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2020年浙教版九年级上册第3章圆的基本性质 单元测试卷(1)含答案详解

1、第第 3 章章 圆的基本性质(圆的基本性质(1) 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题)小题) 1如图,O 是ABC 的外接圆,AOB60,ABAC2,则弦 BC 的长为( ) A B3 C2 D4 2如图,O 的半径为 1,ABC 是O 的内接等边三角形,点 D、E 在圆上,四边形 BCDE 为矩形,这 个矩形的面积是( ) A2 B C D 3如图,ABC 内接于半径为 5 的O,圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3,则A 的正切值等于( ) A B C D 4如图,O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,且 CE2,DE8,则 AB 的长为( ) A2 B4 C6 D8 5如图,C

2、D 是O 的直径,弦 ABCD 于 E,连接 BC、BD,下列结论中不一定正确的是( ) AAEBE B COEDE DDBC90 6如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,则下列结论正确的是( ) AOEBE B CBOC 是等边三角形 D四边形 ODBC 是菱形 7如图,B,C,D 是半径为 6 的O 上的三点,已知的长为 2,且 ODBC,则 BD 的长为( ) A3 B6 C6 D12 8如图,在平面直角坐标系中,P 的圆心坐标是(3,a) (a3) ,半径为 3,函数 yx 的图象被P 截 得的弦 AB 的长为,则 a 的值是( ) A4 B C D 9如图,在半径为 6c

3、m 的O 中,点 A 是劣弧的中点,点 D 是优弧上一点,且D30,下列四 个结论: OABC;BC6;sinAOB;四边形 ABOC 是菱形 其中正确结论的序号是( ) A B C D 10如图,以 AB 为直径的O 与弦 CD 相交于点 E,且 AC2,AE,CE1则的长是( ) A B C D 二、填空题(共二、填空题(共 15 小题)小题) 11如图,AB 是O 的直径,BC 是弦,点 E 是的中点,OE 交 BC 于点 D连接 AC,若 BC6,DE 1,则 AC 的长为 12 如图, 圆 O 的直径 CD10cm, AB 是圆 O 的弦, 且 ABCD, 垂足为 P, AB8cm,

4、 则 sinOAP 13 在半径为2的圆中, 弦AC长为1, M为AC中点, 过M点最长的弦为BD, 则四边形ABCD的面积为 14如图,在O 中,半径 OA 垂直弦于点 D若ACB33,则OBC 的大小为 度 15如图,在边长为 1 的正方形网格中,若一段圆弧恰好经过四个格点,则该圆弧所在圆的圆心是图中的 点 16如图,ABC 内接于O,AO2,BC2,则BAC 的度数为 17如图,在O 中,CD 是直径,弦 ABCD,垂足为 E,连接 BC,若 AB2cm,BCD2230, 则O 的半径为 cm 18O 的半径为 2,弦 BC2,点 A 是O 上一点,且 ABAC,直线 AO 与 BC 交

5、于点 D,则 AD 的 长为 19如图,在O 中,已知半径为 5,弦 AB 的长为 8,那么圆心 O 到 AB 的距离为 20 如图, 点 A, B, C 在圆 O 上, OCAB, 垂足为 D, 若O 的半径是 10cm, AB12cm, 则 CD cm 21如图,AB 是半圆的直径,点 O 为圆心,OA5,弦 AC8,ODAC,垂足为 E,交O 于 D,连接 BE设BEC,则 sin 的值为 22如图,AB 为O 的直径,CDAB,若 AB10,CD8,则圆心 O 到弦 CD 的距离为 23如图,在O 中,弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E,若BAD30,且 BE2,则 CD 24如图,

6、AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,OC5cm,CD6cm,则 OE cm 25如图,AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦,AB8,CD6,MN 是直径,ABMN 于点 E,CDMN 于点 F,P 为 EF 上的任意一点,则 PA+PC 的最小值为 三、解答题(共三、解答题(共 5 小题)小题) 26如图,在O 中,半径 OC 与弦 AB 垂直,垂足为 E,以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F,D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE4,OF6,求O 的半径和 CD 的长 27已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D(如图) (1)求证:

7、ACBD; (2)若大圆的半径 R10,小圆的半径 r8,且圆 O 到直线 AB 的距离为 6,求 AC 的长 28如图,O 的直径为 10cm,弦 AB8cm,P 是弦 AB 上的一个动点,求 OP 的长度范围 29如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,点 M 在O 上,MD 恰好经过圆心 O,连接 MB (1)若 CD16,BE4,求O 的直径; (2)若MD,求D 的度数 30如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,点 P 在O 上,PB 与 CD 交于点 F,PBCC (1)求证:CBPD; (2)若PBC22.5,O 的半径 R2,求劣弧 AC 的长度 参考答案

8、与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(共一、选择题(共 10 小题)小题) 1如图,O 是ABC 的外接圆,AOB60,ABAC2,则弦 BC 的长为( ) A B3 C2 D4 【分析】如图,首先证得 OABC;然后由圆周角定理推知C30,通过解直角ACD 可以求得 CD 的长度则 BC2CD 【解答】解:如图,设 AO 与 BC 交于点 D AOB60, CAOB30, 又ABAC, ADBC, BDCD, 在直角ACD 中,CDACcos302, BC2CD2 故选:C 【点评】本题考查了解直角三角形,圆周角定理等知识点推知OAB 是等边三角形是解题的难点,证 得 ADBC 是解题的

9、关键 2如图,O 的半径为 1,ABC 是O 的内接等边三角形,点 D、E 在圆上,四边形 BCDE 为矩形,这 个矩形的面积是( ) A2 B C D 【分析】连接 BD、OC,根据矩形的性质得BCD90,再根据圆周角定理得 BD 为O 的直径,则 BD2;由 ABC 为等边三角形得A60,于是利用圆周角定理得到BOC2A120,易得 CBD30,在 RtBCD 中,根据含 30的直角三角形三边的关系得到 CDBD1,BCCD ,然后根据矩形的面积公式求解 【解答】解:连结 BD、OC,如图, 四边形 BCDE 为矩形, BCD90, BD 为O 的直径, BD2, ABC 为等边三角形,

10、A60, BOC2A120, 而 OBOC, CBD30, 在 RtBCD 中,CDBD1,BCCD, 矩形 BCDE 的面积BCCD 故选:B 【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角 定理、等边三角形的性质和矩形的性质 3如图,ABC 内接于半径为 5 的O,圆心 O 到弦 BC 的距离等于 3,则A 的正切值等于( ) A B C D 【分析】过点 O 作 ODBC,垂足为 D,根据圆周角定理可得出BODA,再根据勾股定理可求得 BD4,从而得出A 的正切值 【解答】解:过点 O 作 ODBC,垂足为 D, OB5,OD3, BD4, AB

11、OC, ABOD, tanAtanBOD, 故选:D 【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理以及解直角三角形,要熟练掌握这几个知识点 4如图,O 的直径 CD 垂直弦 AB 于点 E,且 CE2,DE8,则 AB 的长为( ) A2 B4 C6 D8 【分析】根据 CE2,DE8,得出半径为 5,在直角三角形 OBE 中,由勾股定理得 BE,根据垂径定理 得出 AB 的长 【解答】解:CE2,DE8, OB5, OE3, ABCD, 在OBE 中,得 BE4, AB2BE8 故选:D 【点评】本题考查了勾股定理以及垂径定理,是基础知识要熟练掌握 5如图,CD 是O 的直径,弦 ABCD 于 E

12、,连接 BC、BD,下列结论中不一定正确的是( ) AAEBE B COEDE DDBC90 【分析】根据垂径定理及圆周角定理对各选项进行逐一分析即可 【解答】解:CD 是O 的直径,弦 ABCD 于 E, AEBE,故 A、B 正确; CD 是O 的直径, DBC90,故 D 正确 故选:C 【点评】本题考查的是垂径定理,熟知平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧是解答此题 的关键 6如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,则下列结论正确的是( ) AOEBE B CBOC 是等边三角形 D四边形 ODBC 是菱形 【分析】根据垂径定理判断即可 【解答】解:ABCD,AB

13、过 O, DECE, 根据已知不能推出 OEBE,BOC 是等边三角形,四边形 ODBC 是菱形 故选:B 【点评】本题考查了垂径定理的应用,主要考查学生的推理能力和辨析能力 7如图,B,C,D 是半径为 6 的O 上的三点,已知的长为 2,且 ODBC,则 BD 的长为( ) A3 B6 C6 D12 【分析】连结 OC 交 BD 于 E,设BOCn,根据弧长公式可计算出 n60,即BOC60,易得 OBC 为等边三角形,根据等边三角形的性质得C60,OBC60,BCOB6,由于 BC OD,则2C60,再根据圆周角定理得1230,即 BD 平分OBC,根据等边三角形 的性质得到 BDOC,

14、接着根据垂径定理得 BEDE,在 RtCBE 中,利用含 30 度的直角三角形三边 的关系得 CEBC3,CECE3,所以 BD2BE6 【解答】解:连结 OC 交 BD 于 E,如图, 设BOCn, 根据题意得 2,得 n60,即BOC60, 而 OBOC, OBC 为等边三角形, C60,OBC60,BCOB6, BCOD, 2C60, 12(圆周角定理) , 130, BD 平分OBC,BDOC, BEDE, 在 RtCBE 中,CEBC3, BECE3, BD2BE6 故选:C 【点评】 本题考查了垂径定理的推论: 平分弦 (非直径) 的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧 也 考

15、查了弧长公式、等边三角形的判定与性质和圆周角定理 8如图,在平面直角坐标系中,P 的圆心坐标是(3,a) (a3) ,半径为 3,函数 yx 的图象被P 截 得的弦 AB 的长为,则 a 的值是( ) A4 B C D 【分析】PCx 轴于 C,交 AB 于 D,作 PEAB 于 E,连结 PB,由于 OC3,PCa,易得 D 点坐标 为(3,3) ,则OCD 为等腰直角三角形,PED 也为等腰直角三角形由 PEAB,根据垂径定理得 AEBEAB2,在 RtPBE 中,利用勾股定理可计算出 PE1,则 PDPE,所以 a 3+ 【解答】解:作 PCx 轴于 C,交 AB 于 D,作 PEAB

16、于 E,连结 PB,如图, P 的圆心坐标是(3,a) , OC3,PCa, 把 x3 代入 yx 得 y3, D 点坐标为(3,3) , CD3, OCD 为等腰直角三角形, PED 也为等腰直角三角形, PEAB, AEBEAB42, 在 RtPBE 中,PB3, PE, PDPE, a3+ 故选:B 【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股 定理和等腰直角三角形的性质 9如图,在半径为 6cm 的O 中,点 A 是劣弧的中点,点 D 是优弧上一点,且D30,下列四 个结论: OABC;BC6;sinAOB;四边形 ABOC 是菱形 其中正确

17、结论的序号是( ) A B C D 【分析】分别根据垂径定理、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可 【解答】解:点 A 是劣弧的中点,OA 过圆心, OABC,故正确; D30, ABCD30, AOB60, 点 A 是劣弧的中点, BC2CE, OAOB, OAOBAB6cm, BEABcos3063cm, BC2BE6cm,故正确; AOB60, sinAOBsin60, 故正确; AOB60, ABOB, 点 A 是劣弧的中点, ACAB, ABBOOCCA, 四边形 ABOC 是菱形, 故正确 故选:B 【点评】本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三

18、角形,综合性较强,是一道好题 10如图,以 AB 为直径的O 与弦 CD 相交于点 E,且 AC2,AE,CE1则的长是( ) A B C D 【分析】连接 OC,先根据勾股定理判断出ACE 的形状,再由垂径定理得出 CEDE,故,由 锐角三角函数的定义求出A 的度数,故可得出BOC 的度数,求出 OC 的长,再根据弧长公式即可得 出结论 【解答】解:连接 OC, ACE 中,AC2,AE,CE1, AE2+CE2AC2, ACE 是直角三角形,即 AECD, sinA, A30, COE60, sinCOE,即,解得 OC, AECD, , 故选:B 【点评】本题考查的是垂径定理,涉及到直角

19、三角形的性质、弧长公式等知识,难度适中 二、填空题(共二、填空题(共 15 小题)小题) 11如图,AB 是O 的直径,BC 是弦,点 E 是的中点,OE 交 BC 于点 D连接 AC,若 BC6,DE 1,则 AC 的长为 8 【分析】连接 OC,根据圆心角与弧之间的关系可得BOECOE,由于 OBOC,根据等腰三角形的 性质可得 ODBC,BDCD在直角三角形 BDO 中,根据勾股定理可求出 OB,进而求出 OD 长,再 根据三角形中位线定理可得 AC 的长 【解答】解:连接 OC,如图所示 点 E 是的中点, BOECOE OBOC, ODBC,BDDC BC6, BD3 设O 的半径为

20、 r,则 OBOEr DE1, ODr1 ODBC 即BDO90, OB2BD2+OD2 OBr,ODr1,BD3, r232+(r1)2 解得:r5 OD4 AOBO,BDCD, ODAC AC8 【点评】本题考查了在同圆或等圆中等弧所对的圆心角相等、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中 位线定理等知识,有一定的综合性 12如图,圆 O 的直径 CD10cm,AB 是圆 O 的弦,且 ABCD,垂足为 P,AB8cm,则 sinOAP 【分析】根据垂径定理由 ABCD 得到 APAB4cm,再在 RtOAP 中,利用勾股定理计算出 OP 3,然后根据正弦的定义求解 【解答】解:ABCD, A

21、PBPAB84cm, 在 RtOAP 中,OACD5, OP3, sinOAP 故答案为: 【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理和锐角三角函数 13在半径为 2 的圆中,弦 AC 长为 1,M 为 AC 中点,过 M 点最长的弦为 BD,则四边形 ABCD 的面积为 2 【分析】先由直径是圆中最长的弦得出 BD4,再根据垂径定理的推论得出 ACBD,则四边形 ABCD 的面积ACBD 【解答】解:如图M 为 AC 中点,过 M 点最长的弦为 BD, BD 是直径,BD4,且 ACBD, 四边形 ABCD 的面积ACBD142 故答案为:2

22、 【点评】本题考查了垂径定理,四边形的面积,难度适中得出 BD 是直径是解题的关键 14如图,在O 中,半径 OA 垂直弦于点 D若ACB33,则OBC 的大小为 24 度 【分析】先根据圆周角定理得到AOB2ACB66,然后根据互余计算OBC 的大小 【解答】解:OABC, ODB90, ACB33, AOB2ACB66, OBC90AOB24 故答案为:24 【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角 定理 15如图,在边长为 1 的正方形网格中,若一段圆弧恰好经过四个格点,则该圆弧所在圆的圆心是图中的 点 C 【分析】圆心在任意两个格点连线(

23、弦)的中垂线上,是两条弦的中垂线的交点,据此即可判断 【解答】解:圆心是弦 EF 和弦 FG 的中垂线的交点,是 C 故选 C 【点评】本题考查了垂径定理,理解圆心一定在弦的中垂线上是关键 16如图,ABC 内接于O,AO2,BC2,则BAC 的度数为 60 【分析】连结 OB、OC,作 ODBC 于 D,根据垂径定理得 BDBC,在 RtOBD 中,根据余 弦的定义得 cosOBD,则OBD30,由于 OBOC,则OCB30,所以BOC 120,然后根据圆周角定理即可得到BACBOC60 【解答】解:连结 OB、OC,作 ODBC 于 D,如图, ODBC, BDBC2, 在 RtOBD 中

24、,OBOA2,BD, cosOBD, OBD30, OBOC, OCB30, BOC120, BACBOC60 故答案为 60 【点评】本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周 角定理和解直角三角形 17如图,在O 中,CD 是直径,弦 ABCD,垂足为 E,连接 BC,若 AB2cm,BCD2230, 则O 的半径为 2 cm 【分析】先根据圆周角定理得到BOD2BCD45,再根据垂径定理得到 BEAB,且 BOE 为等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质求解 【解答】解:连结 OB,如图, BCD2230, BOD2BCD45, ABCD, B

25、EAEAB2,BOE 为等腰直角三角形, OBBE2(cm) 故答案为:2 【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了等腰直 角三角形的性质和圆周角定理 18O 的半径为 2,弦 BC2,点 A 是O 上一点,且 ABAC,直线 AO 与 BC 交于点 D,则 AD 的 长为 1 或 3 【分析】根据题意画出图形,连接 OB,由垂径定理可知 BDBC,在 RtOBD 中,根据勾股定理求 出 OD 的长,进而可得出结论 【解答】解:如图所示: O 的半径为 2,弦 BC2,点 A 是O 上一点,且 ABAC, ADBC, BDBC, 在 RtOBD 中,

26、BD2+OD2OB2,即()2+OD222,解得 OD1, 当如图 1 所示时,ADOAOD211; 当如图 2 所示时,ADOA+OD2+13 故答案为:1 或 3 【点评】本题考查的是垂径定理,在解答此题时要进行分类讨论,不要漏解 19如图,在O 中,已知半径为 5,弦 AB 的长为 8,那么圆心 O 到 AB 的距离为 3 【分析】作 OCAB 于 C,连接 OA,根据垂径定理得到 ACBCAB4,然后在 RtAOC 中利用勾 股定理计算 OC 即可 【解答】解:作 OCAB 于 C,连结 OA,如图, OCAB, ACBCAB84, 在 RtAOC 中,OA5, OC3, 即圆心 O

27、到 AB 的距离为 3 故答案为:3 【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理 20如图,点 A,B,C 在圆 O 上,OCAB,垂足为 D,若O 的半径是 10cm,AB12cm,则 CD 2 cm 【分析】先根据垂径定理求出 AD 的长,在 RtAOD 中由勾股定理求出 OD 的长,进而利用 CDOC OD 可得出结论 【解答】解:O 的半径是 10cm,弦 AB 的长是 12cm,OC 是O 的半径且 OCAB,垂足为 D, OAOC10cm,ADAB126cm, 在 RtAOD 中,OA10cm,AD6cm, OD8cm, CDOCO

28、D1082cm 故答案为:2 【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理,在解答此类问题时往往先构造出直角三角形,再利用勾股 定理求解 21如图,AB 是半圆的直径,点 O 为圆心,OA5,弦 AC8,ODAC,垂足为 E,交O 于 D,连接 BE设BEC,则 sin 的值为 【分析】连结 BC,根据圆周角定理由 AB 是半圆的直径得ACB90,在 RtABC 中,根据勾股定理 计算出 BC6,再根据垂径定理由 ODAC 得到 AECEAC4,然后在 RtBCE 中,根据勾股定 理计算出 BE2,则可根据正弦的定义求解 【解答】解:连结 BC,如图, AB 是半圆的直径, ACB90, 在 RtA

29、BC 中,AC8,AB10, BC6, ODAC, AECEAC4, 在 RtBCE 中, BE2, sin 故答案为: 【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理和圆周角定理 22如图,AB 为O 的直径,CDAB,若 AB10,CD8,则圆心 O 到弦 CD 的距离为 3 【分析】连接 OC,由 AB10 得出 OC 的长,再根据垂径定理求出 CE 的长,根据勾股定理求出 OE 即 可 【解答】解:连接 OC, AB 为O 的直径,AB10, OC5, CDAB,CD8, CE4, OE3 故答案为:3 【点评】 本题考查了勾股定理和垂径定

30、理, 根据题意作出辅助线, 构造出直角三角形是解答此题的关键 23如图,在O 中,弦 CD 垂直于直径 AB 于点 E,若BAD30,且 BE2,则 CD 4 【分析】连结 OD,设O 的半径为 R,先根据圆周角定理得到BOD2BAD60,再根据垂径定 理由 CDAB 得到 DECE, 在 RtODE 中, OEOBBER2, 利用余弦的定义得 cosEODcos60 ,即,解得 R4,则 OE2,DEOE2,所以 CD2DE4 【解答】解:连结 OD,如图,设O 的半径为 R, BAD30, BOD2BAD60, CDAB, DECE, 在 RtODE 中,OEOBBER2,ODR, cos

31、EODcos60, ,解得 R4, OE422, DEOE2, CD2DE4 故答案为:4 【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了圆周角 定理和解直角三角形 24如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,OC5cm,CD6cm,则 OE 4 cm 【分析】先根据垂径定理得出 CE 的长,再在 RtOCE 中,利用勾股定理即可求得 OE 的长 【解答】解:CDAB CECD63cm, 在 RtOCE 中,OEcm 故答案为:4 【点评】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理,是基础知识要熟练掌握 25如图,AB、CD 是半径为 5 的O 的两条弦,

32、AB8,CD6,MN 是直径,ABMN 于点 E,CDMN 于点 F,P 为 EF 上的任意一点,则 PA+PC 的最小值为 【分析】A、B 两点关于 MN 对称,因而 PA+PCPB+PC,即当 B、C、P 在一条直线上时,PA+PC 的最 小,即 BC 的值就是 PA+PC 的最小值 【解答】解:连接 OB,OC,作 CH 垂直 AB 于 H 根据垂径定理,得到 BEAB4,CFCD3, OE3, OF4, CHOE+OF3+47, BHBE+EHBE+CF4+37, 在直角BCH 中根据勾股定理得到 BC7, 则 PA+PC 的最小值为 故答案为: 【点评】正确理解 BC 的长是 PA+

33、PC 的最小值,是解决本题的关键 三、解答题(共三、解答题(共 5 小题)小题) 26如图,在O 中,半径 OC 与弦 AB 垂直,垂足为 E,以 OC 为直径的圆与弦 AB 的一个交点为 F,D 是 CF 延长线与O 的交点若 OE4,OF6,求O 的半径和 CD 的长 【分析】由 OEAB 得到OEF90,再根据圆周角定理由 OC 为小圆的直径得到OFC90,则 可证明 RtOEFRtOFC,然后利用相似比可计算出O 的半径 OC9;接着在 RtOCF 中,根据 勾股定理可计算出 CF3,由于 OFCD,根据垂径定理得 CFDF,所以 CD2CF6 【解答】解:OEAB, OEF90, O

34、C 为小圆的直径, OFC90, 而EOFFOC, RtOEFRtOFC, OE:OFOF:OC,即 4:66:OC, O 的半径 OC9; 在 RtOCF 中,OF6,OC9, CF3, OFCD, CFDF, CD2CF6 【点评】本题考查了垂径定理:平分弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧也考查了勾股定 理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质 27已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 交小圆于点 C,D(如图) (1)求证:ACBD; (2)若大圆的半径 R10,小圆的半径 r8,且圆 O 到直线 AB 的距离为 6,求 AC 的长 【分析】 (1)过 O 作 OE

35、AB,根据垂径定理得到 AEBE,CEDE,从而得到 ACBD; (2)由(1)可知,OEAB 且 OECD,连接 OC,OA,再根据勾股定理求出 CE 及 AE 的长,根据 AC AECE 即可得出结论 【解答】 (1)证明:过 O 作 OEAB 于点 E, 则 CEDE,AEBE, BEDEAECE,即 ACBD; (2)解:由(1)可知,OEAB 且 OECD,连接 OC,OA, OE6, CE2,AE8, ACAECE82 【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键 28如图,O 的直径为 10cm,弦 AB8cm,P 是弦 AB 上的一个动点,

36、求 OP 的长度范围 【分析】过点 O 作 OEAB 于点 E,连接 OB,由垂径定理可知 AEBEAB,再根据勾股定理求出 OE 的长,由此可得出结论 【解答】解:过点 O 作 OEAB 于点 E,连接 OB, AB8cm, AEBEAB84cm, O 的直径为 10cm, OB105cm, OE3cm, 垂线段最短,半径最长, 3cmOP5cm 【点评】本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键 29如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,点 M 在O 上,MD 恰好经过圆心 O,连接 MB (1)若 CD16,BE4,求O 的直径; (2)若MD

37、,求D 的度数 【分析】 (1)先根据 CD16,BE4,得出 OE 的长,进而得出 OB 的长,进而得出结论; (2)由MD,DOB2D,结合直角三角形可以求得结果; 【解答】解: (1)ABCD,CD16, CEDE8, 设 OBx, 又BE4, x2(x4)2+82, 解得:x10, O 的直径是 20 (2)MBOD,MD, DBOD, ABCD, D30 【点评】本题考查了圆的综合题:在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角相等,直径所对的圆周角为 直角;垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧 30如图,AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E,点 P 在O 上,PB 与 CD 交于

38、点 F,PBCC (1)求证:CBPD; (2)若PBC22.5,O 的半径 R2,求劣弧 AC 的长度 【分析】 (1)先根据同弧所对的圆周角相等得出PBCD,再由等量代换得出CD,然后根据 内错角相等两直线平行即可证明 CBPD; (2)先由垂径定理及圆周角定理得出BOC2PBC45,再根据邻补角定义求出AOC135, 然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧 AC 的长度 【解答】解: (1)PBCD,PBCC, CD, CBPD; (2)连结 OC,OD AB 是O 的直径,弦 CDAB 于点 E, , PBCDCB22.5, BOCBOD2C45, AOC180BOC135, 劣弧 AC 的长为: 【点评】本题考查了圆周角定理,平行线的判定,垂径定理,弧长的计算,难度适中 (2)中求出AOC 135是解题的关键