1、 例 1：已知公差不为0的等差数列 n a中， 1 2a ，且 2 1a ， 4 1a ， 8 1a 成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 n b满足 3 n n b a ，求适合方程 1 22 31 45 31 nn bbb bb b 的正整数的值 例 2：已知数列 n a的前n项和为 n S， 1 1a ， 1 21() nn aSn N，等差数列 n b中， 0() n bn N，且 123 15bbb，3， 4 b，27成等比数列 （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）求数列 nn a b的前n项和 n T 1、裂项相消求和 2、错位相减求和 数列数列
2、求求和和 例 3：已知数列 n a， n S是其前n项的和，且满足 * 32() nn aSn nN （1）求证：数列 1 2 n a 为等比数列； （2）记 12nn TSSS，求 n T的表达式 3、分组求和 一、解答题 1设等差数列 nn ab的公差为2，等比数列 nn ab的公比为2，且 1 2a ， 1 1b （1）求数列 n a的通项公式； （2）求数列22 n n a 的前n项和 n S 2已知等差数列 n a中， 1 1a ，且 1 a， 2 a， 4 2a 成等比数列 （1）求数列 n a的通项公式及前n项和 n S； （2）设 ( 1) 2 n n a n b ，求数列 n
3、 b的前2n项和 2n T 3已知函数 3 ( )log ()f xaxb的图像经过点(2,1)A和(5,2)B， n aanb， * nN （1）求 n a； （2）设数列 n a的前n项和为 n S，22 n s n bn，求 n b的前n项和 n T 4在数列 n a中， 1 4a ，且 2 1 (1)22 nn nanann （1）证明：数列 n a n 是等差数列； （2）求数列 1 n a 的前n项和 n S 5已知数列 n a中， 1 1a ， 1 21 n n n a a a （1）设 1 n n b a ，求数列 n b的通项公式； （2）若 1nnn caa ，求数列 n
4、c的前n项和 n S 6已知数列 n a满足 1 3a ， * 1 2 3 () n nn aan N （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 1 3 log nn ba，数列 1 1 nn b b 的前n项和为 n T，求证：1 n T 7已知数列 n a前n项和为 n S， 1 2a ， 1 3 (1)(2) nnn SSna n （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 nn ban，求数列 n b的前n项和 n T 8数列 n a是等比数列，公比不为1， 1 3a ，且 1 3a， 2 2a， 3 a成等差数列 （1）设数列 n na的前n项和为 n S，求 n S； （2）设
5、321 log nn ba ， n T为数列 2 1 43 nn n bb 的前n项和，求不超过 2019 T的最大整数 9 已知 n a是等差数列， 其前n项和为 n S， n b是等比数列， 且 11 2ab， 44 27ab， 44 10Sb （1）求数列 n a与 n b的通项公式； （2）记 1 12 23 3nn n Taba ba ba b， * nN，证明： 11 8 nnn Tab （ * nN， 2n） 例 1：【答案】（1）31 n an；（2）20 【解析】（1）由题意可得 2 428 (1)(1)(1)aaa，即 2 (3 3 )(3)(37 )ddd， 解得3d ，
6、 则 1 (1)23(1)31 n aandnn （2） 33 31 n n b an ， 1 911 3() (31)(32)3132 nn b b nnnn ， 1 22 31 1111111145 3()3 () 2558313223231 nn bbb bb b nnn ， 解得20n 例 2：【答案】（1） 1 3() n n an N，21() n bnn N；（2）3n n Tn 【解析】（1） 1 1a ， 1 21() nn aSn N， 1 21(,1) nn aSnn N， 1nn aa 1 2() nn SS ，即 1 2 nnn aaa ， 1 3(,1) nn aa
7、 nn N， 而 21 213aa ， 21 3aa， 数列 n a是以1为首项，3为公比的等比数列， 1 3() n n an N 在等差数列 n b中， 123 15bbb， 2 5b ， 又3， 4 b，27成等比数列，得 4 9b ， 又0 n b ，故公差0d ，所以 4 9b ，2d ， 又 2 5b ，21() n bnn N （2）由（1）知 221 3 1 5 37 3(21) 3(21)3 nn n Tnn ， 33 3 n T 231 5 37 3(21)3(21)3 nn nn ， 得 231 23 12 32 32 32 3(21)3 nn n Tn 231 3 3
8、32 3333(21)332 1 3 () n nn n (21)33(21)323 nnnn nnn ， 3n n Tn 例 3：【答案】（1）证明见解析；（2） 22 394 84 n n nn T 【解析】（1）32 nn aSn， 11 321(2) nn aSnn ， 两式相减得 1 321(2)() nnn aaan ， 1 ()312 nn aan ， 1 11 3 22 () nn aa ， 又 1 13 22 a ，数列 1 2 n a 是以 3 2 为首项，3为公比的等比数列 （2）由（1）得 1 131 33 222 nn n a ， 111 33 1 22 ( 2 )
9、nn n a ， 1 2 ()( 11 3(1 3 )33 333 221 3 ) 42 nn n n n Snn ， 231 12 131 (3333)(12) 442 nn nn n TSSSn 222 1 3 (1 3 )3(1)394 41 34484 nn nn nnn 一、解答题 1【答案】（1） 1 21 3 2 2 n n n a ；（2） 2 5 25 n n Sn 【解析】（1）因为 1 2a ， 1 1b ，所以 11 1ab， 11 3ab， 依题意可得1 2(1)21 nn abnn ， 1 3 2n nn ab ， 故 1 21 3 2 2 n n n a （2）由
10、（1）可知 1 2221 5 2 nn n an ， 故 1 1 3215122 (121) ()()5 (2 2 1) nn n S nn n 2 5 25 n n 2【答案】（1）21 n an， 2 n Sn；（2） 2 81 (16) 1516 n n n T 【解析】（1）设等差数列 n a的公差为d， 1 1a ，且 1 a， 2 a， 4 2a 成等比数列， 2 214 (2)aa a， 即 2 (1)1 (1 32)dd ，解得2d 或1d 当1d 时， 2 0a ，不合题意，舍去，2d ， 1 2(1)21 n ann ， 2 1 () 2 n n aa n Sn （2） (
11、 1)( 1) (21) 22 nn n an n b ， 当n为偶数时， 23 2 21 2 16 2 n n n n b b ；当n为奇数时， (23) 2 (21) 21 216 n n n n b b ， 数列 n b的奇数项是以 1 2 为首项， 1 16 为公比的等比数列； 偶数项是以8为首项，16为公比的等比数列， 数列 n b的前2n项的和 2135212462 ()() nnn Tbbbbbbbb 11 ( ) 1 () 8 (1 16 )81 216 (16) 1 1 161516 1 16 n n n n 3【答案】（1）21 n an， * nN；（2） 12 22 n
12、 n Tnn 【解析】（1）由函数 3 ( )log ()f xaxb的图象经过点(2,1)A和(5,2)B， 得 3 3 log (2)1 log (5)2 ab ab ，解得 2 1 a b ， 所以21 n an， * nN （2）由（1）知数列 n a为以1为首项，2为公差的等差数列， 所以 2 (1) 2 2 n n n Snn ，得2222 n Sn n bnn， 123 (2 12 )(2 22 )(2 32 )(22 ) n n Tn 123 2 (1 23)(2222 ) n n 12 (1)2(1 2 ) 222 21 2 n n n n nn 4【答案】（1）证明见解析；
13、（2） 2(1) n n S n 【解析】（1） 2 1 (1)22 nn nanann 的两边同除以(1)n n ， 得 1 2 1 nn aa nn ， 又 1 4 1 a ，所以数列 n a n 是首项为4，公差为2的等差数列 （2）由（1）得 1 2(1) n a an n ，即22 n a n n ， 2 22 n ann， 故 2 111 11 () 2221 n annnn ， 所以 11111111 (1)()()(1) 22231212(1) n n S nnnn 5【答案】（1）21 n bn；（2） 21 n n S n 【解析】（1） 1 21 n n n a a a
14、， 1 2111 2 n nnn a aaa ， 又 1 n n b a ， 1 2 nn bb ，即数列 n b是公差为2的等差数列， 又 1 1 1 1b a ，1 2(1)21 n bnn （2）由（1）知 11 21 n n a bn ， 1 11111 () 21 212 2121 nnn caa nnnn ， 11111111 (1)()()(1) 2335212122121 n n S nnnn 6【答案】（1） * 3 () n n anN；（2）证明见解析 【解析】（1）因为 1 2 3n nn aa ，所以 1 2 3n nn aa ， 从而 1 21 2 3aa， 2 3
15、2 2 3aa， 1 1 2 3(2) n nn aan ， 累加可得 1 121 1 3(1 3) 2 32 32 3233 1 3 n nn n aa ， 所以3n n a ， 因为 1 3a 适合 n a，所以 * 3 () n n anN （2） 11 33 loglog 3n nn ban ， 1 1111 (1)1 nn b bn nnn ， 1 111111111 ()()()11 (1)122311 n nn T b bn nnnn 7【答案】（1）3n n ann；（2） 1 (21)33 44 n n n T 【解析】（1）由题知 11 3 (1)(2) n nnn a a
16、SSn n ，即 1 32 1 nn aa nn ， 即 1 13(1) 1 nn aa nn ， 1 2a ， 1 130a ，10 n a n ， 数列1 n a n 是首项为3，公比为3的等比数列， 13n n a n ，3n n ann （2）由（1）知，3n n bn， 23 1 32 33 33n n Tn ， 231 31 32 3(1) 33 nn n Tnn ， ，得 1 2311 3(1 3 )(1 2 )33 2333333 1 322 nn nnn n n Tnn ， 1 (21)33 44 n n n T 8【答案】（1） 1 13 (21) 3 44 n n Sn
17、；（2）2020 【解析】（1）由题意得 213 43aaa， 设 n a的公比为q（1q ），则 2 430qq，解得3q ， 3n n a ，则3n n nan， 121 32 3(1) 33 nn n Snn ， 则 231 332 3(1) 33 nn n Snn ， 两式相减得 1211 233333 nnn n Sn ， 1 13 (21) 3 44 n n Sn （2）由（1）得 321 log21 nn ban ， 令 2 1 43 n nn n c b b ， 则 2 22 434411 111 2() 4141(21)(21)2121 n n c nnnnnn ， 1111
18、11 2(1)()()2(1) 335212121 n Tnn nnn ， 2019 2 2021(2020,2021) 4039 T， 故不超过 2019 T的最大整数为2020 9【答案】（1） * 31 n annN， * 2n n bnN；（2）证明见解析 【解析】（1）设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q， 由 11 2ab，得 4 23ad， 3 4 2bq， 4 86Sd， 由条件，得方程组 3 3 23227 86210 dq dq ，解得 3 2 d q ， 所以31 n an，2n n b ， * nN （2）由（1）得 23 2 25 28 2(31) 2n n Tn ， 231 22 25 2(34) 2(31) 2 nn n Tnn ， 由，得 231 2 23 23 23 2(31) 2 nn n Tn 1 11 4 (1 2) 3(31) 24(34) 28 1 2 n nn nn ， 即 1 8(34) 2n n Tn ， 而当2n时， 1 11 (34) 2n nn abn ， 所以 11 8 nnn Tab ， * nN，2n