1、江苏省丰县中学高二年级期中调研测试数学试题江苏省丰县中学高二年级期中调研测试数学试题 2020 年年 11 月月 注意事项： 1本试卷共 6 页，包括单项选择题（第 1 题第 8 题） 、多项选择题（第 9 题第 12 题） 、填空题（第 13 题第 16 题） 、解答题（第 17 题第 22 题）四部分本试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟 2答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置 3作答选择题时，选出每小题的答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 4非选择题必须用黑
2、色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在其他位置作 答一律无效 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的请把答案涂写在答题卡规定的位置合题目要求的请把答案涂写在答题卡规定的位置 1已知数列2,3, 14, 19,2 6,，则 12 是它的（ ） A第 28 项 B第 29 项 C第 30 项 D第 31 项 2正项等比数列 n a中， 25 100a a ，则 34 lglgaa（ ） A1 B1 C2 D0
3、3设, a bR，则“lnlnab”是“ln0 a b ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到 了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的 “九儿问甲 歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多 少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（ ） A8 岁 B11 岁 C20 岁 D35 岁 5若0,0ab，则不等式 1 ba x 的解集为（ ） A 11 ,00,
4、 ba B 1 1 , b a C 11 , ba D 11 ,00, ab 6已知数列 n a的前 n 项和 1 22 n n S ，则 22 12n aaa （ ） A 2 4 21 n B 2 1 4 21 n C 4 41 3 n D 1 4 42 3 n 7如图，矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的若该矩形花园的面积为 4 平方米，墙PQ足够长，则围成该花园所需要篱笆的（ ） A最大长度为 8 米 B最大长度为4 2米 C最小长度为 8 米 D最小长度为4 2米 8公元 1202 年意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列” ：1，1，2，3
5、，5，8， 13，21，34，55，即 12 1aa， * 12 3, nnn aaannN ，此数列在现代物理、准晶体结构、 化学等领域都有着广泛的应用 若记 2* 12 2n nnnn baa anN ， 数列 n b的前 n 项和为 n S， 则 2020 S （ ） A 2020 22 3 B 2020 22 3 C 2021 22 3 D 2021 22 3 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分每一个题目中有多个选项符合题目要求，全部分每一个题目中有多个选项符合题目要求，全部 选对得选对得 5 分，选对但是不全的得
6、分，选对但是不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分请把答案涂写在答题卡规定的位置分请把答案涂写在答题卡规定的位置 9如果 a、b、c 满足cba且0ac，那么下列选项中一定成立的是（ ） Aabac B()0c ba C 22 cbab D()0ac ac 10已知 p 是 r 的充分不必要条件，q 是 r 的充分条件，s 是 r 的必要条件，q 是 s 的必要条件，下列命题正 确的是（ ） Ar 是 q 的充要条件 Bp 是 q 的充分不必要条件 Cr 是 q 的必要不充分条件 Dr 是 s 的充分不必要条件 11已知两个等差数列 n a和 n b的前 n 项和分别为 n S和
7、n T，且 339 3 n n Sn Tn ，则使得 n n a b 为整数的正整 数 n 的值为（ ） A2 B3 C4 D14 12若 a、b、cR，且1abbcca，则下列不等式成立的是（ ） A3abc B 2 ()3abc C 111 2 3 abc D 222 1abc 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分请把答案写在答题卡规定的位置分请把答案写在答题卡规定的位置 13设0 x ，0y ，且 12 2 xy ，则2xy的最小值为_ 14命题“ 2 000 ,2390 xRxax”为假命题，则实数 a 的取值范围是_ 15
8、数列 n a满足， 123 23 1111 21 2222 n n aaaan，写出数列 n a的通项公式_ 16如图所示，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点 E，F，G，H，作第 2 个正方 形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点 I，J，K，L，作第 3 个正方形IJKL，依此方法一直继续 下去如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于_ 2 cm？ 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，计小题，计 70 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
9、 在答题卡规定的位置在答题卡规定的位置 17 （本大题满分 10 分） 若关于 x 的不等式 22 (21)0 xaxaa的解集为 A，不等式 3 2 2x 的解集为 B （1）求集合 A； （2）已知 B 是 A 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围 18 （本大题满分 12 分） 在等差数列 n a中，已知 6 12a ， 18 36a （1）求数列 n a的通项公式 n a； （2）若_，求数列 n b的前 n 项和 n S 在 1 4 n nn b a a ，( 1)n nn ba ，2 n a nn ba这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求 解 注：如果选择多个条件分
10、别解答，按第一个解答计分 19 （本大题满分 12 分） 若0,0ab，且223abab （1）求2ab的最小值； （2）是否存在 a、b，使得 33 4 2ab成立？并说明理由 20 （本大题满分 12 分） 北宋的数学家沈括博学多才、善于观察据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想 到： “怎么求这些酒坛的总数呢？”现实生活中，我们也会经常碰到此类堆积物问题，例如图 1 和图 2 是就 是常见的两种物体堆积方式考察下列问题： （1）如图 1 所示，这是某同学利用圆柱形木棍摆放的堆积物，最上面的一层（第 1 层）有 4 根木棍，下面 的每一层都比上一层多一根， 每一层的木棍个
11、数记为数列 n a， 请求出数列 n a的通项公式以及数列 n a 的前 n 和 n S （2） 如图 2 所示， 这是某同学利用乒乓球摆放的堆积物， 对于此类问题， 沈括曾经给出对于上层 （第 1 层） 有ab个，下层有cd个，共 n 层的堆积物，可以用公式(2)(2 )() 66 n nn Tbd abd cca求出 堆 积 物 体 的 总 数 ， 其 中 * , , , ,a b c d nN 这 就 是 所 谓 的 “ 隙 积 术 ” ， 相 当 于 求 数 列ab， (1)(1),(2)(2),(1)(1)ababanbncd的和 若5a ，4b，求 6 T的值； 当2n 时，记 1
12、1 , nnnnnn bTTcbb ，请判断数列 n c是否为等差数列？如果是，请求出 n c的 通项公式；如果不是，请说明理由 21 已知等比数列 n a的公比1q ， 前 n 项和为 n S， 且 12 10aa， 3 42S 数列 n b满足 2 log nn ba （1）求数列 n a、 n b的通项公式； （2）记 k c为区间0, k b 内整数的个数 * kN，求数列 k c的前 50 项和 50 T 22定义 12n n ppp 为 n 个正数 1 p、 2 p、 n p的“均倒数” 已知正项数列 n a的前 n 项的“均 倒数”为 1 n （1）求数列 n a的通项公式； （
13、2）设数列 2121 1 nn aa 的前 n 项和为 n T，若 2 444 n Tmm对一切 * nN恒成立，试求实数 m 的 取值范围； （3）令 9 10 n nn ba ，问：是否存在正整数 k 使得 kn bb对一切 * nN恒成立，如存在，求出 k 值，否 则说明理由 数学参考答案数学参考答案 一、单项选择题：大题共一、单项选择题：大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B C C D C 二
14、、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分每一个题目中有多个选项符合题目要求，全部分每一个题目中有多个选项符合题目要求，全部 选对得选对得 5 分，选对但是不全的得分，选对但是不全的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 题号 9 10 11 12 答案 AB AB ACD BD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 题号 13 14 15 16 答案 9 2 2 2,2 2 1 6,1 2,2 nn n a n 50 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共
15、6 小题，计小题，计 70分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 17 （本答题满分 10 分） （1）若关于 x 的不等式 22 (21)0 xaxaa，即()(1)0 xa xa，解得1axa即集 合 A 为,1a a ， （2）不等式 3 2 2x 的解集 B 为 1 ,2 2 ， B 是 A 的必要不充分条件， 1 2 12 a a ，即 1 1 2 a 18 （本答题满分 12 分） （1）由题意， 1 1 512, 1736, ad ad 解得2d ， 1 2a 2(1)22 n ann （2）选条件： 41 22(1)(1)
16、n b nnn n ， 111111111 1 223(1)12231 n S n nnn 1 1 11 n nn 选条件：2 n an，( 1)n nn ba ，2468( 1)2 n n Sn ， 当 n 为偶数时，( 24)( 68) 2(1)2 2 2 n n Snnn ； 当 n 为奇数时，1n为偶数，(1)21 n Snnn , 1,. n n n S n 为偶数 为奇数 选条件：2 ,2 n a nnn an ba， 2 2224 nn n bnn， 123 24446424n n Sn， 2341 42444642(1)424 nn n Snn ， 由-得， 1231 3242
17、4242424 nn n Sn 1 8 14 24 14 n n n 1 8 14 24 3 n n n ， 1 82 144 93 nn n n S 19 （本答题满分 12 分） （1）由3222 22ababab，得2ab，当且仅当22ab时成立， 所以232624abab，当且仅当22ab时成立， 所以2ab的最小值为 4 （2）由（1）知 3333 24 2aba b，当且仅当22,abab时成立， 因为22ab，ab不同时成立， 所以 33 4 2ab，不存在 a，b 使 33 4 2ab成立 20 （本大题满分 12 分） （1）因为下面的每一层都比上一层多一根， 所以数列 n
18、a为等差数列，首相 1 4a ，公差1d ， 从而4(1) 13 n ann ， 2 1 (43)7 222 n n n aannnn S ， 即3 n an， 2 7 2 n nn S （2）因为5a ，4b，6n ， 所以56 1 10c ，46 19d ， 带入 n T有 6 66 249 5(429) 10(105)310 66 T 123 ,(1)(1)1,(2)(2)224bab babababbababab， 当2n 时， 2 1 (1)(1)(2)1 nnn bTTcdanbnnabnabab ， 所以，当3n 时 2 1 (1)(2)(1)1 n bnabnabab ， 从而
19、当3n 时， 1 23 nnn cbbnab ，此时 1 2 nn cc ， 因为 1 cab， 221 1cbbab， 332 3cbbab， 所以 32 2cc， 21 1ccabab ， 当12abab 时， 1 2 nn cc 对于 * nN恒成立，则数列 n c为等差数列； 当12abab ， 3221 2cccc， ，则数列 n c不是等差数列 21 （本大题满分 12 分） （1）由已知得 1 2 1 (1)10 142 aq aqq ，消去 1 a，得 2 516160qq 1q ，解得4q ，此时 1 2a ，因此， 1121 1 242 nnn n aa q 所以， 21
20、22 loglog 221 n nn ban ； （2）由题意： * kN时，21 k bn， 当12k时，1 k c ；当34k时，2 k c ； 当58k时，3 k c ；当912k时，4 k c ； 当1318k时，5 k c ；当1924k时，6 k c ； 当2532k时，7 k c ；当3340k时，8 k c ； 当4150k时，9 k c 因此， 50 1 22243446 56 68 78 8 10 9310T 22 （本大题满分 12 分） （1）设数列 n a的前 n 项和为 n S， 由于数列 n a的前 n 项的“均倒数”为 1 n ，所以 1 n n Sn ， 2
21、n Sn， 当1n 时， 11 1aS； 当2n 时， 22 1 (1)21 nnn aSSnnn 1 1a 也满足21 n an，因此，对任意的 * nN，21 n an； （2） 2121 11111 (43) (41)44341 nn aannnn ， 111111111 11 455943414414 n T nnn 2 444 n Tmm对一切 * nN恒成立， 所以， 2 441mm 解之得1m或5m ， 即 m 的取值范围是(, 15,) ； （3）解法一： 99 (21) 1010 nn nn ban ， 由于 11 1 9919 (21)(21)(192 ) 10109 10
22、 nnn nn bbnnn ， 当9n 时 1nn bb ，此时，数列 n b单调递增；当10n 时 1nn bb ，此时，数列 n b单调递减 所以，当10n 时， n b取得最大值， 即存在正整数10k 使得 kn bb对一切 * nN恒成立； 解法二： 99 (21) 1010 nn nn ban ， 假设存在正整数 k 使得 kn bb，则 k b为数列 n b中的最大项， 由 1 1 kk kk bb bb 得 1 1 99 (21)(21) 1010 99 (21)(23) 1010 kk kk kk kk ，解得 1921 22 k， 又 * kN，10k ，即存在正整数10k 使得 kn bb对一切 * nN恒成立