1、 20202020 年重庆市南岸区中考数学模拟试卷（四）年重庆市南岸区中考数学模拟试卷（四） 一、选择题 1在下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B2 C0 D1 2化简（a 2）3的结果为（ ） Aa 5 Ba 6 Ca 8 Da 9 3抛物线yx 2+4x+7 的对称轴是（ ） A直线x4 B直线x4 C直线x2 D直线x2 4甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 5把正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有 5 个正方形，第个图案中有 9 个正方形，第 个图案中有 13 个正方形，按此规律排列下去，则第个图案中正方形的
2、个数是（ ） A24 B25 C29 D30 6要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 4 厘米，6 厘米和 9 厘米，另一个 三角形的最长边是 18 厘米，则它的最短边是（ ） A2 厘米 B4 厘米 C8 厘米 D12 厘米 7若mn2，mn3，则代数式m 2nmn2的值是（ ） A6 B5 C1 D6 8下列命题正确的是（ ） A绝对值等于本身的数是正数 B绝对值等于相反数的数是负数 C互为相反数的两个数的绝对值相等 D绝对值相等的两个数互为相反数 9估计（32）的值应在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 10如图
3、，在ABC中，A60，AB4，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于D、E两点， 则的长是（ ） A B C D3 11如图，小王在山坡上E处，用高 1.5 米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为 25，DE平行于地 面BC， 若DE2 米，BC10 米， 山坡CD的坡度i1： 0.75， 坡长CD5 米， 则铁塔AB的高度约是 （ ） （参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47 ） A11.1 米 B11.8 米 C12.0 米 D12.6 米 12若关于x的不等式组所有整数解的和为 2，且关于y的分式方程+1 的解 是正数，则符合条件的所有整数k的和
4、是（ ） A10 B13 C15 D17 二、填空题：（本大题个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上. 13计算：+3 1 14 如图， 扇形的圆心角为 90， 半径OC2， AOC30，CDOB于点D， 则阴影部分的面积是 15如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中 1、2、3、5、7 是等腰直角三角形，4 是 正方形，6 是平形四边形一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在 5 号板区域的概率是 16如图，把直角三角形纸片折叠，使点C落在C处，折痕为AD，得到CDC60若ABC90， AB1，AC，则CD 17A、B两地相距 2400 米，
5、甲从A地出发步行前往B地，同时乙从B地出发骑自行车前往A地乙到达A 地后，休息了一会儿，原路原速返回到B地停止，甲到B地后也停止在整个运动过程中，甲、乙均保 持各自的速度匀速运动甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发时间x（分钟）之间的关系如图所示， 则a 18 某水稻种植中心培育了甲、 乙、 丙三种水稻， 将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里 去 年，三种水稻的平均亩产量分别为 300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为 450kg，且丙种水稻的的总产 量是甲种水稻总产量的 4 倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平 均亩产量都增加了总平均亩产
6、量增长了 20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了 30%，则乙种水稻平均亩 产量的增长率为 三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理 步骤，画岀必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上. 19计算： （1）（a1）（a3）（a+2）（a2） （2）（m1+） 20某校对九年级 400 名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各 50 名学生的测试成绩（成 绩均为整数，满分 50 分）进行整理、描述和分析 下面给岀了部分信息 （用x表示成绩，数据分成 5 组：A：30 x34，B：34x38，C：38x42
7、， D：42x46，E：46x50） 乙班成绩在D组的具体分数是：42 42 42 42 42 42 42 42 42 42 43 44 45 45 甲，乙两班成绩统计表： 班级 甲班 乙班 平均分 44.1 44.1 中位数 44.5 n 众数 m 42 方差 7.7 17.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出m、n的值； （2）小明这次测试成绩是 43 分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由； （3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到 45 分及 45 分以上为优秀，估计该校本次测试成绩 优秀的学生人数 21甲、乙两个机器臂在生产流水线上加工和包
8、装零件，加工和包装 1 个零件各需一分钟，甲机器臂每次 可同步加工 2 个零件，乙机器臂每次可同步包装 3 个零件甲机器臂从一开始就不停的工作，当未包装 的零件达到 8 个时，乙机器臂开始工作，直到未包装的零件不足 5 个时停止工作，进行休整，并按此循 环工作和休整 小明对未包装的零件数进行探究，下面是他的探究过程，请补充完整： 记甲机器臂工作的时间为x（单位：分钟），未包装的零件数为y（单位：个） x 0 x1 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 y 0 2 4 a 8 b c （1）根据上面的信息，直接写出a、b、c的值 （2）在平面直角坐标系中，补全当 0 x7 时，y随x变
9、化的函数图象 （3）将未包装零件为 6 个的时段称为最佳工作时段当甲机器臂工作到 8 至 14 分钟内，直接写出最佳 工作时段x的取值范围 22求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著九章算术中便记载了求一组正 整数最小公倍数的一种方法少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各 以其母除其子，置之于左命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法置所求 步数，以全步积分乘之为实实如法而一，得从步”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将 所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最 末项分数的分
10、母分别乘各项，再约分，；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之 最小公倍数 例如：求 6 与 9 的最小公倍数 解：第一步：1，； 第二步：9，1： 第三步：18，3，2 所以，6 与 9 的最小公倍数是 18 请用以上方法解决下列问题： （1）求 54 与 45 的最小公倍数； （2）求三个数 6，51，119 的最小公倍数 23某水果店，3 月份苹果进价为每千克 10 元，按 50%的利润销售 （1）若水果店 3 月份销售苹果获利不低于 1500 元，求 3 月份至少销售苹果多少千克？ （2）在（1）中最低销售量的基础上，4 月份苹果销售量和销售单价都比 3 月份有所增长，其
11、中销售单 价增长率是销售量增长率的 2 倍，结果 4 月份苹果总销售额为 5940 元求 4 月份苹果销售量的增长率 24在正方形ABCD中，点E是DC上一点，连结AC，AE （1）如图 1，若AC8，AE10，求ACE的面积 （2）如图 2，EFAC于点F，连结BF求证：AEBF 25ABC与ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结 BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ求证：PQBD （1）如图 1，理清思路，完成解答： 本题证明的思路可以用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程； （2）如图 2，特殊位置，求线段长：若点P
12、为AC的中点，连接PF，已知PQ，求PF的长 （3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系 四、解答题：（本大题 1 个小题，满分 8 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必 要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上. 26如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx 2+2x+3 与 x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴 交于点C，过点C作CDy轴，交抛物线于点D，连结AD （1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连结PA，PD，PE，当PAD面积 最大时，求PE+AE的最小值； （2）在（1）
13、中，PE+AE取得最小值时，过点E作EFx轴，垂足为点F，将AEF绕点F顺时针旋 转 90后得到AEF，点A、E的对应点分别为A、E，在直线AD上是否存在一点Q，使得DE Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 参考答案参考答案 一、选择题：（本人题 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为 A、B、C、 D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在题后括号内 1在下列各数中，比2 小的数是（ ） A3 B2 C0 D1 【分析】根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，比较各数大小即可 解：四个数大小关系为320
14、1， 则比2 小的数是3， 故选：A 2化简（a 2）3的结果为（ ） Aa 5 Ba 6 Ca 8 Da 9 【分析】利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘（a m）namn（m，n 是正整数），求出即可 解：（a 2）3a6 故选：B 3抛物线yx 2+4x+7 的对称轴是（ ） A直线x4 B直线x4 C直线x2 D直线x2 【分析】利用对称轴计算公式可得答案 解：因为a1，b4，c7， 所以对称轴是直线x2， 故选：D 4甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解 解：A、不是轴对
15、称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，故本选项符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意 故选：C 5把正方形按如图所示的规律拼图案，其中第个图案中有 5 个正方形，第个图案中有 9 个正方形，第 个图案中有 13 个正方形，按此规律排列下去，则第个图案中正方形的个数是（ ） A24 B25 C29 D30 【分析】根据已知图形得出第n个图形中正方形的个数为 1+4n，据此求解可得 解：图中正方形的个数 51+41， 图中正方形的个数 91+42， 图中正方形的个数 131+43， 图中正方形的个数 1+4625（个）， 故选：B 6
16、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 4 厘米，6 厘米和 9 厘米，另一个 三角形的最长边是 18 厘米，则它的最短边是（ ） A2 厘米 B4 厘米 C8 厘米 D12 厘米 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得 解：设另一个三角形的最短边长为xcm， 根据题意，得：， 解得：x8， 即另一个三角形的最短边的长为 8cm 故选：C 7若mn2，mn3，则代数式m 2nmn2的值是（ ） A6 B5 C1 D6 【分析】直接利用提取公因式法将原式变形进而将已知代入求出答案 解：mn2，mn3， m 2nmn2mn（mn） 23 6 故选：A 8下列命题正确的是
17、（ ） A绝对值等于本身的数是正数 B绝对值等于相反数的数是负数 C互为相反数的两个数的绝对值相等 D绝对值相等的两个数互为相反数 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案 解：A、绝对值等于本身的数是非负数，原命题是假命题； B、绝对值等于相反数的数是非正数，原命题是假命题； C、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题； D、绝对值相等的两个数相等或互为相反数，原命题是假命题； 故选：C 9估计（32）的值应在（ ） A2 和 3 之间 B3 和 4 之间 C4 和 5 之间 D5 和 6 之间 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则化简，进而估算
18、无理数的大小即可 解：（32） 32 322 62， 223， 3624 故选：B 10如图，在ABC中，A60，AB4，以BC的中点O为圆心作圆，分别与AB、AC相切于D、E两点， 则的长是（ ） A B C D3 【分析】 连接OA，OE，OD， 根据切线的性质得到OECODBAEOADO90， 求得DOE120， 根据全等三角形的性质得到CB，求得ACAB4，AOBC，根据弧长公式即可得到结论 解：连接OA，OE，OD， AB、AC与O相切于D、E两点， OECODBAEOADO90， BAC60， DOE120， 点O为BC的中点， OBOC， OEOD， RtOECRtODB（HL）
19、， CB， ACAB4，AOBC， CAO， AOAC2， OEAO， 的长是， 故选：C 11如图，小王在山坡上E处，用高 1.5 米的测角仪EF测得对面铁塔顶端A的仰角为 25，DE平行于地 面BC， 若DE2 米，BC10 米， 山坡CD的坡度i1： 0.75， 坡长CD5 米， 则铁塔AB的高度约是 （ ） （参考数据：sin250.42，cos250.91，tan250.47 ） A11.1 米 B11.8 米 C12.0 米 D12.6 米 【分析】如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG，可得GHEF1.5，HF GD+2，过点D作BC延长线的垂线，垂足
20、为M，得矩形DMBG，根据CD的坡度i1：0.754：3，CD5， 可得DM4，CM3，再根据锐角三角函数求出AH的长，即可求出AB的高度 解：如图，过点E、F分别作AB的垂线，垂足分别为G、H，得矩形EFHG， GHEF1.5，HFGEGD+DEGD+2， 过点D作BC延长线的垂线，垂足为M， 得矩形DMBG， CD的坡度i1：0.754：3，CD5， DM4，CM3， DGBMBC+CM10+313，BGDM4， HFDG+215， 在 RtAFH中，AFH25， AHFHtan25150.477.05， ABAH+HG+GB7.05+1.5+412.6（米） 答：铁塔AB的高度约是 12
21、.6 米 故选：D 12若关于x的不等式组所有整数解的和为 2，且关于y的分式方程+1 的解 是正数，则符合条件的所有整数k的和是（ ） A10 B13 C15 D17 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解之和为 2 确定出k的值，分式方程去分 母得到整式方程，表示出整式方程的解，根据解为正数确定出k的范围，进而确定出满足题意整数k的 值，求出之和即可 解：不等式组整理得：， 解得：2x， 由整数解之和为 2，得到整数解为1，0，1，2， 23， 解得：3k7， 分式方程去分母得：2y+1ky2， 解得：yk3， 由分式方程的解为正数，得到k30，且k32， 解得：k3 且
22、k5， 综上，k的范围是 3k7，且k5，即整数k4，6， 之和为 4+610 故选：A 二、填空题：（本大题个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将每小题的答案直接填在对应的横线上. 13计算：+3 1 1 【分析】直接利用算术平方根的定义、负整数指数幂的性质分别化简，再利用有理数的加减运算法则计 算得出答案 解：原式+1 故答案为：1 14如图，扇形的圆心角为 90，半径OC2，AOC30，CDOB于点D，则阴影部分的面积是 【分析】 先利用互余计算出BOD60， 再根据含 30 度的直角三角形三边的关系计算出OD1，CD， 然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积S扇形BOCSCOD
23、进行计算 解：AOB90，AOC30， BOD60， CDOB， CDO90， ODOC1，CDOD， 阴影部分的面积S扇形BOCSCOD 1 故答案为 15如图，“中国七巧板”是由七个几何图形组成的正方形，其中 1、2、3、5、7 是等腰直角三角形，4 是 正方形，6 是平形四边形一只小虫在七巧板上随机停留，则刚好停在 5 号板区域的概率是 【分析】设 4 号板正方形的边长为 1，则 5 号板直角边长为 1，3 号板斜边长为，7 号板斜边长为 2， 直角边长为， 则大正方形边长为 2， 据此知大正方形的面积为 228， 5 号板的面积为， 再根据概率公式求解可得 解：设 4 号板正方形的边长
24、为 1，则 5 号板直角边长为 1，3 号板斜边长为，7 号板斜边长为 2， 直角边长为，则大正方形边长为 2， 大正方形的面积为 228，5 号板的面积为， 从这个正方形内任取一点，则刚好停在 5 号板区域的概率是， 故答案为： 16如图，把直角三角形纸片折叠，使点C落在C处，折痕为AD，得到CDC60若ABC90， AB1，AC，则CD 3 【分析】根据周角的定义和折叠的性质可求ADC150，根据平角的定义可求ADB30，可得AD 2AB2，再根据勾股定理可求BC，BD，再根据线段的和差关系可求CD的长 解：把直角三角形纸片折叠，使点C落在C处，折痕为AD，CDC60， ADC150， A
25、DB30， AD2AB2， ABC90， BC3，BD， CDBCBD3 故答案为：3 17A、B两地相距 2400 米，甲从A地出发步行前往B地，同时乙从B地出发骑自行车前往A地乙到达A 地后，休息了一会儿，原路原速返回到B地停止，甲到B地后也停止在整个运动过程中，甲、乙均保 持各自的速度匀速运动甲、乙两人相距的路程y（米）与甲出发时间x（分钟）之间的关系如图所示， 则a 24 【分析】根据题意和函数图象，可知第 10 分钟时，乙到达A地，此时甲走了 600 米，从而可以求得甲、 乙的速度，然后根据题意和图象，可知甲 32 分钟行驶的路程等于乙（32a）分钟行驶的路程，从而可 以求得a的值
26、解：由图可得， 乙的速度为 240010240（米/分钟），甲的速度为：6001060（米/分钟）， 3260（32a）240， 解得，a24 故答案为：24 18 某水稻种植中心培育了甲、 乙、 丙三种水稻， 将这三种水稻分别种植于三块大小各不相同的试验田里 去 年，三种水稻的平均亩产量分别为 300kg，500kg，400kg，总平均亩产量为 450kg，且丙种水稻的的总产 量是甲种水稻总产量的 4 倍，今年初，研究人员改良了水稻种子，仍按去年的方式种植，三种水稻的平 均亩产量都增加了总平均亩产量增长了 20%，甲、丙两种水稻的总产量增长了 30%，则乙种水稻平均亩 产量的增长率为 15%
27、 【分析】设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩，b亩，c亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x，根据题 意列出方程组进行解答便可 解：设甲、乙、丙三种水稻各种植了a亩，b亩，c亩，乙种水稻平均亩产量的增长率为x，根据题意得， ， 化简得， 把代入得，b6a， 把和都代入得，300ax15a+24a+6a， x15%， 故答案为 15% 三、解答题：（本大题 7 个小题，每小题 10 分，共 70 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理 步骤，画岀必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上. 19计算： （1）（a1）（a3）（a+2）（a2） （2）（m1+） 【分析】（1）直接
28、利用多项式乘以多项式以及乘法公式计算得出答案； （2）首先将括号里面通分运算，进而利用分式的混合运算法则计算得出答案 解：（1）（a1）（a3）（a+2）（a2） a 23aa+3（a24） a 24a+3a2+4 4a+7； （2）（m1+） 20某校对九年级 400 名学生进行了一次体育测试，并随机抽取甲、乙两个班各 50 名学生的测试成绩（成 绩均为整数，满分 50 分）进行整理、描述和分析 下面给岀了部分信息 （用x表示成绩，数据分成 5 组：A：30 x34，B：34x38，C：38x42， D：42x46，E：46x50） 乙班成绩在D组的具体分数是：42 42 42 42 42
29、42 42 42 42 42 43 44 45 45 甲，乙两班成绩统计表： 班级 甲班 乙班 平均分 44.1 44.1 中位数 44.5 n 众数 m 42 方差 7.7 17.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出m、n的值； （2）小明这次测试成绩是 43 分，在班上排名属中游略偏上，小明是甲、乙哪个班级学生？说明理由； （3）假设该校九年级学生都参加此次测试，成绩达到 45 分及 45 分以上为优秀，估计该校本次测试成绩 优秀的学生人数 【分析】（1）根据中位数、众数的意义和计算方法分别计算即可， （2）利用中位数的意义进行判断； （3）根据用样本估计总体的方法，估计总体的
30、优秀率，进而计算出优秀的人数 解：（1）乙班的成绩从小到大排列，处在第 25、26 位的两个数都是 42，因此中位数是 42，即n42， 甲班的中位数一定落在D组，而甲班每组人数为：A组 2 人，B组 2 人，C组 10 人，D组 24 人，E组 12 人， 甲班的中位数是 44.5，而D组：42x46 整数，因此排序后处在第 25、26 位的两个数分别是 44，45， 于是，可得甲班得 45 分的学生数为 2+2+10+242513（人），是出现次数最多的， 所以，甲班成绩的众数是 45，即m45， 故答案为：m45，n42； （2）小明的成绩为 43 分，且在班上排名属中游略偏上，而甲班中
31、位数是 44.5，乙班的中位数是 42， 小明是乙班级学生； （3）甲班得 45 分及 45 分以上的有：13+1225（人），而乙班有：2+2022（人）， 两个班的整体优秀率为：47%， 40047%188（人）， 即：该校本次测试成绩优秀的学生人数为 188 人 21甲、乙两个机器臂在生产流水线上加工和包装零件，加工和包装 1 个零件各需一分钟，甲机器臂每次 可同步加工 2 个零件，乙机器臂每次可同步包装 3 个零件甲机器臂从一开始就不停的工作，当未包装 的零件达到 8 个时，乙机器臂开始工作，直到未包装的零件不足 5 个时停止工作，进行休整，并按此循 环工作和休整 小明对未包装的零件数
32、进行探究，下面是他的探究过程，请补充完整： 记甲机器臂工作的时间为x（单位：分钟），未包装的零件数为y（单位：个） x 0 x1 1x2 2x3 3x4 4x5 5x6 6x7 y 0 2 4 a 8 b c （1）根据上面的信息，直接写出a、b、c的值 （2）在平面直角坐标系中，补全当 0 x7 时，y随x变化的函数图象 （3）将未包装零件为 6 个的时段称为最佳工作时段当甲机器臂工作到 8 至 14 分钟内，直接写出最佳 工作时段x的取值范围 【分析】理解题意逐个区间探究即可求解 解：（1）由题意得：3x4 时，加工的零件数为 4+26，故y6a； 当 4x5 时，零件总数为 6+28，乙
33、机器启动开始工作，故y8； 当 5x6 时，零件总数为 8+210，乙机器工作了 1 分钟，包装了 3 个零件，故未包装的零件为 103 7，即b7； 当 6x7 时，同理可得：cy7+236； （2）根据（1）的数据补全函数图象如下： （3）在（1）的基础上，依此类推： 当 7x8 时，零件总数为 6+28，乙机器包装了 3 个零件，故未包装的零件为 835； 当 8x9 时，零件总数为 5+27，乙机器包装了 3 个零件，故未包装的零件为 734； 当 9x10 时，零件总数为 4+26，乙机器包装了 3 个零件，故未包装的零件为 633； 当 10 x11 时，零件总数为 3+25，乙机
34、器包装了 3 个零件，故未包装的零件为 532； 当 11x12 时，零件总数为 2+22，乙机器修整，故未包装的零件为 4； 当 12x13 时，零件总数为 4+26，乙机器开始工作，故未包装的零件为 6； 当 13x14 时，零件总数为 6+28，乙机器包装了 3 个零件，故未包装的零件为 5； 从以上分析看，8 至 14 分钟内，最佳工作时段x的取值范围为：12x13 22求一组正整数的最小公倍数是常见的数学问题，中国古代数学专著九章算术中便记载了求一组正 整数最小公倍数的一种方法少广术，术曰：“置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各 以其母除其子，置之于左命通分者，又以分母遍乘
35、诸分子及已通者，皆通而同之，并之为法置所求 步数，以全步积分乘之为实实如法而一，得从步”意思是说，要求一组正整数的最小公倍数，先将 所给一组正整数分别变为其倒数，首项前增一项“1”，然后以最末项分母分别乘各项，并约分；再用最 末项分数的分母分别乘各项，再约分，；如此类推，直到各项都为整数止，则首项即为原组正整数之 最小公倍数 例如：求 6 与 9 的最小公倍数 解：第一步：1，； 第二步：9，1： 第三步：18，3，2 所以，6 与 9 的最小公倍数是 18 请用以上方法解决下列问题： （1）求 54 与 45 的最小公倍数； （2）求三个数 6，51，119 的最小公倍数 【分析】通常取各分
36、母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简 公分母 解：（1）第一步：1，； 第二步：45，1； 第三步：270，5，6； 所以，54 与 45 的最小公倍数是 270 （2）第一步：1，； 第二步：119，1； 第三步：357，7，3； 第四步：714，119，14，6； 所以 6，51，119 的最小公倍数是 714 23某水果店，3 月份苹果进价为每千克 10 元，按 50%的利润销售 （1）若水果店 3 月份销售苹果获利不低于 1500 元，求 3 月份至少销售苹果多少千克？ （2）在（1）中最低销售量的基础上，4 月份苹果销售量和销售单价都比 3 月份有
37、所增长，其中销售单 价增长率是销售量增长率的 2 倍，结果 4 月份苹果总销售额为 5940 元求 4 月份苹果销售量的增长率 【分析】 （1）设 3 月份销售苹果x千克，根据总利润每千克的利润销售数量结合水果店 3 月份销售 苹果获利不低于 1500 元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）设 4 月份苹果销售量的增长率为y，则 4 月份苹果销售单价的增长率为 2y，根据销售总额销售单 价销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 解：（1）设 3 月份销售苹果x千克， 依题意，得：1050%x1500， 解得：x300 答：3 月份
38、至少销售苹果 300 千克 （2）设 4 月份苹果销售量的增长率为y，则 4 月份苹果销售单价的增长率为 2y， 依题意，得：10（1+50%）（1+2y）300（1+y）5940， 整理，得：50y 2+75y80， 解得：y10.110%，y21.6（不合题意，舍去） 答：4 月份苹果销售量的增长率为为 10% 24在正方形ABCD中，点E是DC上一点，连结AC，AE （1）如图 1，若AC8，AE10，求ACE的面积 （2）如图 2，EFAC于点F，连结BF求证：AEBF 【分析】（1）解 RtACD求得正方形ABCD的边长，再在ADE中由勾股定理求得DE，进而求得CE，最 后根据三角形
39、的面积公式求得结果； （2）设正方形ABCD的边长为a，CEb，过F作FGBC于点G，通过计算求得AE 2和 BF 2便可得结论 解：（1）四边形ABCD是正方形， ADCD，D90，DACDCA45， ADACsin458， ， CECDDE862， ACE的面积8； （2）设正方形ABCD的边长为a，CEb，则 BCCDADa，DEab，ACDACB45， AE 2AD2+DE2a2+（ab）22a22ab+b2， 过F作FGBC于点G，如图 则CGFGCFCEb， BGab， ， AE 22BF2， AEBF 25ABC与ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长
40、AD交BC于点F，连结 BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ求证：PQBD （1）如图 1，理清思路，完成解答： 本题证明的思路可以用下列框图表示： 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程； （2）如图 2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ，求PF的长 （3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系 【分析】（1）根据流程图，利用等边三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质解决问题即可 （2）解直角三角形求出CF，证明PCF是等边三角形即可解决问题 （3）如图 11 中，连接PF，EC，首先证明CDCE，证明PAFEAC，推出即可
41、解决 问题 【解答】（1）证明：如图 1 中， ADE是等边三角形，DPPE， APDE，EACDAPDAE30， ABC是等边三角形， BAC60， CAFBAF30， AF垂直平分线段BC， BDCD， CPD90，DQQC， PQCD， PQBD （2）解：如图 2 中， 当点P是AC的中点时， DO是线段AC的垂直平分线， B，D，P共线， BACD2PQ2，DFC90，DCF30， CFCDcos303， PCAC，CFBC，ACBC， CFCP3， PCF60， PCF是等边三角形， PFCF3 （3）解：结论：PFCD 理由：如图 11 中，连接PF，EC AC垂直平分线段DE，
42、 CDCE， ABC，ADE都是等边三角形，AF是ABC的高，AP是ADE的高， APAE，AFAC， ， ， PAFEAC30， PAFEAC， ， PFECCD 四、解答题：（本大题 1 个小题，满分 8 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必 要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上. 26如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx 2+2x+3 与 x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴 交于点C，过点C作CDy轴，交抛物线于点D，连结AD （1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连结PA，PD，PE，当PAD面积 最大时，求
43、PE+AE的最小值； （2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EFx轴，垂足为点F，将AEF绕点F顺时针旋 转 90后得到AEF，点A、E的对应点分别为A、E，在直线AD上是否存在一点Q，使得DE Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【分析】（1）先求出点A，B，C，D的坐标，进而求出直线AD的解析式，设P（m，m 2+2m+3），PH m 2+2m+3m1m2+m+2，进而用PAD 面积最大，求出点P的坐标，再判断出BAD45，进而判 断出EFAE，得出点P，E，F在同一条线上时，PE+AE取得最小值，即可得出结论； （2） 借助 （1） 的结论判断出
44、DEx轴于E， 再分三种情况利用等腰三角形的性质求解， 即可得出结论 解：（1）如图 1，针对于抛物线yx 2+2x+3， 令x0，则y3， C（0，3）， 令y0，则x 2+2x+30， x1 或x3， A（1，0），B（3，0）， CDy轴， D（2，3）， 直线AD的解析式为yx+1， 设点P（m，m 2+2m+3）， 过点P作PHy轴交AD于H，则H（m，m+1）， PHm 2+2m+3m1m2+m+2， SPADPH（xDxA）（m 2+m+2）（2+1） （x） 2+ ， 当x时，PAD的面积最大， P（，）， 过点D作DGx轴于G， DG3，OG2， AG3， AGDG， DAG
45、45， 过点E作EFx轴于F，则EFAE， 要PE+AE最小，则PE+EF最小， 点P，E，F在同一条线上时， PE+EF最小值yP， 即PE+AE最小值为； （2）如图 2， 由（1）知，点P，E，F在同一条线上， EFx轴， F（，0）， EFAF（1）， 由旋转知，EFEF， OEOF+EF2， E（2，0），D（2，3）， DEx轴， DEQ为等腰三角形， 当QDQE时， 由旋转知，AEFEEF45， DEE90， ADE45， DEEE， 点P和点E重合， E（，）， Q（，）， 当DEQE时，由（1）知，AEDE， 点Q和点A重合， Q（1，0）， 当DQDE时，设点Q（n，n+1）， 3， n2， Q（2，3）或（2+，3+）， 即满足条件的点Q的坐标为（，）或（1，0）或（2，3）或（2+，3+）