1、高三数学 第 1页（共 9 页） 绝密启用前绝密启用前 2020 年 6 月浙江省杭州市西湖区中考模拟2020 年 6 月浙江省杭州市西湖区中考模拟数学试卷数学试卷 考生须知：考生须知： 1本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2答题前，在答题卷指定区域内填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号； 3所有答案必须写在答题卷上，写在试题卷上无效； 4考试结束后，只需上交答题卷 第卷选择题部分(共 40 分)第卷选择题部分(共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 一
2、、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的) 1已知集合 lgAx yx，1,0,1,2B ，则() B AB A1,0,1B 2C1,0D1,2 2焦点位于x轴，离心率为3的双曲线的渐近线方程为 Ayx B2yx C3yx D2yx 3已知实数, x y满足约束条件 220 40 30 xy xy xy ，则32zxy的最大值是 A3B4C5D6 4已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为 A 3 60cmB 3 80cm C 3 100cmD 3 120cm 5已知函数( )sin(2)f xx，则
3、 A存在R，使得( )f x是奇函数，且在0, 2 内单调递减 B存在R，使得( )f x是偶函数，且在0, 2 内单调递增 C存在R，使得( )f x是奇函数，且在0,内单调递增 D存在R，使得( )f x是偶函数，且在0,内单调递减 (第 4 题图) 高三数学 第 2页（共 9 页） 6已知数列 n a的前n项和为 n S，则“ 1nn aa * ()nN”是“ 1 1 nn SS nn * ()nN”的 A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件 7设 1 0 2 p，随机变量的分布列如下表所示，则当p在 1 0, 2 内增大时， 0 12 P 12p pp A
4、( )E先减小后增大B( )E先增大后减小 C( )D先减小后增大D( )D先增大后减小 8设 12 ,l l是平面内所成角为 6 的两条直线，过 12 ,l l分别作平面, ，且锐二面角 1 l的大小为 4 ， 锐二面角 2 l的大小为 3 ，则平面, 所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是 A 3 6 B 2 8 C 1 4 D 1 3 9已知0a ，记函数 32 ( )2(31)1f xaxax在区间0,5a上的最大值和最小值分别为,M N，则 A当(0)Mf时，(5 )NfaB当(5 )Mfa时，(0)Nf C当(0)Nf时，(0)(5 )ffaD当(5 )Mfa时，(0)(5 )ffa
5、 10已知非零平面向量, ,a b c 满足4a ，2bc ，且 3acbc ，则ab 的最小值是 A 2 6 3 B 3 5 5 C2D3 第第卷卷非选择题部分非选择题部分( (共共 110110 分分) ) 二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 7 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 4 4 分，共分，共 3636 分分) ) 11已知复数43iz (i是虚数单位)，则其共轭复数z ， 3zz z z 12已知aR且0a ，二项式 5 2 1 2 ax x 的展开式中第二项与第四项的系数相等，则a ，常 数项是 13在锐角 ABC中，角
6、, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 3 A ，7a ，3c ，则b ，sin B sinC 14若某四位数abcd满足abcd ，则称该四位数为“收敛四位数” ，则所有“收敛四位数”的个数是 (用数字作答) 高三数学 第 3页（共 9 页） 15已知0 x ，设 22 1 34 xy t xyy 当1y 时，t的最大值为， 当0y 时，t的最大值为 16已知,F A分别是椭圆 2 2 :1 2 x y的左焦点和下顶点， 00 (,)M xy是椭圆上位于第一象限内的点，点 N的坐标为 0 1 0, y ，若线段FM上存在点H同时满足FHAH ，0FH NH ，则 00 x y 17
7、已知在数列 n a中，01 n a * ()nN，若对任意数列 n b满足 22 1 11 nnn baa 且 12 bb 1 2 k b * ()k N，均有 2 1321kk a ba bab 成立，则实数的取值范围是 三、解答题三、解答题( (本大题共本大题共 5 5 小题，共小题，共 7474 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ) 18 （本小题满分 14 分）已知函数 2 1 ( )sin 2sincos2 62 f xxxx ，其中3.14 ()求( )f x的单调区间； ()求( )f x在20,20内的零点个数 19 （本小题满
8、分 15 分）如图，已知多面体EFABCD，其底面ABCD是等腰梯形，且22ABADBC 22CD，DE 平面ABCD，BDEF且2BDEF ()证明：平面ADE 平面BDEF； ()若二面角CBFD的大小为 3 ，求CF与平面 ABCD所成角的正弦值 (第 19 题图) 高三数学 第 4页（共 9 页） 20 （本小题满分 15 分）已知等比数列 n a的公比0q ，前n项和为 n S * ()nN数列 n b是等差数列， 且满足 1 1a ， 32 2aa， 435 abb， 546 2abb ()求数列 n a和 n b的通项公式； ()记 2 2 4 (432) (1) n n n b
9、 c nnS ，证明：当 * nN时， 121 11 2 12 nn cccc 21 （本小题满分 15 分）已知抛物线 2 :2E ypx(0)p 和直线:40l xy，P是抛物线E上的点，且点 P到y轴的距离与到直线l的距离之和有最小值 5 2 1 2 ()求抛物线E的方程； ()设Ql，过点Q作抛物线E的两条切线，切点分别记为,A B，抛物线E在点P处的切线与,QA QB 分别交于,M N两点，求QMN外接圆面积的最小值 22 （本小题满分 15 分）已知函数( )e (ln) x f xxx ()证明：函数( )f x仅有一个极值点； ()若不等式 2 ( )(1)0f xa xx恒成
10、立，求实数a的最大值 高三数学 第 5页（共 9 页） 参考答案参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的)要求的) 12345678910 CBDCBADBDA 二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分)二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分) 1143i， 4 13 25 121， 5 4 132， 5 21
11、 14 141884 15 31 4 ，1 16 2 3 17 3 , 68 三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18 （本小题满分 14 分） () 311cos213111 ( )sin2cos2cos2sin2cos2sin 2 222222262 x f xxxxxxx （2 分） 令22,2 622 xkk ，k Z，解得, 63 xkk （4 分） 令22,2 622 xkk ，k Z，解得, 36 xkk （6 分） 综上，( )f x的单调递增区
12、间是, 63 kk ，单调递减区间是, 36 kk ，k Z（7 分） ()令( )0f x ，即 1 sin 2 62 x ，即 22 66 7 22 66 xk xk ，其中k Z（9 分） 解得xk 或 2 3 k ，其中k Z（10 分） 又 ，故当xk 时，6,6k 满足题意，当 2 3 xk 时，7,5k 满足题意（12 分） 高三数学 第 6页（共 9 页） 综上，k的取值有26种，即( )f x在20,20内的零点个数为26个（14 分） 19 （本小题满分 15 分） ()由于底面ABCD是等腰梯形，由几何关系得60BAD 因此在ABD中，根据余弦定理，有 222 1 cos
13、 22 ABADBD BAD AB AD ，代入解得3BD 于是 222 ADBDAB，即ADBD（1 分） 又因为DE 平面ABCD，故DEAD（2 分） 结合 ADBD ADDE ，则AD 平面BDE（4 分） 又AD 平面ADE，故平面ADE 平面BDEF （6 分） ()方法一： 过点C作CHBD交AB于点H，交BD于点G，连接FG，过点G作GIBF于点I，连接CI 易知BFCG，于是BF 平面CGI，故BFCI，所以GIC即为二面角CBFD的平面角（9 分） 易知CG 平面BDEF，于是CGGI，故在直角CGI中，3CGGI 由题意，BCD是底角为30的等腰三角形，于是 3 33 2
14、 BGCGGI 不妨设DEFGx，于是BFG的面积 2 13133 22264 Sxx 解得 6 8 x ，故在直角CFG中， 22 8 CF ， 33 sin 11 FCG，即 CF与平面ABCD所成角的正弦值为 33 11 （15 分） 方法二： 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz（7 分） 设DEh，则(0,0,0)D，(0, 3,0)B， 13 , 22 Ch ， 13 .,0 22 BC ， 3 0, 2 BFh （9 分） 设平面BCF的法向量( , , )mx y z ，则 0 0 m BC m BF 取3x ，于是 3 0, 2 mh ，取平面BDEF的法向量(1
15、,0,0)n （11 分） 故cos60 m n mn ，解得 6 8 h ，此时 16 ,0, 28 CF （13 分） 高三数学 第 7页（共 9 页） 于是 22 8 CF ， 33 sin 11 FCG，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为 33 11 （15 分） 20 （本小题满分 15 分） ()由题意， 1 2 11 1 2 0 a a qa q q ，解得2q ，故 1 2n n a （3 分） 设数列 n b的公差为d，则此时 4351 51 268 31316 abbbd abd ，解得 1 1bd，故 n bn（6 分） ()由等比数列求和公式， 1(1 ) 21 1
16、n n n aq S q （8 分） 于是 2 2 4(2)2 31(432) 2 2 42 n n n nn c nn nn （9 分） 当1n 时， 1 2 3 c 当1n 时， 22 31 (1) 42 nnnnn n，于是 1 211 (1) 22(1) 2 n nnn n c n nnn （12 分） 因此 121 2231 2111111 2 322323242(1) 2(2) 2 nn nn cccc nn 1111 3211311211 (1)(2) 234(2) 2(1)(2) 212(1)(2) 212 nnnn nn nnnnnnn ，得证（15 分） 21 （本小题满分
17、 15 分） ()设F是抛物线的焦点，P到y轴的距离为 1 d，到直线l的距离为 2 d，F到直线l的距离为 3 d 根据抛物线的定义， 1 2 p PFd，故 1223 04 5 22 1 22222 p ppp ddPFdd 解得2p ，故抛物线E的方程为 2 4yx（5 分） ()设 2 , 4 c Pc ， 2 , 4 a Aa ， 2 , 4 b Bb 若在点A处的切线斜率存在，设抛物线在点A处的切线方程为 2 4 a yak x 与抛物线联立，即 2 2 4 4 yx a yak x ，整理得 22 440kyya ka 高三数学 第 8页（共 9 页） 由于0 ，代入得 2 16
18、4 (4 )0ka ka，解得 2 k a ，于是 2 :20 2 QA a yxay（6 分） 若在点A处的切线斜率不存在，则(0,0)A，抛物线在点A处的切线方程为0 x ，亦满足上式 同理可得切线,QB MN的方程为 22 :20,:20 22 QBMN bc yxbyyxcy 联立直线,QA QB，即 2 2 20 2 20 2 a xay b xby ，解得 4 2 ab x ab y ，于是, 42 ab ab Q （7 分） 同理可得, 42 ac ac M ，, 42 bc bc N 于是 () , 42 a cbcb QM ， () , 42 b caca QN ， () ,
19、 42 c baba MN 因此 2 4 16 a QMbc ， 2 4 16 b QNac ， 2 4 16 c MNab （8 分） 故QMN的面积 2 11 sin1cos 22 SQM QNMQNQM QNMQN 2 2 2 11 1 22 QM QN QM QNQM QNQM QN QM QN 22222 1() () (4)(4)(4) 225616 ab ac bc acbcabab （11 分） 设QMN外接圆的半径为R，则 164 QM QN MN ab ac bc R 因此 22222 44444 168 abcab R （13 分） 又点Q在直线:40l xy上，故4 4
20、2 abab ，即8 2 ab ab 代入可得 222222222 4()162(6)20044224272 8888 a babababa bab R 2005 2 84 ，当且仅当 1 6 0 a b c 或 6 1 0 a b c 时取等号，此时QMN外接圆面积的最小值为 25 8 （15 分） 22 （本小题满分 15 分） ()由题意， 11 ( )e (ln)e1ln1 e xxx fxxxxx xx （2 分） 高三数学 第 9页（共 9 页） 令 1 ( )ln1g xxx x ， 2 22 111 ( )10 xx g x xxx ，于是( )g x单调递减（3 分） 又 1
21、1521 e220 ee2510 g ，(1)10g ，故( )g x在 1 ,1 e 内存在唯一零点 0 x（4 分） 此时( )f x在 0 1 , e x 内单调递增，在 0, x 内单调递减，因此( )f x仅有一个极大值点 0 x（5 分） ()原题即为不等式 2 e (ln)(1)0 x xxa xx恒成立 取1x ，则e210a ，解得 e1 2 a ，下证其充分性（6 分） 令 2 ( )(1)e (ln) x axaxxx，易知( )a单调递增，于是 e1 ( )e (ln) 2 x axx 2 e1( 1) 2 xx ，将其记为( )p x，下证( )0p x 恒成立（8
22、分） 1 ( )ln1 e(e1)1 x p xxxx x ，可分0,1x和1,x进行讨论 当0,1x时，由 1 ln1x x 得( )e(e1)1 x p xxx （9 分） 记( )e(e1)1 x m xxx ，( )(1)ee1 x m xx 易知( )m x单调递减，又(0)e20 m ，(1)e10 m ，故( )m x在0,1内存在唯一零点 1 x 此时( )m x在 1 0,x内单调递增，在 1, x 内单调递减 所以( )min(0),(1)0m xmm，即( )0p x，因此( )p x在0,1内单调递增，( )(1)0p xp（12 分） 当1,x时，由ln1xx，ee x x得 11 ( )2 e(e1)12 e(e1)1 x p xxxx xx (e1)(1)0 x ，因此( )p x在1,内单调递减，( )(1)0p xp 综上， e1 2 a 的充分性成立，即实数a的最大值为 e1 2 （15 分）