1、第第 3 章章 圆的基本性质（圆的基本性质（1） 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题） 1如图，O 是ABC 的外接圆，AOB60，ABAC2，则弦 BC 的长为（ ） A B3 C2 D4 2如图，O 的半径为 1，ABC 是O 的内接等边三角形，点 D、E 在圆上，四边形 BCDE 为矩形，这 个矩形的面积是（ ） A2 B C D 3如图，ABC 内接于半径为 5 的O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3，则A 的正切值等于（ ） A B C D 4如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE2，DE8，则 AB 的长为（ ） A2 B4 C6 D8 5如图，C
2、D 是O 的直径，弦 ABCD 于 E，连接 BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ） AAEBE B COEDE DDBC90 6如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，则下列结论正确的是（ ） AOEBE B CBOC 是等边三角形 D四边形 ODBC 是菱形 7如图，B，C，D 是半径为 6 的O 上的三点，已知的长为 2，且 ODBC，则 BD 的长为（ ） A3 B6 C6 D12 8如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心坐标是（3，a） （a3） ，半径为 3，函数 yx 的图象被P 截 得的弦 AB 的长为，则 a 的值是（ ） A4 B C D 9如图，在半径为 6c
3、m 的O 中，点 A 是劣弧的中点，点 D 是优弧上一点，且D30，下列四 个结论： OABC；BC6；sinAOB；四边形 ABOC 是菱形 其中正确结论的序号是（ ） A B C D 10如图，以 AB 为直径的O 与弦 CD 相交于点 E，且 AC2，AE，CE1则的长是（ ） A B C D 二、填空题（共二、填空题（共 15 小题）小题） 11如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，点 E 是的中点，OE 交 BC 于点 D连接 AC，若 BC6，DE 1，则 AC 的长为 12 如图， 圆 O 的直径 CD10cm， AB 是圆 O 的弦， 且 ABCD， 垂足为 P， AB8cm，
4、 则 sinOAP 13 在半径为2的圆中， 弦AC长为1， M为AC中点， 过M点最长的弦为BD， 则四边形ABCD的面积为 14如图，在O 中，半径 OA 垂直弦于点 D若ACB33，则OBC 的大小为 度 15如图，在边长为 1 的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的 点 16如图，ABC 内接于O，AO2，BC2，则BAC 的度数为 17如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若 AB2cm，BCD2230， 则O 的半径为 cm 18O 的半径为 2，弦 BC2，点 A 是O 上一点，且 ABAC，直线 AO 与 BC 交
5、于点 D，则 AD 的 长为 19如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为 20 如图， 点 A， B， C 在圆 O 上， OCAB， 垂足为 D， 若O 的半径是 10cm， AB12cm， 则 CD cm 21如图，AB 是半圆的直径，点 O 为圆心，OA5，弦 AC8，ODAC，垂足为 E，交O 于 D，连接 BE设BEC，则 sin 的值为 22如图，AB 为O 的直径，CDAB，若 AB10，CD8，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 23如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若BAD30，且 BE2，则 CD 24如图，
6、AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，OC5cm，CD6cm，则 OE cm 25如图，AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，AB8，CD6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题）小题） 26如图，在O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F，D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE4，OF6，求O 的半径和 CD 的长 27已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图） （1）求证：
7、ACBD； （2）若大圆的半径 R10，小圆的半径 r8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长 28如图，O 的直径为 10cm，弦 AB8cm，P 是弦 AB 上的一个动点，求 OP 的长度范围 29如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M 在O 上，MD 恰好经过圆心 O，连接 MB （1）若 CD16，BE4，求O 的直径； （2）若MD，求D 的度数 30如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P 在O 上，PB 与 CD 交于点 F，PBCC （1）求证：CBPD； （2）若PBC22.5，O 的半径 R2，求劣弧 AC 的长度 参考答案
8、与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题）小题） 1如图，O 是ABC 的外接圆，AOB60，ABAC2，则弦 BC 的长为（ ） A B3 C2 D4 【分析】如图，首先证得 OABC；然后由圆周角定理推知C30，通过解直角ACD 可以求得 CD 的长度则 BC2CD 【解答】解：如图，设 AO 与 BC 交于点 D AOB60， CAOB30， 又ABAC， ADBC， BDCD， 在直角ACD 中，CDACcos302， BC2CD2 故选：C 【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理等知识点推知OAB 是等边三角形是解题的难点，证 得 ADBC 是解题的
9、关键 2如图，O 的半径为 1，ABC 是O 的内接等边三角形，点 D、E 在圆上，四边形 BCDE 为矩形，这 个矩形的面积是（ ） A2 B C D 【分析】连接 BD、OC，根据矩形的性质得BCD90，再根据圆周角定理得 BD 为O 的直径，则 BD2；由 ABC 为等边三角形得A60，于是利用圆周角定理得到BOC2A120，易得 CBD30，在 RtBCD 中，根据含 30的直角三角形三边的关系得到 CDBD1，BCCD ，然后根据矩形的面积公式求解 【解答】解：连结 BD、OC，如图， 四边形 BCDE 为矩形， BCD90， BD 为O 的直径， BD2， ABC 为等边三角形，
10、A60， BOC2A120， 而 OBOC， CBD30， 在 RtBCD 中，CDBD1，BCCD， 矩形 BCDE 的面积BCCD 故选：B 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角 定理、等边三角形的性质和矩形的性质 3如图，ABC 内接于半径为 5 的O，圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3，则A 的正切值等于（ ） A B C D 【分析】过点 O 作 ODBC，垂足为 D，根据圆周角定理可得出BODA，再根据勾股定理可求得 BD4，从而得出A 的正切值 【解答】解：过点 O 作 ODBC，垂足为 D， OB5，OD3， BD4， AB
11、OC， ABOD， tanAtanBOD， 故选：D 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形，要熟练掌握这几个知识点 4如图，O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E，且 CE2，DE8，则 AB 的长为（ ） A2 B4 C6 D8 【分析】根据 CE2，DE8，得出半径为 5，在直角三角形 OBE 中，由勾股定理得 BE，根据垂径定理 得出 AB 的长 【解答】解：CE2，DE8， OB5， OE3， ABCD， 在OBE 中，得 BE4， AB2BE8 故选：D 【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握 5如图，CD 是O 的直径，弦 ABCD 于 E
12、，连接 BC、BD，下列结论中不一定正确的是（ ） AAEBE B COEDE DDBC90 【分析】根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可 【解答】解：CD 是O 的直径，弦 ABCD 于 E， AEBE，故 A、B 正确； CD 是O 的直径， DBC90，故 D 正确 故选：C 【点评】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题 的关键 6如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，则下列结论正确的是（ ） AOEBE B CBOC 是等边三角形 D四边形 ODBC 是菱形 【分析】根据垂径定理判断即可 【解答】解：ABCD，AB
13、过 O， DECE， 根据已知不能推出 OEBE，BOC 是等边三角形，四边形 ODBC 是菱形 故选：B 【点评】本题考查了垂径定理的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力 7如图，B，C，D 是半径为 6 的O 上的三点，已知的长为 2，且 ODBC，则 BD 的长为（ ） A3 B6 C6 D12 【分析】连结 OC 交 BD 于 E，设BOCn，根据弧长公式可计算出 n60，即BOC60，易得 OBC 为等边三角形，根据等边三角形的性质得C60，OBC60，BCOB6，由于 BC OD，则2C60，再根据圆周角定理得1230，即 BD 平分OBC，根据等边三角形 的性质得到 BDOC，
14、接着根据垂径定理得 BEDE，在 RtCBE 中，利用含 30 度的直角三角形三边 的关系得 CEBC3，CECE3，所以 BD2BE6 【解答】解：连结 OC 交 BD 于 E，如图， 设BOCn， 根据题意得 2，得 n60，即BOC60， 而 OBOC， OBC 为等边三角形， C60，OBC60，BCOB6， BCOD， 2C60， 12（圆周角定理） ， 130， BD 平分OBC，BDOC， BEDE， 在 RtCBE 中，CEBC3， BECE3， BD2BE6 故选：C 【点评】 本题考查了垂径定理的推论： 平分弦 （非直径） 的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧 也 考
15、查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理 8如图，在平面直角坐标系中，P 的圆心坐标是（3，a） （a3） ，半径为 3，函数 yx 的图象被P 截 得的弦 AB 的长为，则 a 的值是（ ） A4 B C D 【分析】PCx 轴于 C，交 AB 于 D，作 PEAB 于 E，连结 PB，由于 OC3，PCa，易得 D 点坐标 为（3，3） ，则OCD 为等腰直角三角形，PED 也为等腰直角三角形由 PEAB，根据垂径定理得 AEBEAB2，在 RtPBE 中，利用勾股定理可计算出 PE1，则 PDPE，所以 a 3+ 【解答】解：作 PCx 轴于 C，交 AB 于 D，作 PEAB
16、于 E，连结 PB，如图， P 的圆心坐标是（3，a） ， OC3，PCa， 把 x3 代入 yx 得 y3， D 点坐标为（3，3） ， CD3， OCD 为等腰直角三角形， PED 也为等腰直角三角形， PEAB， AEBEAB42， 在 RtPBE 中，PB3， PE， PDPE， a3+ 故选：B 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股 定理和等腰直角三角形的性质 9如图，在半径为 6cm 的O 中，点 A 是劣弧的中点，点 D 是优弧上一点，且D30，下列四 个结论： OABC；BC6；sinAOB；四边形 ABOC 是菱形 其中正确
17、结论的序号是（ ） A B C D 【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可 【解答】解：点 A 是劣弧的中点，OA 过圆心， OABC，故正确； D30， ABCD30， AOB60， 点 A 是劣弧的中点， BC2CE， OAOB， OAOBAB6cm， BEABcos3063cm， BC2BE6cm，故正确； AOB60， sinAOBsin60， 故正确； AOB60， ABOB， 点 A 是劣弧的中点， ACAB， ABBOOCCA， 四边形 ABOC 是菱形， 故正确 故选：B 【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三
18、角形，综合性较强，是一道好题 10如图，以 AB 为直径的O 与弦 CD 相交于点 E，且 AC2，AE，CE1则的长是（ ） A B C D 【分析】连接 OC，先根据勾股定理判断出ACE 的形状，再由垂径定理得出 CEDE，故，由 锐角三角函数的定义求出A 的度数，故可得出BOC 的度数，求出 OC 的长，再根据弧长公式即可得 出结论 【解答】解：连接 OC， ACE 中，AC2，AE，CE1， AE2+CE2AC2， ACE 是直角三角形，即 AECD， sinA， A30， COE60， sinCOE，即，解得 OC， AECD， ， 故选：B 【点评】本题考查的是垂径定理，涉及到直角
19、三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中 二、填空题（共二、填空题（共 15 小题）小题） 11如图，AB 是O 的直径，BC 是弦，点 E 是的中点，OE 交 BC 于点 D连接 AC，若 BC6，DE 1，则 AC 的长为 8 【分析】连接 OC，根据圆心角与弧之间的关系可得BOECOE，由于 OBOC，根据等腰三角形的 性质可得 ODBC，BDCD在直角三角形 BDO 中，根据勾股定理可求出 OB，进而求出 OD 长，再 根据三角形中位线定理可得 AC 的长 【解答】解：连接 OC，如图所示 点 E 是的中点， BOECOE OBOC， ODBC，BDDC BC6， BD3 设O 的半径为
20、 r，则 OBOEr DE1， ODr1 ODBC 即BDO90， OB2BD2+OD2 OBr，ODr1，BD3， r232+（r1）2 解得：r5 OD4 AOBO，BDCD， ODAC AC8 【点评】本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中 位线定理等知识，有一定的综合性 12如图，圆 O 的直径 CD10cm，AB 是圆 O 的弦，且 ABCD，垂足为 P，AB8cm，则 sinOAP 【分析】根据垂径定理由 ABCD 得到 APAB4cm，再在 RtOAP 中，利用勾股定理计算出 OP 3，然后根据正弦的定义求解 【解答】解：ABCD， A
21、PBPAB84cm， 在 RtOAP 中，OACD5， OP3， sinOAP 故答案为： 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理和锐角三角函数 13在半径为 2 的圆中，弦 AC 长为 1，M 为 AC 中点，过 M 点最长的弦为 BD，则四边形 ABCD 的面积为 2 【分析】先由直径是圆中最长的弦得出 BD4，再根据垂径定理的推论得出 ACBD，则四边形 ABCD 的面积ACBD 【解答】解：如图M 为 AC 中点，过 M 点最长的弦为 BD， BD 是直径，BD4，且 ACBD， 四边形 ABCD 的面积ACBD142 故答案为：2
22、 【点评】本题考查了垂径定理，四边形的面积，难度适中得出 BD 是直径是解题的关键 14如图，在O 中，半径 OA 垂直弦于点 D若ACB33，则OBC 的大小为 24 度 【分析】先根据圆周角定理得到AOB2ACB66，然后根据互余计算OBC 的大小 【解答】解：OABC， ODB90， ACB33， AOB2ACB66， OBC90AOB24 故答案为：24 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角 定理 15如图，在边长为 1 的正方形网格中，若一段圆弧恰好经过四个格点，则该圆弧所在圆的圆心是图中的 点 C 【分析】圆心在任意两个格点连线（
23、弦）的中垂线上，是两条弦的中垂线的交点，据此即可判断 【解答】解：圆心是弦 EF 和弦 FG 的中垂线的交点，是 C 故选 C 【点评】本题考查了垂径定理，理解圆心一定在弦的中垂线上是关键 16如图，ABC 内接于O，AO2，BC2，则BAC 的度数为 60 【分析】连结 OB、OC，作 ODBC 于 D，根据垂径定理得 BDBC，在 RtOBD 中，根据余 弦的定义得 cosOBD，则OBD30，由于 OBOC，则OCB30，所以BOC 120，然后根据圆周角定理即可得到BACBOC60 【解答】解：连结 OB、OC，作 ODBC 于 D，如图， ODBC， BDBC2， 在 RtOBD 中
24、，OBOA2，BD， cosOBD， OBD30， OBOC， OCB30， BOC120， BACBOC60 故答案为 60 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周 角定理和解直角三角形 17如图，在O 中，CD 是直径，弦 ABCD，垂足为 E，连接 BC，若 AB2cm，BCD2230， 则O 的半径为 2 cm 【分析】先根据圆周角定理得到BOD2BCD45，再根据垂径定理得到 BEAB，且 BOE 为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解 【解答】解：连结 OB，如图， BCD2230， BOD2BCD45， ABCD， B
25、EAEAB2，BOE 为等腰直角三角形， OBBE2（cm） 故答案为：2 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了等腰直 角三角形的性质和圆周角定理 18O 的半径为 2，弦 BC2，点 A 是O 上一点，且 ABAC，直线 AO 与 BC 交于点 D，则 AD 的 长为 1 或 3 【分析】根据题意画出图形，连接 OB，由垂径定理可知 BDBC，在 RtOBD 中，根据勾股定理求 出 OD 的长，进而可得出结论 【解答】解：如图所示： O 的半径为 2，弦 BC2，点 A 是O 上一点，且 ABAC， ADBC， BDBC， 在 RtOBD 中，
26、BD2+OD2OB2，即（）2+OD222，解得 OD1， 当如图 1 所示时，ADOAOD211； 当如图 2 所示时，ADOA+OD2+13 故答案为：1 或 3 【点评】本题考查的是垂径定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解 19如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的距离为 3 【分析】作 OCAB 于 C，连接 OA，根据垂径定理得到 ACBCAB4，然后在 RtAOC 中利用勾 股定理计算 OC 即可 【解答】解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB， ACBCAB84， 在 RtAOC 中，OA5， OC3， 即圆心 O
27、到 AB 的距离为 3 故答案为：3 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理 20如图，点 A，B，C 在圆 O 上，OCAB，垂足为 D，若O 的半径是 10cm，AB12cm，则 CD 2 cm 【分析】先根据垂径定理求出 AD 的长，在 RtAOD 中由勾股定理求出 OD 的长，进而利用 CDOC OD 可得出结论 【解答】解：O 的半径是 10cm，弦 AB 的长是 12cm，OC 是O 的半径且 OCAB，垂足为 D， OAOC10cm，ADAB126cm， 在 RtAOD 中，OA10cm，AD6cm， OD8cm， CDOCO
28、D1082cm 故答案为：2 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此类问题时往往先构造出直角三角形，再利用勾股 定理求解 21如图，AB 是半圆的直径，点 O 为圆心，OA5，弦 AC8，ODAC，垂足为 E，交O 于 D，连接 BE设BEC，则 sin 的值为 【分析】连结 BC，根据圆周角定理由 AB 是半圆的直径得ACB90，在 RtABC 中，根据勾股定理 计算出 BC6，再根据垂径定理由 ODAC 得到 AECEAC4，然后在 RtBCE 中，根据勾股定 理计算出 BE2，则可根据正弦的定义求解 【解答】解：连结 BC，如图， AB 是半圆的直径， ACB90， 在 RtA
29、BC 中，AC8，AB10， BC6， ODAC， AECEAC4， 在 RtBCE 中， BE2， sin 故答案为： 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理和圆周角定理 22如图，AB 为O 的直径，CDAB，若 AB10，CD8，则圆心 O 到弦 CD 的距离为 3 【分析】连接 OC，由 AB10 得出 OC 的长，再根据垂径定理求出 CE 的长，根据勾股定理求出 OE 即 可 【解答】解：连接 OC， AB 为O 的直径，AB10， OC5， CDAB，CD8， CE4， OE3 故答案为：3 【点评】 本题考查了勾股定理和垂径定
30、理， 根据题意作出辅助线， 构造出直角三角形是解答此题的关键 23如图，在O 中，弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E，若BAD30，且 BE2，则 CD 4 【分析】连结 OD，设O 的半径为 R，先根据圆周角定理得到BOD2BAD60，再根据垂径定 理由 CDAB 得到 DECE， 在 RtODE 中， OEOBBER2， 利用余弦的定义得 cosEODcos60 ，即，解得 R4，则 OE2，DEOE2，所以 CD2DE4 【解答】解：连结 OD，如图，设O 的半径为 R， BAD30， BOD2BAD60， CDAB， DECE， 在 RtODE 中，OEOBBER2，ODR， cos
31、EODcos60， ，解得 R4， OE422， DEOE2， CD2DE4 故答案为：4 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角 定理和解直角三角形 24如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，OC5cm，CD6cm，则 OE 4 cm 【分析】先根据垂径定理得出 CE 的长，再在 RtOCE 中，利用勾股定理即可求得 OE 的长 【解答】解：CDAB CECD63cm， 在 RtOCE 中，OEcm 故答案为：4 【点评】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，是基础知识要熟练掌握 25如图，AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦，
32、AB8，CD6，MN 是直径，ABMN 于点 E，CDMN 于点 F，P 为 EF 上的任意一点，则 PA+PC 的最小值为 【分析】A、B 两点关于 MN 对称，因而 PA+PCPB+PC，即当 B、C、P 在一条直线上时，PA+PC 的最 小，即 BC 的值就是 PA+PC 的最小值 【解答】解：连接 OB，OC，作 CH 垂直 AB 于 H 根据垂径定理，得到 BEAB4，CFCD3， OE3， OF4， CHOE+OF3+47， BHBE+EHBE+CF4+37， 在直角BCH 中根据勾股定理得到 BC7， 则 PA+PC 的最小值为 故答案为： 【点评】正确理解 BC 的长是 PA+
33、PC 的最小值，是解决本题的关键 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题）小题） 26如图，在O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直，垂足为 E，以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F，D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE4，OF6，求O 的半径和 CD 的长 【分析】由 OEAB 得到OEF90，再根据圆周角定理由 OC 为小圆的直径得到OFC90，则 可证明 RtOEFRtOFC，然后利用相似比可计算出O 的半径 OC9；接着在 RtOCF 中，根据 勾股定理可计算出 CF3，由于 OFCD，根据垂径定理得 CFDF，所以 CD2CF6 【解答】解：OEAB， OEF90， O
34、C 为小圆的直径， OFC90， 而EOFFOC， RtOEFRtOFC， OE：OFOF：OC，即 4：66：OC， O 的半径 OC9； 在 RtOCF 中，OF6，OC9， CF3， OFCD， CFDF， CD2CF6 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质 27已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图） （1）求证：ACBD； （2）若大圆的半径 R10，小圆的半径 r8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长 【分析】 （1）过 O 作 OE
35、AB，根据垂径定理得到 AEBE，CEDE，从而得到 ACBD； （2）由（1）可知，OEAB 且 OECD，连接 OC，OA，再根据勾股定理求出 CE 及 AE 的长，根据 AC AECE 即可得出结论 【解答】 （1）证明：过 O 作 OEAB 于点 E， 则 CEDE，AEBE， BEDEAECE，即 ACBD； （2）解：由（1）可知，OEAB 且 OECD，连接 OC，OA， OE6， CE2，AE8， ACAECE82 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 28如图，O 的直径为 10cm，弦 AB8cm，P 是弦 AB 上的一个动点，
36、求 OP 的长度范围 【分析】过点 O 作 OEAB 于点 E，连接 OB，由垂径定理可知 AEBEAB，再根据勾股定理求出 OE 的长，由此可得出结论 【解答】解：过点 O 作 OEAB 于点 E，连接 OB， AB8cm， AEBEAB84cm， O 的直径为 10cm， OB105cm， OE3cm， 垂线段最短，半径最长， 3cmOP5cm 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键 29如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 M 在O 上，MD 恰好经过圆心 O，连接 MB （1）若 CD16，BE4，求O 的直径； （2）若MD
37、，求D 的度数 【分析】 （1）先根据 CD16，BE4，得出 OE 的长，进而得出 OB 的长，进而得出结论； （2）由MD，DOB2D，结合直角三角形可以求得结果； 【解答】解： （1）ABCD，CD16， CEDE8， 设 OBx， 又BE4， x2（x4）2+82， 解得：x10， O 的直径是 20 （2）MBOD，MD， DBOD， ABCD， D30 【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为 直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧 30如图，AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E，点 P 在O 上，PB 与 CD 交于
38、点 F，PBCC （1）求证：CBPD； （2）若PBC22.5，O 的半径 R2，求劣弧 AC 的长度 【分析】 （1）先根据同弧所对的圆周角相等得出PBCD，再由等量代换得出CD，然后根据 内错角相等两直线平行即可证明 CBPD； （2）先由垂径定理及圆周角定理得出BOC2PBC45，再根据邻补角定义求出AOC135， 然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧 AC 的长度 【解答】解： （1）PBCD，PBCC， CD， CBPD； （2）连结 OC，OD AB 是O 的直径，弦 CDAB 于点 E， ， PBCDCB22.5， BOCBOD2C45， AOC180BOC135， 劣弧 AC 的长为： 【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的判定，垂径定理，弧长的计算，难度适中 （2）中求出AOC 135是解题的关键