1、第 1 页 共 14 页 初二数学期中复习专题一：动点问题初二数学期中复习专题一：动点问题 1、运动中构造全等 1. （13 中）已知正方形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=16，A=B=C=D=90 ，动点 P 以每秒一个 单位速度从点 B 出发沿射线 BC 方向运动，设点 P 的运动时间为 t,连接 PA. （1） 如图 1，动点 Q 同时以每秒 4 个单位速度从点 A 出发沿正方形的边 AD 运动，求 t 为何值时，以点 Q 及正方形的某两个顶点组成的三角形和PAB 全等； （2） 如图 2，在（1）的基础上，当点 Q 到达点 D 以后，立即以原速沿线段 DC 向点 C 运动，当
2、Q 到达 点 C 时，两点同时停止运动，求 t 为何值时，以点 Q 及正方形的某两个顶点组成的三角形和PAB 全等. 2 （45 南摄山月考） （8 分）如图，已知正方形 ABCD 中，边长为 10cm，点 E 在 AB 边上，BE6cm （1） 如果点 P 在线段 BC 上以 4cm/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上以 acm/秒 的速度由 C 点向 D 点运动，设运动的时间为 t 秒， CP 的长为 cm（用含 t 的代数式表示） ； 若以 E、B、P 为顶点的三角形和以 P、C、Q 为顶点的三角形全等，求 a 的值 （2） 若点 Q 以中的运动速度从点 C
3、 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿正 方形 ABCD 四边运动则点 P 与点 Q 会不会相遇？若不相遇，请说明理由若相遇，求出经过多长时 间点 P 与点 Q 第一次在正方形 ABCD 的何处相遇？ 第 2 页 共 14 页 3 （67 南南航第一）如图（1） ，AB4cm，ACAB，BDAB，ACBD3cm点 P 在线段 AB 上以 1cm/s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动它们运动的时间为 t（s） （1） 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t1 时，ACP 与BPQ 是否全等，请说明理由，
4、并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系； （2） 如图（2） ，将图（1）中的“ACAB，BDAB”为改“CABDBA60”，其他条件不变设 点 Q 的运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得ACP 与BPQ 全等？若存在，求出相应的 x、t 的 值；若不存在，请说明理由 4.（一中）（8 分）如图，已知ABC 中， AB AC 12 厘米， BC 9 厘米， B C ，点 D 为 AB 的 中点. （ 1 ） 如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 向 C 运动，同时点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动. 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度
5、相等，1 秒钟时，BPD 与CQP 是否全等，请说明； 点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使BPDCPQ？ （ 2 ） 若点 Q 以的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 的三 边运动，求多长时间点 P 与点 Q 第一次在ABC 的哪条边上相遇？ 第 3 页 共 14 页 5.（钟英）如图，CAAB，垂足为点 A，AB=8，AC=4，射线 BMAB，一动点 E 从 A 点出发以 2/秒的 速度沿射线 AN 运动，点 D 为射线 BM 上一动点，随着 E 点运动而运动，且始终保持 ED=CB，当点 E
6、运 动 秒时，DEB 与BCA 全等. 6.（67 南玄华中第一）如图，AB12，CAAB 于 A，DBAB 于 B，且 AC4m，P 点从 B 向 A 运动， 每分钟走 1m，Q 点从 B 向 D 运动，每分钟走 2m，P、Q 两点同时出发，运动 分钟后CAP 与 PQB 全等 7.（67 南 29 中期中） （2 分）已知：如图，在长方形 ABCD 中，AB4，AD6延长 BC 到点 E，使 CE 2，连接 DE，动点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位的速度沿 BCCDDA 向终点 A 运动，设点 P 的 运动时间为 t 秒，当 t 的值为 秒时，ABP 和DCE 全等 第 4 页
7、共 14 页 8.（45 南摄山月考） （ （3 分）如图，ABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm点 P 从 A 点出发沿 ACB 路径向终点运动， 终点为 B 点； 点 Q 从 B 点出发沿 BCA 路径向终点运动， 终点为 A 点 点P 和 Q 分别以每秒 1cm 和 3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时 刻，分别过 P 和 Q 作 PEl 于 E，QFl 于 F设运动时间为 t 秒，则当 t 秒时，PEC 与 QFC 全等 2、运动中产生等腰三角形 9.（78 南建期中） （9 分）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，D90，若 AD3，
8、AB4，CD8，点 P 为线段 CD 上的一动点，若ABP 为等腰三角形，求 DP 的长 第 5 页 共 14 页 10.（78 南鼓求真期末）如图，在ABC 中，ABAC2，B40，点 D 在线段 BC 上运动（D 不与 B、 C 重合） ，连接 AD，作ADE40，DE 交线段 AC 于 E （ 1 ） 当BDA115时，BAD ；点 D 从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变 （填 “大” 或“小” ） ； （ 2 ） 当 DC 等于多少时，ABDDCE，请说明理由； （ 3 ） 在点 D 的运动过程中，ADE 的形状也在改变，判断当BDA 等于多少度时，ADE 是等腰三 角形 11.（
9、求真）（12 分）如图，在ABC 中， ACB 90 ， AB 10cm ， BC 6cm ，若点 P 从点 A 出发， 以每秒 1cm 的速度沿折线 ACBA 运动，设运动时间为 t 秒（ t 0 ） （1） 当点 P 在 AC 上，且满足 PA PB 时，求出此时 t 的值； （2） 当点 P 在BAC 的角平分线上时，求出此时 t 的值； （3） 当 P 在运动过程中，求出 t 为何值时，BCP 为等腰三角形.（直接写出结果） （4） 若 M 为 AC 上一动点，N 为 AB 上一动点，是否存在 M、N 使得 BM MN 的值最小？如果有请求 出最小值，如果没有请说明理由. 第 6 页
10、共 14 页 初二数学期中复习专题一：动点问题初二数学期中复习专题一：动点问题 1、运动中构造全等 1.（1）当 Q 在 DA 上时，如图所示： 此时APBCQD， BPDQ，即t 16 4t ， 解得t 16 ； 5 （2）当 Q 在 CD 上时，有两种情况 如图 1，当 Q 在上边，则QADPAB， BPQD，即 4t 16 t ， 解得t 16 ； 3 当 Q 在下边，如图 2，则APBBQC， 则 BPCQ，即32 4t t ， 解得t 32 ； 5 2.【分析】（1）根据正方形边长为 10cm 和点 P 在线段 BC 上的速度为 4cm/秒即可求出 CP 的长； 分BPECPQ 和B
11、PECQP 两种情况进行解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可得到答案 【解答】解 ： （1）PCBCBP104t； 当BPECPQ 时， BPPC，BECQ， 即 4t104t，at6， 解得 a4.8； 当BPECQP 时， BPCQ，BEPC， 即 4tat，104t6， 解得 a4； （2）当 a4.8 时， 由题意得，4.8t4t30， 第 7 页 共 14 页 解得 t37.5， 点 P 共运动了 37.54150cm， 点 P 与点 Q 在点 A 相遇， 当 a4 时，点 P 与点 Q 的速度相等，点 P 与点 Q 不会相遇 经过 37.5 秒点 P 与点 Q 第一次在点 A
12、 相遇 3.【分析】（1）利用 SAS 证得ACPBPQ，得出ACPBPQ，进一步得出APC+BPQ APC+ACP90得出结论即可； （2）由ACPBPQ，分两种情况：ACBP，APBQ，ACBQ，APBP，建立方程组求得 答案即可 【解答】解 ： （1）当 t1 时，APBQ1，BPAC3， 又AB90， 在ACP 和BPQ 中， ACPBPQ（SAS） ACPBPQ， APC+BPQAPC+ACP90 CPQ90， 即线段 PC 与线段 PQ 垂直 （2） 若ACPBPQ， 则 ACBP，APBQ， ， 解得 ； 若ACPBQP， 则 ACBQ，APBP， ， 解得 第 8 页 共 14
13、 页 ； 综上所述，存在 或 使得ACP 与BPQ 全等 4.（1）全等，若Vp Vq ，则 BP CQ 1s 时， BP CQ 3 BC 9 CP 9 3 6 D 为 AB 中点，AB=12 BD 1 AB 6 2 BD CP BPD CQP SAS 4cm/s，当 BP CQ 时，设时间为 t 要使BPD CPQ ，只要 BP CP ， BD CQ 即可 3t 9 3t t 3 6 vt v 4 Q 的速度为 4cm/s （2）24s，第一次在 BC 边上相遇 5. 2s 或或 6s 或或 8s 6.【分析】设运动 x 分钟后CAP 与PQB 全等；则 BPxm，BQ2xm，则 AP（12
14、x）m，分两 种情况：若 BPAC，则 x4，此时 APBQ，CAPPBQ；若 BPAP，则 12xx，得出 x6，BQ12AC，即可得出结果 【解答】解：CAAB 于 A，DBAB 于 B， AB90， 设运动 x 分钟后CAP 与PQB 全等； 则 BPxm，BQ2xm，则 AP（12x）m， 分两种情况： 第 9 页 共 14 页 若 BPAC， 则 x4， AP12 48，BQ8，APBQ， CAPPBQ； 若 BPAP，则 12xx， 解得：x6，BQ12AC， 此时CAP 与PQB 不全等； 综上所述：运动 4 分钟后CAP 与PQB 全等； 故答案为：4 7.【分析】由条件可知
15、BP2t，当点 P 在线段 BC 上时可知 BPCE，当点 P 在线段 DA 上时，则有 AD CE，分别可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值 【解答】解： 设点 P 的运动时间为 t 秒，则 BP2t， 当点 P 在线段 BC 上时， 四边形 ABCD 为长方形， ABCD，BDCE90， 此时有ABPDCE， BPCE，即 2t2，解得 t1； 当点 P 在线段 AD 上时， AB4，AD6， BC6，CD4， APBC+CD+DA6+4+616， AP162t， 此时有ABPCDE， APCE，即 162t2，解得 t7； 综上可知当 t 为 1 秒或 7 秒时，ABP 和CDE 全
16、 等 故答案为：1 或 7 第 10 页 共 14 页 故答案为：1 或 或 12 8.【分析】根据题意化成三种情况，根据全等三角形的性质得出 CPCQ，代入得出关于 t 的方程， 求出即可 【解答】解：分为三种情况：如图 1，P 在 AC 上，Q 在 BC 上， PEl，QFl， PECQFC90， ACB90， EPC+PCE90，PCE+QCF90， EPCQCF， 则PCECQF， PCCQ， 即 6t83t， t1； 如图 2，P 在 BC 上，Q 在 AC 上， 由知：PCCQ， t63t8， t1； t60，即此种情况不符合题意； 当 P、Q 都在 AC 上时，如图 3， CP6
17、t3t8， t ； 当 Q 到 A 点停止，P 在 BC 上时，ACPC，t66 时，解得 t12 P 和 Q 都在 BC 上的情况不存在，P 的速度是每秒 1cm，Q 的速度是每秒 3cm； 第 11 页 共 14 页 9.【分析】分 ABAP、BPAP、BABP 三种情况，根据勾股定理计算 【解答】解：ABAP 时，DP ； BPAP 时，DPAB 42； BABP 时，过点 B 作 BHCD 于 H， 则 BHAD3， 由勾股定理得，FP ， DP4 ，或者 DP4+ 综上所述，DP 的值为，2，4 ，或 4+ 10. 【解答】解 ： （1）BAD180ABDBDA1804011525；
18、 从图中可以得知，点 D 从 B 向 C 运动时，BDA 逐渐变小； 故答案为：25；小 （2）EDC+EDA+ADB180，DAB+B+ADB180，BEDA40， EDCDAB BC， ABDDCE 当 DCAB2 时，ABDDCE （3） ABAC， BC40， 当 ADAE 时，ADEAED40， AEDC， 此时不符合； 当 DADE 时，即DAEDEA （18040）70， 第 12 页 共 14 页 102 62 BAC1804040100， BAD1007030； BDA1803040110； 当 EAED 时，ADEDAE40， BAD1004060， BDA18060408
19、0； 当ADB110或 80时，ADE 是等腰三角形 11. 解 ： （1）ABC 中，ACB90，AB10cm，BC6cm， 由勾股定理得 AC 8， 如右图，连接 BP， 当 PAPB 时，PAPBt，PC8-t， 在 RtPCB 中，PC2+CB2PB2， （2） 32 3 即（8-t）2+62 t2 ， 解得：t 25 ， 4 当 t 25 时，PAPB； 4 解：如图 1，过 P 作 PEAB， 又点 P 在BAC 的角平分线上，且C90 ，AB10cm，BC6cm， CPEP， ACPAEP（HL） ， AC8cmAE，BE2， 设 CPx，则 BP6-x，PEx， RtBEP 中
20、，BE2+PE2BP2， 即 22+x2（6-x）2 解得 x 8 ， 3 第 13 页 共 14 页 CP 8 ， 3 CA+CP8+ 8 3 8 ， 3 t 32 1 32 （s） ； 3 3 （3）2s 或 20s 或 21.2s 或 19s 如图 2，当 CPCB 时，BCP 为等腰三角形， 若点 P 在 CA 上，则 t8-6， 解得 t2（s） ； 如图 3，当 BPBC6 时，BCP 为等腰三角形， AC+CB+BP8+6+620， t20 120（s） ； 如图 4，若点 P 在 AB 上，CPCB6，作 CDAB 于 D，则根据面积法求得 CD4.8， 在 RtBCD 中，由
21、勾股定理得，BD3.6， PB2BD7.2， CA+CB+BP8+6+7.221.2， 此时 t21.2 121.2（s） ； 如图 5，当 PCPB 时，BCP 为等腰三角形，作 PDBC 于 D，则 D 为 BC 的中点， APBP 1 AB 5， 2 AC+CB+BP8+6+519， t19 119（s） ； 综上所述，t 为 2s 或 20s 或 21.2s 或 19s，BCP 为等腰三角形 图 2 图 3 图 4 图 5 （4） 48 5 第 14 页 共 14 页 解：如图，作点 B 关于 AC 的对称点 D，过 D 作 DNAB 于点 N，交 AC 于点 M，则 DN 就是 BM+MN 最小值. 点 B 和点 D 关于 AC 对称 MC 垂直平分 BD BM=DM BM+MN=DM+MN 根据垂线段最短，D、M、N 三点共线且垂直于 AB 时最短，则高 DN 长度为所求 S ABD 1 DB AC 1 AB DN 2 2 DN DB AC 12 8 48 AB 10 5