1、 高三数学试卷 江苏省南通市江苏省南通市 2020-2021 学年度学年度高三上高三上期中考试期中考试考前热身练考前热身练数学试题数学试题 考生注意： 1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页 2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上 3本次考试时间 120 分钟，满分 150 分 4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整 第卷(选择题 共 60 分) 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1若集合 A0,1,2，Bx|x23x0，则 AB 为( ) A1,2 B0,1,2 C0,1,2,3 Dx|0
2、x3 2已知复数 z 满足(2i)z12i(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为( ) A1 B1 C0 Di 3 已知定义域为 R 的奇函数 f(x)， 当 x0 时， 满足 f(x) log272x，03 2， 则 f(1)f(2)f(3) f(2 020)等于( ) Alog25 Blog25 C2 D0 4两正数 a，b 的等差中项为5 2，等比中项为 6，且 ab，则双曲线 x2 a2 y2 b21 的离心率 e 为( ) A.1 3 B. 5 3 C. 5 3 D. 13 3 5设函数 f(x)sin 1 2x 3cos 1 2x |0)的图象的公共点，以 P 为切点可作直线与两曲线
3、都 相切，则实数 b 的最大值为( ) A.2 3 2 3 e B.3 2 2 3 e C.2 3 3 2 e D.3 2 3 2 e 二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错 的得 0 分) 9已知 0ba1，则下列各式中不成立的是( ) Aabca Clogaclogbc Dblogcaalogcb 10下列四个命题中正确的是( ) A函数 yax(a0 且 a1)与函数 ylogaax(a0 且 a1)的定义域相同 B函数 y x与函数 y3x的值域相同 C函数 y|x1|与函数 y2x 1在区间0，)上都是增函数
4、 Dylg1x 1x是奇函数 11设 l，m，n 表示不同的直线， 表示不同的平面，给出下列四个命题中正确的是( ) A若 ml，且 m，则 l B若 ml，且 m，则 l C若 l，m，n，则 lmn D若 m，l，n，且 n，则 lm 12把函数 ysin x 3 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1 2(纵坐标不变)，再将图象向右平移 4个单位长 度得到函数 g(x)的图象，则下列说法不正确的是( ) Ag(x)在 6， 6 上单调递增 Bg(x)的图象关于 6，0 对称 Cg(x)的最小正周期为 4 Dg(x)的图象关于 y 轴对称 第卷(非选择题 共 90 分) 三、填空题(本大题共
5、4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13若 A，B 互为对立事件，其概率分别为 P(A)1 y，P(B) 4 x，且 x0，y0，则 xy 的最小值为_ 高三数学试卷 14已知正方形 ABCD 的边长为 2，P 为平面 ABCD 内一点，则(PA PB) (PCPD )的最小值为_ 15将数列an中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的 2 倍，且从第二行起每一行均构 成公比为 2 的等比数列 a1 a2，a3 a4，a5，a6，a7 a8，a9，a10，a11，a12，a13，a14，a15 记数阵中的第1 列a1， a2， a4， 构成的数列为bn， Tn为数列bn的前
6、n项和， Tn5n23n， 则 bn_， a1 025_.(本题第一空 2 分，第二空 3 分) 16已知函数 f(x) |ln x|，0e， 若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc 的取值范围是 _ 四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知等差数列an的首项为 a1，公差为 d(a1 Z，dZ)，前 n 项的和为 Sn ，且 S749,24S5b0)的离心率 e 1 2，椭圆上的点到左焦点 F1 的距离的最大值为 3. (1)求椭圆 C 的方程； (2)求椭圆 C 的外切矩形 ABCD 的面积 S 的取值范围 22(12 分)已知函数
7、f(x)exaxa(其中 e 为自然对数的底数) (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)若对任意 x(0,2，不等式 f(x)xa 恒成立，求实数 a 的取值范围； (3)设 nN*，证明： 1 n n 2 n n 3 n n n n n0，x00，x0a， 于是，b5 2a 23a2ln a(a0)， 设 h(x)5 2x 23x2ln x(x0)，则 h(x)2x(13ln x)(x0)， 所以 h(x)在(0，e1 3)上单调递增，在( 1 3 e，)上单调递减， b 的最大值为 h( 1 3 e)3 2 2 3 e. 9ABC 由于 0ba1，根据指数函数与幂函数的图象与性质有 a
8、baaba，故选项 A 错误； 根据指数函数的图象与性质有 cbca，故选项 B 错误； 根据对数函数的图象与性质有 logacba，c1，则 logcablogcba，即 blogcaalogcb，故选项 D 正确 10ACD A 项，函数 yax(a0 且 a1)， ylogaax(a0 且 a1)的定义域都是 R，故 A 正确； B 项，函数 y x值域为0，)， 函数 y3x的值域为(0，)，故 B 错误； C，当 x0，)时，函数 y|x1|x1 是增函数， 函数 y2x 1 是增函数，故 C 正确； D 项，ylg1x 1x的定义域是(1,1)，令 f(x)lg 1x 1x， f(
9、x)lg1x 1xlg 1x 1x 1lg1x 1xf(x)， 故函数 ylg1x 1x是奇函数，故 D 正确 11AD A 正确，B 中直线 l 可能平行于 也可能在 内，故 B 错；C 中直线 l，m，n 可能平行也可能相 交于一点，故 C 错；D 正确 12BCD 把函数 ysin x 3 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1 2得到 ysin 2x 3 的图象， 再将图象向右平移 4个单位长度得到函数 g(x)sin 2 x 4 3 sin 2x 6 的图象 若 x 6， 6 ，则 2x 6 2， 6 ， g(x) 6， 6 上单调递增，故 A 正确； 高三数学试卷 由 g 6 1 20
10、 知， g(x)的图象不关于点 6，0 对称，故 B 错误； g(x)的最小正周期为 ，故 C 错误； g(0)1 2 1， g(x)的图象不关于 y 轴对称，故 D 错误 139 解析 由事件 A，B 互为对立事件，其概率分别 P(A)1 y， P(B)4 x，且 x0，y0，所以 P(A)P(B) 1 y 4 x1， 所以 xy(xy) 1 y 4 x 54y x x y 52 4y x x y9， 当且仅当 x6，y3 时取等号，所以 xy 的最小值为 9. 144 解析 由题意，以 A 为坐标原点，AB 方向为 x 轴，AD 方向为 y 轴，建立平面直角坐标系， 因为正方形 ABCD
11、的边长为 2， 所以可得 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)， 设 P(x，y)，则PA (x，y)， PB (2x，y)， PC (2x,2y)，PD (x,2y)， 所以PA PB(22x，2y)，PCPD (22x,42y)， 因此(PA PB) (PCPD )4(1x)24y(2y)4(x1)24(y1)244， 当且仅当 xy1 时，取得最小值4. 1510n2 216 解析 Tn为数列bn的前 n 项的和，Tn5n23n， bnTnTn1(5n23n)5(n1)23(n1)10n2(n2)， 验证 n1 时，b1T18 也符合，故 bn10n2， 高三数学试卷
12、a1 024b11108，a1 0252a1 024216. 16. 2e1 e，e 22 解析 画出函数 f(x) |ln x|，0e 的图象(如图所示) 不妨令 abc，则由已知和图象，得 0a1bece2， 且ln aln b2ln c，则 ab1，bce2， 则 abc1 bb e2 bb 1e2 b ， 令 g(x)x1e 2 x ， 因为 g(x)11e 2 x2 0 在 x(1，e)时恒成立， 所以 g(x)在(1，e)上单调递减， 所以 2e1 eb 1e2 b 2e2. 17解 (1)由题意得 7a176 2 d49， 245a154 2 d4 128 3， 综上可得外切矩形
13、面积的取值范围是8 3，14 22(1)解 因为 f(x)exaxa，所以 f(x)exa， 当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)在区间 R 上单调递增； 当 a0 时，令 f(x)0，xln a，令 f(x)0，xxa 恒成立， 即不等式(a1)xex恒成立 即当 x(0,2时，a0,1x2，g(x)0， ，0x1， 所以 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,2上单调递增 x1 时，g(x)取最小值 e1. 所以实数 a 的取值范围是(，e1) (3)证明 在(1)中，令 a1 可知对任意实数 x 都有 exx10， 即 x1ex(当且仅当 x0 时等号成立) 令 x1k n(k1,2,3，n)， 则k n -1 e k n ，即 k n nekne k en， 故 1 n n 2 n n 3 n n n n n1 en(e 1e2e3en)ee n1 e1en e e1.