1、2019-2020 年北京市中考数学各地区模拟试题分类（三）圆 一选择题 1（2020海淀区校级模拟）如图，点A，B，C是O上的三个点，点D在BC的延长线上有如下四个结 论： 在ABC所对的弧上存在一点E，使得BCEDCE； 在ABC所对的弧上存在一点E，使得BAEAEC； 在ABC所对的弧上存在一点E，使得EO平分AEC； 在ABC所对的弧上任意取一点E（不与点A，C重合），DCEABO+AEO均成立 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A B C D 2（2020海淀区校级模拟）如图，圆O的直径AB2，点C在圆O上，弦AC等于 1，点D在劣弧上， 则D的度数是（ ） A30 B45 C
2、60 D75 3 （2020西城区校级模拟） 如图， 点A，B，C在O上，CO的延长线交AB于点D， A50， B30， 则ADC的度数为（ ） A70 B90 C110 D120 4（2020海淀区一模）如图，AB与O相切于点B，AO的延长线交O于点C，连结BC，若OCOA， 则C等于（ ） A15 B30 C45 D60 5（2019海淀区校级模拟）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，A22.5，OC3，则CD的 长为（ ） A3 B C6 D 6（2019门头沟区二模）如图，线段AB是O的直径，弦CDAB，CAB30，OD2，那么DC的长 等于（ ） A2 B4 C D2 7（20
3、19石景山区二模）如图，AB是O的弦，直径CD交AB于点E，若AEEB3，C15，则OE 的长为（ ） A B4 C6 D3 8（2019怀柔区一模）如图，ABC的内切圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD2，ABC 的周长为 14，则BC的长为（ ） A3 B4 C5 D6 9（2019朝阳区模拟）如图，BC是O的直径，点A，D在O上，如果D36，那么BCA的度数是 （ ） A36 B45 C54 D72 二填空题 10（2020朝阳区校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB4，BC6，E是边BC的中点，点P在边AD上，设 DPx，若以点D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公
4、共点，则所有满足条件的x的取值范围 是 11（2020西城区校级模拟）如图，在O中，半径OC6，D是半径OC上一点，且OD4A，B是O 上的两个动点，ADB90，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于 12（2020丰台区模拟） 如图，AB是O的直径， 弦CDAB于点E， 如果， 则ACD的度数是 13（2020丰台区模拟）如图，小杨将一个三角板放在O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC 5cm，AB3cm，则O的半径长为 14（2020朝阳区校级模拟）如图，tan1 15（2020昌平区模拟）如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点 为顶点的一边
5、延长线和另一边反向延长线上的点，且 BECD，DB的延长线交AE于点F，则图 1 中AFB的度数为 ；若将条件“正三角形、正四边形、 正五边形”改为“正n边形”，其他条件不变，则AFB的度数为 （用n的代数式表示，其中， n3，且n为整数） 16（2019海淀区校级一模）如图，点A、B、C、D、E在O上，且AOE的度数为 50，则B+D的 度数为 17（2019海淀区校级三模）如图，点A，B，C，D是O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果ABC 70，那ADB 18（2019海淀区二模）如图，在O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC若A60，ABC 20，则C的度数为 19（2019
6、朝阳区二模）如图，AB是O的直径，C是O上一点，将沿直线AC翻折，若翻折后的图形 恰好经过点O，则CAB 三解答题 20（2020朝阳区二模）如图，四边形ABCD内接于O，ADCD，对角线AC经过点O，过点D作O的切 线DE，交BC的延长线于点E （1）求证：DEAC； （2）若AB8，tanE，求CD的长 21（2020密云区二模）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（x1，y1），点B的坐标为（x2，y2）， 且x1x2，y1y2给出如下定义：若平面上存在一点P，使APB是以线段AB为斜边的直角三角形，则 称点P为点A、点B的“直角点” （1）已知点A的坐标为（1，0） 若点B的坐标为（
7、5，0），在点P1（4，3）、P2（3，2）和P3（2，）中，是点A、点B的“直角 点”的是 ； 点B在x轴的正半轴上，且AB2，当直线yx+b上存在点A、点B的“直角点”时，求b的取 值范围； （2）O的半径为r，点D（1，4）为点E（0，2）、点F（m，n）的“直角点”，若使得DEF与O 有交点，直接写出半径r的取值范围 22（2020丰台区二模）过直线外一点且与这条直线相切的圆称为这个点和这条直线的点线圆特别地， 半径最小的点线圆称为这个点和这条直线的最小点线圆 在平面直角坐标系xOy中，点P（0，2） （1）已知点A（0，1），B（1，1），C（2，2），分别以A，B为圆心，1 为半径
8、作A，B，以C为圆 心，2 为半径作C，其中是点P和x轴的点线圆的是 ； （2） 记点P和x轴的点线圆为D， 如果D与直线yx+3 没有公共点， 求D的半径r的取值范围； （3）直接写出点P和直线ykx（k0）的最小点线圆的圆心的横坐标t的取值范围 23（2020顺义区二模）已知：如图，O的半径为r，在射线OM上任取一点P（不与点O重合），如果 射线OM上的点P，满足OPOPr2，则称点P为点P关于O的反演点 在平面直角坐标系xOy中，已知O的半径为 2 （1）已知点A （4，0），求点A关于O的反演点A的坐标； （2）若点B关于O的反演点B恰好为直线yx与直线x4 的交点，求点B的坐标； （
9、3）若点C为直线yx上一动点，且点C关于O的反演点C在O的内部，求点C的横坐标m的 范围； （4）若点D为直线x4 上一动点，直接写出点D关于O的反演点D的横坐标t的范围 24（2020房山区二模）已知线段AB6cm，点M是线段AB上一动点，以AB为直径作O，点C是圆周上 一点且AC4cm，连接CM，过点A做直线CM的垂线，交O于点N，连接CN，设线段AM的长为xcm，线 段AN的长为y1cm，线段CN的长为y2cm 小华同学根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究 下面是该同学的探究过程，请补充完整： （1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分
10、别得到了y1，y2与x的几组对应值： x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 4.47 5.24 5.86 5.96 4.72 4.00 y2/cm 6.00 5.86 5.23 3.98 2.46 1.06 0 请你补全表格的相关数值，保留两位小数 （2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并 画出函数y1，y2的图象（函数y2的图象如图，请你画出y1的图象） （3）结合画出的函数图象，解决问题：当CAN是等腰三角形时，AM的长度约为 cm 25（2020北京二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：若图形
11、G上存在两个 点A，B，使得PAB是边长为 2 的等边三角形，则称点P是图形G的一个“和谐点” 已知直线l：yx+n（n0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，O的半径为r （1）若n0，在点P1（2，0），P2（0，2），P3（4，1）中，直线l的和谐点是 ； （2）若r2，O上恰好存在 2 个直线l的和谐点，求n的取值范围； （3）若n3，线段MN上存在O的和谐点，直接写出r的取值范围 26（2020朝阳区二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：Q为图形M上任意 一点， 如果P，Q两点间的距离有最大值， 那么称这个最大值为点P与图形M间的开距离， 记作d（P，M） 已知直
12、线yx+b（b0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，O的半径为 1 （1）若b2， 求d（B，O）的值； 若点C在直线AB上，求d（C，O）的最小值； （2）以点A为中心，将线段AB顺时针旋转 120得到AD，点E在线段AB，AD组成的图形上，若对于任 意点E，总有 2d（E，O）6，直接写出b的取值范围 27（2020东城区二模）对于平面直角坐标系：xOy内任意一点P过P点作PMx轴于点M，PNy轴于 点N，连接MN，则称MN的长度为点P的垂点距离，记为h特别地，点P与原点重合时，垂点距离为 0 （1）点A（2，0），B（4，4），C（2，）的垂点距离分别为 ， ， （2）点P在以Q（，1）为
13、圆心，半径为 3 的Q上运动，求出点P的垂点距离h的取值范围； （3）点T为直线l：yx+6 位于第二象限内的一点，对于点T的垂点距离h的每个值有且仅有一个 点T与之对应，求点T的横坐标t的取值范围 28 （2020房山区二模）如图，在ABC中，ACB90，以BC为直径的O交AB于点D，E是AC中点， 连接DE （1）判断DE与O的位置关系并说明理由； （2）设CD与OE的交点为F，若AB10，BC6，求OF的长 29 （2020北京二模） 如图，AB为O的直径， 点C在O上， 过点C作O切线CD交BA的延长线于点D， 过点O作OEAC交切线DC于点E，交BC于点F （1）求证：BE； （2）
14、若AB10，cosB，求EF的长 30 （2020朝阳区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m） （m0）将 点A绕点P顺时针旋转 90，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转 90，得到点N，连接MN，称线段MN 为线段AO的伴随线段 （1）如图 1，若m1，则点M，N的坐标分别为 ， ； （2）对于任意的m，求点M，N的坐标（用含m的式子表示）； （3）已知点B（，t），C（，t），以线段BC为直径，在直线BC的上方作半圆，若半圆与线段 BC围成的区域内（包括边界）至少存在一条线段AO的伴随线段MN，直接写出t的取值范围 参考答案参考答案 一选择题 1解
15、：当BE是O的直径时，BCEDCE90，故正确； 当AEBC时， ， BAEAEC；故正确； 当点E是的中点时，EO平分AEC；故正确； 如图 2，AECD，A+BOE180， ABO+AEO360ABOE360DCE2（180DCE）， DCEABO+AEO，故正确； 故选：D 2解： AB为直径， ACB90， cosA， A60， DA60， 故选：C 3解：A50， BOC2A100， B30，BOCB+BDC， BDCBOCB1003070， ADC180BDC110， 故选：C 4解：如图，连接OB AB与O相切于点B， ABO90 OBOC， COBC，OBOA， A30， AO
16、B60，则C+OBC60， C30 故选：B 5解：O的直径AB垂直于弦CD， CD2CE，CEO90， 又COE2A45， CEO为等腰直角三角形， CEOC， CD2CE3 故选：B 6解：如图，连接OC，设AB交CD于E ABCD，AB是直径， ECDE， OAOC， OACOCA30， COE60， ECOCsin60， CD2DE2， 故选：D 7解：如图，连接OA AEEB， CDAB， ， BODAOD2ACD30， AOB60， OAOB， AOB是等边三角形， AE3， OEAEtan603， 故选：D 8解：O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F AFAD2，BDBE，
17、CECF， ABC的周长为 14， AD+AF+BE+BD+CE+CF14 2（BE+CE）10 BC5 故选：C 9解：BC是直径， BAC90， BD36， ACB903654， 故选：C 二填空题（共 10 小题） 10解：如图，当D与AE相切时，设切点为G，连接DG， PDDGx， DAGAEB，AGDB90， AGDEBA， ， ， x， 当D过点E时，如图，D与线段有两个公共点，连接DE，此时PDDE5， 当以D为圆心，DP为半径的D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x或 5x6； 故答案为：x或 5x6 11解：当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图， F是AB的中
18、点， OCAB， 设OF为x，则DFx4， ABD是等腰直角三角形， DFABBFx4， 在 RtBOF中，OB2OF2+BF2， OBOC6， 36x2+（x4）2，解得x2+或 2（舍去） OF的长的最大值等于 2+， 故答案为 2+ 12解：AB是O的直径，弦CDAB于点E， ， ， ， 即、的度数是120， ACD60， 故答案为：60 13解：连接BC，作OHBC于H， 则CHBH， 在 RtACB中，BC， CHBC， OCHBCA， RtCOHRtCBA， ，即， 解得，OC3.4 故答案为：3.4cm 14解：1 与2 是同弧所对的圆周角， tan1 故答案为： 15解：（1）
19、在正ABC中，ABBC，ABCACB60 ABEBCD120， 又BECD， ABEBCD， ED 又FBECBD， AFBE+FBED+CBDACB60 （2）由以上不难得：AEBBDC进一步证出，BEFBDC， 得出，AFB的度数等于DCB90，同理可得：AFB度数为 108 （3）由正三角形、正四边形、正五边形时，AFB的度数分别为 60，90，108，可得出“正n边 形”，其它条件不变，则AFB度数为 故填：60； 16解：连接AB、DE，则ABEADE， AOE的度数为 50， ABEADE25， 点A、B、C、D在O上， 四边形ABCD是圆内接四边形， ABC+ADC180， AB
20、E+EBC+ADC180， B+D180ABE18025155 故答案为：155 17解：四边形ABCD内接于O， ABC+ADC180， ADC18070110 点B是的中点， ADBBDC ADBADC11055 故答案为 55 18解：A60，ABC20， ODC1802060100，ABC20， AOC2ABC40， C1801004040 故答案为：40 19解：作OEAC交O于F，交AC于E， 由折叠的性质可知，EFOEOF， OEOA， 在 RtAOE中，OEOA， CAB30， 故答案为：30 三解答题（共 11 小题） 20（1）证明：如图，连接OD， AC是O的直径， AD
21、C90， ADCD， DOC90， DE是O的切线， ODDE， DOC+ODE180， DEAC； （2）解：DEAC， EACB， AC是O的直径， ABC90， 在 RtABC中，AB8，tanACB， AC10， ADC90，ADCD， ACD是等腰直角三角形， CDAC5 21解：（1）点A的坐标为（1，0），若点B的坐标为（5，0），点P1（4，3）， AB2（51）216，18，BP12（54）2+3210， ， P1不是点A、点B的“直角点”； 同理得：P2，P3是点A、点B的“直角点”； 故答案为：P2，P3； A（1，0），AB2， 线段AB的中点C（+1，0）， 点A、B
22、的“直角点”在以点C为圆心，的长为半径的C上， 当直线yx+b与C相切于点D，与两坐标轴相交于点M、N时，如图 1，连接CD，则CDMN， OMN45，CD， CM2， OMOC+CM+1+2+3， ONOM+3， 即b+3， 同理：当直线yx+b与C相切于点E时， CH2， OHOCCH+121， 即b1， 综上所述：1b+3； （2）如图 2， 点D（1，4）为点E（0，2）、点F（m，n）的“直角点”， n2，且DEDF，DE， 以O为圆心OE为半径作圆，连接OF，以OF为半径作圆， EFx轴， cosDEF， EF5， RtOEF中，由勾股定理得：OF， 2r 22解：（1）如图 1，
23、由点线圆的定义可知： A是点P和x轴的点线圆， 如图 2，B不经过点P，故不是点P和x轴的点线圆， 如图 3，由点线圆的定义可知：C是点P和x轴的点线圆， 故答案为：A，C （2）如图 4，D1经过点P，且与x轴和直线yx+3 都相切，此时D1的半径r1， 如图 5，D2经过点P，且与x轴和直线yx+3 都相切，切点分别为M，N，连接D2M，D2N，D2P， 过D2作D2Qy轴于点Q， 设D2Mr， D2PD2Mr， OQD2Mr， PQr2， MEN60， D2EM30， EMr， OMD2Qr 由勾股定理得，D2P2+D2Q2+QP2， 即 解得：r11（舍去），r2， 1r （3）如图
24、6，点P和直线ykx（k0）的最小点线圆的圆心E在直径为 1 的圆上， k0， x0， 圆心的横坐标t的取值范围是x0 或 0 x 23解：（1）点A （4，0）， OA4， 点A为点A关于O的反演点， OAOA224， OA1， A坐标（1，0）； （2）如图，过点B作BEx轴于点E， B恰好为直线yx与直线x4 的交点， y44， 点B坐标为（4，）， OA4，AB4， OB8， tanBOA， BOA60， 点B为点B关于O的反演点， OBOB4， OB， OBE90BOE30， OEOB，BEOE， 点B坐标（，）； （3）点C为直线上一动点，且点C关于O的反演点C在O的内部， OC2
25、， OCOC4， OC2， 点C在O的外部，直线与O的两个交点坐标的横坐标为1， m的取值范围是m1 或m1； （4）点D为直线x4 上一动点， OD4， ODOD4， 0OD1， D的横坐标t的范围是：0t1 24解：（1）如图 1， 连接BN， AMx4，AC4， AMAC， ANCM， CANBAN， CNBN， 连接BC， AB为直径， ANBACB90， 根据勾股定理得，BC2， 连接ON交BC于D， BDBC，ODBNDB90， 在 RtODB中，OD2， DNONOD1， 在 RtBDN中，根据勾股定理得，BN， 在 RtABN中，根据勾股定理得，AN5.48， 故答案为：5.4
26、8； （2）描点，连线，如图 2 所示，； （3）当CAN是等腰三角形时， 当ACCN4 时，由图象结合表格得，AMx3， 当CNAN时， y1y2， 由图象知，AMx1.28， 当ANAC4 时，AMx6， 此时，点N与点C重合，不能构成三角形， 故答案为：1.28 或 3 25解：（1）n0，则直线l的解析式为yx， 在直线l上取一点C，设C（m，m）， 当P1（2，0）时， P1C2， 2， m0 或m1，即点A（0，0），B（1，）， AB2， P1APBAB， P1AB是等边三角形，即点P1是直线l的和谐点， 当P2（0，2）， P2C2， P2C2， m1 或m2，即点A（1，），
27、B（2，2）， AB2， P2APBAB， P2AB是等边三角形，即点P2是直线l的和谐点， 当P3（4，1）， P3C2， P3C2， 化简得，4m22（4+）m+130，而2（4+）244130，此方程无实数根，即点P3 不是直线l的和谐点， 即直线l的和谐点是：P1和P2； 故答案为：P1和P2； （2）如图 1，设A，B在直线l上，点C在O上，ABC是边长为 2 的等边三角形， n0， 当直线l位于l1时，O上只有 1 个点C是直线l的和谐点， 当直线l位于l2时，O上有 3 个点C，C2，C3都是直线l的和谐点（l3到l2的距离是）， 满足条件的直线l应位于直线l1和l2之间； 设过
28、点C且与O相切的直线为l，直线l1，l2，l分别与x轴，y轴交于点M1，N1，M2，N2，M，N， 连接OC，则OCl，OC2， 过点C作x轴的平行线交l1于点B，连接OC交延长交l1于D，在l1上到点A，使ADBD，连接AC，则 CD，且O，C，D三点共线， OD2+ 直线l：与x轴交于点M，与y轴交于点N， M（n，0），N（0，n）， tanMNO， MNO30 在 RtOCN和 RtODN1中， ON2OC4，ON12OD4+2， NN1ON1ON2， 由对称性得NN22，即N2（0，42）， n的取值范围是 （3）， N（0，），ON，ONM30 如图 2，设A，B在O上，P是MN上
29、的点，ABP是边长为 2 的等边三角形，连接OB， 设AB的中点为D，则O，P，D三点共线， rOB， 又ODOP+PD（图 2），或ODOPPD（图 3）， 而BD1，PD为定值， 只需考虑OP的取值范围即可 如图 4，当OPMN时，OP最小，此时O的半径最小 ON，ONP30， OPON 又PD， ODOPPD 在 RtOBD中，BD1，OD， rOB 如图 5，当O的和谐点恰好是N点（即P点与N点重合）时，OP最大，此时O的半径最大， ON，ND， OD， 又BD1， rOB7 综上，r的取值范围是 26解：（1）如图 1， b2， B（0，2）， d（B，O）2+13； 过点O作OCA
30、B于C，此时，直线上的点C到点O的距离最小，即d（C，O）取最小值， 直线yx+2 与x轴交于点A， 令y0，则 0 x+2， x2， A（2，0）， OA2， 令x0，则y2， B（0，2）， OB2， 根据勾股定理得，AB4， SAOBOAOBABOC， OC， d（C，O）的最小值为+1； （2）、当b0 时，如图 2， 针对于直线yx+b（b0）， 令x0，则yb， B（0，b）， OBb， 令y0，则 0 x+b， xb， A（b，0）， OAb， 则AB2b，tanOAB， OAB30， 由旋转知，ADAB2b，BAD120， OAD90， 连接OD， ODb， O的半径为 1，
31、当线段AB与O相切时，d（E，O）最小2， 同（1）的方法得，OF1， b（舍去负值）， 对于任意点E，总有 2d（E，O）6， b61， b， 即b； 、当b0 时，如图 3， 同的方法得，b， 综上述，b或b 27解：（1）如图 1，点A（2，0）的垂点距离为OA2， 连接OB，过点B作BMx轴于M，作BNy轴于N， BNOBMO90， MON90， MONBMNBNO90， 四边形OMBN是矩形， MNOB， 点B（4，4）的垂点距离为MNOB4， 同理：点C的垂点距离为， 故答案为：2，4，； （2）如图 2， 过点P作PMx轴于M，PNy轴于N，连接OP， 由（1）知，点P的垂点距离
32、hOP， 点Q的坐标为（，1）， OQ2， PQOQOPOQ+PQ， 32OP3+2， 1OP5， 1h5； （3）如图 3，设直线l与x轴，y轴的交点为A，B， 针对于直线yx+6， 令x0，则y6， B（0，6）， OB6， 令y0，则x+60， x2， A（2，0）， OA2， 在 RtAOB中，tanOAB， OAB60， 过点O作OMl于M， AMOAcosOAB2cos60， 过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为C，D， 同理：AC，即OC， OAON，BAO60， AON是等边三角形， ODOA， t或t0 28解：（1）DE与O相切 理由如下：连接CD、OD，如图， BC为直
33、径， BDC90， E为 RtADC的斜边AC的中点， EAED， 1A， OBOD， B2， 而B+A90 1+290， EDO90， ODDE， DE为O的切线； （2）DBCCBA，BDCBCA， BCDBAC， BD：BCBC：BA， BD， OBOC，ECEA， OE为CAB的中位线， OFBD， OF：BDOC：CB， OFBD 29（1）证明：连接OC，如图所示： AB为O的直径， ACBACO+OCB90 DE是O的切线， OCDACO+ACD90， OCBACD， OB，OC是O的半径， OBOC， BOCB， OEAC， ACDE， BE； （2）解：在 RtACB中，co
34、sB，AB10， BC8， OCOAOB， OCAB105， AC6， ACBOCE90，BE， ACBOCE， ，即， OE， OFAC，O为AB中点， OFAC3， EFOEOF3 30解：（1）如图 1 中， 当m1 时，A（0，3），P（0，2），Q（0，1）， OQPPQ1， 由旋转的性质可知PMNQ1， M（1，2），N（1，1）， 故答案为（1，2），（1，1） （2）如图 1 中，对于任意m，则有OQPQAPm，PMNQm， 可得M（m，2 m），N（m，m） （3）如图 2 中，半圆在x轴上方，当点N落在BC上，点M在半圆上时，过点M作MHBC于H，连接 QM 由题意：MQBQ， MHQHm， m1，此时B（，1），C（，1），t1 如图 3 中，半圆在x轴下方，当点M落在BC上，点N在半圆上时，过点N作NHBC于H，连接PN 由题意：PNPB， NHPHm， m1， P（0，2） 此时B（，2），C（，2），t2， 观察图象可知满足条件的t的值为2t1