1、2020 年年新人教版九年级上册第新人教版九年级上册第 22 章章 二次函数单元测试卷（二次函数单元测试卷（2） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分每小题的分每小题的 4 个选项中，只有一个选项是符合题目个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分）抛物线 yx2+2 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ） A （2，0） B （2，0） C （0，2） D （0，2） 2 （3 分）将抛物线 y（x+1）22 向上平移 a 个单位后得到的抛物线恰好与 x 轴有一个交点，则 a 的值 为（ ） A1 B1 C2
2、D2 3 （3 分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h t2+24t+1则下列说法中正确的是（ ） A点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B点火后 24s 火箭落于地面 C点火后 10s 的升空高度为 139m D火箭升空的最大高度为 145m 4 （3 分）对于二次函数 y4（x+1） （x3）下列说法正确的是（ ） A图象开口向下 B与 x 轴交点坐标是（1，0）和（3，0） Cx0 时，y 随 x 的增大而减小 D图象的对称轴是直线 x1 5 （3 分）把抛物线 y2x24x6 经过平移得到 y2x21，平移方法是（ ） A
3、向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 B向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 C向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 D向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 6 （3 分）若 yx24，则当 y0 时，x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx2 或 x2 Cx2 或 x2 D2x2 7（3分） 表是用计算器探索函数y2x22x10所得的数值， 则方程2x22x100的一个近似解为 （ ） x 2.1 2.2 2.3 2.4 y 1.39 0.76 0.11 0.56 Ax2.1 Bx2.2 Cx2.3 Dx2.4 8 （3 分）已知二次函数 y2（x+b）2，当 x
4、3 时，y 随 x 的增大而增大，当 x3 时，y 随 x 的增 大而减小，则当 x1 时，y 的值为（ ） A12 B12 C32 D32 9 （3 分）已知正比例函数 ykx 的函数值随自变量的增大而增大，则二次函数 yx22（k+1）x+k21 的 图象与 x 轴的交点个数为（ ） A2 B1 C0 D无法确定 10 （3 分）若二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象如图所示则实数 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Babc Cbac Dacb 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11 （3 分）若抛物线
5、y（n+2）x有最低点，则 n 12 （3 分）已知在同一坐标系中，抛物线 y1ax2的开口向上，且它的开口比抛物线 y23x2+2 的开口小， 请你写出一个满足条件的 a 值： 13 （3 分）平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐标系，抛物 线的函数表达式为 yx2+x+ （单位：m） ，绳子甩到最高处时刚好通过站在 x2 点处跳绳的学生 小明的头顶，则小明的身高为 m 14 （3 分）如果二次函数 yx2+3kx+2k4 图象对称轴为直线 x3，那么二次函数的最小值是 15 （3 分）已知抛物线 y+2，当 1x5 时，y 的最大值是 16 （3 分）若
6、二次函数 y2（x+1）2+3 的图象上有三个不同的点 A（x1，4） 、B（x1+x2，n） 、C（x2，4） ， 则 n 的值为 17 （3 分）若函数 y（k3）x2+2x+1 与坐标轴至少有两个不同的交点，则 k 的取值范围为 18 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x 5 4 3 2 1 0 y 4 0 2 2 0 4 下列结论：抛物线的开口向下；当 x3 时，y 随 x 的增大而增大；二次函数的最小值是2； 抛物线的对称轴是直线 x，其中正确结论的序号是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 46
7、 分）分） 19 （6 分）已知：二次函数的表达式 yx22x3 （1）用配方法将其化为 ya（xh）2+k 的形式； （2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质 20 （6 分）已知点（2，8）在函数 yax2+b 的图象上，当 x1 时，y5 （1）求 a，b 的值 （2）如果点（12，m） ， （n，17）也在这个函数的图象上，求 m 与 n 的值 21 （6 分）已知某二次函数图象的对称轴是直线 x2，与 y 轴的交点坐标为（0，1） ，且经过点（5，6） ， 且若此抛物线经过点（2，y1） 、 （3，y2） ，求抛物线的解析式并比较 y1与 y2的大小 22 （6 分）如图
8、，抛物线 y1a（x1）2+4 与 x 轴交于 A（1，0） （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）一次函数 y2x+1 的图象与抛物线相交于 A，C 两点，过点 C 作 CB 垂直于 x 轴于点 B，求ABC 的面积 23 （6 分）已知抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+m 相交于第一象限内不同的两点 A（4，n） ，B（1，4） ， （1）求此抛物线的解析式 （2） 抛物线上是否存点 P， 使直线 OP 将线段 AB 平分？若存在直接求出 P 点坐标； 若不存在说明理由 24 （8 分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价 40 元，规定销售单价不低
9、于 44 元，且获利不高于 30%试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 本，销售单价 每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价销售设每天销售量为 y 本，销售单价为 x 元 （1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大？最大利润是多 少元？ 25 （8 分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿 色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙
10、长不超过 18m，另外三边由 36m 长的栅栏围成设矩形 ABCD 空 地中，垂直于墙的边 ABxm，面积为 ym2（如图） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若矩形空地的面积为 160m2，求 x 的值； （3）若该单位用 8600 元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共 400 棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理 用地面积如下表） 问丙种植物最多可以购买多少棵？此时， 这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请 说明理由 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题
11、（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分每小题的分每小题的 4 个选项中，只有一个选项是符合题目个选项中，只有一个选项是符合题目 要求的）要求的） 1 （3 分）抛物线 yx2+2 的图象与 y 轴的交点坐标是（ ） A （2，0） B （2，0） C （0，2） D （0，2） 【分析】根据 y 轴上点的坐标特征，计算自变量为 0 时的函数值即可 【解答】解：当 x0 时，yx2+22， 所以抛物线 yx2+2 的图象与 y 轴的交点坐标是（0，2） 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，
12、即已知横 坐标可求对应的纵坐标本题的关键是确定 y 轴上点的坐标特征 2 （3 分）将抛物线 y（x+1）22 向上平移 a 个单位后得到的抛物线恰好与 x 轴有一个交点，则 a 的值 为（ ） A1 B1 C2 D2 【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律写出平移后抛物线的解析式，由新抛物线恰好与 x 轴有一 个交点得到0，由此求得 a 的值 【解答】解：新抛物线的解析式为：y（x+1）22+ax2+2x1+a， 新抛物线恰好与 x 轴有一个交点， 44（1+a）0， 解得 a2 故选：D 【点评】考查了抛物线与 x 轴的交点坐标，二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变， 故 a
13、 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的 坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 3 （3 分）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式 h t2+24t+1则下列说法中正确的是（ ） A点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 B点火后 24s 火箭落于地面 C点火后 10s 的升空高度为 139m D火箭升空的最大高度为 145m 【分析】分别求出 t9、13、24、10 时 h 的值可判断 A、B、C 三个选项，将解析式配方成顶点式可判 断 D 选项 【解答
14、】解：A、当 t9 时，h136；当 t13 时，h144；所以点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度不 相同，此选项错误； B、当 t24 时 h10，所以点火后 24s 火箭离地面的高度为 1m，此选项错误； C、当 t10 时 h141m，此选项错误； D、由 ht2+24t+1（t12）2+145 知火箭升空的最大高度为 145m，此选项正确； 故选：D 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质 4 （3 分）对于二次函数 y4（x+1） （x3）下列说法正确的是（ ） A图象开口向下 B与 x 轴交点坐标是（1，0）和（3，0） Cx0 时，y 随
15、x 的增大而减小 D图象的对称轴是直线 x1 【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项是否正确 【解答】解：y4（x+1） （x3）4（x1）216， a40，该抛物线的开口向上，故选项 A 错误， 与 x 轴的交点坐标是（1，0） 、 （3，0） ，故选项 B 错误， 当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故选项 C 正确， 图象的对称轴是直线 x1，故选项 D 错误， 故选：C 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答 5 （3 分）把抛物线 y2x24x6 经过平移得到 y2x21，平移方法是（ ） A向右平移 1 个单
16、位，再向上平移 3 个单位 B向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 C向右平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 D向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位 【分析】分别求出两个抛物线的顶点坐标，然后根据顶点的变化确定平移方法 【解答】解：y2x24x62（x+1）24， 抛物线 y2x24x6 的顶点坐标为（1，4） ， 又y2x21 的顶点坐标为（0，1） ， 平移方法为向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位 故选：A 【点评】本题考查了二次函数与几何变换，利用点的变化确定抛物线的变化更简单 6 （3 分）若 yx24，则当 y0 时，x 的取值范围是（ ） Ax2 B
17、x2 或 x2 Cx2 或 x2 D2x2 【分析】 令 y0 求出二次函数图象与 x 轴的交点坐标， 然后根据二次函数的性质写出 x 的取值范围即可 【解答】解：令 y0，则 x240， 解得 x12，x22， 所以，二次函数图象与 x 轴的交点坐标为（2，0） ， （2，0） ， y0， x 的取值范围是 x2 或 x2 故选：B 【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系，此类题目熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键 7（3分） 表是用计算器探索函数y2x22x10所得的数值， 则方程2x22x100的一个近似解为 （ ） x 2.1 2.2 2.3 2.4 y 1.39 0.76 0.
18、11 0.56 Ax2.1 Bx2.2 Cx2.3 Dx2.4 【分析】根据表可得，方程 2x22x100 的一个解应在2.3 与2.4 之间，再由 y 的值可得，它的根 近似的看作是2.3 【解答】解：当 x2.3 时，y0.11， 当 x2.4 时，y0.56， 则方程的根2.3x2.4， |0.11|0.56|， 方程 2x22x100 的一个近似解为 x2.3 故选：C 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是看 y 值的变化 8 （3 分）已知二次函数 y2（x+b）2，当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，当 x3 时，y 随 x 的增 大而减小，则当 x1
19、时，y 的值为（ ） A12 B12 C32 D32 【分析】根据二次函数的增减性，结合条件可求得抛物线的对称轴方程，可得到 b 的值，可求得二次函 数的解析式，然后把 x1 代入解析式即可求得答案 【解答】解：y2（x+b）2， 其对称轴方程为 xb， 又当 x3 时，y 随 x 的增大而增大，当 x3 时，y 随 x 的增大而减小， 其对称轴为 x3， b3，解得 b3， 二次函数为 y2（x+3）2， 把 x1 代入得，y2（1+3）232； 故选：D 【点评】本题主要考查抛物线的对称轴及增减性，掌握在对称轴两侧的增减性相反是解题的关键 9 （3 分）已知正比例函数 ykx 的函数值随自
20、变量的增大而增大，则二次函数 yx22（k+1）x+k21 的 图象与 x 轴的交点个数为（ ） A2 B1 C0 D无法确定 【分析】正比例函数 ykx 的函数值随自变量的增大而增大，则 k0，（2k2）24（k21） 8k+80，即可求解 【解答】解：正比例函数 ykx 的函数值随自变量的增大而增大，则 k0， （2k2）24（k21）8k+80， 故图象与 x 轴的交点个数为 2； 故选：A 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函 数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征 10 （3 分）若二次函数 yax
21、2+bx+c（a0）的图象如图所示则实数 a，b，c 的大小关系是（ ） Abca Babc Cbac Dacb 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c，然后根据对称轴及抛物线 与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：图象开口向上，经过原点，对称轴在 y 轴右侧， a0，c0，1， b2a0， acb， 故选：D 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系的知识点，解答本题的关键是根据图形判断出 a，b， c 的正负和图象上一些特殊点，此题难度不大 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共
22、分，共 24 分）分） 11 （3 分）若抛物线 y（n+2）x有最低点，则 n 2 【分析】根据二次函数的定义得 n+20 且 n2+n42，然后解一元二次方程即可得到 n 的值，然后根 据有最低点确定 n 的值即可 【解答】解：根据题意得 n+20 且 n2+n42， 解 n2+n42 得 n13，n22， 又 n+20，即 n2， n2， 故答案为：2 【点评】本题考查了二次函数 yax2+bx+c（a0）的性质：熟练掌握二次函数的性质是解决此类问题的 关键 12 （3 分）已知在同一坐标系中，抛物线 y1ax2的开口向上，且它的开口比抛物线 y23x2+2 的开口小， 请你写出一个满足
23、条件的 a 值： 4 【分析】由抛物线开口向下可知 a0，再由开口的大小由 a 的绝对值决定，可求得 a 的取值范围 【解答】解：抛物线 y1ax2的开口向上， a0， 又它的开口比抛物线 y23x2+2 的开口小， |a|3， a3， 取 a4 即符合题意， 故答案为：4（答案不唯一） 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由 a 的绝对值决定是解题的关键，即 |a|越大，抛物线开口越小 13 （3 分）平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐标系，抛物 线的函数表达式为 yx2+x+ （单位：m） ，绳子甩到最高处时刚好通过站在 x2 点
24、处跳绳的学生 小明的头顶，则小明的身高为 1.5 m 【分析】实际上告诉了抛物线上某一点的横坐标 x2，求纵坐标代入解析式即可解答 【解答】解：在 yx2+x+中， 当 x2 时，得 y1.5 即小明的身高为 1.5 米 故答案为：1.5 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际 问题 14 （3 分）如果二次函数 yx2+3kx+2k4 图象对称轴为直线 x3，那么二次函数的最小值是 17 【分析】根据二次函数 yx2+3kx+2k4 图象对称轴为直线 x3，可以求得 k 的值，然后将函数解析式 化为顶点式，即可求得该函数的最小值，本题得以解决
25、 【解答】解：二次函数 yx2+3kx+2k4 图象对称轴为直线 x3， 3，得 k2， yx26x8（x3）217， 当 x3 时，y 取得最小值，此时 y17， 故答案为：17 【点评】本题考查二次函数的性质、最值和图象，解答本题的关键是明确题意，求出 k 的值，利用二次 函数的性质解答 15 （3 分）已知抛物线 y+2，当 1x5 时，y 的最大值是 【分析】 根据二次函数的性质， 当 x0 时， y 随 x 的增大而减小， 然后把 x 的值代入进行计算即可得解 【解答】解：a0， x0 时，y 随 x 的增大而减小， 1x5， x1 时，y 的最大值12+2 故答案为： 【点评】本题
26、考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键 16 （3 分）若二次函数 y2（x+1）2+3 的图象上有三个不同的点 A（x1，4） 、B（x1+x2，n） 、C（x2，4） ， 则 n 的值为 5 【分析】将点 A 与 C 代入二次函数表达式，由韦达定理即可求解； 【解答】解：A（x1，4） 、C（x2，4）在二次函数 y2（x+1）2+3 的图象上， 2（x+1）2+34， 2x2+4x+10， 根据根与系数的关系得，x1+x22， B（x1+x2，n）在二次函数 y2（x+1）2+3 的图象上， n2（2+1）2+35， 故答案为 5 【点评】本题考查二次函数上点的特
27、征，韦达定理；能够建立一元二次方程，利用根与系数的关系是解 题的关键 17 （3 分）若函数 y（k3）x2+2x+1 与坐标轴至少有两个不同的交点，则 k 的取值范围为 k4 【分析】由解析式知函数图象与 y 轴有一交点（0，1） ，依据题意知函数图象与 x 轴还至少有一个交点， 再分函数是一次函数和二次函数两种情况分别求解可得 【解答】解：当 x0 时，y1， 此函数图象与 y 轴必有一个交点（0，1） ； 若此函数是一次函数，即 k3，其解析式为 y2x+1，其函数图象与坐标轴有两个交点； 若此函数是二次函数，即 k3， 由题意知 44（k3）0， 解得 k4； 综上，k 的取值范围是
28、k4， 故答案为：k4 【点评】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个 数，做题时要认真分析，找到它们的关系 18 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x 5 4 3 2 1 0 y 4 0 2 2 0 4 下列结论：抛物线的开口向下；当 x3 时，y 随 x 的增大而增大；二次函数的最小值是2； 抛物线的对称轴是直线 x，其中正确结论的序号是 【分析】由所给 x、y 的对应值可求得函数解析式，再利用二次函数的性质分别判断即可求得答案 【解答】解：由表中数值知抛物线过点（4，0） ， （1，0
29、）和（0，4） ， 设抛物线解析式为 ya（x+4） （x+1） ， 将（0，4）代入，得：4a4， 解得：a1， 则抛物线解析式为 y（x+4） （x+1）x2+5x+4， a10， 抛物线的开口向上，错误； 抛物线的对称轴为 x，且开口向上， 当 x时，y 随 x 的增大而增大，错误，正确； 当 x时，y 取得最小值，最小值为（+4）（+1），错误； 故答案为： 【点评】本题主要考查二次函数的性质，由条件求得二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质是 解题的关键 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 7 小题，共小题，共 46 分）分） 19 （6 分）已知：二次函数的表达式 yx2
30、2x3 （1）用配方法将其化为 ya（xh）2+k 的形式； （2）画出这个二次函数的图象，并写出该函数的一条性质 【分析】 （1）根据配方法求解可得； （2）画出函数图象，结合函数图象写出符合图象的函数性质即可得 【解答】解： （1）yx22x+12123（x1）24； （2）画出图象如图： 由图知，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大（答案不唯一） 【点评】 此题考查了二次函数的性质与图象， 考查了根据函数解析式得出顶点坐标， 对称轴， 开口方向； 还考查了增减性和数形结合思想的应用 20 （6 分）已知点（2，8）在函数 yax2+b 的图象上，当 x1 时，y5 （1）求 a，b 的
31、值 （2）如果点（12，m） ， （n，17）也在这个函数的图象上，求 m 与 n 的值 【分析】 （1）将点（2，8）和（1，5）分别代入解析式即可求出 a、b 的值； （2）将点（12，m）和（n，17）分别代入解析式即可得到 m、n 的值 【解答】解（1）由题意可知：，解得 （2）将（12，m） ， （n，17）代入 yx2+4，得：m144+4，17n2+4， 解得 m148，n 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要熟悉待定系数法求函数解析式 21 （6 分）已知某二次函数图象的对称轴是直线 x2，与 y 轴的交点坐标为（0，1） ，且经过点（5，6） ， 且若此抛物线经过
32、点（2，y1） 、 （3，y2） ，求抛物线的解析式并比较 y1与 y2的大小 【分析】根据待定系数法即可求得抛物线的解析式，然后把点（2，y1） 、 （3，y2）代入求得 y1、y2的 值即可 【解答】解：设该抛物线的解析式为 yax2+bx+c（a0） ， 由题意可得：， 解得：， 该抛物线的解析式为 yx24x+1， 当 x2 时，y113，当 x3 时，y22， 132， y1y2 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，也考查了二次函数的性质 22 （6 分）如图，抛物线 y1a（x1）2+4 与 x 轴交于 A（1，0） （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）一
33、次函数 y2x+1 的图象与抛物线相交于 A，C 两点，过点 C 作 CB 垂直于 x 轴于点 B，求ABC 的面积 【分析】 （1）根据抛物线 y1a（x1）2+4 与 x 轴交于 A（1，0） ，可以求得该二次函数的解析式； （2）根据一次函数 y2x+1 的图象与抛物线相交于 A，C 两点，过点 C 作 CB 垂直于 x 轴于点 B，可以 求得点 C 和点 B 的坐标，从而可以求得ABC 的面积 【解答】解： （1）抛物线 y1a（x1）2+4 与 x 轴交于 A（1，0） ， 0a（11）2+4，得 a1， y1（x1）2+4， 即该抛物线所表示的二次函数的表达式是 y1（x1）2+4
34、； （2）由，得或， 一次函数 y2x+1 的图象与抛物线相交于 A，C 两点，点 A（1，0） ， 点 C 的坐标为（2，3） ， 过点 C 作 CB 垂直于 x 轴于点 B， 点 B 的坐标为（2，0） ， 点 A（1，0） ，点 C（2，3） ， AB2（1）3，BC3， ABC 的面积是 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图 象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 和数形结合的思想解答 23 （6 分）已知抛物线 yx2+bx+c 与直线 yx+m 相交于第一象限内不同的两点
35、A（4，n） ，B（1，4） ， （1）求此抛物线的解析式 （2） 抛物线上是否存点 P， 使直线 OP 将线段 AB 平分？若存在直接求出 P 点坐标； 若不存在说明理由 【分析】 （1）把 B（1，4）代入 yx+m 得到 m5，求得 A（4，1） ，把 A（4，1） ，B（1，4）代入 y x2+bx+c 即可得到结论； （2）设 P 点坐标为（m，m2+4m+1） ，求得线段 AB 的中点 E 的坐标为（，） ，得到直线 OP 的解 析式为：yx，列方程即可得到结论 【解答】解： （1）把 B（1，4）代入 yx+m 得，m5， 直线的解析式为：yx+5， A（4，1） ， 把 A（4
36、，1） ，B（1，4）代入 yx2+bx+c 得， 解得：， 抛物线解析式为：yx2+4x+1； （2）存在， 设 P 点坐标为（m，m2+4m+1） ， 线段 AB 的中点 E 的坐标为（，） ， 直线 OP 的解析式为：yx， mm2+4m+1， 解得：m或 m， P 点坐标为（，） （，） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象点 的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键 24 （8 分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%试销售期间发现，当销售单价定为 4
37、4 元时，每天可售出 300 本，销售单价 每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价销售设每天销售量为 y 本，销售单价为 x 元 （1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大？最大利润是多 少元？ 【分析】 （1）售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，则售单价每上涨（x44）元，每天销售量减 少 10（x44）本，所以 y30010（x44） ，然后利用销售单价不低于 44 元，且获利不
38、高于 30%确定 x 的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到（x40） （10 x+740）2400，然后解方程后利用 x 的范围确定销售单价； （3） 利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到 w （x40）（10 x+740） ， 再把它变形为顶点式， 然后利用二次函数的性质得到 x52 时 w 最大，从而计算出 x52 时对应的 w 的值即可 【解答】解： （1）y30010（x44） ， 即 y10 x+740（44x52） ； （2）根据题意得（x40） （10 x+740）2400， 解得 x150，x264（舍去） ， 答：当每本足球纪念册销售单价是 50 元时
39、，商店每天获利 2400 元； （3）w（x40） （10 x+740） 10 x2+1140 x29600 10（x57）2+2890， 当 x57 时，w 随 x 的增大而增大， 而 44x52， 所以当 x52 时，w 有最大值，最大值为10（5257）2+28902640， 答：将足球纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640 元 【点评】本题考查了二次函数的应用：利用二次函数解决利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定 出二次函数的解析式，然后利用二次函数的性质确定其最大值；在求二次函数的最值时，一定要注意自 变量 x 的取值范围也
40、考查了一元二次方程的应用 25 （8 分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿 色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过 18m，另外三边由 36m 长的栅栏围成设矩形 ABCD 空 地中，垂直于墙的边 ABxm，面积为 ym2（如图） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若矩形空地的面积为 160m2，求 x 的值； （3）若该单位用 8600 元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共 400 棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理 用地面积如下表） 问丙种植物最多可以购买多少棵？此时， 这批植物可以全部栽种到这块
41、空地上吗？请 说明理由 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m2/棵） 0.4 1 0.4 【分析】 （1）根据矩形的面积公式计算即可； （2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意； （3）利用二次函数的性质求出 y 的最大值，设购买了乙种绿色植物 a 棵，购买了丙种绿色植物 b 棵，由 题意：14（400ab）+16a+28b8600，可得 a+7b1500，推出 b 的最大值为 214，此时 a2，再求 出实际植物面积即可判断； 【解答】解： （1）yx（362x）2x2+36x（9x18） （2）由题意：2x2+36x160， 解得 x10 或 8 x8 时，36162018，不符合题意， x 的值为 10 （3）y2x2+36x2（x9）2+162， x9 时，y 有最大值 162， 设购买了乙种绿色植物 a 棵，购买了丙种绿色植物 b 棵， 由题意：14（400ab）+16a+28b8600， a+7b1500， b 的最大值为 214，此时 a2， 需要种植的面积0.4（4002142）+12+0.4214161.2162， 这批植物可以全部栽种到这块空地上 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常 考题型