1、2020 年北京市中考数学各地区模拟试题分类（一）方程与不等式 一选择题 1（2020南海区一模）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做 6 个，甲做 30 个所用的时间与 乙做45个所用的时间相等， 求甲每小时做中国结的个数 如果设甲每小时做x个， 那么可列方程为 （ ） A B C D 2（2020朝阳区二模）方程组的解是（ ） A B C D 3（2020斗门区一模）若关于x的一元二次方程kx22x+10 有两个不相等的实数根，则实数k的取值 范围是（ ） Ak1 Bk1 Ck1 且k0 Dk1 且k0 4（2020海淀区校级三模）若分式方程无解，则m的值为（ ） A1 B3 C0
2、 D2 5（2020东城区校级模拟）下列不等式变形中，一定正确的是（ ） A若acbc，则ab B若ab，则ac2bc2 C若ac2bc2，则ab D若a0，b0，且，则ab 6（2019通州区三模）若二元一次方程组的解为则a+b的值为（ ） A0 B1 C2 D4 7（2019房山区二模）方程组的解为（ ） A B C D 8（2019东城区二模）二元一次方程组的解为（ ） A B C D 9（2019海淀区二模）已知ab，则下列不等式一定成立的是（ ） A5a5b B5ac5bc Ca5b+5 Da+5b5 10（2019石景山区二模）不等式的解集在数轴上的表示正确的是（ ） A B C
3、D 二填空题 11（2020北京二模）算法统宗是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位其中有一个“绳索 量竿”问题： “一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托，问索长几尺” 译文：现有一根杆和一条绳索，用绳索去量杆，绳索比杆子长 5 尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比 竿子短 5 尺，问绳索长几尺？注：一托5 尺 设绳索长x尺，竿子长y尺，依题意，可列方程组为 12 （2020海淀区二模） 小华和小明周末到北京三山五园绿道骑行 他们按设计好的同一条线路同时出发， 小华每小时骑行 18km，小明每小时骑行 12km，他们完成全部行程所用的时间，小明比小华多半小时设 他们
4、这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为 13 （2020通州区一模）一笔总额为 1078 元的奖金，分为一等奖、二等奖和三等奖，奖金金额均为整数， 每个一等奖的奖金是每个二等奖奖金的两倍，每个二等奖的奖金是每个三等奖奖金的两倍若把这笔奖 金发给6个人， 评一、 二、 三等奖的人数分别为a，b，c， 且0abc， 那么三等奖的奖金金额是 元 14（2020东城区一模）九章算术中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一 十今将钱三十，得酒二斗问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1 斗，价值 50 钱； 行酒（劣质酒）1 斗，价值 10 钱现有 30 钱，买得 2
5、斗酒问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y斗，则可列二元一次方程组为 15（2020朝阳区一模）某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如下表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 180 单程 100 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有 8 人乘坐缆车，返程时有 17 人乘坐缆车，他们乘坐 缆车的总费用是 2400 元，该小组共有 人 16 （2020海淀区一模） 为了丰富同学们的课余生活， 某年级买了 3 个篮球和 2 个足球， 共花费了 474 元， 其中篮球的单价比足球的单价多 8 元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x元，足球的单价为 y元，
6、依题意可列方程组为 17（2020房山区一模）明代的程大位创作了算法统宗，它是一本通俗实用的数学书，将枯燥的数学 问题化成了美妙的诗歌，读来朗朗上口，是将数字入诗的代表作其中有一首饮酒数学诗：“肆中饮客 乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试 问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒 3 位客人；薄酒三瓶，可以醉 倒 1 位客人，如今 33 位客人醉倒了，他们总共饮下 19 瓶酒试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？” 设有好酒x瓶，薄酒y瓶根据题意，可列方程组为 18（2020平谷区一模）我国古代数学著作孙子算经中记载了这
7、样一个有趣的数学问题“今有五等诸 侯，共分橘子 60 颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意是：诸侯 5 人，共同分 60 个橘子，若 后面的人总比前一个人多分 3 个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得x个，依题意可 列方程得 三解答题 19（2020丰台区三模）解不等式组，并写出它的所有非负整数解 20（2020丰台区三模）已知关于x的方程ax2+2x30 有实数根 （1）求a的取值范围； （2）若该方程有两个相等的实数根，求a的值及方程的根 21（2020朝阳区三模）通过使用手机app购票，智能闸机、手持验票机验票的方式，能够大大缩短游客 排队购票、验票的等待时间，且操作
8、极其简单，已知某公园采用新的售票、验票方式后，平均每分钟接 待游客的人数是原来的 10 倍，且接待 5000 名游客的入园时间比原来接待 600 名游客的入园时间还少 5 分钟，求该公园原来平均每分钟接待游客的人数 22 （2020石景山区二模） 在抗击新冠肺炎疫情期间， 老百姓越来越依赖电商渠道获取必要的生活资料 小 石经营的水果店也适时加入了某电商平台，并对销售的水果中的部分（如下表）进行促销：参与促销的 水果免配送费且一次购买水果的总价满 128 元减x元每笔订单顾客网上支付成功后，小石会得到支付 款的 80% 参与促销水果 水果 促销前单价 苹果 58 元/箱 耙耙柑 70 元/箱 车
9、厘子 100 元/箱 火龙果 48 元/箱 （1）当x8 时，某顾客一次购买苹果和车厘子各 1 箱，需要支付 元，小石会得到 元； （2）在促销活动中，为保障小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折，则x的最大值 为 23（2020石景山区二模）关于x的一元二次方程x2（k+3）x+k+20 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求k的取值范围 24（2020昌平区二模）解不等式组 25（2020昌平区二模）已知：关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+m0 （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根； （2）请选择一个合适的m值，写出这个方程并求出此时方程
10、的根 参考答案参考答案 一选择题 1解：设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个， 根据甲做 30 个所用时间与乙做 45 个所用时间相等，得 ， 故选：A 2解：， +得：3x6， 解得：x2， 把x2 代入得：y1， 则方程组的解为， 故选：A 3解：关于x的一元二次方程kx22x+10 有两个不相等的实数根， k0 且0，即（2）24k10， 解得k1 且k0 k的取值范围为k1 且k0 故选：D 4解：去分母得：3xm+2（x+1）， 解得：xm+2 m+2+10， 解得：m3 故选：B 5解：A当c0，不等号的方向改变故此选项错误； B当c0 时，符号为等号，故此选项错误； C不等式
11、两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，正确； D分母越大，分数值越小，故此选项错误 故选：C 6解：把代入方程组得：， 解得：， 则a+b2， 故选：C 7解：， +得：4x4， 解得：x1， 把x1 代入得：y5， 则方程组的解为 故选：A 8解：， +得：2x4， 解得：x2， 得：2y0， 解得：y0， 则方程组的解为， 故选：C 9解：ab， 5a5b，故选项A不合题意； 5ac5bc，错误，故选项B不合题意； a5b+5 错误，故选项C不合题意； a+5b5，正确，故本选项符合题意 故选：D 10解：去分母得，x4， 系数化为 1 得，x4 在数轴上表示为： 故选：D 二填空
12、题（共 8 小题） 11解：根据题意得： 故答案为： 12解：设他们这次骑行线路长为xkm，依题意，可列方程为， 故答案为： 13解：a+b+c6，0abc，且a，b，c均为整数， ， 设三等奖的奖金金额为x元，则二等奖的奖金金额为 2x元，一等奖的奖金金额为 4x元， 依题意，得：4x+2x+4x1078，4x+22x+3x1078，24x+22x+2x1078， 解得：x107.8（不合题意，舍去），x98，x77 故答案为：98 或 77 14解：依题意得：， 故答案是： 15解：设该小组共有x人，往返的有y人，依题意有 ， 解得 故该小组共有 20 人 故答案为：20 16解：设篮球的
13、单价为x元，足球的单价为y元， 根据题意可列方程组为， 故答案为： 17解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶根据题意，可列方程组为， 故答案为： 18解：设中间的那个人分得x个，由题意得： （x6）+（x3）+x+（x+3）+（x+6）60， 故答案为：（x6）+（x3）+x+（x+3）+（x+6）60 三解答题（共 7 小题） 19解：， 解不等式，得x2 解不等式，得x2 原不等式组的解集为2x2 原不等式组的所有非负整数解为 0，1，2 20解：（1）当a0 时，是一元二次方程， 原方程有实数根， 224（3）a4+12a0， a； 当a0 时，2x30 是一元一次方程，有实数根 a的取值范围为a
14、； （2）根据题意得224（3）a0， 解得 a， 原方程变形为x2+2x30， 所以x1x23 21解：设该公园原来平均每分钟接待游客的人数为x人， 由题意可得：， 解得：x20， 经检验，x20 是原方程的解， 答：该公园原来平均每分钟接待游客的人数为 20 人 22解：（1）一次购买苹果和车厘子各 1 箱共计金额为：58+100158（元）， 158128， 顾客需要支付：1588150（元）， 小石会得到：15080%120（元）， 故答案为：150，120； （2）在促销活动中，设订单总金额为m元， 当 0m128 时，则小石每笔订单所得到的金额不低于促销前总价的七折， 当m128 时，0.8（mx）0.7m，即m8x， 对m128 恒成立， 8x128， 解得：x16， x的最大值为 16， 故答案为：16 23（1）证明：依题意，得（k+3）24（k+2）k2+6k+94k8（k+1）2 （k+1）20， 方程总有两个实数根； （2）解：由求根公式，得 x11，x2k+2， 方程有一个根为负数， k+20 k2 k的取值范围是k2 24解： 由得x3， 由得，x2， 所以，不等式组的解集是3x2 25（1）证明：（2m+1）24m24m10， 方程总有两个不相等的实数根； （2）解：当m0 时，方程化为x2+x0， 解得x10，x21