1、2020 年北京市中考数学各地区模拟试题分类（一）圆 一选择题 1（2020怀柔区模拟）如图，在O中，A，B，P为O上的点，AOB68，则APB 的度数是（ ） A136 B34 C22 D112 2（2020朝阳区三模）已知圆锥的底面半径为 5cm，母线长为 13cm，则这个圆锥的侧面积 是（ ） A130cm2 B120cm2 C65cm2 D60cm2 3（2020石景山区二模）如图，四边形ABCD是O的内接四边形，A125，则BOD 的度数为（ ） A55 B65 C110 D125 4 （2020西城区二模） 如图， ABC内接于O， 若A45，OC2， 则BC的长为 （ ） A B
2、2 C2 D4 5（2020门头沟区二模）如图，线段AB是O的直径，C，D为O上两点，如果AB4， AC2，那么ADC的度数是（ ） A15 B30 C45 D60 6（2020丰台区二模）如图，点A，B是O上的定点，点P为优弧AB上的动点（不与点 A，B重合），在点P运动的过程中，以下结论正确的是（ ） AAPB的大小改变 B点P到弦AB所在直线的距离存在最大值 C线段PA与PB的长度之和不变 D图中阴影部分的面积不变 7（2020海淀区二模）如图，O的半径等于 4，如果弦AB所对的圆心角等于 90，那 么圆心O到弦AB的距离为（ ） A B2 C2 D3 8（2020西城区一模）如图，AB
3、是O的直径，C，D是O上的两点若CAB65， 则ADC的度数为（ ） A65 B35 C32.5 D25 9（2020朝阳区一模）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，CD4，tanC， 则AB的长为（ ） A2.5 B4 C5 D10 10（2020朝阳区三模）如图，四边形ABCD内接于O，AB为直径，BCCD，连接AC若 DAB50，则B的度数为（ ） A50 B65 C75 D130 二填空题 11（2020西城区校级三模）如图，AB为O的直径，C，D为O上的点，若 CAB50，则CAD 12（2020石景山区二模）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，OA3，OCA 40，则阴影部
4、分的面积为 13 （2020怀柔区模拟） 扇形的半径为 3， 圆心角 为 120， 这个扇形的面积是 14（2020顺义区二模）如图，在每个小正方形的边长为 1cm的网格中，画出了一个过格 点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 cm（结果保留一位小数） 15 （2020海淀区二模） 如图， 点A，B，C在O上， 点D在O内， 则ACB ADB （填 “”，“”或“”） 16 （2020房山区二模）如图，扇形AOB，通过测量、计算，得的长约为 cm （ 取 3.14，结果保留一位小数） 17（2020大兴区一模）将面积为 225cm2的正方形硬纸片围成圆柱的侧面，则此圆柱的底 面直径为
5、 cm（结果保留 ） 18（2020石景山区一模）九章算术是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传 统数学的基本框架其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为O的直径，弦 CDAB于点E，BE1 寸，CD1 尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1 尺10 寸） 根据题意，该圆的直径为 寸 19（2020东城区一模）如果一个正n边形的每个内角为 108，那么这个正n边形的边 数为 三解答题 20（2020海淀区校级模拟）对于平面直角坐标系xOy中的点P和C，给出如下的定义： 若C上存在两个点A、B，使得APB60
6、，则称P为C的可视点 （1）当O的半径为 1 时， 在点D（）E（1，1），F（3，0）中，O的可视点是 过点M（4，0）作直线l：ykx+b，若直线l上存在O的可视点，求b的取值范围； （2）若T（t，0），T的半径为 1，直线y上存在T的可视点且所有 可视点构成的线段长度为n，若 0n2，直接写出t的取值范围 21（2020海淀区校级模拟）已知图形M和图形M上的两点P、Q，如果 上的所有点都 在图形M的内部或边上，则称为图形M的内弧特别的，在ABC中，D，E分别是 ABC两边的中点，如果上的所有点都在ABC的内部或边上，则称为ABC的中内 弧（注：是指劣弧或半圆） 在平面直角坐标系中，已知
7、点A（4，0）、B（0，n）设内弧所在圆的圆心为P （1）当n4 时，连接OA、OB并延长 请在图 1 中画出一条AOB的内弧； 请直接写出AOB的内弧 长度的最大值 （2）连接OA、OB并延长 当n时，请直接写出AOB的所有内弧 所在圆的圆心P的纵坐标的取值范 围 ； 若直线x6 上存在AOB的内弧 所在圆的圆心P，请求出n的取值范围 （3）作点B关于点O的对称点C，作点B关于点A的对称点D，连接BC、BD、CD令n 0，当BCD的中内弧所在的圆的圆心P在BCD的外部时，BCD的所有中内弧 都存在，请直接写出n的取值范围 22（2020怀柔区模拟）如图，AB是O的直径，点E是的中点，CA与O
8、相切于点A 交BE延长于点C，过点A作ADOC于点F，交O于点D，交BC于点Q，连接BD （1）求证：BDAF； （2）若BD2，求CQ的长 23（2020丰台区三模）如图，四边形OABC中，OABOCB90，BABC以O为圆 心，以OA为半径作O （1）求证：BC是O的切线； （2）连接BO并延长交O于点D，延长AO交O于点E，与BC的延长线交于点F， 补全图形； 若，求证：OFOB 24（2020怀柔区模拟）如图，在半O中，P是直径AB上一动点，且AB6，过点P作 PCAB交半O于点C，P为垂足，连接BC，过点P作PDBC于点D 小明根据学习函数的经验，对线段AP，CP，PD的长度之间的关
9、系进行了探究下面是小 明的探究过程，请补充完整： （1）对于动点P在AB上的不同位置，画图，测量，得到了线段AP，CP，PD的长度的几 组值，如表： 位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8 位置 9 位置 10 AP/cm 0.37 0.88 1.59 2.01 2.44 3.00 3.58 4.37 5.03 5.51 CP/cm 1.45 2.12 2.65 2.83 2.95 3.00 2.95 2.67 2.21 1.65 PD/cm 1.40 1.96 2.27 2.31 2.27 2.13 1.87 1.39 0.89 0.48 在AP，CP
10、，PD的长度这三个量中，确定 的长度是自变量， 的长度和 的长度都是这个自变量的函数； （2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合函数图象，解决问题：当CP2PD时，AP的长度约为 25（2020丰台区三模）如图 1，在弧MN和弦MN所组成的图形中，P是弦MN上一动点， 过点P作弦MN的垂线，交弧MN于点Q，连接MQ已知MN6cm，设M、P两点间的距离 为xcm，P、Q两点间的距离为y1cm，M、Q两点间的距离为y2cm 小轩根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探 究下面是小轩的探究过程，请补充完整： （1）按照下表中
11、自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对 应值：x/cm x/cm 0 1 2 3 4 5 6 y1/cm 0 2.24 2.83 3.00 2.83 2.24 0 y2/cm 0 2.45 3.46 4.24 4.90 m 6 上表中m的值为 （保留两位小数） （2）在同一平面直角坐标系xOy（图 2）中，函数y1的图象如图，请你描出补全后的表 中y2各组数值所对应的点（x，y2），并画出函数y2的图象； （3） 结合函数图象， 解决问题： 当MPQ有一个角是 60时，MP的长度约为 （保 留两位小数） 26（2020朝阳区三模）如图，PA是O的切线，切点为A，AC
12、是O的直径，过A点作 ABPO于点D，交O于B，连接BC，PB （1）求证：PB是O的切线； （2）若 cosPAB，BC2，求PO的长 27（2020海淀区校级二模）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（1，1），P2 （2，2），如果|12|+|y12|，则称P1与P2互为“d距点”例如：点P1（3， 6），点P2（1，7），由d|31|+|67|3，可得点P1与P2互为“3距点” （1）在点D（2，2），E（5，1），F（0，4）中，原点O的“4距点”是 （填 字母）； （2）已知点A（2，1），点B（0，b），过点B作平行于x轴的直线l 当b3 时，直线l上点A的“2距点”的坐标
13、为 ； 若直线l上存在点A的“2距点”，求b的取值范围； （3）已知点M（1，2），N（3，2），C（m，0），C的半径为，若在线段MN上存 在点P，在C上存在点Q，使得点P与点Q互为“5距点”，直接写出m的取值范围 28（2020昌平区二模）平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于图形G及图形G外 一点P，若图形G上存在一点M，满足PM2，且使点P绕点M顺时针旋转 90后得到的 对应点P在这个图形G上，则称点P为图形G的“2 旋转点” 已知点A（1，0），B（1，2），C（2，2），D（0，3），E（2，2），F（3，0） （1）判断：点B 线段AF的“2 旋转点”（填“是”或“不是”）；
14、 点C，D，E中，是线段AF的“2 旋转点”的有 ； （2）已知直线l：yx+b，若线段l上存在线段AF的“2 旋转点”，求b的取值范围； （3）T是以点T（t，0）为圆心，为半径的一个圆，已知在线段AD上存在这个圆 的“2 旋转点”，直接写出t的取值范围 参考答案 一选择题 1解：AOB68， APBAOB34， 故选：B 2解：这个圆锥的侧面积251365（cm2）， 故选：C 3解：四边形ABCD为O的内接四边形，A125， C180A55， BOD2A110， 故选：C 4解：由圆周角定理得，BOC2A90， BCOC2， 故选：B 5解：如图，连接BC， AB是直径， ABC90，
15、AB4，AC2， sinABC， ABC30， ADCABC30， 故选：B 6 解：A 无论P运动到什么位置， APB所对的弧为始终不变， 则APB的大小不改变， 故A错误； B当P运动到优弧的中点时，P点到AB的距离最大，则B选项正确； CP点位置改变PA+PB值会发生变化，则C错误； DP点在运动过程中，P到AB的距离会改变，则PAB的面积会改变，而弓形AB面积不 改变，于是阴影部分的面积会改变，则D错误； 故选：B 7解：过O作OCAB于C， OAOB4，AOB90， ABOA4， OCAB2， 故选：C 8解：AB是直径， ACB90， CAB65， ABC90CAB25， ADCA
16、BC25， 故选：D 9解：ABCD，CD4， CEDE2， BC，tanC， tanB， AE1，BE4， ABAE+BE1+45， 故选：C 10解：BCCD， ， DACCAB， DAB50， CAB5025， AB是直径， ACB90， B902565， 故选：B 二填空题（共 9 小题） 11解：连接OC，OD，如图所示： CAB50， COB2CAB100 ， AODCOD（180COB）40， CADCOD20 故答案为：20 12解：OAOC，OCA40， BAC40， BOC80， 图中阴影部分的面积为：2 故答案为：2 13解：根据题意，S扇形3 故答案为 3 14解：由垂
17、径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA， 由勾股定理得，OA， 圆的周长28.9， 故答案为：8.9 15解：ACBADB理由如下： 延长AD交O于E，连接BE，如图， ADBE， 而ACBE， ACBADB 故答案为 16解：经测量得OAcm，AOB60， 所以的长度2.6（cm） 故答案为 2.6 17 解： 由面积为 225cm2的正方形可知正方形的边长15cm， 即是圆柱底面的周长， 所以用这硬纸片围成圆柱的侧面的直径cm， 故答案为： 18解：连接OC， 弦CDAB，AB为圆O的直径， E为CD的中点， 又CD10 寸， CEDECD5 寸， 设OCOAx寸，则AB2x寸，OE（x1
18、）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2OC2， 即（x1）2+52x2， 解得：x13， AB26 寸， 即直径AB的长为 26 寸， 故答案为：26 19解：由题意得，108， 解得，n5， 故答案为：5 三解答题（共 9 小题） 20解：（1）根据P为C的可视点的定义可知，当OP2r（r是C的半径）时，点P 是C的可视点， 由此可得，点D，E是O的可视点， 故答案为D，E 由得，若直线l存在O的可视点，则直线l与半径为 2 的O相切或相交 如图，当直线l与半径为 2 的O相切时， M（4，0）， MO4， 根据勾股定理得，AM2， OAMEOM90，AMOOME， OAMEOM， ， ， O
19、E， 若直线l存在O的可视点，b的取值范围为b （2）当y0 时，x+t0， 解得xt，则与x轴交点为（t，0），与y轴的交点坐标为（0， ）， 直线yx+存在T的可视点，且T的半径为 1， 直线yx+t与半径为 2 的T相交或相切 当t0 时，如图 1，直线yx+t与半径为 2 的T相切时， E（0，t）、F（t，0）， OEt，OFt， 在 RtFOE中，tanEFO， GFTEFO60， T（t，0）， FTTOFOt， 在 RtTGF中，sinTFG， t 如图 2 中，如图 2，当直线yx+t与半径为 2 的T相交，且此时线段CD的长 为 2为可视线段长度时，过点T作THCD，则HD
20、， 在 RtTHD中，cosTDH， TDH30， 又TFD60， DTF90， 在 RtTFD中，tanTDF， t， 0n2， t， 同理，t0 时，t， 综上所述，t的取值范围为t或t 21解：（1）如图 1 中，即为所求 当是最大的AOB的内弧时，AB是弧的直径， OAOB4，AOB90， AB4， AOB的最大内弧的长为 2 故答案为 2 （2）如图 2 中，连接PA，PB n时， OB， OA4， tanOAB， OAB30，AB2OB， 当AOB的内弧与x轴相切时，PAOA， PAB60， PAPB， PAB是等边三角形， PB， 观察图象可知，当点P的纵坐标，yP时，是AOB的
21、内弧 当是AOB的最大内弧时，AB是直径，设AB的中点为K， 点P与K重合， K（2，）， 观察图象可知，当yP时，是AOB的内弧 综上所述，满足条件的yP或yP 故答案为yP或yP 如图 3 中，当n0 时，点B是切点，圆心P在直线x6 上时，设直线x6 交x轴于 F， PBOAOBPFO90， 四边形OFPB是矩形， PFOB， 在 RtABF中，AFB90，AF2，PAPB6， PF4， 此时B（0，4）， 观察图象可知，当 0n4时，直线x6 上存在AOB的内弧 所在圆的圆心P， 根据对称性可知，当4n0 时，直线x6 上存在AOB的内弧 所在圆的圆心 P 综上所述，满足条件的n的值为
22、4n0 或 0n4 （3）如图 4 中，当当BCD的中内弧所在的圆的圆心P落在CD上，且BD与相切 时，连接PA，PB OBOC，ABAD， CD2OA8， BD与相切， PABD， ABAD， PBBD6， PC2，PCB90 BC4， OB2， 观察图象可知，满足条件的n的值为n2 故答案为n2 22证明：（1）AB是O的直径， ADB90， 点E是弧AB的中点， ABE45， CA与O相切于点A， BAC90， ABAC， ADOC于点F， AFCADB90， FAC+BAD90，FAC+ACF90， BADACF 在ABD和CAF中 ABDCAF（AAS）， BDAF （2）解：BD2
23、， AFBD2， ADOC于点F， AD2AF4CF， 在 RtABD中，AB， 在 RtABC中，BCAB， AFCADB90，FQCDQB， BDQCFQ， ， CQ2BQ， CQBC 23解：（1）如图，连接BO， BABC，BOBO， RtABORtCBO（HL）， AOCO， 又BCO90， BC是O的切线； （2）依照题意画出图形，如图所示， RtABORtCBO， AOBBOC， AODCOD， ， AOCAOD， AOCAODCOD120， AOBBOC60， BCO90， OBC30， AOBOBC+F60， F30OBC， OBOF 24解：（1）由图表观察，可看出随着AP
24、的变化，CP和PD都在发生变化，且都有唯一确 定的值和其对应，所以AP的长度是自变量，CP和PD的长度都是这个自变量的函数 故答案为：AP，CP，PD； （2） （3）由图象可推断：当CP2PD时，线段AP的长度约为 4.50 25解：（1）利用测量法可知：当x5 时，y25.48， m5.48， 故答案为：5.48 （2）函数图象如图所示： （3）函数y1与直线yx的交点的横坐标为 1.50， 函数y1与直线yx的交点的横坐标为 4.50， 故当MPQ有一个角是 60时，MP的长度约为 1.50 或 4.50 故答案为：1.50 或 4.50 26解：（1）连接OB， AC为O的直径， AB
25、C90， ABPO， POBC AOPC，POBOBC， OBOC， OBCC， AOPPOB， 在AOP和BOP中， ， AOPBOP（SAS）， OBPOAP， PA为O的切线， OAP90， OBP90， PB是O的切线； （2）PAB+BACBAC+C90， PABC， cosPABcosC， BC2， AC2， AO， PAOABC90，POAC， PAOABC， ，即， 解得PO5 27解：（1）如图 1 中， 原点O的“4距点”是D，F 故答案为D，F （2）如图 2 中， 直线l上点A的“2距点”点为M，M的坐标为（2，3） 故答案为（2，3） 观察图象可知，直线l上存在点A的
26、“2距点”，则b的取值范围为1b3 （3）如图 3 中，当点P与M重合C在点M的右侧，C上存在点Q使得d的最小值 为 5 时，过点M作MJx轴于J，过点Q作QFMJ于F，QTOC于T 设CTx，QTy，则x2+y2， 则x+y， 当xy时，x+y有最大值，最大值为 1，此时P，Q之间的d的值最小， Q，P互为 5距点， MF，FQ，CTTQ， 此时C（3，0）， 观察图形可知，满足条件的m的值为3m1 和 3m7 28解：（1）如图 1，连接AB， A（1，0），B（1，2）， ABx轴， BAF90， 满足点B绕点A顺时针旋转 90后得到对应点B， 且B在线段AF上， 则称点B为线段 AF的
27、“2 旋转点”； 故答案为：是； 如图 2，连接EC交x轴于点M， C（2，2），E（2，2）， CEx轴， 由题意得：点D（0，3）到线段AF的距离为 3，所以点D不是线段AF的“2 旋转点”； 同理得：点C（2，2）绕点M顺时针旋转 90后得到对应点O，且O在线段AF上，则 称点C为线段AF的“2 旋转点”， 点E（2，2）绕点M顺时针旋转 90后得到对应点E，但E不在线段AF上，所以点E 不是线段AF的“2 旋转点”； 故答案为：C； （2）分两种情况： 当b0 时，如图 3，过B作直线l：yx+b， 把B（1，2）代入得：21+b，b3， 在x轴上，F的左边取一点H，使FH2，过H作H
28、Kx轴，使KH2，过K作KLl，交 y轴于L， K（1，2）， 设直线KL的解析式为：yx+b1， 把K（1，2）代入得：21+b1，b11， 若线段l上存在线段AF的“2 旋转点”，则b的取值范围是：1b3； 当b0 时，同理可得b的取值范围是：5b3； 综上，b的取值范围是：1b3 或5b3； （3）P为线段AD上一点，以P为圆心，以 2 为半径画圆P，则M在P上，如图 4，将 线段PM绕点M顺时针旋转得到PM，P与A重合时，AMPM2，过T作TNPM于N， 则MNPN1， 此时DAMAMP90， ADOMAT， tanMATtanADO， 即，KM， KN1， 由勾股定理得：AK， TNAM， AMKTNK， 2， TKAK， OTOA+AK+TK1+1+， T（1，0）； 如图 5， M在以AA为直径的圆上，且AA2， A（1，0）， T（1，0）， 此时A是T的“2 旋转点”， t的取值范围是1t1 如图 6，同理可得T（1，0）， 如图 7，当T与AD相切时，设切点为T， ATTAOD90，OADOAD， AODATT， ，即， AT， OT1， T（1，0）， t的取值范围是1t1， 综上，t的取值范围是围是1t1或1t1