1、 例 1：函数( )2 x f xex的零点所在的一个区间是（ ） A( 2, 1) B( 1,0) C(0,1) D(1,2) 例 2：函数 2 2,0 26lg ,0 xx f x xx x 的零点的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 例 3： 已知函数1 x yaa与log1 a yx a的图象有且仅有两个公共点， 则实数a的 取值范围是（ ） A 1 1 e ae B1ae C 1 e eae Dae 一、选择题 1函数 2 3 log11 1 f xxx x 的零点所在的大致区间是（ ） A( ) 1,2 B2,3 C3,4 D4,5 2已知函数 2 log (1) ,( 1,3)
2、 ( ) 4 ,3,) 1 xx f x x x ，则函数( )( )1g xff x的零点个数为 2、判断零点的个数 1、判断零点所在区间 3、根据零点求参数的取值范围 函数函数零点零点 （ ） A1 B3 C4 D6 3已知函数 2 2 ,2 2,2 x xx x f x e xx ，函数 g xf xm有两个零点，则实数m的 取值范围为（ ） A 2 8 , e B 2 8 ,4 e C 2 8 0, e D 2 8 ,4, e 4已知函数 1 ( ) x a f xxe x 有三个零点，则实数a的取值范围是（ ） A 2 0,4e B 2 2 0, e C 2 0,2e D 4 0,
3、e 5已知函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点，则m的取值范围是（ ） A0,e B0,2e C( ,)e D(2 , )e 6已知 1 x是函数 1 ln2f xxx 的零点， 2 x是函数 2 244g xxaxa的 零点，且满足 12 1xx，则实数a的最小值是（ ） A22 2 B1 2 2 C2 D1 二、填空题 7已知函数 21 x f xaex有两个零点，则实数a的取值范围是_ 三、解答题 8已知函数 2 1 ( )(2)2ln () 2 f xaxaxx aR （1）若0a，求( )f x的最大值； （2）当0a时，讨论函数( )f x零点的个数 例 1
4、：【答案】C 【解析】 2 2220fe ， 1 11 20fe ， 0 0020fe ， 11 20fe ， 100ff，所以零点在区间(0,1)上 例 2：【答案】C 【解析】当0 x时，直接解方程 0f x ，即 2 20 x ，解得 2x ， 当0 x时， 26lgf xxx为增函数， (1)40f ，(10)150f，所以( )f x在(1,10)有一零点， 即( )f x在(0,)有一个零点， 综上，函数 f x有两个零点，故选 C 例 3：【答案】A 【解析】因为函数1 x yaa与log1 a yx a的图像关于y x 对称， 所以其公共点在y x 上， 由已知log1 a y
5、x a图像与直线y x 有两个公共点 可转化为y x 与1 x yaa有两个公共点，即 x xa 有两解， 即lnlnxxa，即 ln ln x a x ， 令 ln x h x x ，所以 2 1 ln x h x x ， 当0,xe， h x单调递增；当,xe， h x单调递减， 画出 h x的图像， 则只需 1 0lna e ，有两个公共点，解得 1 1, e ae ，故选 A 一、选择题 1【答案】B 【解析】易知 f x在1,上是连续增函数， 因为 2 2log 3 30f ， 3 320 2 f， 所以 f x的零点所在的大致区间是2,3，故选 B 2【答案】C 【解析】令( )(
6、 )10g xff x ，则( )1ff x， 令( )1f x ，若 2 log (1)1x，解得1x 或 1 2 x ，符合( 1,3)x ； 若 4 1 1x ，解得5x ，符合3,)x 作出函数( )f x的图象，如下图，1,0 x 时，( )0,f x ； 0,3x时，( )0,2f x ； 3,)x时，( )0,2f x 结合图象，若( )1f x ，有 3 个解；若 1 ( ) 2 f x ，无解；若( )5f x ，有 1 个解 所以函数( )( )1g xff x的零点个数为 4 个，故选 C 3【答案】C 【解析】当2x时，设 2 2 x xx h x e ， 则 2 2
7、2 222 2 xx xx xexx e x h x ee ， 易知当2x时， 0h x，即 h x是减函数，2x时， 2max 8 2h e h x， 又x 时， 0h x 且 0h x ， 而2x时， 2f xx是增函数， 24f g xf xm有两个零点，即 yf x的图象与直线y m 有两个交点，函数 2 2 ,2 2,2 x xx x f x e xx 的图象如下所示： 所以 2 8 0m e ，故选 C 4【答案】D 【解析】由 12 1 0 xx a xeax e x ，即y a 与 2 1 x yx e 有三个交点， 设 2 1 ( ) x g xx e ， 1 ( )(2)
8、x g xexx ， 故当,0 x 时，( )0g x ； 当0 ,2x时，( )0g x ； 当2,x时，( )0g x 所以函数( )g x在(,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)上单调递减， 故(0)0g， 4 (2)g e ，故 4 0a e 故选 D 5【答案】D 【解析】函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点， 等价于( ) x h xxe与 1 ( )() 2 g xm x有两个不同的交点，( )g x恒过点 1 ( ,0) 2 ， 设( )g x与( )h x相切时切点为( ,) a a ae， 因为( )(1) x h xex，所以切线斜
9、率为(1) a ea， 则切线方程为(1)() aa yaeaexa， 当切线经过点 1 ( ,0) 2 时，解得1a 或 1 2 a （舍），此时切线斜率为2e， 由函数图像特征可知：函数( ) 2 x m f xxemx在(0,)上有两个零点， 则实数m的取值范围是(2 ,)e ，故选 D 6【答案】D 【解析】 11 10 22 x fx xx ， 当2 1x 时， 0,fxf x 单调递减； 当1x时， 0,fxf x单调递增， 10f ，即函数 f x存在唯一零点，即 1 1x ， 2 11x ， 2 20 x ，即 g x在2,0有零点 若 2 44 440aa，即 22 2a ，
10、 此时 g x的零点为a，显然 22a 符合题意； （i）若 2 44 440aa，即 22a 或 22a ， 若 g x在2,0只有一个零点，则 200gg，1a ； （ii）若 g x在2,0只有两个零点， 则 20 00 20 22 2, 22 2 g g a aa ，解得 12 2 2a ， 即a的最小值为1，故选 D 二、填空题 7【答案】 2 0, e 【解析】由 0f x 可得 21 x x a e ， 令 21 x x g x e ，则直线y a 与函数 21 x x g x e 的图象有两个交点 12 x x gx e ， 当 1 2 x 时， 0g x，此时，函数 yg x
11、单调递增； 当 1 2 x 时， 0gx，此时，函数 yg x单调递减 所以，函数 yg x在 1 2 x 处取得极大值，且极大值为 12 2 g e 当 1 2 x 时， 0g x ；当 1 2 x 时， 0g x 如下图所示： 由图象可知，当 2 0a e 时，直线y a 与函数 yg x的图象有两个交点， 因此，实数a的取值范围是 2 0, e ， 故答案为 2 0, e 三、解答题 8【答案】（1）2；（2）见解析 【解析】（1）当0a时，( )22ln (0)f xxx x ， 求导得 22(1) ( )2 x fx xx ， 令( )0fx ，解得01x；令( )0fx ，解得1x
12、 ， f x在0,1递增，在(1,)递减， max ( )(1)22ln12f xf （2）函数 2 1 ( )(2)2ln () 2 f xaxaxx aR， 2 2(2)2(1)(2) ( )(2)(0) axaxxax fxaxax xxx ， 当0a时，由（1）可得函数( )0f x ，没有零点； 当 2 1 a ，即02a时，令 (1)(2) ( )0 xax fx x ，得0 1x或 2 x a ； (1)(2) ( )0 xax fx x ，得 2 1x a ， 即函数 f x的增区间为(0,1)， 2 , a ，减区间为 2 1, a ， 而 11 (1)(2)2ln120 2
13、2 faaa ， 所以当(0,1)x时，( )(1)0f xf；当 2 1,x a 时， 2 (1)0ff a ； 当 2 ,x a 时，x 时，( )f x ， 所以函数 f x在区间 2 0, a 没有零点，在区间 2 , a 有一个零点； 当 2 1 a =，即2a时， 2 (1)(2)(1)(22)2(1) ( )0 xaxxxx fx xxx 恒成立， 即函数 f x在(0,)上递增， 而 11 (1)2220, 22 fax 时，( )f x ， 所以函数 f x在区间(0,)有一个零点； 当 2 01 a ，即2a时，令 (1)(2) ( )0 xax fx x ，得 2 0 x a 或1x ； (1)(2) ( )0 xax fx x ，得 2 1x a ， 即函数 f x的增区间为 2 0, a ，(1,)；减区间为 2 ,1 a ， 因为2a，所以 2222 22ln22ln10f aaaa ， 又x 时，( )f x ， 根据函数单调性可得函数 f x在区间0,1没有零点，在区间(1,)有一个零点 综上：当0a时， f x没有零点； 当0a时， f x有一个零点