1、 尺规作三角形与三角形全等的应用 第14讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1已知两边及其夹角求作三角形 2已知两角及其夹边求作三角形 3已知三边求作三角形 4尺规作三角形综合题 5利用三角形全等测距离 教学目标 1要掌握尺规作图的方法及一般步骤； 2通过画图，培养学生的作图能力及动手能力. 3会利用三角形全等测距离. 教学重点 1.熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照 步骤作出图形. 2.会利用三角形全等测距离. 教学难点 1.作图语言的准确应用，作图的规范与准确. 2.体会数学与生活的
2、密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题. 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握尺规作三角形的方法及利用全等三角形测距离的方法。 ，在学习之 前先要对尺规作线段和尺规作角熟练掌握并应用，根据给出的不同条件采用不同方法作出图形；而在利用 全等三角形测量距离的问题上，需要学生对图形非常熟悉，从而能够构建出合适的全等三角形进行求解。 学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难： 1.已知不同条件如何尺规作三角形； 2.利用全等三角形测距离的方法。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关尺规作三角形的问题要引导学生结合全等三角形的判定定理进行理解，
3、要能够熟练运用尺规作线 段和尺规作角的方法进行作图，并要理解所作图形满足条件的原因。 在利用全等三角形测量距离的问题中，要注意让学生自主探索如何构建合适的全等图形，培养学生的 思考能力和对图形的敏感度。 尺规作三角形 已知两角及其中一角的对边 已知三边 已知两边及其夹角 已知两角及其夹边 全等三角形的应用 利用全等三角形测距离 知识点 1 尺规作三角形 二、知识讲解 一、导入 教学过程 1.已知三边作三角形； 2.已知两边及其夹角作三角形； 3.已知两角及其夹边作三角形； 4.已知两角及其中一角的对边作三角形。 1. 利用全等三角形测距离； 2. 其他应用问题。 【题干】【题干】尺规作图：已知
4、：，线段 a, b 求作：ABC，使A=, AB=a, AC=b。 （ 不写作法，保留痕迹，写出结论 ） 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】作A=，在B 的一边上截取 AB=a，AC=b，连接 BC 即可得到所求的ABC 试题解析： 【题干】【题干】如图,已知和,线段 c,用直尺和圆规作出ABC，使A，B，ABc (要求 画出图形，并保留作图痕迹，不必写出作法) 例题 2 例题 1 三、例题精析 知识点 2 全等三角形的应用 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】如图，ABC 就是所求三角形 【题干】【题干】已知：线段 a、b，如图所示 求作：ABC，使 AB2a，ACb，BCa 【
5、答案】【答案】见解析 【解析】【解析】如图所示，(1)作线段 BCa (2)分别以 B 和 C 为圆心，2a 和 b 为半径画弧，两弧交于点 A (3)连结 AB、AC，ABC 就是所求作的三角形 【题干】【题干】你一定玩过跷跷板吧!如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图,横板绕它的中点O上下转动,立柱OC 与地面垂直。 当一方着地时,另一方上升到最高点。 问： 在上下转动横板的过程中,两人上升的最大高度AA、 例题 4 例题 3 c BB有何数量关系，为什么? 【答案】【答案】AA=BB 【解析】【解析】数量关系：AA=BB； 理由如下： O 是 AB、AB 的中点， OA=OB,OA=OB， 在
6、AOA 与BOB中， OA=OB，AOA=BOB，OA=OB， AOABOB(SAS)， AA=BB. 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以从全等图形的判定着手，让学生去理解尺规作三角形和全等图形的联系，并要通 过不同类型的问题让学生进行练习，加强学生对问题的理解和综合应用能力。 1. 下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（ ） A. 已知腰和底边，求作等腰三角形 B. 已知两条直角边，求作等腰三角形 C. 已知高，求作等边三角形 D. 已知腰长，求作等腰直角三角形 【答案】【答案】A 【解析】【解析】A. 是根据SSS作三角形，故本选项正确； B. 再加上直角相等
7、，根据SAS作直角三角形，故本选项错误； C. 求出边长，根据HL可作等边三角形的一半，再延长作出另一半，即可得出等边三角形，故本 基础 四 、课堂运用 选项错误； D. 再加上直角相等，根据SAS作直角三角形，故本选项错误； 故选 A. 2. 如图，要测量池塘两岸相对的两点 A，B 的距离，可以再 AB 的垂直线 BF 上取两点 C，D使 BC=CD，再 画出 BF 的垂直线 DE，使 E 与 A，C 在一条直线上，这时测得 DE 的长就是 AB 的长它的理论依据是（ ） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 【答案】【答案】C 【解析】【解析】在 RtABC 和 RtEDC 中，
8、 ， RtABCRtEDC（ASA） ， AB=ED 故选 C 3. 已知线段a，求作ABC，使AB=BC=AC=a. 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】首先作射线 AO，并在 AO 上取线段 AB=a，再分别以 A、B 为圆心，a 为半径画弧，两弧交于点 C， 然后连接 AC、BC，即可得到ABC 解答： 如图所示：ABC即为所求. 1. 画AOB 的角平分线的方法步骤是：以 O 为圆心，适当长为半径作弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N； 巩固 分别以 M，N 为圆心，大于MN 的长为半径作弧，两弧在AOB 的内部相交于点 C；过点 C 作射线 OC射 线 OC 就是AOB
9、的角平分线请你说明这样作角平分线的根据是（ ） ASSS BSAS CAAS DASA 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据画AOB 的角平分线的方法步骤可知：OM=ON，MC=NC，又 OC 为公共边， 所以根据 SSS 可判断ABCABD，从而COACOB， 故选：A 2.如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船离开码头，计划沿AOB 的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航 线，请说明理由. 【答案】【答案】此时轮船没有偏离航线，理由见解析。 【解析】【解析】由题意知：假设轮船在 D 处，则 DA=D
10、B，AO=BO， 在ADC 和BDC 中， AD=BD，DO=DO，AO=BO， ADOBDO(SSS)， AOD=BOD， 即 DO 为AOB 的角平分线， 此时轮船没有偏离航线. 3. 已知：线段 a、b、m(abm)，如图所示 求作：ABC，使 ABa，ACb，AC 边上的中线 BDm 2 1 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】作法：如图所示，先以 a，m， 2 1 b 作ABD，再延长 AD 到 C，使 AC2AD，连结 BC，ABC 即为所 求作的三角形 1. 已知：ABC，如图求作：ABC，使ABCABC(试用两种方法) 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】解：作法一（
11、SSS） ： （1）作线段 AB=AB， （2）以 A为圆心，AC 长为半径画弧，以 B为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点 C （3）连接 AC、BC，ABC为所求. 作法二（ASA） ： （1）作线段 AB=AB， （2）作BAC=BAC，ABC=ABC，两角的另一边交于 C. ABC为所求 解答： 拔高 2. 如图，已知线段 a 和 b，ab，求作直角三角形 ABC，使直角三角形的斜边 AB=a，直角边 AC=b （用尺 规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】先作线段 AC=b，再过点 C 作 AC 的垂线，接着以点 A 为圆心，a 为半径画弧交
12、此垂线于 B， 则ABC 为所求 如图， ABC 为所求作的直角三角形 3. “综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为 a，b，c，并且这些三角形 三边的长度为大于 1 且小于 5 的整数个单位长度 （1）用记号（a，b，c） （abc）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为 2，3，3 个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形 （2）用直尺和圆规作出三边满足 abc 的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】1）共九种： （2,2,2） （2,2,3） （2,3,3） （2,3,4）
13、（2,4,4） （3,3,3） （3,3,4） （3,4,4） （4,4,4） （2）只有 a=2，b=3，c=4 的一个三角形，如图所示的ABC 就是满足条件的三角形 单位长度 课堂小结 1尺规作三角形：已知三边作三角形； 已知两边及其夹角作三角形； 已知两角及其夹边作三角形； 已知两角及其中一角的对边作三角形； 2.利用全等三角形测距离。 1. 1.根据下列已知条件,能唯一画出ABC 的是（ ） A. A=36 ,B=45 ，AB=4 B. AB=4,BC=3,A=30 C. AB=3，BC=4，CA=8 D. C=90 ，AB=6 【答案】【答案】A 【解析】【解析】A. 符合全等三角形
14、的AAS，能作出唯一三角形； B. 属于全等三角形判定中的SSA情况，不能作出唯一三角形； C.不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形； D.只有两个条件，不能作出唯一三角形。 故选 A. 2. 如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端 M、N 的距离，如果PQONMO，则只需测出其长度的 线段是（ ） 基础 扩展延伸 A.PO B.PQ C.MO D.MQ 【答案答案】B 【解析解析】要想利用PQONMO 求得 MN 的长，只需求得线段 PQ 的长， 故选 B 3. 如图，将两根钢条 AA、BB的中点 O 连在一起，使 AA、BB可以绕点 O 自由转动，就做成了一个 测量工件，则 AB
15、的长等于内槽宽 AB，则判定OABOAB的理由是（ ） A.边边边 B.角边角 C.边角边 D.角角边 【答案答案】C 【解析解析】解:AA、BB的中点 O 连在一起， OA=OA，OB=OB， 在OAB 和OAB中， ， OABOAB（SAS） 所以用的判定定理是边角边 故选：C 4.已知线段 a、b 和直角，作ABC，使C=90，CB=a，CA=b （1）作MCN=90 （2）以 C 为圆心，以_为半径画弧，交 CM 于 B （3）以_为圆心，以_为半径，画弧交 CN 于 A （4）连结_得到ABC 【答案答案】见解析 【解析解析】解： （1）作MCN=90 （2）以 C 为圆心，以 a
16、为半径画弧，交 CM 于 B （3）以点 C 为圆心，以 b 为半径，画弧交 CN 于 A （4）连结 AB 得到ABC 1. 如图是去年在某地发现的一块三角形陶瓷碎片的一部分，现打算复制一块完整的陶瓷片，请你根据提供 的信息用尺规作一完整的三角形陶瓷片。 【答案答案】见解析 【解析解析】解：首先作C=O，截取 CB=OA，再以 B 为顶点，BC 为边作B=A，C 和B 的两边有一交点， 可组成三角形 BCD，BCD 就是所求三角形 如图所示： 2.如图所示，ABC是不等边三角形，DE=BC，以 D. E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与 ABC全等，这样的三角形最多可以画出（ ）个
17、。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案答案】B 【解析解析】可以做 4 个，分别是以 D 为圆心，AB 为半径，作圆，以 E 为圆心，AC 为半径，作圆两圆相交于 两点（D，E 上下各一个） ，经过连接后可得到两个 然后以 D 为圆心，AC 为半径，作圆，以 E 为圆心，AB 为半径，作圆两圆相交于两点（D，E 上下 巩固 各一个） ，经过连接后可得到两个 解答： 如图： 这样的三角形最多可以画出 4 个。 故选：B. 3. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上已知左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相 等，则这两个滑梯与地面夹角ABC 与DFE 的度数和是（
18、） A.60 B.90 C.120 D.150 【答案答案】B 【解析解析】滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， BC=EF，AC=DF， RtABCRtDEF， 2=3，1=4， 3+4=90， ABC+DFE=90 故选 B 1. 已知线段 a，b，c，求作ABC，使 BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理顺序为_. 分别以 B，C 为圆心，c，b 为半径作弧，两弧交于点 A； 拔高 作直线 BP，在 BP 上截取 BC=a； 连接 AB，AC，ABC 为所求作的三角形。 【答案答案】。 【解析解析】做三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是 作直线BP，在BP上截取BC=a
19、； 分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A； 连接AB，AC，ABC为所求作的三角形。 故答案为：。 2. 如图为人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁 A、B 两棵树间的距离（我们不能直接量得） 请你 根据所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案 要求： （1）画出你设计的测量平面图； （2）简述测量方法，并写出测量的数据（长度用,cba表示；角度用,表示） ； （3）根据你测量的数据，计算 A、B 两棵树间的距离 【答案答案】见解析 【解析解析】解：方案一：如图 1，先在地上取一个可以直接到达 A 点和 B 点的点 O，连结 AO 并延长到 C，使 CO=AO； 连
20、结 BO 并延长到 D， 使 DO=BO； 连结 CD， 测量出线段 CD 的长度为a米， 则 A、 B 两棵树间的距离为a米 方案二：如图 2，用测角仪测得BAE=，在 AE 上取两点 O、C，使 AO=OC；再测得ACF=， 连结 BO 并延长交 CF 于点 D测量出线段 CD 的长度为a米，则 A、B 两棵树间的距离 为a米 3. 如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝 塔间的距离吗?说说你的方法和理由。 【答案答案】见解析 【解析解析】解： 在ACB 和ECD 中 ACB=DCE，BC=CD，B=EDC=90 ACBECD， AB=D
21、E. 4. 如图，工人师傅要在墙壁的 O 处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点 B 处打开，墙壁厚是 35cm，点 B 与 点 O 的垂直距离 AB 长是 20cm， 在点 O 处作一直线平行于地面，在直线上截取 OC=35cm， 过 C 作 OC 的垂线， 在垂线上截取 CD=20cm，连接 OD，然后，沿着 D0 的方向打孔，结果钻头正好从点 B 处打出。这是什么道理? A B O C D 图 2 E F A B O C D 图 1 【答案答案】见解析 【解析解析】解：在AOB 和COD 中， OAB=OCD，AO=CO，AOB=COD， AOBCOD(ASA)， AB=CD=20cm， 即钻头正好从点 B 处打出. 教学反思