1、2020-2021 学年度学年度南开区高三南开区高三第一学期期中考试第一学期期中考试数学数学试卷试卷 202011 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分，考试时间 120 分钟第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 8 页 祝各位考生考试顺利！ 第第卷卷 注意事项：注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上； 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其它答案标号； 3本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分 一、选择题：在每小题给出的四个选项中一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只
2、有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1已知集合1Ax x，1, 3, 1,1,3Ax xB ，那么 RA B （ ） A B1,3 C 3, 1 D 3, 1,1 2命题“ 0 xR， 2 00 220 xx”的否定是（ ） A 0 xR， 2 00 220 xx B 0 xR， 2 00 220 xx Cx R， 2 220 xx Dx R， 2 220 xx 3已知 i 为虚数单位，复数 77 sinicos 66 z ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4设aR，则“ 2 90aa”是“9a”的（ ） A充分不必要条件 B必
3、要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 5函数 3 2 22 xx x y 在 6,6的图象大致为（ ） A B C D 6已知 3 log 2a ， 7 log 2b ， 2 0.5ac ，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bbac Ccab Dcba 7将函数( )sin 6 f xx 图象上每一点的横坐标变为原来的 2 倍，再将图象向左平移 3 个单位长度， 得到函数( )yg x的图象，则函数( )yg x图象的一个对称中心为（ ） A,0 12 B,0 4 C( ,0) D 4 ,0 3 8某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储藏温度 x（单位：）满足函数关
4、系 kx b ye （2.718e为 自然对数的底数， k， b 为常数） 若该食品在 0的保鲜时间是 192 小时， 在 22的保鲜时间是 48 小时， 则该食品在 33的保鲜时间是（ ） A16 小时 B20 小时 C24 小时 D28 小时 9在ABC中，3AB，5AC ，点 N 满足2BNNC，点 O 为ABC的外心，则AN AO的值为 （ ） A 59 6 B17 2 C10 D17 第第卷卷 注意事项注意事项： 1用黑色墨水的钢笔或签字笔答题； 2本卷共 11 小题，共 105 分 得分 评卷人 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共
5、共 30 分分 10设4 3zi（i 是虚数单位） ，则 1 z _ 11已知函数 11 ( ) 11 f x xx ，则( )f x在2x处的导数(2) f _ 12若sin2cos0，则tan_；tan2_ 13已知平面向量a，b满足(1, 2)a ，( 3, )bt ，且()aab，则|b _ 14已知实数 a，b 满足0ab，则 2 aa abab 的最大值为_ 15已知函数 2 |, ( ) 24 , x xm f x xmxmxm ，其中0m若( )f x在区间(0,)上单调递增，则 m 的 取值范围是_；若存在实数 b，使得关于 x 的方程( )f xb有三个不同的根，则 m 的
6、取值范围 是_ 三、解答题三、解答题：本大题共本大题共 5 题题，共共 75 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 得分 评卷人 16 （本小题满分 14 分） 在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知sin:sin:sin7:8:3ABC （）求角 A； （）求cos(2)BA的值 得分 评卷人 17 （本小题满分 15 分） 已知函数( )2|2|()f xxax xR （）若( )3f a ，求实数 a 的值； （）若( )f x有最小值，求实数 a 的取值范围； （）设( )g x为定义在R上的奇函数，且当0 x时，( )(
7、)g xf x，求( )g x的解析式 得分 评卷人 18 （本小题满分 15 分） 已知函数 2 ( )2sin2 3sin()sin() 2 f xxxxx R （）求( )f x的最小正周期； （）求( )f x的单调递减区间； （）求( )f x在区间 2 0, 3 上的取值范围 得分 评卷人 19 （本小题满分 15 分） 设函数 32 ( )23(1)6f xxaxaxb，其中, a bR （）若曲线( )yf x在( 1,( 1)f的切线方程为123yx，求 a，b 的值； （）若( )f x在3x 处取得极值，求 a 的值； （）若( )f x在(,0)上为增函数，求 a 的取
8、值范围 得分 评卷人 20 （本小题满分 16 分） 设函数( ) x e f x x ， 1 ( )lng xx x （）求( )f x的单调区间； （）若直线(0)xm m与曲线( )yf x和曲线( )yg x分别交于点 P 和 Q，求|PQ的最小值； （）设函数( )( )( )F xxf x ag x，当(0,ln2)a时，证明：( )f x存在极小值点 o x，且 0 0 ln0 x eax 2020-2021 学年度第一学期南开区期中考试试卷参考答案学年度第一学期南开区期中考试试卷参考答案 高三年级高三年级 数学学科数学学科 一、选择题： （本题共一、选择题： （本题共 9 小题
9、小题，每题每题 5 分分，共共 45 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D B A C B D C A 二、填空题： （本题共二、填空题： （本题共 6 小题小题，每题每题 5 分分，共共 30 分）分） 10 43 2525 i； 112； 122， 4 3 ； 1310； 143 2 2； 1503m，3m 三、解答题： （其他正确解法请比照给分）三、解答题： （其他正确解法请比照给分） 16解： （）依题意，由正弦定理得: :7:8:3a b c， 可设7ak，8bk，3ck， 由余弦定理得 222 649491 cos 2 832 kkk A kk ， 因为
10、0A，所以 3 A （）由余弦定理得 222 499641 cos 2 737 kkk B kk ， 所以 2 4 3 sin1 cos 7 BB， 所以 8 3 sin22sincos 49 BBB ， 2 47 cos22cos1 49 BB ， 所以cos(2)cos2cossin2 33 BABB 47 18 3371 49 249298 17解： （）依题意 (2)4,2 ( ) (2)4,2 axx f x axx ， 当2a时，( )(2)43f aaa，解得1a ； 当2a时，( )(2)43f aaa，解得a 综上，1a （）要使函数( )f x有最小值，则有 20 20 a
11、 a ， 所以22a ， 即当 2,2a 时，( )f x有最小值 （）因为( )g x为定义在R上的奇函数，所以(0)0g 设0 x，则0 x ， 所以( )()(2) 4g xgxax ， 所以 (2)4,0 ( )0,0 (2)4,0 axx g xx axx 18解： （）由已知，有 ( )1 cos22 3sin cosf xxxx 3sin2cos21xx 2sin 21 6 x 所以( )f x的最小正周期为 2 2 T （）令2 6 zx ， 函数2sin1yz的单调递减区间是 3 2,2 22 kk ，kZ 由 3 222 262 kxk ， 得 5 36 kxk ，kZ 所
12、以( )f x的单调递减区间为 5 , 36 kk ，kZ （）因为 2 0, 3 x ，所以 7 2, 666 x ， 所以 1 sin 2,1 62 x ， 所以( )0,3f x ， 即( )f x在区间 2 0, 3 上的取值范围是0,3 19解： （）因为 32 ( )23(1)6f xxaxaxb， 所以 2 ( )66(1)6fxxaxa， 由题设可得( 1)121212fa ，( 1)959fab 解得0a，4b （）因为( )f x在3x 取得极值， 所以(3)12360fa ，解得3a 经检验知当3a 时，3x 为( )f x的极值点 （）令( )6()(1)0fxxa x
13、， 得 1 xa， 2 1x 当1a 时，若(, )(1,)xa ，则( )0fx， 所以( )f x在(, )a和(1,)上为增函数， 故当01a时，( )f x在(,0)上为增函数 当1a 时，若(,1)( ,)xa ，则( )0fx， 所以( )f x在(,1)和( ,)a 上为增函数， 从而( )f x在(,0)上也为增函数 综上所述，当0,)a时，( )f x在(,0)上为增函数 20解： （） 2 (1) ( ) x ex fx x ，(,0)(0,)x ， 当(1,)x时，则( )0fx， 所以( )f x在(1,)上为增函数， 当(,0)(0,1)x 时，则( )0fx， 所以
14、( )f x在(,0)和(0,1)上为减函数 （）设函数 1 ( )( )( )ln x e h xf xg xx xx ，(0,)x 222 (1)1 11 ( ) x xx xe xee h x xxxx ， 因为(0,)x，10 x e ， 所以当(0,1)x时，( )0h x，( )h x单调递减； 当(1,)x时，( )0h x，( )h x单调递增； 所以( )h x在(0,)上有最小值 min ( )(1)1h xhe 即当1xm时，PQ的最小值为1e （） 1 ( )ln x F xeax x ， 22 11121 ( )lnln xxx F xeaxeeax xxxxx ，
15、因为0 x e ，所以( )F x与 2 21 lnax xx 同号 设 2 21 ( )lnt xax xx ，则 2 3 22 ( ) xx t x x ， 所以对任意(0,)x，有( )0t x， 故( )t x在(0,)单调递增 因(0,ln2)a，(1)10ta ， 11 ln0 22 ta ， 所以存在 0 1 ,1 2 x ，使得 0 0t x 当 0 1 , 2 xx ，( )0F x，( )F x单调递减； 当 0,1 xx，( )0F x，( )F x单调递增； 所以若(0,ln2)a，存在 0 1 ,1 2 x ，使得 0 x是( )F x的极小值点 由 0 0t x得 0 2 00 21 ln0ax xx ， 即 0 0 22 000 1212 ln x ax xxx ， 所以 00 0 0 2 0 1 2 ln0 xx x eaxe x