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2021届高三数学精准培优专练 数列求和(文) 含答案

1、 例 1:已知公差不为0的等差数列 n a中, 1 2a ,且 2 1a , 4 1a , 8 1a 成等比数列 (1)求数列 n a的通项公式; (2)设数列 n b满足 3 n n b a ,求适合方程 1 22 31 45 31 nn bbb bb b 的正整数的值 例 2:已知数列 n a的前n项和为 n S, 1 1a , 1 21() nn aSn N,等差数列 n b中, 0() n bn N,且 123 15bbb,3, 4 b,27成等比数列 (1)求数列 n a、 n b的通项公式; (2)求数列 nn a b的前n项和 n T 1、裂项相消求和 2、错位相减求和 数列数列

2、求求和和 例 3:已知数列 n a, n S是其前n项的和,且满足 * 32() nn aSn nN (1)求证:数列 1 2 n a 为等比数列; (2)记 12nn TSSS,求 n T的表达式 3、分组求和 一、解答题 1设等差数列 nn ab的公差为2,等比数列 nn ab的公比为2,且 1 2a , 1 1b (1)求数列 n a的通项公式; (2)求数列22 n n a 的前n项和 n S 2已知等差数列 n a中, 1 1a ,且 1 a, 2 a, 4 2a 成等比数列 (1)求数列 n a的通项公式及前n项和 n S; (2)设 ( 1) 2 n n a n b ,求数列 n

3、 b的前2n项和 2n T 3已知函数 3 ( )log ()f xaxb的图像经过点(2,1)A和(5,2)B, n aanb, * nN (1)求 n a; (2)设数列 n a的前n项和为 n S,22 n s n bn,求 n b的前n项和 n T 4在数列 n a中, 1 4a ,且 2 1 (1)22 nn nanann (1)证明:数列 n a n 是等差数列; (2)求数列 1 n a 的前n项和 n S 5已知数列 n a中, 1 1a , 1 21 n n n a a a (1)设 1 n n b a ,求数列 n b的通项公式; (2)若 1nnn caa ,求数列 n

4、c的前n项和 n S 6已知数列 n a满足 1 3a , * 1 2 3 () n nn aan N (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 1 3 log nn ba,数列 1 1 nn b b 的前n项和为 n T,求证:1 n T 7已知数列 n a前n项和为 n S, 1 2a , 1 3 (1)(2) nnn SSna n (1)求数列 n a的通项公式; (2)若 nn ban,求数列 n b的前n项和 n T 8数列 n a是等比数列,公比不为1, 1 3a ,且 1 3a, 2 2a, 3 a成等差数列 (1)设数列 n na的前n项和为 n S,求 n S; (2)设

5、321 log nn ba , n T为数列 2 1 43 nn n bb 的前n项和,求不超过 2019 T的最大整数 9 已知 n a是等差数列, 其前n项和为 n S, n b是等比数列, 且 11 2ab, 44 27ab, 44 10Sb (1)求数列 n a与 n b的通项公式; (2)记 1 12 23 3nn n Taba ba ba b, * nN,证明: 11 8 nnn Tab ( * nN, 2n) 例 1:【答案】(1)31 n an;(2)20 【解析】(1)由题意可得 2 428 (1)(1)(1)aaa,即 2 (3 3 )(3)(37 )ddd, 解得3d ,

6、 则 1 (1)23(1)31 n aandnn (2) 33 31 n n b an , 1 911 3() (31)(32)3132 nn b b nnnn , 1 22 31 1111111145 3()3 () 2558313223231 nn bbb bb b nnn , 解得20n 例 2:【答案】(1) 1 3() n n an N,21() n bnn N;(2)3n n Tn 【解析】(1) 1 1a , 1 21() nn aSn N, 1 21(,1) nn aSnn N, 1nn aa 1 2() nn SS ,即 1 2 nnn aaa , 1 3(,1) nn aa

7、 nn N, 而 21 213aa , 21 3aa, 数列 n a是以1为首项,3为公比的等比数列, 1 3() n n an N 在等差数列 n b中, 123 15bbb, 2 5b , 又3, 4 b,27成等比数列,得 4 9b , 又0 n b ,故公差0d ,所以 4 9b ,2d , 又 2 5b ,21() n bnn N (2)由(1)知 221 3 1 5 37 3(21) 3(21)3 nn n Tnn , 33 3 n T 231 5 37 3(21)3(21)3 nn nn , 得 231 23 12 32 32 32 3(21)3 nn n Tn 231 3 3

8、32 3333(21)332 1 3 () n nn n (21)33(21)323 nnnn nnn , 3n n Tn 例 3:【答案】(1)证明见解析;(2) 22 394 84 n n nn T 【解析】(1)32 nn aSn, 11 321(2) nn aSnn , 两式相减得 1 321(2)() nnn aaan , 1 ()312 nn aan , 1 11 3 22 () nn aa , 又 1 13 22 a ,数列 1 2 n a 是以 3 2 为首项,3为公比的等比数列 (2)由(1)得 1 131 33 222 nn n a , 111 33 1 22 ( 2 )

9、nn n a , 1 2 ()( 11 3(1 3 )33 333 221 3 ) 42 nn n n n Snn , 231 12 131 (3333)(12) 442 nn nn n TSSSn 222 1 3 (1 3 )3(1)394 41 34484 nn nn nnn 一、解答题 1【答案】(1) 1 21 3 2 2 n n n a ;(2) 2 5 25 n n Sn 【解析】(1)因为 1 2a , 1 1b ,所以 11 1ab, 11 3ab, 依题意可得1 2(1)21 nn abnn , 1 3 2n nn ab , 故 1 21 3 2 2 n n n a (2)由

10、(1)可知 1 2221 5 2 nn n an , 故 1 1 3215122 (121) ()()5 (2 2 1) nn n S nn n 2 5 25 n n 2【答案】(1)21 n an, 2 n Sn;(2) 2 81 (16) 1516 n n n T 【解析】(1)设等差数列 n a的公差为d, 1 1a ,且 1 a, 2 a, 4 2a 成等比数列, 2 214 (2)aa a, 即 2 (1)1 (1 32)dd ,解得2d 或1d 当1d 时, 2 0a ,不合题意,舍去,2d , 1 2(1)21 n ann , 2 1 () 2 n n aa n Sn (2) (

11、 1)( 1) (21) 22 nn n an n b , 当n为偶数时, 23 2 21 2 16 2 n n n n b b ;当n为奇数时, (23) 2 (21) 21 216 n n n n b b , 数列 n b的奇数项是以 1 2 为首项, 1 16 为公比的等比数列; 偶数项是以8为首项,16为公比的等比数列, 数列 n b的前2n项的和 2135212462 ()() nnn Tbbbbbbbb 11 ( ) 1 () 8 (1 16 )81 216 (16) 1 1 161516 1 16 n n n n 3【答案】(1)21 n an, * nN;(2) 12 22 n

12、 n Tnn 【解析】(1)由函数 3 ( )log ()f xaxb的图象经过点(2,1)A和(5,2)B, 得 3 3 log (2)1 log (5)2 ab ab ,解得 2 1 a b , 所以21 n an, * nN (2)由(1)知数列 n a为以1为首项,2为公差的等差数列, 所以 2 (1) 2 2 n n n Snn ,得2222 n Sn n bnn, 123 (2 12 )(2 22 )(2 32 )(22 ) n n Tn 123 2 (1 23)(2222 ) n n 12 (1)2(1 2 ) 222 21 2 n n n n nn 4【答案】(1)证明见解析;

13、(2) 2(1) n n S n 【解析】(1) 2 1 (1)22 nn nanann 的两边同除以(1)n n , 得 1 2 1 nn aa nn , 又 1 4 1 a ,所以数列 n a n 是首项为4,公差为2的等差数列 (2)由(1)得 1 2(1) n a an n ,即22 n a n n , 2 22 n ann, 故 2 111 11 () 2221 n annnn , 所以 11111111 (1)()()(1) 22231212(1) n n S nnnn 5【答案】(1)21 n bn;(2) 21 n n S n 【解析】(1) 1 21 n n n a a a

14、, 1 2111 2 n nnn a aaa , 又 1 n n b a , 1 2 nn bb ,即数列 n b是公差为2的等差数列, 又 1 1 1 1b a ,1 2(1)21 n bnn (2)由(1)知 11 21 n n a bn , 1 11111 () 21 212 2121 nnn caa nnnn , 11111111 (1)()()(1) 2335212122121 n n S nnnn 6【答案】(1) * 3 () n n anN;(2)证明见解析 【解析】(1)因为 1 2 3n nn aa ,所以 1 2 3n nn aa , 从而 1 21 2 3aa, 2 3

15、2 2 3aa, 1 1 2 3(2) n nn aan , 累加可得 1 121 1 3(1 3) 2 32 32 3233 1 3 n nn n aa , 所以3n n a , 因为 1 3a 适合 n a,所以 * 3 () n n anN (2) 11 33 loglog 3n nn ban , 1 1111 (1)1 nn b bn nnn , 1 111111111 ()()()11 (1)122311 n nn T b bn nnnn 7【答案】(1)3n n ann;(2) 1 (21)33 44 n n n T 【解析】(1)由题知 11 3 (1)(2) n nnn a a

16、SSn n ,即 1 32 1 nn aa nn , 即 1 13(1) 1 nn aa nn , 1 2a , 1 130a ,10 n a n , 数列1 n a n 是首项为3,公比为3的等比数列, 13n n a n ,3n n ann (2)由(1)知,3n n bn, 23 1 32 33 33n n Tn , 231 31 32 3(1) 33 nn n Tnn , ,得 1 2311 3(1 3 )(1 2 )33 2333333 1 322 nn nnn n n Tnn , 1 (21)33 44 n n n T 8【答案】(1) 1 13 (21) 3 44 n n Sn

17、;(2)2020 【解析】(1)由题意得 213 43aaa, 设 n a的公比为q(1q ),则 2 430qq,解得3q , 3n n a ,则3n n nan, 121 32 3(1) 33 nn n Snn , 则 231 332 3(1) 33 nn n Snn , 两式相减得 1211 233333 nnn n Sn , 1 13 (21) 3 44 n n Sn (2)由(1)得 321 log21 nn ban , 令 2 1 43 n nn n c b b , 则 2 22 434411 111 2() 4141(21)(21)2121 n n c nnnnnn , 1111

18、11 2(1)()()2(1) 335212121 n Tnn nnn , 2019 2 2021(2020,2021) 4039 T, 故不超过 2019 T的最大整数为2020 9【答案】(1) * 31 n annN, * 2n n bnN;(2)证明见解析 【解析】(1)设等差数列 n a的公差为d,等比数列 n b的公比为q, 由 11 2ab,得 4 23ad, 3 4 2bq, 4 86Sd, 由条件,得方程组 3 3 23227 86210 dq dq ,解得 3 2 d q , 所以31 n an,2n n b , * nN (2)由(1)得 23 2 25 28 2(31) 2n n Tn , 231 22 25 2(34) 2(31) 2 nn n Tnn , 由,得 231 2 23 23 23 2(31) 2 nn n Tn 1 11 4 (1 2) 3(31) 24(34) 28 1 2 n nn nn , 即 1 8(34) 2n n Tn , 而当2n时, 1 11 (34) 2n nn abn , 所以 11 8 nnn Tab , * nN,2n