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2020年河南省洛阳市中考数学模拟试卷(三)含答案解析

1、2020 年河南省洛阳市中考数学模拟试卷(三)年河南省洛阳市中考数学模拟试卷(三) 一、选择题(每题一、选择题(每题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分)下列各数中是负数的是( ) A|3| B3 C(3) D 2 (3 分)下列运算正确的是( ) A (a3)2a6 Ba2+a3a5 C (ab)2a2b2 D (2a3)24a6 3 (3 分)智能手机的芯片都是采用光刻技术制作出来的半导体集成电路,随着科技的迅猛发展,纳米芯片 的特征尺寸已达到 10 纳米(1 米109纳米) ,那么 10 纳米用科学记数法表示为( )米 A1.010 7 B1.010 8 C1.010 9 D

2、1.010 10 4 (3 分)如图是由 6 个大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称图形的是 ( ) A主视图 B左视图 C俯视图 D主视图和左视图 5 (3 分)下列等式是四位同学解方程1过程中去分母的一步,其中正确的是( ) Ax12x Bx12x Cxx12x Dxx+12x 6 (3 分) 如图, 已知直线 ABCD, BE 平分ABC, 交 CD 于 D, CDE150, 则C 的度数是 ( ) A100 B120 C130 D150 7 (3 分)九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中 A 卷成绩进行统计后,制成如下的统计表: 成绩(分) 80 82

3、84 86 87 90 人数 8 12 9 3 5 8 则该班学生 A 卷成绩的众数和中位数分别是( ) A82 分,82 分 B82 分,83 分 C80 分,82 分 D82 分,84 分 8 (3 分)若关于 x 的一元二次方程 x2+(k+3)x+20 的一个根是2,则另一个根是( ) A2 B1 C1 D0 9 (3 分)如图 1,一个扇形纸片的圆心角为 90,半径为 6如图 2,将这张扇形纸片折叠,使点 A 与点 O 恰好重合,折痕为 CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为( ) A6 B69 C12 D 10 (3 分)如图所示,把多块大小不同的 30角三角板,摆放在平面直

4、角坐标系中,第一块三角板 AOB 的一条直角边与 x 轴重合且点 A 的坐标为(2,0) ,ABO30,第二块三角板的斜边 BB1与第一块三 角板的斜边 AB 垂直且交 x 轴于点 B1,第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交 y 轴于点 B2,第四块三角板斜边 B2B3与第三块三角板的斜边 B1B2垂直且交 x 轴于点 B3按此规律继续下 去,则线段 OB2020的长为( ) A2()2020 B2()2021 C ()2020 D ()2021 二、填空题(每题二、填空题(每题 3 分,共分,共 15 分)分) 11 (3 分)计算:|2| 12 (3 分)如图,

5、已知ABC 的周长为 13,根据图中尺规作图的痕迹,直线分别与 BC、AC 交于 D、E 两 点,若 AE2,则ABD 的周长为 13 (3 分)为迎接文明城市的验收工作,某居委会组织两个检查组,分别对“垃圾分类”和“违规停车” 的情况进行抽查各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查,则两个组恰好抽到同一个小区的 概率是 14 (3 分)如图 1,在四边形 ABCD 中,ADBC,B30,直线 lAB当直线 l 沿射线 BC 方向,从 点 B 开始向右平移时,直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点 E、F设直线 l 向右平移的距离为 x, 线段 EF 的长为 y,且 y 与 x 的

6、函数关系如图 2 所示,则四边形 ABCD 的周长是 15 (3 分)菱形 ABCD 的边长是 4,ABC120,点 M、N 分别在边 AD、AB 上,且 MNAC,垂足为 P,把AMN 沿 MN 折叠得到AMN,若ADC 恰为等腰三角形,则 AP 的长为 三、解答题(共三、解答题(共 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值: (),其中 x 的值从不等式组的整数解中 选取 17 (9 分)为了加强学生的安全意识,某校组织了学生参加安全知识竞赛从中抽取了部分学生成绩(得 分数取正整数,满分为 100 分)进行统计,绘制统计频数分布直方图(未完成)和扇形图如下,请解答 下列问题: (1)

7、A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 24,样本容量 ,a 为 : (2)n 为 ,E 组所占比例为 %: (3)补全频数分布直方图; (4)若成绩在 80 分以上优秀,全校共有 2000 名学生,估计成绩优秀学生有 名 18 (9 分)如图,已知 AB 是O 的直径,PC 切O 于点 P,过 A 作直线 ACPC 交O 于另一点 D,连 接 PA、PB (1)求证:AP 平分CAB; (2)若 P 是直径 AB 上方半圆弧上一动点,O 的半径为 2,则 当弦 AP 的长是 时,以 A,O,P,C 为顶点的四边形是正方形; 当的长度是 时,以 A,D,O,P 为顶点的四边形是菱形 19

8、(9 分)如图,已知斜坡 AB 长 60 米,坡角(即BAC)为 30,BCAC,现计划在斜坡中点 D 处挖 去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE (请将下面 2 小题 的结果都精确到 0.1 米,参考数据:1.732) (1)若修建的斜坡 BE 的坡角(即BEF)不大于 45,则平台 DE 的长最多为 米; (2)一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远(即 AG27 米) ,小明在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角(即 HDM)为 30点 B、C、A、G、H 在同一个平面内,点 C、A、G 在同一条直线上,且 HGCG, 问建筑物 G

9、H 高为多少米? 20 (9 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 A(1,0) ,B(3,1) ,C(3,3) 反比例函数 y(x 0)的函数图象经过点 D,点 P 是一次函数 ykx+33k(k0)的图象与该反比例函数图象的一个公 共点 (1)求反比例函数的解析式; (2)通过计算,说明一次函数 ykx+33k(k0)的图象一定过点 C; (3)对于一次函数 ykx+33k(k0) ,当 y 随 x 的增大而增大时,确定点 P 的横坐标的取值范围(不 必写出过程) 21 (10 分)在购买某场足球赛门票时,设购买门票数为 x(张) ,总费用为 y(元) 现有两种购买方案: 方案一:

10、若单位赞助广告费 10000 元,则该单位所购门票的价格为每张 60 元; (总费用广告赞助费+ 门票费) 方案二:购买门票方式如图所示解答下列问题: (1) 方案一中, y与x的函数关系式为 ; 方案二中, 当0 x100时, y与x的函数关系式为 ; 当 x100 时,y 与 x 的函数关系式为 ; (2)如果购买本场足球赛超过 100 张,你将选择哪一种方案,使总费用最省?请说明理由; (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700 张,花去总费用计 58000 元,求 甲、乙两单位各购买门票多少张? 22 (10 分)已知ABC 是等边三角形,点 P 是平面内一点

11、,且四边形 PBCD 为平行四边形,将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 60,得到线段 CF (1)如图 1,当 P 为 AC 的中点时,求证:FCPD; (2)如图 2,当 P 为ABC 内任一点时,连接 PA,PF,AF 试判断PAF 的形状,并证明你的结论; ( 3 ) 当B , P , F三 点 共 线 且AB , PB 3时 , 求PA的 长 23 (11 分)如图,抛物线 yax2+bx+过点 A(1,0) ,B(5,0) ,与 y 轴相交于点 C (1)求抛物线的解析式; (2)定义:平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离,称为点到二次函数图象的垂 直距离如:点

12、O 到二次函数图象的垂直距离是线段 OC 的长已知点 E 为抛物线对称轴上的一点,且 在 x 轴上方,点 F 为平面内一点,当以 A,B,E,F 为顶点的四边形是边长为 4 的菱形时,请求出点 F 到二次函数图象的垂直距离 (3)在(2)中,当点 F 到二次函数图象的垂直距离最小时,在以 A,B,E,F 为顶点的菱形内部是否 存在点 Q,使得 AQ,BQ,FQ 之和最小,若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(每题一、选择题(每题 3 分,共分,共 30 分)分) 1 (3 分)下列各数中是负数的是( ) A|3| B3 C(3) D 【分

13、析】根据负数的定义可得 B 为答案 【解答】解:3 的绝对值30; 30; (3)30; 0 故选:B 2 (3 分)下列运算正确的是( ) A (a3)2a6 Ba2+a3a5 C (ab)2a2b2 D (2a3)24a6 【分析】根据幂的乘方的运算法则,合并同类项的法则,完全平方公式,幂的乘方和积的乘方的运算法 则计算得到结果,即可作出判断 【解答】解:A、 (a3)2a6,原计算正确,故此选项符合题意; B、a2与 a3不是同类项,不能合并,原计算错误,故此选项不符合题意; C、 (ab)2a22ab+b2,原计算错误,故此选项不符合题意; D、 (2a3)24a6,原计算错误,故此选

14、项不符合题意 故选:A 3 (3 分)智能手机的芯片都是采用光刻技术制作出来的半导体集成电路,随着科技的迅猛发展,纳米芯片 的特征尺寸已达到 10 纳米(1 米109纳米) ,那么 10 纳米用科学记数法表示为( )米 A1.010 7 B1.010 8 C1.010 9 D1.010 10 【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a10 n,与较大数的科学记数 法不同的是其所使用的是负整数指数幂,指数 n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决 定 【解答】解:10 纳米用科学记数法表示为 1.010 8 米 故选:B 4 (3 分)如图是由 6 个

15、大小相同的立方体组成的几何体,在这个几何体的三视图中,是中心对称图形的是 ( ) A主视图 B左视图 C俯视图 D主视图和左视图 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图,可得答案 【解答】解:从上边看是一个田字, “田”字是中心对称图形, 故选:C 5 (3 分)下列等式是四位同学解方程1过程中去分母的一步,其中正确的是( ) Ax12x Bx12x Cxx12x Dxx+12x 【分析】两边都乘以 x1,再去括号可得答案 【解答】解:两边都乘以 x1,得:x(x1)2x,即 xx+12x, 故选:D 6 (3 分) 如图, 已知直线 ABCD, BE 平分ABC, 交 CD 于 D, CDE

16、150, 则C 的度数是 ( ) A100 B120 C130 D150 【分析】求出CDB,根据平行线的性质求出ABD,根据角平分线的定义求出ABC,再根据平行线 的性质求出即可 【解答】解:CDE150, CDB18015030, DCAB, ABDCDB30, BE 平分ABC, ABC2ABD60, ABCD, C+ABC180, C120, 故选:B 7 (3 分)九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中 A 卷成绩进行统计后,制成如下的统计表: 成绩(分) 80 82 84 86 87 90 人数 8 12 9 3 5 8 则该班学生 A 卷成绩的众数和中位数分别是( ) A82

17、分,82 分 B82 分,83 分 C80 分,82 分 D82 分,84 分 【分析】根据中位数与众数的定义进行解答即可 【解答】解:把这组数据从小到大排列,则该班学生成绩的中位数是 84; 82 出现了 12 次,出现的次数最多,则众数是 82; 故选:D 8 (3 分)若关于 x 的一元二次方程 x2+(k+3)x+20 的一个根是2,则另一个根是( ) A2 B1 C1 D0 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系 x1x2来求方程的另一个根 【解答】解:设 x1、x2是关于 x 的一元二次方程 x2+(k+3)x+20 的两个根, 由韦达定理,得 x1x22,即2x22, 解得,x

18、21 即方程的另一个根是1 故选:C 9 (3 分)如图 1,一个扇形纸片的圆心角为 90,半径为 6如图 2,将这张扇形纸片折叠,使点 A 与点 O 恰好重合,折痕为 CD,图中阴影为重合部分,则阴影部分的面积为( ) A6 B69 C12 D 【分析】连接 OD,如图,利用折叠性质得由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积等于阴影部分 的面积,ACOC,则 OD2OC6,CD3,从而得到CDO30,COD60,然后根据扇 形面积公式,利用由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积S扇形AODSCOD,进行计算即可 【解答】解:连接 OD,如图, 扇形纸片折叠,使点 A

19、 与点 O 恰好重合,折痕为 CD, ACOC, OD2OC6, CD3, CDO30,COD60, 由弧 AD、线段 AC 和 CD 所围成的图形的面积S扇形AODSCOD336 , 阴影部分的面积为 6 故选:A 10 (3 分)如图所示,把多块大小不同的 30角三角板,摆放在平面直角坐标系中,第一块三角板 AOB 的一条直角边与 x 轴重合且点 A 的坐标为(2,0) ,ABO30,第二块三角板的斜边 BB1与第一块三 角板的斜边 AB 垂直且交 x 轴于点 B1,第三块三角板的斜边 B1B2与第二块三角板的斜边 BB1垂直且交 y 轴于点 B2,第四块三角板斜边 B2B3与第三块三角板

20、的斜边 B1B2垂直且交 x 轴于点 B3按此规律继续下 去,则线段 OB2020的长为( ) A2()2020 B2()2021 C ()2020 D ()2021 【分析】 根据题意和图象可以发现题目中的变化规律: OB2, OB12 () 2, OB22 ( ) 3,从而可以推算出 OB2020 的长 【解答】解:由题意可得, OBOAtan6022, B(0,2) , OB1OBtan6022()2, B1(2()2,0) , OB2OB1tan602()3, B2(0,2()3) , OB3OB2tan602()4, B3(2()4,0) , 线段 OB2020的长为 2()2021

21、 故选:B 二、填空题(每题二、填空题(每题 3 分,共分,共 15 分)分) 11 (3 分)计算:|2| 1 【分析】根据绝对值和立方根的定义计算即可 【解答】解:|2|231 故答案为:1 12 (3 分)如图,已知ABC 的周长为 13,根据图中尺规作图的痕迹,直线分别与 BC、AC 交于 D、E 两 点,若 AE2,则ABD 的周长为 9 【分析】根据线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可 【解答】解:由作图可知,DE 垂直平分线段 AC, DADC,AEEC, AB+BC+AC13,AC2AE4, AB+BC9, ABD 的周长AB+BD+DAAB+BD+DCAB+BC9, 故答

22、案为 9 13 (3 分)为迎接文明城市的验收工作,某居委会组织两个检查组,分别对“垃圾分类”和“违规停车” 的情况进行抽查各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查,则两个组恰好抽到同一个小区的 概率是 【分析】将三个小区分别记为 A、B、C,列举出所有情况即可,看所求的情况占总情况的多少即可 【解答】解:将三个小区分别记为 A、B、C, 列表如下: A B C A (A,A) (B,A) (C,A) B (A,B) (B,B) (C,B) C (A,C) (B,C) (C,C) 由表可知,共有 9 种等可能结果,其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有 3 种, 所以两个组恰好抽到同一个小区

23、的概率为 故答案为: 14 (3 分)如图 1,在四边形 ABCD 中,ADBC,B30,直线 lAB当直线 l 沿射线 BC 方向,从 点 B 开始向右平移时,直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点 E、F设直线 l 向右平移的距离为 x, 线段 EF 的长为 y,且 y 与 x 的函数关系如图 2 所示,则四边形 ABCD 的周长是 【分析】根据题意和函数图象中的数据,可以得到 AB、BC、AD 的长,再根据平行线的性质和图形中的 数据可以得到 CD 的长,从而可以求得四边形 ABCD 的周长 【解答】解:B30,直线 lAB, BE2EF, 由图可得, AB4cos3042, B

24、C5, AD743, 由图象可得, AN541,NDCM752,DM2, B30,EFAB, M60, 又DMMC2, DMC 是等边三角形, DCDM2, 四边形 ABCD 的周长是:AB+BC+AD+CD2+5+3+210+2, 故答案为:10+2 15 (3 分)菱形 ABCD 的边长是 4,ABC120,点 M、N 分别在边 AD、AB 上,且 MNAC,垂足为 P, 把AMN沿MN折叠得到AMN, 若ADC恰为等腰三角形, 则AP的长为 或22 【分析】ADC 恰为等腰三角形,分两种情况进行讨论:当 ADAC 时,当 CDCA4 时,分别通 过解直角三角形,求得 AA的长,即可得到

25、AP 的长 【解答】解:如图,当 ADAC 时,ADCACD30, AAD60, 又CAD30, ADA90, RtADA中,AA, 由折叠可得,APAA; 如图,当 CDCA4 时,连接 BD 交 AC 于 O,则 RtCOD 中,COCDcos3042, AC4, AAACAC44, 由折叠可得,APAA22; 故答案为:或 22 三、解答题(共三、解答题(共 75 分)分) 16 (8 分)先化简,再求值: (),其中 x 的值从不等式组的整数 解中选取 【分析】 首先化简 () , 然后根据 x 的值从不等式组的整数解中选取, 求出 x 的值是多少,再把求出的 x 的值代入化简后的算式

26、,求出算式的值是多少即可 【解答】解: () 解不等式组, 可得:2x2, x1,0,1,2, x1,0,1 时,分式无意义, x2, 原式 17 (9 分)为了加强学生的安全意识,某校组织了学生参加安全知识竞赛从中抽取了部分学生成绩(得 分数取正整数,满分为 100 分)进行统计,绘制统计频数分布直方图(未完成)和扇形图如下,请解答 下列问题: (1)A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 24,样本容量 200 ,a 为 16 : (2)n 为 126 ,E 组所占比例为 12 %: (3)补全频数分布直方图; (4)若成绩在 80 分以上优秀,全校共有 2000 名学生,估计成绩优秀

27、学生有 940 名 【分析】 (1)由于 A 组的频数比 B 组小 24,而 A 组的频率比 B 组小 12%,则可计算出调查的总人数, 然后计算 a 和 b 的值; (2)用 360 度乘以 D 组的频率可得到 n 的值,根据百分比之和为 1 可得 E 组百分比; (3)计算出 C 和 E 组的频数后补全频数分布直方图; (4)利用样本估计总体,用 2000 乘以 D 组和 E 组的频率和即可 【解答】解: (1)调查的总人数为 24(20%8%)200, 所以 a2008%16,b20020%40, 故答案为:200,16; (2)D 部分所对的圆心角360126,即 n126, E 组所

28、占比例为 1(8%+20%+25%+100%)12%, 故答案为 126,12; (3)C 组的频数为 20025%50,E 组的频数为 2001640507024, 补全频数分布直方图为: (4)2000940, 所以估计成绩优秀的学生有 940 人 18 (9 分)如图,已知 AB 是O 的直径,PC 切O 于点 P,过 A 作直线 ACPC 交O 于另一点 D,连 接 PA、PB (1)求证:AP 平分CAB; (2)若 P 是直径 AB 上方半圆弧上一动点,O 的半径为 2,则 当弦 AP 的长是 2 时,以 A,O,P,C 为顶点的四边形是正方形; 当的长度是 或 时,以 A,D,O

29、,P 为顶点的四边形是菱形 【分析】 (1)利用切线的性质得 OPPC,再证明 ACOP 得到13,加上23,所以1 2; (2)当AOP90,根据正方形的判定方法得到四边形 AOPC 为正方形,从而得到 AP2; 根据菱形的判定方法,当 ADAPOPOD 时,四边形 ADOP 为菱形,所以AOP 和AOD 为等 边三角形,然后根据弧长公式计算的长度当 ADDPPOOA 时,四边形 ADPO 为菱形,AOD 和DOP 为等边三角形,则AOP120,根据弧长公式计算的长度 【解答】 (1)证明:PC 切O 于点 P, OPPC, ACPC, ACOP, 13, OPOA, 23, 12, AP

30、平分CAB; (2)解:当AOP90,四边形 AOPC 为矩形,而 OAOP,此时矩形 AOPC 为正方形,AP OP2; 当 ADAPOPOD 时,四边形 ADOP 为菱形,AOP 和AOD 为等边三角形,则AOP60, 的长度 当 ADDPPOOA 时, 四边形 ADPO 为菱形, AOD 和DOP 为等边三角形, 则AOP120, 的长度 故答案为 2, 或 19 (9 分)如图,已知斜坡 AB 长 60 米,坡角(即BAC)为 30,BCAC,现计划在斜坡中点 D 处挖 去部分坡体(用阴影表示)修建一个平行于水平线 CA 的平台 DE 和一条新的斜坡 BE (请将下面 2 小题 的结果

31、都精确到 0.1 米,参考数据:1.732) (1)若修建的斜坡 BE 的坡角(即BEF)不大于 45,则平台 DE 的长最多为 10.9 米; (2)一座建筑物 GH 距离坡角 A 点 27 米远(即 AG27 米) ,小明在 D 点测得建筑物顶部 H 的仰角(即 HDM)为 30点 B、C、A、G、H 在同一个平面内,点 C、A、G 在同一条直线上,且 HGCG, 问建筑物 GH 高为多少米? 【分析】 (1)根据题意得出,BEF 最大为 45,当BEF45时,EF 最短,此时 ED 最长,进而得 出 EF 的长,即可得出答案; (2) 利用在 RtDPA 中, DPAD, 以及 PAAD

32、cos30进而得出 DM 的长, 利用 HMDMtan30 得出即可 【解答】解: (1)修建的斜坡 BE 的坡角(即BEF)不大于 45, BEF 最大为 45, 当BEF45时,EF 最短,此时 ED 最长, DACBDF30,ADBD30, BFEFBD15, DF15, 故:DEDFEF15(1)10.9(米) ; 若修建的斜坡 BE 的坡角(即BEF)不大于 45,则平台 DE 的长最多为 10.9m; (2)过点 D 作 DPAC,垂足为 P 在 RtDPA 中,DPAD3015, PAADcos303015 在矩形 DPGM 中,MGDP15,DMPG15+27, 在 RtDMH

33、 中, HMDMtan30(15+27)15+9 GHHM+MG15+15+945.6 答:建筑物 GH 高约为 45.6 米 20 (9 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 A(1,0) ,B(3,1) ,C(3,3) 反比例函数 y(x 0)的函数图象经过点 D,点 P 是一次函数 ykx+33k(k0)的图象与该反比例函数图象的一个公 共点 (1)求反比例函数的解析式; (2)通过计算,说明一次函数 ykx+33k(k0)的图象一定过点 C; (3)对于一次函数 ykx+33k(k0) ,当 y 随 x 的增大而增大时,确定点 P 的横坐标的取值范围(不 必写出过程) 【分析】

34、 (1)由 B(3,1) ,C(3,3)得到 BCx 轴,BC2,根据平行四边形的性质得 ADBC2, 而 A 点坐标为(1,0) ,可得到点 D 的坐标为(1,2) ,然后把 D(1,2)代入 y即可得到 m2,从 而可确定反比例函数的解析式; (2)把 x3 代入 ykx+33k(k0)得到 y3,即可说明一次函数 ykx+33k(k0)的图象一定 过点 C; (3)设点 P 的横坐标为 a,由于一次函数 ykx+33k(k0)过 C 点,并且 y 随 x 的增大而增大时, 则 P 点的纵坐标要小于 3,横坐标要小于 3,当纵坐标小于 3 时,由 y得到 a,于是得到 a 的取 值范围 【

35、解答】解: (1)四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC, B(3,1) ,C(3,3) , BCx 轴,ADBC2, 而 A 点坐标为(1,0) , 点 D 的坐标为(1,2) 反比例函数 y(x0)的函数图象经过点 D(1,2) , 2 m2, 反比例函数的解析式为 y; (2)当 x3 时,ykx+33k3k+33k3, 一次函数 ykx+33k(k0)的图象一定过点 C; (3)设点 P 的横坐标为 a, 则 a 的范围为a3 21 (10 分)在购买某场足球赛门票时,设购买门票数为 x(张) ,总费用为 y(元) 现有两种购买方案: 方案一:若单位赞助广告费 10000 元,则该

36、单位所购门票的价格为每张 60 元; (总费用广告赞助费+ 门票费) 方案二:购买门票方式如图所示解答下列问题: (1)方案一中,y 与 x 的函数关系式为 y60 x+10000 ;方案二中,当 0 x100 时,y 与 x 的函数 关系式为 y100 x ;当 x100 时,y 与 x 的函数关系式为 y80 x+2000 ; (2)如果购买本场足球赛超过 100 张,你将选择哪一种方案,使总费用最省?请说明理由; (3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共 700 张,花去总费用计 58000 元,求 甲、乙两单位各购买门票多少张? 【分析】 (1)依题意可得 y 与

37、x 的函数关系式 y60 x+10000;本题考查了分段函数的有关知识(0 x 100;x100) ; (2) 设60 x+1000080 x+2000, 可用方案二买; 当60 x+100080 x+2000时, 两种方案均可选择; 当60 x+1000 80 x+200 时,可选择方案一; (3)设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为 a 张、b 张,分别可采用方案一或方案二购买 【解答】解: (1)方案一:y60 x+10000;当 0 x100 时,y100 x;当 x100 时,y80 x+2000; (2)因为方案一 y 与 x 的函数关系式为 y60 x+10000,x100,方

38、案二的 y 与 x 的函数关系式为 y 80 x+2000; 当 60 x+1000080 x+2000 时,即 x400 时,选方案二进行购买,当 60 x+1000080 x+2000 时,即 x400 时,两种方案都可以,当 60 x+1000080 x+2000 时,即 x400 时,选方案一进行购买; (3)设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为 a 张、b 张; 甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票, 乙公司购买本次足球赛门票有两种情况:0b100 或 b100 当 b100 时,乙公司购买本次足球赛门票费为 100b, 解得不符合题意,舍去; 当 b100 时,乙

39、公司购买本次足球赛门票费为 80b+2000, 解得符合题意 答:甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为 500 张、200 张 22 (10 分)已知ABC 是等边三角形,点 P 是平面内一点,且四边形 PBCD 为平行四边形,将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 60,得到线段 CF (1)如图 1,当 P 为 AC 的中点时,求证:FCPD; (2)如图 2,当 P 为ABC 内任一点时,连接 PA,PF,AF 试判断PAF 的形状,并证明你的结论; ( 3 ) 当B , P , F三 点 共 线 且AB , PB 3时 , 求PA的 长 【分析】 (1)如图 1,由等边三角形和平行四边形的性

40、质求得FCD+D90,易得 FCPD (2)PAF 是等边三角形如图 2,连接 PA,PF,延长 BC,构造全等三角形:ABPACF(SAS) , 由该全等三角形的对应边相等、对应角相等以及等边三角形的判定定理证得结论; (3)需要分类讨论:当点 P 在线段 BF 上和当点 P 落在线段 FB 的延长线上两种情况,通过作辅助线, 构造直角三角形,结合勾股定理求得线段 PA 的长度 【解答】 (1)证明:如图 1,ABC 是等边三角形,且 P 为 AC 的中点, PBCABC6030, 四边形 PBCD 为平行四边形, DPBC30 FCD60 FCD+D90, FCPD (2)PAF 是等边三

41、角形,理由如下: 如图 2,延长 BC, 证明ABC 为等边三角形, ABAC,ABCACB60, 2601, 418060603603 四边形 PACD 是平行四边形, PBCD,PBCDFC 13 24 又 ABAC,PBFC, ABPACF(SAS) APAF,BAPCAF BAP+PAC60, PAC+CAFPAF60, PAF 是等边三角形 (3)当点 P 在线段 BF 上时,如图 3, 过 A 作 AEBF 于 E,由(2)可得APF60, 设 PEx,则 AEx, 于是得: (x+3)2+3219, x11,x2(不合题意,故舍去) PA2x2 当点 P 落在线段 FB 的延长线

42、上时, 如图 4,过 B 作 BEPA 于 E,则 在 RtPBE 中,PB3,由(2)可得BPE60, PBE30 PE,BE 在 RtABE 中,AB,BE AE, PAPE+AE5 由于 P 点不可能线段 BF 的延长线上,所以,综上所述,PA 的长为 2 或 5 23 (11 分)如图,抛物线 yax2+bx+过点 A(1,0) ,B(5,0) ,与 y 轴相交于点 C (1)求抛物线的解析式; (2)定义:平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离,称为点到二次函数图象的垂 直距离如:点 O 到二次函数图象的垂直距离是线段 OC 的长已知点 E 为抛物线对称轴上的一点,且

43、 在 x 轴上方,点 F 为平面内一点,当以 A,B,E,F 为顶点的四边形是边长为 4 的菱形时,请求出点 F 到二次函数图象的垂直距离 (3)在(2)中,当点 F 到二次函数图象的垂直距离最小时,在以 A,B,E,F 为顶点的菱形内部是否 存在点 Q,使得 AQ,BQ,FQ 之和最小,若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由 【分析】 (1)将 A,B 两点代入可求解析式 (2)分类讨论,以 AB 为边的菱形和以 AB 为对角线的菱形,抓住菱形边长为 4 和 E 的横坐标为 3,可 解 F 点坐标,即可求点 F 到二次函数图象的垂直距离 (3)构造三角形,根据两点之间线段最短,可得最短距

44、离为 AN,根据勾股定理求 AN 【解答】解: (1)抛物线 yax2+bx+过点 A(1,0) ,B(5,0) , 0a+b+ 025a+5b+ a,b3 解析式 yx23x+ (2)当 y0,则 0 x23x+ x15,x21 A(1,0) ,B(5,0) 对称轴直线 x3,顶点坐标(3,2) ,AB4 抛物线与 y 轴相交于点 C C(0,) 如图 1 如 AB 为菱形的边,则 EFAB,EFAB4,且 E 的横坐标为 3 F 的横坐标为 7 或1 AEAB4,AM2,EMAB EM2 F(7,2) ,或(1,2) 当 x7,y4973+6 点 F 到二次函数图象的垂直距离 62 如 A

45、B 为对角线,如图 2 AEBF 是菱形,AFBF4 ABEF,EMMF2 F(3,2) 点 F 到二次函数图象的垂直距离2+2 (3)当 F(3,2)时,点 F 到二次函数图象的垂直距离最小 如图 3,以 BQ 为边作等边三角形 BQD,将BQF 绕 B 逆时针旋转 60到BDN 位置,连接 AN,作 PN AB 于 P 等边三角形 BQD QDQBBD, 将BQF 绕 B 逆时针旋转 60到BDN 位置 NBBF4,FBN60,DNFQ AQ+BQ+FQAQ+QD+DN 当 AQ,QD,DN 共线时 AQ+BQ+FQ 的和最短,即最短值为 AN 的长 AFBF4AB, ABF60 NBP60且 BN4, BP2,PN2 AP6 在 RtANP 中,AN4 AQ+BQ+FQ 的和最短值为 4