1、2020 年年吉林省长春市朝阳区吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题： （共一、选择题： （共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）在 RtABC 中，C=90，B=40，AB=5，则 BC 的长为（ ） A5tan40 B5cos40 C5sin40 D 2 （3 分）在ABC 中，C=90，若 cosB=，则 sinA 的值为（ ） A B C D 3 （3 分）对于函数 y=5x2，下列结论正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而增大 B图象开口向下 C图象关于 y 轴对称 D无论 x 取何值，y 的值总是正的 4 （3 分）如图，D、E 分别
2、是 AB、AC 的中点，则 SADE：SABC=（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D2：3 5 （3 分）在ABC 中，A，B 都是锐角，tanA=1，sinB=，你认为ABC 最确切的判断 是（ ） A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D锐角三角形 6 （3 分） 如图， 四个二次函数的图象中， 分别对应的是： y=ax2； y=bx2； y=cx2； y=dx2， 则 a，b，c，d 的大小关系是（ ） Aabcd Babdc Cbacd Dbadc 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，A=30，BC=1，点 D，E 分别是直角边 BC，AC 的中点，则 DE 的长为（
3、） A1 B2 C D1+ 8 （3 分）如图，菱形 ABCD 的周长为 20cm，DEAB，垂足为 E，cosA=，则下列结论中正 确的个数为（ ） DE=3cm；EB=1cm；S菱形ABCD=15cm2 A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 二、填空： （共二、填空： （共 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）若 y=（m+2）x+3x2 是二次函数，则 m 的值是 10 （3 分）已知点 A（3，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）在抛物线 y=x2，则 y1，y2，y3的 大小关系是 （用“”连接） 11 （3 分）ABC 中，C=90，tanA=，则 si
4、nA+cosA= 12 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点， AD=BC，PEF=35，则PFE 的度数是 13 （3 分）如果某人沿坡度 i=4：3 的斜坡前进 50 米后，他所在的位置比原来的位置升高了 米 14 （3 分）已知在ABC 中，BC=6，AC=6，A=30，则 AB 的长是 三、解答题： （共三、解答题： （共 78 分）分） 15 （8 分）计算： （1）2cos60（2009）0+tan45 （2）2sin603tan30+2sin45 16 （6 分）如图，在边长均为 1 的小正方形网格纸中，OA
5、B 的顶点 O，A，B 均在格点上， 且 O 是直角坐标系的原点，点 A 在 x 轴上 （1）以 O 为位似中心，将OAB 放大，使得放大后的OA1B1，与OAB 对应线段的比为 2： 1，画出OA1B1， （所画OA1B1与OAB 在原点两侧） ； （2）直接写出点 A1、B1，的坐标 ； （3）直接写出 tanOA1B1 17 （6 分）如图，一段河坝的断面为梯形 ABCD，试根据图中数据，求出坡角 和坝底宽 AD （结果果保留根号） 18 （7 分）如图，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN 于点 N，延长 BN 交 AC 于点 D，已知 AB=10，BC=15，
6、MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求ABC 的周长 19 （7 分）如图，直线 y=x+2 过 x 轴上的点 A（2，0） ，且与抛物线 y=ax2交于 B，C 两点， 点 B 坐标为（1，1） （1）求抛物线的函数表达式； （2）连结 OC，求出AOC 的面积 20 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，cosADE=，AB=3， （1）求 AD 的值 （2）直接写出 SDEC的值是 21 （8 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanB=cosDAC （1）求证：AC=BD （2）若 sinC=，BC=34，直接写出 AD 的长是 22 （8 分）
7、腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图） 为了测量雕塑的高度，小 明利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30， 底部B点的俯角为45， 小华在五楼找到一点D， 利用三角板测得 A 点的俯角为 60 （如图） 若已知 CD 为 10 米， 请求出雕塑 AB 的高度 （结 果精确到 0.1 米，参考数据=1.73） 23 （8 分）在矩形 ABCD 中，AD=3，CD=4，点 E 在 CD 上，且 DE=1 （1）感知：如图，连接 AE，过点 E 作 EF 丄 AE，交 BC 于点 F，连接 AE，易证：ADE ECF（不需要证明） ； （2）探究 ：如图，点 P 在矩形 ABCD 的边 A
8、D 上（点 P 不与点 A、D 重合） ，连接 PE，过点 E 作 EFPE，交 BC 于点 F，连接 PF求证：PDE 和ECF 相似； （3）应用：如图，若 EF 交 AB 于点 F，EF 丄 PE，其他条件不变，且PEF 的面积是 6，则 AP 的长为 24 （ 12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，C=90，BC=4，DC=3，AD=6动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向，在射线 DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出 发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当 点 Q 运动到
9、点 B 时，点 P 随之停止运动设运动的时间为 t（秒） （1）设BPQ 的面积为 s，直接写出 s 与 t 之间的函数关系式是 （不写取值范围） （2）当 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时 t 的值 （3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2OA=OB 时，直接写出 tanBQP= （4）是否存在时刻 t，使得 PQBD 若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 参考答案解析参考答案解析 一、选择题： （共一、选择题： （共 24 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1 （3 分）在 RtABC 中，C=90，B=40，AB=5，则 BC 的长为（ ）
10、A5tan40 B5cos40 C5sin40 D 【解答】解：在 RtABC 中，C=90， cosB=， BC=5cos40 故选：B 2 （3 分）在ABC 中，C=90，若 cosB=，则 sinA 的值为（ ） A B C D 【解答】解：在ABC 中，C=90，cosB=， B=30，A=60 sinA=sin60= 故选：B 3 （3 分）对于函数 y=5x2，下列结论正确的是（ ） Ay 随 x 的增大而增大 B图象开口向下 C图象关于 y 轴对称 D无论 x 取何值，y 的值总是正的 【解答】解：二次函数解析式为 y=5x2， 二次函数图象开口向上，当 x0 时 y 随 x
11、增大而减小，当 x0 时 y 随 x 增大而增大，对称 轴为 y 轴，无论 x 取何值，y 的值总是非负 故选：C 4 （3 分）如图，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 SADE：SABC=（ ） A1：2 B1：3 C1：4 D2：3 【解答】解：D、E 分别是 AB、AC 的中点 DE 是三角形的中位线 DE：BC=1：2 SADE：SABC=1：4 故选：C 5 （3 分）在ABC 中，A，B 都是锐角，tanA=1，sinB=，你认为ABC 最确切的判断 是（ ） A等腰三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D锐角三角形 【解答】解：由题意，得 A=45，B=45 C=180A
12、B=90， 故选：B 6 （3 分） 如图， 四个二次函数的图象中， 分别对应的是： y=ax2； y=bx2； y=cx2； y=dx2， 则 a，b，c，d 的大小关系是（ ） Aabcd Babdc Cbacd Dbadc 【解答】解：由二次函数 y=ax2的性质知， （1）抛物线 y=ax2的开口大小由|a|决定 |a|越大，抛物线的开口越窄； |a|越小，抛物线的开口越宽 （2）抛物线 y=ax2的开口方向由 a 决定 当 a0 时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在 x 轴上方； 当 a0 时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在 x 轴下方 根据以上结论知：ab0，0cd 故选：A 7
13、 （3 分）如图，在 RtABC 中，A=30，BC=1，点 D，E 分别是直角边 BC，AC 的中点，则 DE 的长为（ ） A1 B2 C D1+ 【解答】解：如图，在 RtABC 中，C=90，A=30， AB=2BC=2 来源:学科网ZXXK 又点 D、E 分别是 BC，AC 的中点， DE 是ACB 的中位线， DE=AB=1 故选：A 8 （3 分）如图，菱形 ABCD 的周长为 20cm，DEAB，垂足为 E，cosA=，则下列结论中正 确的个数为（ ） DE=3cm；EB=1cm；S菱形ABCD=15cm2 A3 个 B2 个 C1 个 D0 个 【解答】解：由题意可得，菱形的
14、边长为 5cm，又 cosA=，所以 AE=4， 则 DE=3cm；EB=1cm；S菱形ABCD=53=15cm2， 故选：A 二、填空： （共二、填空： （共 18 分，每小题分，每小题 3 分）分） 9 （3 分）若 y=（m+2）x+3x2 是二次函数，则 m 的值是 2 【解答】解：由题意，得 m22=2，且 m+20， 解得 m=2， 故答案为：2 10 （3 分）已知点 A（3，y1） ，B（1，y2） ，C（2，y3）在抛物线 y=x2，则 y1，y2，y3的 大小关系是 y2y3y1 （用“”连接） 【解答】解： 点 A（3，y1） ，B（ 1，y2） ，C（2，y3）在抛物线
15、 y=x2， y1=（3）2=6，y2= （1）2=，y3=22=， 6， y2y3y1， 故答案为：y2y3y1 11 （3 分）ABC 中，C=90，tanA=，则 sinA+cosA= 【解答】解：如图，tanA= ， 来源:学科网 ZXXK 设 AB=3x，则 BC=4x， AC=5x， 则有：sinA+cosA=+=+=， 故答案为： 12 （3 分）如图，四边形 ABCD 中，点 P 是对角线 BD 的中点，点 E，F 分别是 AB，CD 的中点， AD=BC，PEF=35，则PFE 的度数是 35 【解答】解：在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E，F 分别是 A
16、B，CD 的中点， FP，PE 分别是CDB 与DAB 的中位线， PF= BC，PE=AD， AD=BC， PF=PE， 故EPF 是等腰三角形 PEF=35， PEF=PFE=35， 故答案为：35 13（3 分） 如果某人沿坡度 i=4： 3 的斜坡前进 50 米后， 他所在的位置比原来的位置升高了 40 米 【解答】解：由题意得，BC：AB=4：3，AC=50 米 设 BC=4x，AB=3x， 则（3x）2+（4x）2=2500， 解得：x=10， BC=4x=40 故答案为：40 14 （3 分）已知在ABC 中，BC=6，AC=6，A=30，则 AB 的长是 12 或 6 【解答】
17、解：如图 1 所示， 过点 C 作 CDAB 于点 D， A=30，AC=6， CD=AC=3，AD=ACcos30=6 =9 在 RtCDB 中， BC=6，CD=3， BD=3， AB=AD+BD=9+3=12； 如图 2 所示，同理可得， CD=AC=3，AD=ACcos30=6=9，BD=3， AB=ADBD=93=6 综上所述，AB 的长为 12 或 6 故答案为 12 或 6 三、解答题： （共三、解答题： （共 78 分）分） 15 （8 分）计算： （1）2cos60（2009）0+tan45 （2）2sin603tan30+2sin45 来源:Zxxk.Com 【解答】解：
18、（1）2cos60（2009）0+tan45 =2 1 +1 =1； （2）2sin603tan30+2sin45 =23+2 =+ =0 16 （6 分）如图，在边长均为 1 的小正方形网格纸中，OAB 的顶点 O，A，B 均在格点上， 且 O 是直角坐标系的原点，点 A 在 x 轴上 （1）以 O 为位似中心，将OAB 放大，使得放大后的OA1B1，与OAB 对应线段的比为 2： 1，画出OA1B1， （所画OA1B1与OAB 在原点两侧） ； （2）直接写出点 A1、B1，的坐标 （4，0）和（2，4） ； （3）直接写出 tanOA1B1 【解答】解： （1）如图，OA1B1即为所求；
19、 （2）由图可知，A1、B1的坐标为（4，0）和（2，4） ； 故答案为： （4，0）和（2，4） ； （3）如图，tanOA1B1=2 17 （6 分）如图，一段河坝的断面为梯形 ABCD，试根据图中数据，求出坡角 和坝底宽 AD （结果果保留根号） 【解答】解：过 B 作 BFAD 于 F 在 RtABF 中，AB=5，BF=CE=4 AF=3 在 RtCDE 中，tan=i= =30且 DE=4， AD=AF+FE+ED=3+4.5+4= 答：坡角 等于 30，坝底宽 AD 为 18 （7 分）如图，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN 于点 N，延长 BN 交
20、AC 于点 D，已知 AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求ABC 的周长 【解答】 （1）证明：AN 平分BAC 1=2 BNAN ANB=AND=90 在ABN 和ADN 中， ， ABNADN（ASA） ， BN=DN （2）解：ABNADN， AD=AB=10， 又点 M 是 BC 中点， MN 是BDC 的中位线， CD=2MN=6， 故ABC 的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41 19 （7 分）如图，直线 y=x+2 过 x 轴上的点 A（2，0） ，且与抛物线 y=ax2交于 B，C 两点， 点 B 坐标为（1，1） （1）求
21、抛物线的函数表达式； （2）连结 OC，求出AOC 的面积 【解答】解： （1）点 B（1，1）在抛物线 y=ax2上， 1=a， 抛物线的解析式为 y=x2； 来源:学科网 （2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b（k0） ， 将 A（2，0） 、B（1，1）代入 y=kx+b 中， ，解得：， 直线 AB 的解析式为 y=x+2 联立两函数解析式成方程组， 解得：， 点 C 的坐标为（2，4） SAOC=24=4 20 （8 分）如图，在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，cosADE=，AB=3， （1）求 AD 的值 （2）直接写出 SDEC的值是 【解答】解： （1）四边形 A
22、BCD 是矩形， AB=CD=3，ADC=90， DEAC， ADE+CDE=90，CDE+DCE=90， ADE=ACD， cosACD=cosADE= =， AC=5，AD=4 （2）cosDCE=， CE=，DE=， SDEC= DEEC= = 故答案为 21 （8 分）如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，tanB=cosDAC （1）求证：AC=BD （2）若 sinC=，BC=34，直接写出 AD 的长是 【解答】解： （1）由题意可知：tanB=cosDAC BD=AC （2）设 AC=BD=x CD=BCBD=34x sinC=， = = 解得：x= 故答案为： 22
23、（8 分）腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图） 为了测量雕塑的高度，小 明利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为 3 0，底部 B 点的俯角为 45，小华在五楼找到一点 D， 利用三角板测得 A 点的俯角为 60 （如图） 若已知 CD 为 10 米， 请求出雕塑 AB 的高度（结 果精确到 0.1 米，参考数据=1.73） 【解答】解：过点 C 作 CEAB 于 E ADC=9060=30，ACD=9030=60， CAD=90 CD=10， AC= CD=5 在 RtACE 中， AEC=90，ACE=30， AE=AC= ， CE=ACcosA CE=5cos30= 在 Rt
24、BCE 中， BCE=45， BE=CE=， AB=AE+BE= +=（ +1）6.8（米） 答：雕塑 AB 的高度约为 6.8 米 23 （8 分）在矩形 ABCD 中，AD=3，CD=4，点 E 在 CD 上，且 DE=1 （1）感知：如图，连接 AE，过点 E 作 EF 丄 AE，交 BC 于点 F，连接 AE，易证：ADE ECF（不需要证明） ； （2）探究：如图，点 P 在矩形 ABCD 的边 AD 上（点 P 不与点 A、D 重合） ，连接 PE，过点 E 作 EFPE，交 BC 于点 F，连接 PF求证：PDE 和ECF 相似； （3）应用：如图，若 EF 交 AB 于点 F，
25、EF 丄 PE，其他条件不变，且PEF 的面积是 6，则 AP 的长为 3 【解答】证明：感知：如图，四边形 ABCD 为矩形， D=C=90， DAE+DEA=90， EFAE， AEF=90， DEA+FEC=90， DAE=FEC， DE=1，CD=4， CE=3， AD=3， AD=CE， ADEECF（ASA） ； 探究：如图，四边形 ABCD 为矩形， D=C=90， DPE+DEP=90， EFPE， PEF=90， DEP+FEC=90， DPE=FEC， PDEECF； 应用：如图，过 F 作 FGDC 于 G， 四边形 ABCD 为矩形， ABCD， FG=BC=3， PE
26、EF， SPEF= PEEF=6， PEEF=12， 同理得：PDEEGF， =， 来源:学科网 =， EF=3PE， 3PE2=12， PE=2， PE0， PE=2， 在 RtPDE 中，由勾股定理得：PD=， AP=ADPD=3， 故答案为：3 24 （12 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，C=90，BC=4，DC=3，AD=6动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向，在射线 DA 上以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出 发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P，Q 分别从点 D，C 同时出发，当 点 Q 运 动到点 B
27、时，点 P 随之停止运动设运动的时间为 t（秒） （1） 设BPQ 的面积为 s， 直接写出 s 与 t 之间的函数关系式是 s=6t （不写取值范围） （2）当 B，P，Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时 t 的值 （3）当线段 PQ 与线段 AB 相交于点 O，且 2OA=OB 时，直接写出 tanBQP= （4）是否存在时刻 t，使得 PQBD 若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）如图 1，过点 P 作 PMBC，垂足为 M，则四边形 PDCM 为矩形 PM=DC=3 QB=4t， s=3（4t）=6t（0t4） 故答案为：s=6t； （2）由图
28、可知：CM=PD=2t，CQ=t 以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： 若 PQ=BQ 在 RtPMQ 中，PQ2=t2+32， 由 PQ2=BQ2得 t2+32=（4t）2， 解得 t=； 若 BP=BQ 在 RtPMB 中，BP2=（42t）2+32 由 BP2=BQ2得： （42t）2+32=（4t）2 即 3t28t+9=0 由于=64439=440， 3t28t+9=0 无解， PBBQ 若 PB=PQ 由 PB2=PQ2，得 t2+32=（42t）2+32 整理，得 3t216t+16=0 解得 t1=，t2=4（舍去） 综合上面的讨论可知：当 t=秒或
29、 t=秒时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形 （3）如图 2，由OAPOBQ，得 AP=2t6，BQ=4t， 2（2t6）=4t t= 过点 Q 作 QEAD，垂足为 E PD=2t，ED=QC=t， PE=t 在 RtPEQ 中，tanQPE= = 又ADBC， BQP=QPE， tanBQP=； 故答案为：； （4）设存在时刻 t，使得 PQBD 如图 3，过点 Q 作 QEAD 于 E，垂足为 E ADBC BQF=EPQ， 又在BFQ 和BCD 中BFQ=C=90， BQF=BDC， BDC=EPQ， 又C=PEQ=90， RtBDCRtQPE， ，即 解得 t= 所以，当 t=秒时，PQBD