1、北京市朝阳区北京市朝阳区 20202021 学年度高三学年度高三上上期中质量检测数学试卷期中质量检测数学试卷 (考试时间 120 分钟满分 150 分) 本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一选择题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项 (1)已知集合 2 |20, 1,0,1,2,3Ax xxB ,则 AB= (A)-1,0,1 (B)-1,0,1,2 (C)0,1,2 (D)0,1,2,3
2、 (2)已知 3 (0,),sin(), 225 xx 则 sin2x= 12 ( ) 25 A 24 ( ) 25 B 12 ( ) 25 C 24 () 25 D (3)已知 1 3 2 ,a 21 2 11 log,log, 33 bc则 (A)abc (B)acb (C)cab (D)cba (4)如图,在ABC 中,D 是 BC 的中点.若,ABADab则AC (A)3a-2b (B)a-2b (C)-a+2b 11 () 22 Dab (5)“lnalnb”是“33 ab ”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (6)已
3、知函数 31 ( )sincos(0) 22 f xxx的图象与直线y=1的相邻两个交点间的距离等于,则f(x)的图 象的一条对称轴是 ( ) 12 Ax ( ) 12 Bx ( ) 3 Cx () 3 Dx (7)在ABC 中,AB=4,AC=3,且| |,ABACABAC则BC CA (A)-12 (B)-9 (C)9 (D)12 (8)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x(-,0时, 1 ( )2, 3 x f x 则 2 3 (log) 2 f 1 ( ) 2 A (B)1 7 ( ) 7 C 11 () 11 D (9)已知函数 2 2 |1|, 7, ( ) ln ,.
4、 xxe f x x exe 若存在实数 m,使得 2 ( )24f maa成立,则实数 a 的取值范围是 (A)-1,+) (B)(-,-13,+) (C)-1,3 (D)(-,3 (10) 已 知 奇 函 数 f(x) 的 定 义 域 为(,), 2 2 且( )fx 是 f(x) 的 导 函 数 . 若 对 任 意(, 0 ) , 2 x 都 有 ( ) cos( ) sin0,fxxfxx 则满足( )2cos() 3 ff 的 的取值范围是 ( )(,) 2 3 A ( )(,)(,) 233 2 B ( )(,) 3 3 C ()(,) 3 2 D 第二部分(非选择题共 110 分
5、) 二填空题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 (11)已知向量 a=(3,1),b=(t,2),若 a/b,则实数 t=_. (12)已知 x0,y0,xy=1,则 x+4y 的最小值为_,此时 x 的值为_. (13)在一个房间使用某种消毒剂后,该消毒剂中的某种药物含量 y(mg/m )随时间 t(h)变化的规律可表示为 1 ,0 2 11 , 0) 2 ( att ya at t ，如图所示,则 a=_; 实验表明,当房间中该药物含量不超过 3 0.75mgm时对人体无害,为了不使人体受到该药物的伤害,则使用该消毒 剂对这个房间进行消毒后至少经过_小时方可进入. (14)设 n
6、a是公差为 d 的等差数列, n S为其前 n 项和.能说明“若 d0,则数列 n S为递增数列”是假命题的一组 1 a 和d的值为_. (15)公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一,他因天文观测的需要编制了有关三 角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式 2 1 cos sin. 22 如图是希帕科斯推 导此公式时使用的几何图形,已知点B在以线段AC为直径的圆O上,D为弧BC的中点,点E在线段AC上且AE=AB, 点 F 为 EC 的中点.设 OA=,.rDOC给出下列四个结论: 2 sin 2 CDr AB=2rsin;CF=r(1-co
7、s); 22 2(1 cos ).CDr 其中,正确结论的序号是_. 注:本题给出的结论中,有多个符合题目要求全部选对得 5 分,不选或有错选得 0 分,其他得 3 分. 三解答题共 6 小题,共 85 分解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程 (16)(本小题 13 分) 已知函数( )sin3cos .f xxx (I)求() 3 f 及 f(x)的最小正周期; (II)若 3 , 22 x 求 f(x)的值域. (17)(本小题 13 分) 已知 n a是等差数列, n b是各项都为正数的等比数列, 12 1,ab再从条件条件条件这三个条件中选 择两个作为已知. (I)求数列 n a的通
8、项公式; (II)求数列 n b的前 n 项和. 条件: 24 10aa条件: 2 4 4b b 条件: 45. ba (18)(本小题 14 分) 在ABC 中,AB=2,AC=3. (I)若 B=60 , (i)求 BC; (ii)设 D 是边 BC 上一点,且ADC=120 ,求 sinC; (II)若 AE 是ABC 的内角平分线,求 AE 的取值范围. (19)(本小题 15 分) 已知函数 f(x)=x+alnx(aR). (I)当 a=-1 时,求函数 f(x)的极值; (II)若不等式 2 1 ( ) 2 f xxax对任意 x0 恒成立,求 a 的取值范围. (20)(本小题
9、 15 分) 已知函数 cos ( )( , ax f xb a x bR). (I)当 a=1,b=0 时,判断函数 f(x)在区间(0,) 2 内的单调性; (II)已知曲线 cos ( ) ax f xb x 在点(,() 22 f 处的切线方程为 6 2.yx (i)求 f(x)的解析式; (ii)判断方程 3 ( ) 2 f x 1 在区间(0,2上解的个数,并说明理由. (21)(本小题 15 分) 已知数列 n a是无穷数列,其前n项和为. n S若对任意的正整数m2,存在正整数k,l(1kl)使得, mkl Saa则称 数列 n a是“S 数列. (I)若2(1,2,), n ann判断数列 n a是否是“S 数列”,并说明理由; (II)设无穷数列 n a的前 n 项和(1,2,), n n Sqn且 q2,证明数列 n a不是“S 数列; (III)证明:对任意的无穷等差数列 , n a存在两个“S 数列 n b和 , n c使得(1,2) nnn abc n成立.