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2020年重庆市南岸区中考数学模拟试卷(四)含答案解析

1、 20202020 年重庆市南岸区中考数学模拟试卷(四)年重庆市南岸区中考数学模拟试卷(四) 一、选择题 1在下列各数中,比2 小的数是( ) A3 B2 C0 D1 2化简(a 2)3的结果为( ) Aa 5 Ba 6 Ca 8 Da 9 3抛物线yx 2+4x+7 的对称轴是( ) A直线x4 B直线x4 C直线x2 D直线x2 4甲骨文是中国的一种古代文字,是汉字的早期形式下列甲骨文中,是轴对称图形的是( ) A B C D 5把正方形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有 5 个正方形,第个图案中有 9 个正方形,第 个图案中有 13 个正方形,按此规律排列下去,则第个图案中正方形的

2、个数是( ) A24 B25 C29 D30 6要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 4 厘米,6 厘米和 9 厘米,另一个 三角形的最长边是 18 厘米,则它的最短边是( ) A2 厘米 B4 厘米 C8 厘米 D12 厘米 7若mn2,mn3,则代数式m 2nmn2的值是( ) A6 B5 C1 D6 8下列命题正确的是( ) A绝对值等于本身的数是正数 B绝对值等于相反数的数是负数 C互为相反数的两个数的绝对值相等 D绝对值相等的两个数互为相反数 9估计(32)的值应在( ) A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 10如图

3、,在ABC中,A60,AB4,以BC的中点O为圆心作圆,分别与AB、AC相切于D、E两点, 则的长是( ) A B C D3 11如图,小王在山坡上E处,用高 1.5 米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为 25,DE平行于地 面BC, 若DE2 米,BC10 米, 山坡CD的坡度i1: 0.75, 坡长CD5 米, 则铁塔AB的高度约是 ( ) (参考数据:sin250.42,cos250.91,tan250.47 ) A11.1 米 B11.8 米 C12.0 米 D12.6 米 12若关于x的不等式组所有整数解的和为 2,且关于y的分式方程+1 的解 是正数,则符合条件的所有整数k的和

4、是( ) A10 B13 C15 D17 二、填空题:(本大题个小题,每小题 4 分,共 24 分)请将每小题的答案直接填在对应的横线上. 13计算:+3 1 14 如图, 扇形的圆心角为 90, 半径OC2, AOC30,CDOB于点D, 则阴影部分的面积是 15如图,“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形,其中 1、2、3、5、7 是等腰直角三角形,4 是 正方形,6 是平形四边形一只小虫在七巧板上随机停留,则刚好停在 5 号板区域的概率是 16如图,把直角三角形纸片折叠,使点C落在C处,折痕为AD,得到CDC60若ABC90, AB1,AC,则CD 17A、B两地相距 2400 米,

5、甲从A地出发步行前往B地,同时乙从B地出发骑自行车前往A地乙到达A 地后,休息了一会儿,原路原速返回到B地停止,甲到B地后也停止在整个运动过程中,甲、乙均保 持各自的速度匀速运动甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发时间x(分钟)之间的关系如图所示, 则a 18 某水稻种植中心培育了甲、 乙、 丙三种水稻, 将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里 去 年,三种水稻的平均亩产量分别为 300kg,500kg,400kg,总平均亩产量为 450kg,且丙种水稻的的总产 量是甲种水稻总产量的 4 倍,今年初,研究人员改良了水稻种子,仍按去年的方式种植,三种水稻的平 均亩产量都增加了总平均亩产

6、量增长了 20%,甲、丙两种水稻的总产量增长了 30%,则乙种水稻平均亩 产量的增长率为 三、解答题:(本大题 7 个小题,每小题 10 分,共 70 分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理 步骤,画岀必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在对应的位置上. 19计算: (1)(a1)(a3)(a+2)(a2) (2)(m1+) 20某校对九年级 400 名学生进行了一次体育测试,并随机抽取甲、乙两个班各 50 名学生的测试成绩(成 绩均为整数,满分 50 分)进行整理、描述和分析 下面给岀了部分信息 (用x表示成绩,数据分成 5 组:A:30 x34,B:34x38,C:38x42

7、, D:42x46,E:46x50) 乙班成绩在D组的具体分数是:42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 43 44 45 45 甲,乙两班成绩统计表: 班级 甲班 乙班 平均分 44.1 44.1 中位数 44.5 n 众数 m 42 方差 7.7 17.4 根据以上信息,回答下列问题: (1)直接写出m、n的值; (2)小明这次测试成绩是 43 分,在班上排名属中游略偏上,小明是甲、乙哪个班级学生?说明理由; (3)假设该校九年级学生都参加此次测试,成绩达到 45 分及 45 分以上为优秀,估计该校本次测试成绩 优秀的学生人数 21甲、乙两个机器臂在生产流水线上加工和包

8、装零件,加工和包装 1 个零件各需一分钟,甲机器臂每次 可同步加工 2 个零件,乙机器臂每次可同步包装 3 个零件甲机器臂从一开始就不停的工作,当未包装 的零件达到 8 个时,乙机器臂开始工作,直到未包装的零件不足 5 个时停止工作,进行休整,并按此循 环工作和休整 小明对未包装的零件数进行探究,下面是他的探究过程,请补充完整: 记甲机器臂工作的时间为x(单位:分钟),未包装的零件数为y(单位:个) x 0 x1 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 y 0 2 4 a 8 b c (1)根据上面的信息,直接写出a、b、c的值 (2)在平面直角坐标系中,补全当 0 x7 时,y随x变

9、化的函数图象 (3)将未包装零件为 6 个的时段称为最佳工作时段当甲机器臂工作到 8 至 14 分钟内,直接写出最佳 工作时段x的取值范围 22求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题,中国古代数学专著九章算术中便记载了求一组正 整数最小公倍数的一种方法少广术,术曰:“置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步,各 以其母除其子,置之于左命通分者,又以分母遍乘诸分子及已通者,皆通而同之,并之为法置所求 步数,以全步积分乘之为实实如法而一,得从步”意思是说,要求一组正整数的最小公倍数,先将 所给一组正整数分别变为其倒数,首项前增一项“1”,然后以最末项分母分别乘各项,并约分;再用最 末项分数的分

10、母分别乘各项,再约分,;如此类推,直到各项都为整数止,则首项即为原组正整数之 最小公倍数 例如:求 6 与 9 的最小公倍数 解:第一步:1,; 第二步:9,1: 第三步:18,3,2 所以,6 与 9 的最小公倍数是 18 请用以上方法解决下列问题: (1)求 54 与 45 的最小公倍数; (2)求三个数 6,51,119 的最小公倍数 23某水果店,3 月份苹果进价为每千克 10 元,按 50%的利润销售 (1)若水果店 3 月份销售苹果获利不低于 1500 元,求 3 月份至少销售苹果多少千克? (2)在(1)中最低销售量的基础上,4 月份苹果销售量和销售单价都比 3 月份有所增长,其

11、中销售单 价增长率是销售量增长率的 2 倍,结果 4 月份苹果总销售额为 5940 元求 4 月份苹果销售量的增长率 24在正方形ABCD中,点E是DC上一点,连结AC,AE (1)如图 1,若AC8,AE10,求ACE的面积 (2)如图 2,EFAC于点F,连结BF求证:AEBF 25ABC与ADE都是等边三角形,DE与AC交于点P,点P恰为DE的中点,延长AD交BC于点F,连结 BD、CD,取CD的中点Q,连结PQ求证:PQBD (1)如图 1,理清思路,完成解答: 本题证明的思路可以用下列框图表示: 根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程; (2)如图 2,特殊位置,求线段长:若点P

12、为AC的中点,连接PF,已知PQ,求PF的长 (3)知识迁移,探索新知:若点P是线段AC上任意一点,直接写出PF与CD的数量关系 四、解答题:(本大题 1 个小题,满分 8 分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必 要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在对应的位置上. 26如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx 2+2x+3 与 x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴 交于点C,过点C作CDy轴,交抛物线于点D,连结AD (1)点P为线段AD上方抛物线上的一动点,点E是线段AD上一动点,连结PA,PD,PE,当PAD面积 最大时,求PE+AE的最小值; (2)在(1)

13、中,PE+AE取得最小值时,过点E作EFx轴,垂足为点F,将AEF绕点F顺时针旋 转 90后得到AEF,点A、E的对应点分别为A、E,在直线AD上是否存在一点Q,使得DE Q为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题:(本人题 12 个小题,每小题 4 分,共 48 分)在每个小题的下面,都给出了代号为 A、B、C、 D 的四个答案,其中只有一个是正确的,请将正确答案填在题后括号内 1在下列各数中,比2 小的数是( ) A3 B2 C0 D1 【分析】根据正数大于负数;两个负数,绝对值大的其值反而小,比较各数大小即可 解:四个数大小关系为320

14、1, 则比2 小的数是3, 故选:A 2化简(a 2)3的结果为( ) Aa 5 Ba 6 Ca 8 Da 9 【分析】利用幂的乘方法则:底数不变,指数相乘(a m)namn(m,n 是正整数),求出即可 解:(a 2)3a6 故选:B 3抛物线yx 2+4x+7 的对称轴是( ) A直线x4 B直线x4 C直线x2 D直线x2 【分析】利用对称轴计算公式可得答案 解:因为a1,b4,c7, 所以对称轴是直线x2, 故选:D 4甲骨文是中国的一种古代文字,是汉字的早期形式下列甲骨文中,是轴对称图形的是( ) A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 解:A、不是轴对

15、称图形,故本选项不符合题意; B、不是轴对称图形,故本选项不符合题意; C、是轴对称图形,故本选项符合题意; D、不是轴对称图形,故本选项不符合题意 故选:C 5把正方形按如图所示的规律拼图案,其中第个图案中有 5 个正方形,第个图案中有 9 个正方形,第 个图案中有 13 个正方形,按此规律排列下去,则第个图案中正方形的个数是( ) A24 B25 C29 D30 【分析】根据已知图形得出第n个图形中正方形的个数为 1+4n,据此求解可得 解:图中正方形的个数 51+41, 图中正方形的个数 91+42, 图中正方形的个数 131+43, 图中正方形的个数 1+4625(个), 故选:B 6

16、要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为 4 厘米,6 厘米和 9 厘米,另一个 三角形的最长边是 18 厘米,则它的最短边是( ) A2 厘米 B4 厘米 C8 厘米 D12 厘米 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得 解:设另一个三角形的最短边长为xcm, 根据题意,得:, 解得:x8, 即另一个三角形的最短边的长为 8cm 故选:C 7若mn2,mn3,则代数式m 2nmn2的值是( ) A6 B5 C1 D6 【分析】直接利用提取公因式法将原式变形进而将已知代入求出答案 解:mn2,mn3, m 2nmn2mn(mn) 23 6 故选:A 8下列命题正确的是

17、( ) A绝对值等于本身的数是正数 B绝对值等于相反数的数是负数 C互为相反数的两个数的绝对值相等 D绝对值相等的两个数互为相反数 【分析】分析是否为真命题,需要分别分析各题设是否能推出结论,从而利用排除法得出答案 解:A、绝对值等于本身的数是非负数,原命题是假命题; B、绝对值等于相反数的数是非正数,原命题是假命题; C、互为相反数的两个数的绝对值相等,是真命题; D、绝对值相等的两个数相等或互为相反数,原命题是假命题; 故选:C 9估计(32)的值应在( ) A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简,进而估算

18、无理数的大小即可 解:(32) 32 322 62, 223, 3624 故选:B 10如图,在ABC中,A60,AB4,以BC的中点O为圆心作圆,分别与AB、AC相切于D、E两点, 则的长是( ) A B C D3 【分析】 连接OA,OE,OD, 根据切线的性质得到OECODBAEOADO90, 求得DOE120, 根据全等三角形的性质得到CB,求得ACAB4,AOBC,根据弧长公式即可得到结论 解:连接OA,OE,OD, AB、AC与O相切于D、E两点, OECODBAEOADO90, BAC60, DOE120, 点O为BC的中点, OBOC, OEOD, RtOECRtODB(HL)

19、, CB, ACAB4,AOBC, CAO, AOAC2, OEAO, 的长是, 故选:C 11如图,小王在山坡上E处,用高 1.5 米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为 25,DE平行于地 面BC, 若DE2 米,BC10 米, 山坡CD的坡度i1: 0.75, 坡长CD5 米, 则铁塔AB的高度约是 ( ) (参考数据:sin250.42,cos250.91,tan250.47 ) A11.1 米 B11.8 米 C12.0 米 D12.6 米 【分析】如图,过点E、F分别作AB的垂线,垂足分别为G、H,得矩形EFHG,可得GHEF1.5,HF GD+2,过点D作BC延长线的垂线,垂足

20、为M,得矩形DMBG,根据CD的坡度i1:0.754:3,CD5, 可得DM4,CM3,再根据锐角三角函数求出AH的长,即可求出AB的高度 解:如图,过点E、F分别作AB的垂线,垂足分别为G、H,得矩形EFHG, GHEF1.5,HFGEGD+DEGD+2, 过点D作BC延长线的垂线,垂足为M, 得矩形DMBG, CD的坡度i1:0.754:3,CD5, DM4,CM3, DGBMBC+CM10+313,BGDM4, HFDG+215, 在 RtAFH中,AFH25, AHFHtan25150.477.05, ABAH+HG+GB7.05+1.5+412.6(米) 答:铁塔AB的高度约是 12

21、.6 米 故选:D 12若关于x的不等式组所有整数解的和为 2,且关于y的分式方程+1 的解 是正数,则符合条件的所有整数k的和是( ) A10 B13 C15 D17 【分析】不等式组整理后,表示出不等式组的解集,根据整数解之和为 2 确定出k的值,分式方程去分 母得到整式方程,表示出整式方程的解,根据解为正数确定出k的范围,进而确定出满足题意整数k的 值,求出之和即可 解:不等式组整理得:, 解得:2x, 由整数解之和为 2,得到整数解为1,0,1,2, 23, 解得:3k7, 分式方程去分母得:2y+1ky2, 解得:yk3, 由分式方程的解为正数,得到k30,且k32, 解得:k3 且

22、k5, 综上,k的范围是 3k7,且k5,即整数k4,6, 之和为 4+610 故选:A 二、填空题:(本大题个小题,每小题 4 分,共 24 分)请将每小题的答案直接填在对应的横线上. 13计算:+3 1 1 【分析】直接利用算术平方根的定义、负整数指数幂的性质分别化简,再利用有理数的加减运算法则计 算得出答案 解:原式+1 故答案为:1 14如图,扇形的圆心角为 90,半径OC2,AOC30,CDOB于点D,则阴影部分的面积是 【分析】 先利用互余计算出BOD60, 再根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算出OD1,CD, 然后根据扇形的面积公式,利用阴影部分的面积S扇形BOCSCOD

23、进行计算 解:AOB90,AOC30, BOD60, CDOB, CDO90, ODOC1,CDOD, 阴影部分的面积S扇形BOCSCOD 1 故答案为 15如图,“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形,其中 1、2、3、5、7 是等腰直角三角形,4 是 正方形,6 是平形四边形一只小虫在七巧板上随机停留,则刚好停在 5 号板区域的概率是 【分析】设 4 号板正方形的边长为 1,则 5 号板直角边长为 1,3 号板斜边长为,7 号板斜边长为 2, 直角边长为, 则大正方形边长为 2, 据此知大正方形的面积为 228, 5 号板的面积为, 再根据概率公式求解可得 解:设 4 号板正方形的边长

24、为 1,则 5 号板直角边长为 1,3 号板斜边长为,7 号板斜边长为 2, 直角边长为,则大正方形边长为 2, 大正方形的面积为 228,5 号板的面积为, 从这个正方形内任取一点,则刚好停在 5 号板区域的概率是, 故答案为: 16如图,把直角三角形纸片折叠,使点C落在C处,折痕为AD,得到CDC60若ABC90, AB1,AC,则CD 3 【分析】根据周角的定义和折叠的性质可求ADC150,根据平角的定义可求ADB30,可得AD 2AB2,再根据勾股定理可求BC,BD,再根据线段的和差关系可求CD的长 解:把直角三角形纸片折叠,使点C落在C处,折痕为AD,CDC60, ADC150, A

25、DB30, AD2AB2, ABC90, BC3,BD, CDBCBD3 故答案为:3 17A、B两地相距 2400 米,甲从A地出发步行前往B地,同时乙从B地出发骑自行车前往A地乙到达A 地后,休息了一会儿,原路原速返回到B地停止,甲到B地后也停止在整个运动过程中,甲、乙均保 持各自的速度匀速运动甲、乙两人相距的路程y(米)与甲出发时间x(分钟)之间的关系如图所示, 则a 24 【分析】根据题意和函数图象,可知第 10 分钟时,乙到达A地,此时甲走了 600 米,从而可以求得甲、 乙的速度,然后根据题意和图象,可知甲 32 分钟行驶的路程等于乙(32a)分钟行驶的路程,从而可 以求得a的值

26、解:由图可得, 乙的速度为 240010240(米/分钟),甲的速度为:6001060(米/分钟), 3260(32a)240, 解得,a24 故答案为:24 18 某水稻种植中心培育了甲、 乙、 丙三种水稻, 将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里 去 年,三种水稻的平均亩产量分别为 300kg,500kg,400kg,总平均亩产量为 450kg,且丙种水稻的的总产 量是甲种水稻总产量的 4 倍,今年初,研究人员改良了水稻种子,仍按去年的方式种植,三种水稻的平 均亩产量都增加了总平均亩产量增长了 20%,甲、丙两种水稻的总产量增长了 30%,则乙种水稻平均亩 产量的增长率为 15%

27、 【分析】设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩,b亩,c亩,乙种水稻平均亩产量的增长率为x,根据题 意列出方程组进行解答便可 解:设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩,b亩,c亩,乙种水稻平均亩产量的增长率为x,根据题意得, , 化简得, 把代入得,b6a, 把和都代入得,300ax15a+24a+6a, x15%, 故答案为 15% 三、解答题:(本大题 7 个小题,每小题 10 分,共 70 分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理 步骤,画岀必要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在对应的位置上. 19计算: (1)(a1)(a3)(a+2)(a2) (2)(m1+) 【分析】(1)直接

28、利用多项式乘以多项式以及乘法公式计算得出答案; (2)首先将括号里面通分运算,进而利用分式的混合运算法则计算得出答案 解:(1)(a1)(a3)(a+2)(a2) a 23aa+3(a24) a 24a+3a2+4 4a+7; (2)(m1+) 20某校对九年级 400 名学生进行了一次体育测试,并随机抽取甲、乙两个班各 50 名学生的测试成绩(成 绩均为整数,满分 50 分)进行整理、描述和分析 下面给岀了部分信息 (用x表示成绩,数据分成 5 组:A:30 x34,B:34x38,C:38x42, D:42x46,E:46x50) 乙班成绩在D组的具体分数是:42 42 42 42 42

29、42 42 42 42 42 43 44 45 45 甲,乙两班成绩统计表: 班级 甲班 乙班 平均分 44.1 44.1 中位数 44.5 n 众数 m 42 方差 7.7 17.4 根据以上信息,回答下列问题: (1)直接写出m、n的值; (2)小明这次测试成绩是 43 分,在班上排名属中游略偏上,小明是甲、乙哪个班级学生?说明理由; (3)假设该校九年级学生都参加此次测试,成绩达到 45 分及 45 分以上为优秀,估计该校本次测试成绩 优秀的学生人数 【分析】(1)根据中位数、众数的意义和计算方法分别计算即可, (2)利用中位数的意义进行判断; (3)根据用样本估计总体的方法,估计总体的

30、优秀率,进而计算出优秀的人数 解:(1)乙班的成绩从小到大排列,处在第 25、26 位的两个数都是 42,因此中位数是 42,即n42, 甲班的中位数一定落在D组,而甲班每组人数为:A组 2 人,B组 2 人,C组 10 人,D组 24 人,E组 12 人, 甲班的中位数是 44.5,而D组:42x46 整数,因此排序后处在第 25、26 位的两个数分别是 44,45, 于是,可得甲班得 45 分的学生数为 2+2+10+242513(人),是出现次数最多的, 所以,甲班成绩的众数是 45,即m45, 故答案为:m45,n42; (2)小明的成绩为 43 分,且在班上排名属中游略偏上,而甲班中

31、位数是 44.5,乙班的中位数是 42, 小明是乙班级学生; (3)甲班得 45 分及 45 分以上的有:13+1225(人),而乙班有:2+2022(人), 两个班的整体优秀率为:47%, 40047%188(人), 即:该校本次测试成绩优秀的学生人数为 188 人 21甲、乙两个机器臂在生产流水线上加工和包装零件,加工和包装 1 个零件各需一分钟,甲机器臂每次 可同步加工 2 个零件,乙机器臂每次可同步包装 3 个零件甲机器臂从一开始就不停的工作,当未包装 的零件达到 8 个时,乙机器臂开始工作,直到未包装的零件不足 5 个时停止工作,进行休整,并按此循 环工作和休整 小明对未包装的零件数

32、进行探究,下面是他的探究过程,请补充完整: 记甲机器臂工作的时间为x(单位:分钟),未包装的零件数为y(单位:个) x 0 x1 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 y 0 2 4 a 8 b c (1)根据上面的信息,直接写出a、b、c的值 (2)在平面直角坐标系中,补全当 0 x7 时,y随x变化的函数图象 (3)将未包装零件为 6 个的时段称为最佳工作时段当甲机器臂工作到 8 至 14 分钟内,直接写出最佳 工作时段x的取值范围 【分析】理解题意逐个区间探究即可求解 解:(1)由题意得:3x4 时,加工的零件数为 4+26,故y6a; 当 4x5 时,零件总数为 6+28,乙

33、机器启动开始工作,故y8; 当 5x6 时,零件总数为 8+210,乙机器工作了 1 分钟,包装了 3 个零件,故未包装的零件为 103 7,即b7; 当 6x7 时,同理可得:cy7+236; (2)根据(1)的数据补全函数图象如下: (3)在(1)的基础上,依此类推: 当 7x8 时,零件总数为 6+28,乙机器包装了 3 个零件,故未包装的零件为 835; 当 8x9 时,零件总数为 5+27,乙机器包装了 3 个零件,故未包装的零件为 734; 当 9x10 时,零件总数为 4+26,乙机器包装了 3 个零件,故未包装的零件为 633; 当 10 x11 时,零件总数为 3+25,乙机

34、器包装了 3 个零件,故未包装的零件为 532; 当 11x12 时,零件总数为 2+22,乙机器修整,故未包装的零件为 4; 当 12x13 时,零件总数为 4+26,乙机器开始工作,故未包装的零件为 6; 当 13x14 时,零件总数为 6+28,乙机器包装了 3 个零件,故未包装的零件为 5; 从以上分析看,8 至 14 分钟内,最佳工作时段x的取值范围为:12x13 22求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题,中国古代数学专著九章算术中便记载了求一组正 整数最小公倍数的一种方法少广术,术曰:“置全步及分母子,以最下分母遍乘诸分子及全步,各 以其母除其子,置之于左命通分者,又以分母遍乘

35、诸分子及已通者,皆通而同之,并之为法置所求 步数,以全步积分乘之为实实如法而一,得从步”意思是说,要求一组正整数的最小公倍数,先将 所给一组正整数分别变为其倒数,首项前增一项“1”,然后以最末项分母分别乘各项,并约分;再用最 末项分数的分母分别乘各项,再约分,;如此类推,直到各项都为整数止,则首项即为原组正整数之 最小公倍数 例如:求 6 与 9 的最小公倍数 解:第一步:1,; 第二步:9,1: 第三步:18,3,2 所以,6 与 9 的最小公倍数是 18 请用以上方法解决下列问题: (1)求 54 与 45 的最小公倍数; (2)求三个数 6,51,119 的最小公倍数 【分析】通常取各分

36、母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母,这样的公分母叫做最简 公分母 解:(1)第一步:1,; 第二步:45,1; 第三步:270,5,6; 所以,54 与 45 的最小公倍数是 270 (2)第一步:1,; 第二步:119,1; 第三步:357,7,3; 第四步:714,119,14,6; 所以 6,51,119 的最小公倍数是 714 23某水果店,3 月份苹果进价为每千克 10 元,按 50%的利润销售 (1)若水果店 3 月份销售苹果获利不低于 1500 元,求 3 月份至少销售苹果多少千克? (2)在(1)中最低销售量的基础上,4 月份苹果销售量和销售单价都比 3 月份有

37、所增长,其中销售单 价增长率是销售量增长率的 2 倍,结果 4 月份苹果总销售额为 5940 元求 4 月份苹果销售量的增长率 【分析】 (1)设 3 月份销售苹果x千克,根据总利润每千克的利润销售数量结合水果店 3 月份销售 苹果获利不低于 1500 元,即可得出关于x的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论; (2)设 4 月份苹果销售量的增长率为y,则 4 月份苹果销售单价的增长率为 2y,根据销售总额销售单 价销售数量,即可得出关于y的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论 解:(1)设 3 月份销售苹果x千克, 依题意,得:1050%x1500, 解得:x300 答:3 月份

38、至少销售苹果 300 千克 (2)设 4 月份苹果销售量的增长率为y,则 4 月份苹果销售单价的增长率为 2y, 依题意,得:10(1+50%)(1+2y)300(1+y)5940, 整理,得:50y 2+75y80, 解得:y10.110%,y21.6(不合题意,舍去) 答:4 月份苹果销售量的增长率为为 10% 24在正方形ABCD中,点E是DC上一点,连结AC,AE (1)如图 1,若AC8,AE10,求ACE的面积 (2)如图 2,EFAC于点F,连结BF求证:AEBF 【分析】(1)解 RtACD求得正方形ABCD的边长,再在ADE中由勾股定理求得DE,进而求得CE,最 后根据三角形

39、的面积公式求得结果; (2)设正方形ABCD的边长为a,CEb,过F作FGBC于点G,通过计算求得AE 2和 BF 2便可得结论 解:(1)四边形ABCD是正方形, ADCD,D90,DACDCA45, ADACsin458, , CECDDE862, ACE的面积8; (2)设正方形ABCD的边长为a,CEb,则 BCCDADa,DEab,ACDACB45, AE 2AD2+DE2a2+(ab)22a22ab+b2, 过F作FGBC于点G,如图 则CGFGCFCEb, BGab, , AE 22BF2, AEBF 25ABC与ADE都是等边三角形,DE与AC交于点P,点P恰为DE的中点,延长

40、AD交BC于点F,连结 BD、CD,取CD的中点Q,连结PQ求证:PQBD (1)如图 1,理清思路,完成解答: 本题证明的思路可以用下列框图表示: 根据上述思路,请你完整地书写本题的证明过程; (2)如图 2,特殊位置,求线段长:若点P为AC的中点,连接PF,已知PQ,求PF的长 (3)知识迁移,探索新知:若点P是线段AC上任意一点,直接写出PF与CD的数量关系 【分析】(1)根据流程图,利用等边三角形的性质,直角三角形斜边中线的性质解决问题即可 (2)解直角三角形求出CF,证明PCF是等边三角形即可解决问题 (3)如图 11 中,连接PF,EC,首先证明CDCE,证明PAFEAC,推出即可

41、解决 问题 【解答】(1)证明:如图 1 中, ADE是等边三角形,DPPE, APDE,EACDAPDAE30, ABC是等边三角形, BAC60, CAFBAF30, AF垂直平分线段BC, BDCD, CPD90,DQQC, PQCD, PQBD (2)解:如图 2 中, 当点P是AC的中点时, DO是线段AC的垂直平分线, B,D,P共线, BACD2PQ2,DFC90,DCF30, CFCDcos303, PCAC,CFBC,ACBC, CFCP3, PCF60, PCF是等边三角形, PFCF3 (3)解:结论:PFCD 理由:如图 11 中,连接PF,EC AC垂直平分线段DE,

42、 CDCE, ABC,ADE都是等边三角形,AF是ABC的高,AP是ADE的高, APAE,AFAC, , , PAFEAC30, PAFEAC, , PFECCD 四、解答题:(本大题 1 个小题,满分 8 分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必 要的图形(包括作辅助线),请将解答过程书写在对应的位置上. 26如图,在平面直角坐标系中,抛物线yx 2+2x+3 与 x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴 交于点C,过点C作CDy轴,交抛物线于点D,连结AD (1)点P为线段AD上方抛物线上的一动点,点E是线段AD上一动点,连结PA,PD,PE,当PAD面积 最大时,求

43、PE+AE的最小值; (2)在(1)中,PE+AE取得最小值时,过点E作EFx轴,垂足为点F,将AEF绕点F顺时针旋 转 90后得到AEF,点A、E的对应点分别为A、E,在直线AD上是否存在一点Q,使得DE Q为等腰三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由 【分析】(1)先求出点A,B,C,D的坐标,进而求出直线AD的解析式,设P(m,m 2+2m+3),PH m 2+2m+3m1m2+m+2,进而用PAD 面积最大,求出点P的坐标,再判断出BAD45,进而判 断出EFAE,得出点P,E,F在同一条线上时,PE+AE取得最小值,即可得出结论; (2) 借助 (1) 的结论判断出

44、DEx轴于E, 再分三种情况利用等腰三角形的性质求解, 即可得出结论 解:(1)如图 1,针对于抛物线yx 2+2x+3, 令x0,则y3, C(0,3), 令y0,则x 2+2x+30, x1 或x3, A(1,0),B(3,0), CDy轴, D(2,3), 直线AD的解析式为yx+1, 设点P(m,m 2+2m+3), 过点P作PHy轴交AD于H,则H(m,m+1), PHm 2+2m+3m1m2+m+2, SPADPH(xDxA)(m 2+m+2)(2+1) (x) 2+ , 当x时,PAD的面积最大, P(,), 过点D作DGx轴于G, DG3,OG2, AG3, AGDG, DAG

45、45, 过点E作EFx轴于F,则EFAE, 要PE+AE最小,则PE+EF最小, 点P,E,F在同一条线上时, PE+EF最小值yP, 即PE+AE最小值为; (2)如图 2, 由(1)知,点P,E,F在同一条线上, EFx轴, F(,0), EFAF(1), 由旋转知,EFEF, OEOF+EF2, E(2,0),D(2,3), DEx轴, DEQ为等腰三角形, 当QDQE时, 由旋转知,AEFEEF45, DEE90, ADE45, DEEE, 点P和点E重合, E(,), Q(,), 当DEQE时,由(1)知,AEDE, 点Q和点A重合, Q(1,0), 当DQDE时,设点Q(n,n+1), 3, n2, Q(2,3)或(2+,3+), 即满足条件的点Q的坐标为(,)或(1,0)或(2,3)或(2+,3+)