1、 第第 22 章二次函数章二次函数 易错培优训练卷易错培优训练卷 一选择题一选择题 1如果函数是二次函数，则 m 的取值范围是（ ） Am2 Bm2 Cm2 Dm 为全体实数 2若二次函数 yx22x+c 的图象与坐标轴只有两个公共点，则 c 应满足的条件是（ ） Ac0 Bc1 Cc0 或 c1 Dc0 或 c1 3如图在同一个坐标系中函数 ykx2和 ykx2（k0）的图象可能的是（ ） ABCD 4已知抛物线 yax2+bx+c 过点（1，0）和点（0，3） ，且顶点在第四象限，设 M4a+2b+c，则 M 的 取值范围是（ ） A9M0 B18M0 C0M9 D9M9 5已知点 P（m
2、，n）在抛物线 ya（x5）2+9（a0）上，当 3m4 时，总有 n1，当 7m8 时， 总有 n1，则 a 的值为（ ） A1 B1 C2 D2 6如果二次函数 yx2ax+1，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小，且关于 z 的分式方程2 有正数解，则符合条件的整数 a 的值有多少个（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 7如图，已知将抛物线 yx21 沿 x 轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域（包括边界） ，在这个区 域内有 5 个整点（点 M 满足横、纵坐标都为整数，则把点 M 叫做“整点” ） 现将抛物线 ya（x+1）2+2 （a0）沿 x 轴向下翻折，所得抛物线与
3、原抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）恰有 11 个整点，则 a 的取值范围是（ ） Aa1 B C D 8已知二次函数 yax2+bx+c（a，b，c 是常数，a0）图象的对称轴是直线 x1，其图象的一部分如图 所示，下列说法中：abc0；2a+b0；当1x3 时，y0；ab+c0；2c3b0其 中正确结论的个数是（ ） A2 B3 C4 D5 二填空题二填空题 9若函数 yax2（a+3）x1 的图象与 x 轴只有一个公共点，则实数 a 的值为 10若函数 y3x2（9+a）x+6+2a（x 是自变量且 x 为整数） ，在 x6 或 x7 时取得最小值，则 a 的取值 范围是 11若实数
4、x，y 满足 x+y23，设 sx2+8y2，则 s 的取值范围是 12已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于不同的两点 A、B，C 为二次函数的图象的顶点， AB2，若ABC 是边长为 2 的等边三角形，则 a 13某日 6 时至 10 时，某交易平台上一种水果的每千克售价、每千克成本与交易时间之间的关系分别如图 1、图 2 所示（图 1、图 2 中的图象分别是线段和抛物线，其中点 P 是抛物线的顶点） 在这段时间内， 出售每千克这种水果收益最大的时刻是 ，此时每千克的收益是 14如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度） ，一架
5、无 人机的飞行路线为 yax2+bx+c（a0） ，在直角坐标系中 x 轴上的线段 AB 上的某点起飞，途经空中线 段 EF 上的某点，最后在线段 CD 上的某点降落，其中 A（2，0） 、B（1，0） 、C（3，0） 、D（4，0） 、 E（0，3） 、F（0，2） ，则下列结论正确的有 （填序号） （1）abc0； （2）从起飞到当 x1 时无人机一直是上升的； （3）2a+b+c4.5； （4）最大飞行高度不超过 4 三解答题三解答题 15在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax22ax3（a0）与 y 轴交于点 A （1）直接写出点 A 的坐标； （2）点 A、B 关于对称轴对称，
6、求点 B 的坐标； （3）已知点 P（4，0） ，若抛物线与线段 PQ 恰有两个公共点，结合函数图象，求 a 的取 值范围 16某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长） ，用 20m 长的篱笆围成一个矩形 ABCD（篱笆只 围 AB，BC 两边） ，设 ABxm （1）若花园的面积 96m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 11m 和 5m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考 虑树的粗细） ，求花园面积 S 的最大值 17某养殖场计划用 96 米的竹篱笆围成如图所示的、三个养殖区域，其中区域是正方形，区 域和是矩形，且 AG：BG3：2设 BG
7、 的长为 2x 米 （1）用含 x 的代数式表示 DF ； （2）x 为何值时，区域的面积为 180 平方米； （3）x 为何值时，区域的面积最大？最大面积是多少？ 182020 年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按 30 天计）前 5 天的 某型号口罩销售价格 p（元/只）和销量 q（只）与第 x 天的关系如下表： 第 x 天 1 2 3 4 5 销售价格 p （元 /只） 2 3 4 5 6 销量 q（只） 70 75 80 85 90 物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于 1 元/只，该药店从第 6 天起 将该型号口罩的价格调
8、整为 1 元/只据统计，该药店从第 6 天起销量 q（只）与第 x 天的关系为 q 2x2+80 x200 （6x30，且 x 为整数） ，已知该型号口罩的进货价格为 0.5 元/只 （1）直接写出该药店该月前 5 天的销售价格 p 与 x 和销量 q 与 x 之间的函数关系式； （2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润 W（元）与 x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大； （3） 物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之 外的非法所得部分处以 m 倍的罚款，若罚款金额不低于 2000 元，则 m 的取值范围为 19已知二次函数 yx2+bx+
9、2b（b 是常数） （1）若函数图象过（1，4） ，求函数解析式； （2）设函数图象顶点坐标为（m，n） ，当 b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数关系式； （3）若函数图象不经过第三象限时，当5x3 时，函数的最大值和最小值之差是 20，求 b 的值 20如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为（2，9） ，与 y 轴交于点 A（0，5） ，与 x 轴交于点 E，B （1）求二次函数 yax2+bx+c 的解析式； （2）过点 A 作 AC 平行于 x 轴，交抛物线于点 C，点 P 为抛物线上的一点（点 P 在 AC 上方） ，作 PD 平 行于 y 轴交 AB
10、 于点 D，问当点 P 在何位置时，四边形 APCD 的面积最大？并求出最大面积 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 8 小题）小题） 1解：由题意得：m20，m222， 解得 m2，且 m2， m2 故选：C 2解：二次函数 yx22x+c 的图象与坐标轴只有两个公共点， 二次函数 yx22x+c 的图象与 x 轴只有一个公共点或者与 x 轴有两个公共点，其中一个为原点， 当二次函数 yx22x+c 的图象与 x 轴只有一个公共点时， （2）241c0，得 c1； 当二次函数 yx22x+c 的图象与 x 轴有两个公共点，其中一个为原点时， 则 c0，yx22xx（x2） ，与 x
11、轴两个交点，坐标分别为（0，0） ， （2，0） ； 由上可得，c 的值是 1 或 0， 故选：C 3解：当 k0 时，函数 ykx2 的图象经过一、三、四象限；函数 ykx2的开口向上，对称轴在 y 轴上； 当 k0 时，函数 ykx2 的图象经过二、三、四象限；函数 ykx2的开口向下，对称轴在 y 轴上，故 C 正确 故选：C 4解：将（1，0）与（0，3）代入 yax2+bx+c， 0ab+c，c3， ba3， 抛物线顶点在第四象限， 0，a0， b0， a3， 0a3， M4a+2（a3）36a9， 9M9， 故选：D 5解：抛物线 ya（x5）2+9（a0） ， 抛物线的顶点为（5
12、，9） ， 当 7m8 时，总有 n1， a 不可能大于 0， 则 a0， x5 时，y 随 x 的增大而增大，x5 时，y 随 x 的增大而减小， 当 3m4 时，总有 n1，当 7m8 时，总有 n1，且 x3 与 x7 对称， m3 时，n1，m7 时，n1， ， 4a+91， a2， 故选：D 6解：2 1+1az2（2z） （2a）z2 z 关于 z 的分式方程有正数解 0 2a0 a2 但该分式方程当 z2 时显然是增根，故当 a1 时不符合题意，舍去 二次函数 yx2ax+1，当 x2 时，y 随 x 的增大而减小 其对称轴 x2 a4 4a2，且 a1 符合条件的整数 a 的值
13、有4、3、2、1、0，共 5 个 故选：C 7解：如图： ya（x+1）2+2（a0） ， 该抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2） ，对称轴是直线 x1 由此可知点（1，2） 、点（1，1） 、点（1，0） 、点（1，1） 、点（1，2）符合题意， 此时 x 轴上的点 （2，0） 、 （0，0）也符合题意 将（0，1）代入 ya（x+1）2+2 得到 1a+2解得 a1 将（1，0）代入 ya（x+1）2+2 得到 04a+2解得 a 有 11 个整点， 点（0，1） 、点（2，1） 、点（2，1） 、点（0，1）也必须符合题意 综上可知：当1a时，点（1，2） 、点（1，1） 、点（1，0）
14、 、点（1，1） 、点（1， 2） 、点 （2，0） 、 （0，0） 、点（0，1） 、点（2，1） 、点（2，1） 、点（0，1） ，共有 11 个整 点符合题意， 故选：D 8解：抛物线开口向下，则 a0 对称轴在 y 轴右侧，a、b 异号，则 b0 抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c0， abc0，故正确； 抛物线的对称轴是直线 x1，则1，b2a， 2a+b0，故正确； 由图象可知，抛物线与 x 轴的左交点位于 0 和1 之间，在两个交点之间时，y0，在 x1 时，y 0，故错误； 当 x1 时，有 yab+c0，故正确； 由 2a+b0，得 a，代入 ab+c0 得+c0，两边乘以
15、2 得 2c3b0，故错误 综上，正确的选项有： 所以正确结论的个数是 3 个 故选：B 二填空题（共二填空题（共 6 小题）小题） 9解：当 a0 时， 关于 x 的函数 yax2（a+3）x1 的图象与 x 轴只有一个公共点， （a+3）24a （1）a2+10a+90， 解得：a1 或9， 当 a0 时，y3x1，与 x 轴只有一个公共点， 综上，a 的值为1 或9 或 0 故答案为：1 或9 或 0 10解：抛物线的对称轴为直线 x， 在 x6 或 x7 时取得最小值，x 是整数， ， 解不等式得 a24， 解不等式得 a36， 所以，不等式组的解是 24a36， 即 a 的取值范围是
16、 24a36 故答案为：24a36 11解：由 x+y23，得：y2x+30， x3， 代入 sx2+8y2得：sx2+8y2x2+8（x+3）x28x+24（x4）2+8， 当 x3 时，s（34）2+89， s9； 故答案为：s9 12解：设点 A、B 的横坐标分别为 m、n，则 m+n，mn， AB2|mn|， （mn）24， m22mn+n2（m+n）24mn4， b24ac4a2， ABC 是边长为 2 的等边三角形， 点 C 到 AB 的距离为， a0， 点 C 的纵坐标为， ， 4acb24a， 4a24a，a， 故答案为： 13解：设图 1 中交易时间 y1与每千克售价 x1的
17、函数关系式为： y1kx1+b， 将（5，10） （6，8）代入解得 k2，b20， 所以 y12x1+20 设每千克成本 y2与交易时间 x2的函数关系式为： y2a（x210）2+3 将（6，7）代入，解得 a 所以 y2（x210）2+3 x225x2+28 设在这段时间内，出售每千克这种水果的收益为 w 元， 根据题意，得 y2x225x2+28 （2x1+20）25（2x1+20）+28 x1210 x1+28 wx1y2 x1（x1210 x1+28） x12+11x128 （x1）2+ 当 x1时，y111+209， w 取得最大值，最大值为 答：在这段时间内，出售每千克这种水果
18、收益最大的时刻为 9 时， 此时每千克的收益是元 故答案为：9 时，元 14解：线段 AB 上的某点起飞，途经空中线段 EF 上的某点，最后在线段 CD 上的某点降落， 且由所给点的坐标可知，对称轴位于 y 轴右侧，抛物线开口向下 a0，b0（a，b 符号左同右异） ，c0（抛物线与 y 轴交于线段 EF 上某点） abc0 （1）正确； 当起飞点位于点 A，而降落点位于点 C 时，对称轴为 x1 （2）不正确； 当抛物线过点 B，点 E，点 C 时，设 ya（x+1） （x3） ， 将 E（0，3）代入得：3a（0+1） （03） ， a1 y（x+1） （x3） 当 x1 时，y2（2）4
19、； 当抛物线过点 B，点 E，点 D 时，设 ya（x+1） （x4） ， 将 E（0，3）代入得：3a（0+1） （04） ， 解得 a， y（x+1） （x4） ， 当 x时，y4， 故（4）不正确， 当抛物线过点 A，点 F，点 D 时，设 ya（x+2） （x4） ， 将 F（0，2）代入得：2a（0+2） （04） ， 解得 a， y（x+2） （x4） ， 当 x1 时，ya+b+c2， 当抛物线过点 A，点 F，点 C 时，设 ya（x+2） （x3） ， 将 F（0，2）代入得：2a（0+2） （03） ， 解得 a， y（x+2） （x3） ， 当 x1 时，ya+b+c2，
20、 将 x1 代入 y（x+1） （x4）得 ya+b+c4.5， 故（3）正确 综上， （1） （3）正确 故答案为： （1） （3） 三解答题（共三解答题（共 6 小题）小题） 15解： （1）抛物线 yax22ax3（a0）与 y 轴交于点 A， A 的坐标为（0，3） ； （2）； B（2，3） （3）当抛物线过点 P（4，0）时， 此时，抛物线与线段 PQ 有两个公共点 当抛物线过点时，a1， 此时，抛物线与线段 PQ 有两个公共点 抛物线与线段 PQ 恰有两个公共点， 4a2+12a0 a0 或 a3， 当抛物线开口向下时， a3 综上所述，当或 a3 时，抛物线与线段 PQ 恰有两
21、个公共点 16解： （1）设 ABx 米，可知 BC（20 x）米，根据题意得：x（20 x）96 解这个方程得：x112，x28， 答：x 的值是 12m 或 8m （2）设花园的面积为 S， 则 Sx（20 x）（x10）2+100 在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离是 11m 和 5 米， ， 5x9 当 x9 时，S最大（910）2+10099（平方米） 答：花园面积的最大值是 99 平方米 17解： （1）区域是正方形，区域和是矩形， AG：BG3：2设 BG 的长为 2x 米，则 AG3x， AFGHBEFHAG3x， EHGB2x， DCFEAB5x， DF（9635x3
22、3x）4812x 故答案为 4812x （2）根据题意，得 5x（4812x）180， 解得 x11，x23 答：x 为 1 或 3 时，区域的面积为 180 平方米； （3）设区域的面积为 S， 则 S5x（4812x） 60 x2+240 x 60（x2）2+240 600， 当 x2 时，S 有最大值，最大值为 240 答：x 为 2 时，区域的面积最大，为 240 平方米 18解： （1）根据表格数据可知： 前 5 天的某型号口罩销售价格 p（元/只）和销量 q（只）与第 x 天的关系为： px+1，1x5 且 x 为整数； q5x+65，1x5 且 x 为整数； （2）当 1x5 且
23、 x 为整数时， W（x+10.5） （5x+65） 5x2+x+； 当 6x30 且 x 为整数时， W（10.5） （2x2+80 x200） x2+40 x100 即有 W， 当 1x5 且 x 为整数时，售价，销量均随 x 的增大而增大， 故当 x5 时，W 有最大值为：495 元； 当 6x30 且 x 为整数时， Wx2+40 x100（x20）2+300， 故当 x20 时，W 有最大值为：300 元； 由 495300，可知： 第 5 天时利润最大为 495 元 （3）根据题意可知： 获得的正常利润之外的非法所得部分为： （21）70+（31）75+（41）80+（51）85+
24、（61）901250（元） ， 1250m2000， 解得 m 则 m 的取值范围为 m 故答案为：m 19解： （1）将点（1，4）代入 yx2+bx+2b， 得 1+b+2b4， b1， 函数解析式是 yx2+x+2； （2）yx2+bx+2b（x+b）2， 设函数图象顶点坐标为（m，n） ， mb，n+2b， b2m， nm24m； （3）y（x+b）2， 对称轴 xb， 在 yx2+bx+2b 中， 当 x5 时，y255b+2b253b， 当 x3 时，y9+3b+2b9+5b， 分两种情况： 当 b0 时，2bc0，函数不经过第三象限，则 c0； 此时 yx2，当5x3 时，函数最
25、小值是 0，最大值是 25， 最大值与最小值之差为 25，此种情况不符合题意； 当 b0 时，2bc0，函数不经过第三象限，则0， b28b0， 0b8， 4x0， 当5x3 时，函数有最小值+2b， 当 x3 和 x5 对称时，对称轴是：x1， 当41 时，函数有最大值 9+5b， 函数的最大值与最小值之差为 20， 9+5b（+2b）20， b6+4或64（舍） ， 当10 时，函数有最大值 253b； 函数的最大值与最小值之差为 20， 253b（+2b）20， b104或 10+48（舍） ， 综上所述 b6+4或 b104 20解： （1）设抛物线解析式为 ya（x2）2+9， 抛物线与 y 轴交于点 A（0，5） ， 4a+95， a1， y（x2）2+9x2+4x+5， （2）当 y0 时，x2+4x+50， x11，x25， E（1，0） ，B（5，0） ， 设直线 AB 的解析式为 ymx+n， A（0，5） ，B（5，0） ， m1，n5， 直线 AB 的解析式为 yx+5； 设 P（x，x2+4x+5） ， D（x，x+5） ， PDx2+4x+5+x5x2+5x， AC4， S四边形APCDACPD2（x2+5x）2x2+10 x2（x）2+， 20 当 x时， 即：点 P（，）时，S四边形APCD最大