1、 幂的乘积与积的乘方 第2讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中一年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.幂的乘方； 2.幂的乘方法则的逆运用； 3.积的乘方； 4.积的乘方法则的逆运用； 5.幂的混合运算。 教学目标 1.探索幂的乘方运算性质，进一步体会幂的意义。了解幂的乘方的运算法则及逆运算，并 能解决实际问题。 2.探索积的乘方的运算性质，熟练掌握积的乘方的运算法则及逆运算，并要掌握幂的混合 运算，提高计算能力。 3.在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，体会学习数学的乐趣。 教学重点 熟练掌握幂的运算的性质，能够解决幂的混合运算问题。 教学难点 对幂的混合运
2、算及逆运算灵活运用并解决实际问题。 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是使学生能熟练掌握幂的乘方和积的乘方运算法则及逆运算。通过对运算法则的探索， 让学生能够理解运算法则的推导过程，避免机械的记忆，引导学生产生兴趣从而主动学习，达到能够灵活 运用幂的三种运算法则解决问题的程度。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1.幂的乘方、积的乘方运算法则的灵活运用。 2.幂的乘方、积的乘方运算法则的逆应用。 3.同底数幂乘法、幂的乘方与积的乘方三种运算的混合问题。 【知识导图】【知识导图】 概述 【教学建议】【教学建议】 有关幂的乘方与积的乘方的题目，通常着重计算能力的考查，要求学生对幂
3、的运算方法非常熟悉，可以灵 活、正确运用运算法则进行计算。在教学过程中要注意区分幂的乘方、积的乘方和同底数幂乘法的异同， 更要对混合运算重点讲解。 1.幂的乘方运算法则：（m） n = mn(其中m n、均为正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2.幂的乘方的逆运算 mn= （m） n 幂的运算 幂的乘方 幂的乘方运算法则 幂的乘方的逆运算 积的乘方 积的乘方运算法则 积的乘方的逆运算 幂的混合运算 知识点 2 积的乘方 知识点 1 幂的乘方 二、知识讲解 一、导入 教学过程 1. 积的乘方运算法则：(b)n= nbn（n 是正整数） 积的乘方等于积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
4、2. 积的乘方的逆运算：nbn= (b)n（n 是正整数） 【题干】计算 2 3 ()a的结果是（ ） Aa 5 Ba6 Ca8 D3 a2 【答案】【答案】B 【解析】【解析】运用运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘得： ( 2)3 = 23= 6 故选 B。 【题干】【题干】若x5 (xm)3= x11，则 m=_。 【答案】【答案】2 【解析】【解析】考查幂的乘方和同底数幂乘法的综合计算，先计算幂的乘方再进行同底数幂的运算。 x5 (xm)3= x5 x3m= x5+3m= x11 5+3m=11 解得 m=2 【题干】【题干】若2 n x ，则 3n x的值为 （ ） A6 B8 C
5、9 D12 【答案】【答案】 B 【解析】【解析】考查幂的乘方的逆运算。 x3n= (xn)3= 23=8 例题 3 例题 2 例题 1 三、例题精析 【题干】【题干】计算（2x 3y）2的结果是（ ） A4x 6y2 B8x6y2 C4x5y2 D8x5y2 【答案】【答案】A 【解析】【解析】考查积的乘方运算，利用运算法则将每个因式分别乘方再相乘。 (2x3 y) 2 = 22 (x3)2 y2= 4x6y2 故选 A。 【题干】【题干】如果 3 9 15nm a ba b，那么（ ） A、3,6mn B、5,3mn C、12,3mn D、9,3mn 【答案】【答案】B 【解析】【解析】考
6、查积的乘方逆运算。 ()3= ()3 ()3= 3 3 3n=9,3m=15 解得：n=3，m=5 故选 B。 【教学建议】【教学建议】 在学生对幂的三种运算公式有了充分的理解认识之后，通过题目逐步让加大难度，让学生对混合运算问题 有所把握，掌握相应的运算方法。 1. 已知 23 2 8162 x ，求x的值. 【答案】【答案】6 【解析】【解析】先将等式左侧化为同底数幂再进行计算。 基础 四 、课堂运用 例题 5 例题 4 2 = 2 (23) 24= 21+3 +4= 25+3 由题可得：5+3x=23 解得 x=6 2.已知 x+4y=5，求 2 416 xy 的值。 【答案】【答案】5
7、12 【解析】【解析】将幂的底数化为相同再进行计算。 解： 4 2 = 4 (42)2 = 4 44 = 4 +4 由题知：x+4y=5 原式= 4 +4 =45=512 3. 计算 2 15 ( 2 )2 15=_。 【答案】【答案】-1 【解析】【解析】解： 2 15 ( 2 )2 15 = ( 2 )2 15 = ( )2 15 = -1 4. 小明和小颖两人共同计算 3 3 2x y，他们的计算过程分别如下： 小明： 33 3 33393 228x yxyx y 小颖： 33 3 339 228x yxyx y 如果你和他们是同一个学习小组，你会支持谁？为什么？若你认为他们的计算都不正
8、确，请你把认为正确 的计算写下来. 【答案】【答案】二人计算都不正确。正确计算过程见解析。 【解析】【解析】解：( 2x3 y) 3 = ( 2)3 (x3)3 y3= x y3 1. 若 44 3= 2 ，求 x 的值。 【答案】【答案】36 【解析】【解析】解： 44 3= (26)4 (23)4= 224 212= 236 巩固 x=36 2. 已知 2218 39279 mmm ，求m的值。 【答案】【答案】2 【解析】【解析】解： m+2 2m 1 2 m= m+2 ( 2)2m 1 ( 3)m = m+2 4m 2 3m = m+2+4m 2+3m = m = ( 2) = 16
9、故可得： m= 16 8m=16 m=2 3. 已知2590 xy，求432 xy 。 【答案】【答案】2 【解析】【解析】解：4 2 = (22) (25) = 22 25 = 22 +5 2x y = 2x y = 22 +5 = 2 4. 试判断212 的结果是一个几位正整数。 【答案】【答案】10 位。 【解析】【解析】解：212 = 2 +4 = 2 24 = (2 ) 24= 24= = 212 是一个 10 位正整数。 1. 已知n为正整数，且 2 4 n x ，求 22 32 913 n n xx的值。 【答案】【答案】368 【解析】【解析】解： (x3n)2 (x2)2n
10、= (x2n)3 (x2n)2 = (4)3 (4)2 拔高 = 4 = 2. 某市环保局欲将一个长为 3 2 10dm， 宽为 2 4 10dm， 高为8 10dm 的长方体废水池中的满池废水注入正 方体贮水池净化，那么请你考虑一下能否有一个正方体贮水池将这些废水正好装完？若有，求出该正方体 贮水池的棱长；若没有请说明理由。 【答案】【答案】见解析。 【解析】【解析】解：有这样的贮水池.设这个正方体贮水池的棱长为x， 由题意可得： 323 2 104 108 10 x 解得：400 x 答：这个正方体贮水池的棱长为 400 分米 3. 阅读下列解题过程，试比较 100 2与 75 3的大小.
11、 解：因为 25 100425 2216， 25 75325 3327，1627，所以 100 2 75 3. 请根据上述解答过程解答：比较 55 2， 44 3，433. 【答案】【答案】 44 433 255 【解析】【解析】解：255= 2511= (25)11= 211 44= 411= ( 4)11= 11 433= 4311= (43)11= 411 11 411 211 44 433 255 1.幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. . 符号表示： n mmn aa,(其中m n、均为正整数) 2.积的乘方法则：积的乘方等于乘方的积. . 课堂小结 符号表示： n nn
12、aba b，(其中m n、均为正整数) 1. ( 3)2的结果是（ ） A. 5 B. 5 C. 6 D. 6 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据运算法则计算。 ( 3)2= 6 故选 C。 2. 927 mn 可以写成（ ） A、 3 9m n B、27m n C、 23 3 mn D、 32 3 mn 【答案】【答案】C 【解析】【解析】解： m 2 n= ( 2)m ( 3)n= 2m 3n= 2m+3n 故选 C。 3.计算： 23 1 () 2 x y 【答案答案】 1 x 6y 【解析解析】解：( 1 2x 2y3)3 = ( 1 2) 3 (x2)3 (y3)3= 1 x
13、6y 4. 填空： 3 39 27x y 【答案答案】 xy3 【解析解析】解： ( )3= 2 ，(y3)3= y ( xy3)3= 2 x3y 1. 马小虎同学做如下计算题： 5510 xxx； 54 xxx； 5510 xxx； 2 3530 xxx； 2 525 xx.其中正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 巩固 基础 扩展延伸 【答案答案】C 【解析解析】解：根据运算法则判断： 为合并同类项，正确结果应为：x5 x5= 2x5；不能继续运算； 正确；正确应为：(x3)2 x5= x11；(x5)2= x1 。故选 C。 2.计算： 43 34 xx ； 24 57633 2xxx
14、xx 【答案答案】见解析 【解析解析】解： 原式 = x12 ( x12) = x24 原式 = x12 x12 2x12= 4x12 3.已知 2234 3515 xxx ，求x的值。 【答案答案】见解析 【解析解析】解： +2 +2= ( ) +2= +2 +2= 3 4 x 2 = x 4 解得x = 2 1. 计算：( 1 1 1 1 1 2 ) 1 ( 2 )1 ； (a 2b)2m (2b a)3n 【答案答案】见解析 【解析解析】解：原式 = ( 1 1 1 1 1 2 2 ) 1 = (a 2b)2m (2b a)3n= (2b a)2m (2b a)3n= (2b a)2m+3n 2. 已知 332519 8 ,16 ,32abc ，比较 , ,a b c 的大小。 【答案答案】b a c 【解析解析】解： 33= (23)33= 2 25= (24)25= 21 21 = (25)1 = 2 5 21 2 2 5 b a c 拔高 3. 若 95 5,9ab，用,a b表示 45 45 。 【答案答案】a5 b 【解析解析】解： = a， 5= b ( )5= 45= a5，( 5) = 45= b 故： 45 45= ( )45= 4 45= a5 b 即 4 45= a5 b 教学反思