1、 例 1：设函数 2 ( ) e f x xa ，若(1) 4 e f ，则a_ 例 2：曲线2lnyx在点(1,0)处的切线方程为_ 例 3：已知函数( )ln1 x f xaex （1）设2x是( )f x的极值点，求a，并求( )f x的单调区间； （2）证明：当 1 a e 时，( )0f x 1、导数的计算 2、导数的几何意义 3、导数研究函数的性质 导数导数的应用的应用 一、选择题 1曲线2sincosyxx在点(, 1)处的切线方程为（ ） A 10 xy B22 10 xy C2210 xy D10 xy 2已知曲线ln x yaexx在点(1,)ae处的切线方程为2yxb，则
2、（ ） Aae，1b Bae，1b C 1 ae，1b D 1 ae，1b 3设函数 32 ( )(1)f xxaxax，若( )f x为奇函数，则曲线( )yf x在点(0,0)处的 切线方程为（ ） A2yx Byx C2yx Dyx 4已知函数( )lnln(2)f xxx，则（ ） A( )f x在(0,2)单调递增 B( )f x在(0,2)单调递减 C( )yf x的图像关于直线1x 对称 D( )yf x的图像关于点对称(1,0)对称 二、填空题 5曲线ln1yxx的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_ 6曲线 2 3() x yxx e在点(0,0)处的切线方程为_ 三、解答
3、题 7已知函数( )2ln1f xx， （1）若( )2f xxc，求c的取值范围； （2）设0a，讨论函数 ( )( ) ( ) f xf a g x xa 的单调性 8已知函数( )(2) x f xea x （1）当1a 时，讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围 9已知函数( )(1)ln1f xxxx证明： （1）( )f x存在唯一的极值点； （2）( )0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 例 1：【答案】1 【解析】 2 (1) ( ) () x exa fx xa ， 2 (1) (1)4 aee f a ，解得1a 例 2：【答
4、案】22yx 【解析】 2 y x ，斜率为2，由02(1)yx，知切线方程为22yx 例 3：【答案】（1） 2 1 2 a e ，单调增区间为(2, )，单调减区间为(0,2)；（2）证明见 解析 【解析】（1）( )f x定义域为(0,)， 1 ( ) x fxae x 2x是( )f x极值点，(2)0 f ， 2 2 11 0 22 aea e x e在(0,)上递增，0a， x ae在(0,)上递增 又 1 x 在(0, )上递减，( )fx 在(0, )上递增 又 (2)0 f ，当 (0,2)x 时， ( )0fx ， ( )f x递减； 当 (2,)x时，( )0fx ， (
5、 )f x递增， 综上， 2 1 2 a e ，单调增区间为(2, )，单调减区间为(0,2) （2） 0 x e ，当 1 a e 时，有 1 1 xxx aeee e ， 1 ( )ln1ln1 xx f xaexex 令 1 ( )ln1 x g xex ， (0,)x， 1 1 ( ) x g xe x ， 同（1）可证 ( )g x 在(0, )上递增， 又 1 1 1 (1)0 1 ge ， 当 (0,1)x 时， ( )0g x ， ( )g x递减；当(1,)x时，( )0g x ， ( )g x递增， 1 1 min ( )(1)ln1 11 0 10g xge ， 当 1
6、a e 时， ( )( )0f xg x 一、选择题 1【答案】C 【解析】因为2cossinyxx， 所以曲线2sincosyxx在点(, 1)处的切线斜率为2， 故曲线2sincosyxx在点(, 1)处的切线方程为2210 xy 2【答案】D 【解析】令( )ln x f xaexx，则( )ln1 x fxaex，(1)12fae， 得 1 1 ae e (1)2faeb，可得1b，故选 D 3【答案】D 【解析】( )f x为奇数，()( )fxf x ，即1a ， 3 ( )f xxx，(0)1 f ，切线方程为yx，选 D 4【答案】C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln(
7、)fxxxf x， 所以( )f x的图像关于直线1x 对称，C 正确，D 错误； 又 112(1) ( )(02) 2(2) x fxx xxxx ，在(0,1)上单调递增，在1,2)上单调递减， A、B 错误， 故选 C 二、填空题 5【答案】20 xy 【解析】由题意可得 1 1y x ，设切点为 00 (,)xy，则 0 1 12 x ，得 0 1x ， 0 ln1 1 12y ，切点坐标为(1,2)， 切点方程为22(1)yx，即20 xy 6【答案】3yx 【解析】 22 3(21)3()3(31) xxx yxexx exxe， 结合导数的几何意义可知曲线在点(0,0)处的切线方
8、程的斜率为3k ， 切线方程为3yx 三、解答题 7【答案】（1） 1,) ；（2）( )g x在(0, )a和( ,)a 上单调递减 【解析】（1）( )2f xxc等价于2ln21xxc ， 设( )2ln2h xxx， 22(1) ( )2 x h x xx ， 当01x时，( )0h x，所以( )h x在(0,1)上递增； 当1x 时，( )0h x，所以( )h x在(1,)递减， 故 max ( )(1)2h xh ，所以12c ，即1c， 所以c的取值范围是 1,) （2） 2(lnln ) ( )(0,0) xa g xxxa a xa ， 所以 22 22 ()2ln2ln
9、2ln2ln2 ( ) ()() a xaxaxa xx g x xaxa ， 令 2 ( )2ln2ln2(0) a w xxax x ，则 22 222() ( ) aax w x xxx ， 令( )0w x，得0 xa；( )0w x，得xa， 所以( )w x在(0, )a上单调递增，在( ,)a 上单调递减， 所以( )( )0w xw a，即( )0g x， 所以，( )g x在(0, )a和( ,)a 上单调递减 8【答案】（1）( )f x在(,0)单调递减，在(0,)上单调递增；（2） 1 (,)ae 【解析】由题知( )f x的定义域为(,) ，且( ) x fxea，
10、（1）1a 时，( )1 x fxe，令( )0fx，解得0 x 当(,0)x 时，( )0fx；当(0,)x时，( )0fx， ( )f x在(,0)单调递减，在(0,)上单调递增 （2）当0a时，( )0fx恒成立，( )f x在(,) 上单调递增，不符合题意； 当0a时，令( )0fx，解得lnxa， 当(,ln )xa 时，( )0fx；当(ln ,)xa时，( )0fx， ( )f x在(,ln )xa 上单调递减，在(ln ,)xa上单调递增 min ( )(ln )(ln2)(1 ln )f xfaaaaaa ， 要使( )f x有两个零点，则(ln )0fa 即可，则 1 1
11、ln0aae， 综上，若( )f x有两个零点，则 1 (,)ae 9【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1） 1 ( )ln(0)fxxx x ， 设 1 ( )lng xx x ， 2 11 ( )0g x xx ， 则( )g x在(0,)上递增，(1)10g ， 11 (2)ln2ln0 22 ge， 所以存在唯一 0 (1,2)x ，使得 00 ()()0fxg x， 当 0 0 xx时， 0 ( )()0g xg x；当 0 xx时， 0 ( )()0g xg x， 所以( )f x在 0 (0,)x上递减，在 0 (,)x 上递增， 所以( )f x存在唯一的极
12、值点 （2）由（1）知存在唯一 0 (1,2)x ，使得 0 ()0fx，即 0 0 1 ln x x ， 0000000 00 11 ()(1)ln1(1)1()0f xxxxxxx xx ， 2222 1113 ()(1)( 2)110f eeee ， 2222 ()2(1)130f eeee ， 所以函数( )f x在 0 (0,)x上， 0 (,)x 上分别有一个零点 设 12 ( )()0f xf x，(1)20f ，则 102 1xxx ， 有 1 1111 1 1 (1)ln10ln 1 x xxxx x ， 2 2222 2 1 (1)ln10ln 1 x xxxx x ， 设 1 ( )ln 1 x h xx x ，当0 x，1x 时，恒有 1 ( )( )0h xh x ， 则 12 ( )()0h xh x时，有 12 1x x