， 假设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为 th，此时轮船位于 C 处，台风中心移到 E 处，连接 CE， 则 AC20t， AEABBE10040t， AC2+AE2EC2 （
26、20t）2+（10040t）2202， 整理得：5t220t+240 （20）245240 方程无实数根， 不会受影响 【点评】 本题考查了勾股定理的应用， 关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型， 画出准确的示意图 领 会数形结合的思想的应用 19 （8 分）商场某种商品平均每天可销售 40 件，每件盈利 60 元为减少库存，商场决定采取适当的降价 措施经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多销售 2 件 （1）每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到 3150 元？ （2）商场日盈利能否达到 3300 元？ （3）每件商品降价多少元时，商场日盈利最多？ 【分析】 （1）根据日盈利
27、每件商品盈利的钱数（原来每天销售的商品件数 40+2降价的钱数） ，把 相关数值代入求解即可； （2）根据日盈利每件商品盈利的钱数（原来每天销售的商品件数 40+2降价的钱数） ，整理后判断 方程的根的情况即可； （3）根据（1）得到的关系式判断出二次函数的对称轴，此时二次函数取到最值 【解答】解： （1）设降价 x 元，由题意得： （60 x） （40+2x）3150， 化简得：x240 x+3750， 解得：x115，x225， 答：每件商品降价 25 元或 15 元，商场日盈利可达 3150 元； （2）设降价 x 元，由题意得： （60 x） （40+2x）3300， 化简得：x240
28、 x+4500， b24ac160044502000， 故此方程无实数根， 故商场日盈利不能达到 3300 元； （3）设利润为 y 元，根据题意可得： y（60 x） （40+2x） 2x2+80 x+2400 2（x240 x）+2400 2（x20）2+3200 故当 x20 时，y 最大 答：每件商品降价 20 元时，商场日盈利的最多 【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题 的关键 20 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC13 厘米，BC10 厘米，ADBC 于点 D，动点 P 从点 A 出发 以每秒 1 厘米的速度在线段 AD
29、 上向终点 D 运动设动点运动时间为 t 秒 （1）求 AD 的长； （2）当PDC 的面积为 15 平方厘米时，求 t 的值； （3）动点 M 从点 C 出发以每秒 2 厘米的速度在射线 CB 上运动点 M 与点 P 同时出发，且当点 P 运动 到终点 D 时，点 M 也停止运动是否存在 t，使得 SPMDSABC？若存在，请求出 t 的值；若不存 在，请说明理由 【分析】根据等腰三角形性质和勾股定理解答即可； 根据直角三角形面积求出 PDDC15 即可求出 t； 根据题意列出 PD、MD 的表达式解方程组，由于 M 在 D 点左右两侧情况不同，所以进行分段讨论即 可，注意约束条件 【解答】
30、解： （1）ABAC13，ADBC， BDCD5cm，且ADB90， AD2AC2CD2 AD12cm （2）APt，PD12t， 又由PDM 面积为PDDC15， 解得 PD6，t6 （3）假设存在 t， 使得 SPMDSABC 若点 M 在线段 CD 上， 即 时，PD12t，DM52t， 由 SPMDSABC， 即 ， 2t229t+500 解得 t112.5（舍去） ，t22 （2 分） 若点 M 在射线 DB 上，即 由 SPMDSABC 得 ， 2t229t+700 解得 ， （2 分） 综上，存在 t 的值为 2 或 或 ，使得 SPMDSABC （1 分） 【点评】此题关键为利用三角形性质勾股定理以及分段讨论，在解方程时，注意解是否符合约束条件