1、2020 年河南省年河南省河南省郑州市金水区河南省郑州市金水区中考数学一模试卷中考数学一模试卷 一、选择题（一、选择题（3 分分1030 分）分） 1（3 分）3 的绝对值的相反数是（ ） A3 B3 C D 2（3 分）我国采取“一箭双星”方式，成功发射了北斗三号导航卫星第三、四颗组网卫星这两颗卫星 上均装载了我国自行研制的一台铷原子钟和一台氢原子钟其中氢钟的精度大约 1000 万年才误差一秒， 将数据 1000 万用科学记数法表示为（ ） A10107 B1107 C0.1107 D1000104 3（3 分）将图（1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图（2）所示的几何体，则该几
2、何体 的俯视图为（ ） A B C D 4（3 分）不等式组的整数解有（ ） A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 5 （3 分）将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，ABCMAN90，BAC45， N30，若 MNBA，则CAM 的度数为（ ） A10 B15 C20 D30 6（3 分）规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如 23，567，3467 等）一不透明的口袋中装有 3 个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，3，从袋中随 机摸出 1 个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出 1 个小球，其上所标数字作 为
3、个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（ ） A B C D 7 （3 分）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：分别以点 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧， 两弧相交于两点 M，N；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD如果 CDAC，ACB105，那么 B 的度数为（ ） A20 B25 C30 D35 8（3 分）如图，四边形 ABCE 内接于O，DCE50，则BOE（ ） A100 B50 C70 D130 9（3 分）如图，点 A（m，5），B（n，2）是抛物线 C1：yx22x+3 上的两点，将抛物线 C1向左平 移， 得到抛物线 C2， 点 A， B 的对应点
4、分别为点 A， B 若曲线段 AB 扫过的面积为 9 （图中的阴影部分） ， 则抛物线 C2的解析式是（ ） Ay（x5）2+1 By（x2）2+4 Cy（x+1）2+1 Dy（x+2）2 2 10（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为，对角线 AC 和 BD 交于点 E，点 F 是 BC 边上一动点（不与 点 B，C 重合），过点 E 作 EF 的垂线交 CD 于点 G，连接 FG 交 EC 于点 H设 BFx，CHy，则 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（二、填空题（3 分分515 分）分） 11（3 分）计算：（1）2 12（3 分）一元二次方程
5、x24x+30 的根为 13（3 分）在ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，AC 垂直于 BC，且 AB10cm，AD8cm，则 OB cm 14（3 分）如图，将半径为 1 的半圆 O，绕着其直径的一端点 A 顺时针旋转 30，直径的另一端点 B 的 对应点为 B，O 的对应点为 O，则图中阴影部分的面积是 15（3 分）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，点 P 为 AC 上一点，过点 P 作 PDBC 于点 D，将 PCD 沿 PD 折叠，得到PED，连接 AE若APE 为直角三角形，则 PC 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16（8 分）先化简代数式
6、（+），然后再选取一个你喜欢的数作为 x 的值代入求值 17 （9 分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A由父母一方照看； B由爷爷奶奶照看；C由叔姨等近亲照看；D直接寄宿学校某数学小组随机调查了一个班级，发 现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图 （1）该班共有 名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校 将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？ 18（9 分）如图，AB 为
7、O 的直径，点 C 为 AB 上方的圆上一动点，过点 C 作O 的切线 l，过点 A 作直 线 l 的垂线 AD，交O 于点 D，连接 OC，CD，BC，BD，且 BD 与 OC 交于点 E （1）求证：CDECBE； （2）若 AB4，填空： 当的长度是 时，OBE 是等腰三角形； 当 BC 时，四边形 OADC 为菱形 19（9 分）如图，大楼 AC 的一侧有一个斜坡，斜坡的坡角为 30小明在大楼的 B 处测得坡面底部 E 处的俯角为 33，在楼顶 A 处测得坡面 D 处的俯角为 30已知坡面 DE20m，CE30m，点 C，D， E 在同一平面内，求 A，B 两点之间的距离（结果精确到
8、1m，参考数据：1.73，sin330.54， cos330.84，tan330.65） 20（9 分）如图，网格线的交点称为格点双曲线 y与直线 yk2x 在第二象限交于格点 A （1）填空：k1 ，k2 ； （2）双曲线与直线的另一个交点 B 的坐标为 ，在图中标出来； （3）在图中仅用直尺、2B 铅笔画ABC，使其面积为 2|k1|，其中点 C 为格点 21（10 分）某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元，经 市场调查，每天的销售量 y（千克）与每千克售价 x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价 x（元/千克） 50 60 70
9、 销售量 y（千克） 100 80 60 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为 W（元），求 W 与 x 之间的函数表达式（利润收入成本）； （3）试说明（2）中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最 大利润是多少？ 22（10 分）观察猜想 （1）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC3，点 D 与点 A 重合，点 E 在边 BC 上，连接 DE， 将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DF， 连接 BF， BE 与 BF 的位置关系是 ， BE+BF ； 探究证明 （2）在（1）中，如果将点 D
10、沿 AB 方向移动，使 AD1，其余条件不变，如图，判断 BE 与 BF 的 位置关系，并求 BE+BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸 （3）如图，在ABC 中，ABAC，BACa，点 D 在边 BA 的延长线上，BDn，连接 DE，将线 段 DE 绕着点 D 顺时针旋转，旋转角EDFa，连接 BF，则 BE+BF 的值是多少？请用含有 n，a 的式 子直接写出结论 23（11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A，C（1，0），与 y 轴交于 点 B（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，过
11、点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 F，交直线 AB 于点 E， 作 PDAB 于点 D 当PDE 的周长最大时，求出点 P 的坐标； 连接 AP， 以 AP 为边在其右侧作正方形 APMN， 随着点 P 的运动， 正方形的大小、 位置也随之改变 则 当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点 P 的坐标 参考答案解析参考答案解析 一、选择题（一、选择题（3 分分1030 分）分） 1（3 分）3 的绝对值的相反数是（ ） A3 B3 C D 【分析】 根据绝对值的定义， 这个数在数轴上的点到原点的距离， 3 的绝对值为 3； 根据相反数的定义， 只有符号不同的两个数是互为相
12、反数，3 的相反数为3，进而得出答案即可 【解答】解：3 的绝对值为：|3|3， 3 的相反数为：3， 所以3 的绝对值的相反数是为：3， 故选：A 【点评】 此题考查了绝对值及相反数， 关键明确： 相反数的定义， 只有符号不同的两个数是互为相反数； 绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离 2（3 分）我国采取“一箭双星”方式，成功发射了北斗三号导航卫星第三、四颗组网卫星这两颗卫星 上均装载了我国自行研制的一台铷原子钟和一台氢原子钟其中氢钟的精度大约 1000 万年才误差一秒， 将数据 1000 万用科学记数法表示为（ ） A10107 B1107 C0.1107 D1000104 【分
13、析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是 正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：1000 万用科学记数法表示为 1107， 故选：B 【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3（3 分）将图（1）的正方体用阴影部分所在的平面切割后，剩下如图（2）所示的几何体，则该几何体 的俯视图为（ ） A B C D 【分析】
14、根据俯视图是从上面看到的图形判定则可 【解答】解：由题意知，该几何体的俯视图如下： 故选：B 【点评】本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键 4（3 分）不等式组的整数解有（ ） A6 个 B5 个 C4 个 D3 个 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案 【解答】解：解不等式 5x+91，得：x， 解不等式 1x2x8，得：x3， 则不等式组的解集为x3， 所以不等式组的整数解为1、0、1、2， 故选：C 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，注意要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小 中间找，大大小小解不了 5 （
15、3 分）将一副直角三角板按如图所示方式摆放在一起，其中，ABCMAN90，BAC45， N30，若 MNBA，则CAM 的度数为（ ） A10 B15 C20 D30 【分析】依据平行线的性质，即可得到MBAM60，再根据CAMBAMBAC 进行计算 即可 【解答】解：ABCMAN90，N30， M60， MNBA， MBAM60， CAMBAMBAC604515， 故选：B 【点评】本题考查了平行线的性质的运用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平 行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系 6（3 分）规定：“上升数”是一个右边数位上的数字比左边数位上的数字大的自然数（如 2
16、3，567，3467 等）一不透明的口袋中装有 3 个大小、形状完全相同的小球，其上分别标有数字 1，2，3，从袋中随 机摸出 1 个小球（不放回），其上所标数字作为十位上的数字，再随机摸出 1 个小球，其上所标数字作 为个位上的数字，则组成的两位数是上升数的概率为（ ） A B C D 【分析】画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，找出组成的两位数是上升数的结果数，然后根据概率 公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中组成的两位数是上升数的结果数为 3， 所以组成的两位数是上升数的概率 故选：C 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可
17、能的结果求出 n，再从中选 出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率 7 （3 分）如图，在ABC 中，按以下步骤作图：分别以点 B，C 为圆心，以大于BC 的长为半径作弧， 两弧相交于两点 M，N；作直线 MN 交 AB 于点 D，连接 CD如果 CDAC，ACB105，那么 B 的度数为（ ） A20 B25 C30 D35 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出 DCBD，再利用三角形外角的性质以及三角形内角和定理得 出即可 【解答】解：由题意可得：MN 垂直平分 BC， 则 DCBD， 故DCBDBC， DCAC， ACDA， 设B 为 x
18、，则BCDx，ACDA2x， 可得：x+2x+105180， 解得：x25， 即B25， 故选：B 【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，得出ACDA 是解题关键 8（3 分）如图，四边形 ABCE 内接于O，DCE50，则BOE（ ） A100 B50 C70 D130 【分析】根据圆内接四边形的性质求出A，根据圆周角定理计算即可 【解答】解：四边形 ABCE 内接于O， ADCE50， 由圆周角定理得，BOE2A100， 故选：A 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的 内对角是解题的关键 9（3 分）如图，点 A（m，
19、5），B（n，2）是抛物线 C1：yx22x+3 上的两点，将抛物线 C1向左平 移， 得到抛物线 C2， 点 A， B 的对应点分别为点 A， B 若曲线段 AB 扫过的面积为 9 （图中的阴影部分） ， 则抛物线 C2的解析式是（ ） Ay（x5）2+1 By（x2）2+4 Cy（x+1）2+1 Dy（x+2）2 2 【分析】由题意知，图中阴影部分的面积是平行四边形的面积，根据点 A、B 的坐标求得该平行四边形 的一高为 3，结合平行四边形的面积公式求得底边长为 3，即平移距离是 3，结合平移规律解答 【解答】解：yx22x+3（x2）2+1 曲线段 AB 扫过的面积为 9（图中的阴影部分
20、），点 A（m，5），B（n，2） 3BB9， BB3， 即将函数 y（x2）2+1 的图象沿 x 轴向左平移 3 个单位长度得到一条新函数的图象， 新图象的函数表达式是 y（x+1）2+1 故选：C 【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出线段 BB的长度是解题关键 10（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为，对角线 AC 和 BD 交于点 E，点 F 是 BC 边上一动点（不与 点 B，C 重合），过点 E 作 EF 的垂线交 CD 于点 G，连接 FG 交 EC 于点 H设 BFx，CHy，则 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A
21、 B C D 【分析】证明BEFCFH，可得，由此构建函数关系式即可解决问题 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， EBFECG45，ACBD，EBEC， EFEG， BECFEG90， BEFCEG， BEFCEG（ASA）， EFEG， EFG45， EFC45+CFH45+BEF， CFHBEF， BEFCFH， ， ， yx2+x（0 x ）， 故选：A 【点评】本题考查动点问题的函数图象，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题 二、填空题（二、填空题（3 分分515 分）分） 11（3 分）计算：（1
22、）2 4 【分析】直接利用负指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式1+3 4 故答案为：4 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 12（3 分）一元二次方程 x24x+30 的根为 x11，x23 【分析】根据所给方程的系数特点，可以利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，然后利用因式分 解法解答 【解答】解：x24x+30 因式分解得，（x1）（x3）0， 解得，x11，x23 故答案为：x11，x23 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为 0 后，方程的左边能 因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用
23、积为 0 的式子的特点解出方程的根因式分 解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用 13（3 分）在ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，AC 垂直于 BC，且 AB10cm，AD8cm，则 OB cm 【分析】根据平行四边形的性质得到 BCAD8cm，根据勾股定理求出 AC，得出 OC，再由勾股定理 求出 OB 即可 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， BCAD8cm，OBOD，OAOC， ACBC， AC6（cm）， OCAC3cm， OB（cm）； 故答案为： 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出 AC 得
24、出 OC 是解决问题的关键 14（3 分）如图，将半径为 1 的半圆 O，绕着其直径的一端点 A 顺时针旋转 30，直径的另一端点 B 的 对应点为 B，O 的对应点为 O，则图中阴影部分的面积是 【分析】 连接 OD、BD， 根据旋转变换的性质求出BAB， 根据等腰三角形的性质求出AOD， 根据勾股定理求出 AD，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可 【解答】解：连接 OD、BD， BAB30， AOD120， AB是半圆 O的直径， ADB90，又BAB30， BDAB1， 由勾股定理得，AD， 图中阴影部分的面积（1）+（1） ， 故答案为： 【点评】本题考查的是扇形面积计算、旋转的
25、性质，掌握扇形面积公式是解题的关键 15（3 分）如图，在 RtABC 中，AB3，BC4，点 P 为 AC 上一点，过点 P 作 PDBC 于点 D，将 PCD 沿 PD 折叠，得到PED，连接 AE若APE 为直角三角形，则 PC 【分析】当AEP90时，设 PCx，根据相似三角形的性质或三角函数用 x 表示出 PD、DC、DE， 证明ABEEPD，列比例式求出 x 即可 【解答】解：当AEP90时， 设 PCx，在 RtPDC 中，sinC，cosC， 所以 PD，CD PCD 沿 PD 折叠，得到PED， DECD BEBCCE4 在ABE 和EDP 中，BPDE， BAE+AEB90
26、，PED+AEB90， BAEPED ABEEPD ，即，解得 x 故答案为 【点评】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质及解直角三角形 三、解答题（共三、解答题（共 75 分）分） 16（8 分）先化简代数式（+），然后再选取一个你喜欢的数作为 x 的值代入求值 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案 【解答】解：原式 ， 由分式有意义的条件可知：x1 且 x0， 当 x3 时， 原式1 【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型 17 （9 分）为更精准地关爱留守学生，某学校将留守学生的各种情形分成四种类型：A由父母一方照看；
27、B由爷爷奶奶照看；C由叔姨等近亲照看；D直接寄宿学校某数学小组随机调查了一个班级，发 现该班留守学生数量占全班总人数的 20%，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图 （1）该班共有 10 名留守学生，B 类型留守学生所在扇形的圆心角的度数为 144 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）已知该校共有 2400 名学生，现学校打算对 D 类型的留守学生进行手拉手关爱活动，请你估计该校 将有多少名留守学生在此关爱活动中受益？ 【分析】（1）依据 C 类型的人数以及百分比，即可得到该班留守的学生数量，依据 B 类型留守学生所 占的百分比，即可得到其所在扇形的圆心角的度数； （2）依据 D 类型留
28、守学生的数量，即可将条形统计图补充完整； （3）依据 D 类型的留守学生所占的百分比，即可估计该校将有多少名留守学生在此关爱活动中受益 【解答】解：（1）220%10（人）， 100%360144， 故答案为：10，144； （2）102422（人）， 如图所示： （3）2400480（人）， 答：估计该校将有 480 名留守学生在此关爱活动中受益 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用读懂统计图，从统计图中得到必要的信息 是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据 18（9 分）如图，AB 为O 的直径，点 C 为 AB 上方的圆上一动点，过点 C 作O 的切线 l
29、，过点 A 作直 线 l 的垂线 AD，交O 于点 D，连接 OC，CD，BC，BD，且 BD 与 OC 交于点 E （1）求证：CDECBE； （2）若 AB4，填空： 当的长度是 时，OBE 是等腰三角形； 当 BC 2 时，四边形 OADC 为菱形 【分析】（1）先证明 OCDB，然后利用垂径定理，得到 DEBE，DECBEC90，又因为 EC EC，即可证出CDECBE； （2） 先证明OBE 为等腰直角三角形， 得到BOE 为 45， 连接 OD， 再用三线合一定理求出DOC 45，用弧长公式即可求出结果； 由菱形的性质可推出 DCAO2，由CDECBE，可知 CBCD2 【解答】（
30、1）证明：如图 1，延长 AD 交直线 l 于点 F， AD 垂直于直线 l， AFC90， 直线 l 为O 切线， OCF90， ADOC， AB 为O 直径， ADB90， OEB90， OCDB， DEBE，DECBEC90， 又CECE， CDECBE（SAS）； （2）如图 2，连接 OD， 当OBE 是等腰三角形时， 由（1）知OEB90， OEB 为等腰直角三角形， BOE45， ODOB，OEBD， DOCBOE45， AB4，OD2， ， 故答案为：； 当四边形 OADC 为菱形时， ADDCOCAO2， 由（1）知，CDECBE， BCDC， BC2， 故答案为：2 【点评
31、】本题考查了圆的相关性质，等腰直角三角形的性质，弧长公式，菱形的性质等，解答本题的关 键是熟练掌握圆的相关性质 19（9 分）如图，大楼 AC 的一侧有一个斜坡，斜坡的坡角为 30小明在大楼的 B 处测得坡面底部 E 处的俯角为 33，在楼顶 A 处测得坡面 D 处的俯角为 30已知坡面 DE20m，CE30m，点 C，D， E 在同一平面内，求 A，B 两点之间的距离（结果精确到 1m，参考数据：1.73，sin330.54， cos330.84，tan330.65） 【分析】 过 D 作 DFCE 于 F， DGAC 于 G， 则四边形 DGCF 是矩形， 根据矩形的性质得到 CGDF，
32、DGCF，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 D 作 DFCE 于 F，DGAC 于 G， 则四边形 DGCF 是矩形， CGDF，DGCF， 在 RtDFE 中，DEF30，DE20， DFDE10，EFDE10， CGDF10，DGCFCE+EF30+10， 在 RtCEB 中，BEC33，CE30， BCCEtan33300.6519.5， BGBCCG9.5， 在 RtADG 中，ADG30，DG30+10， AG27.5m， AB18m， 答：A，B 两点之间的距离为 18m 【点评】此题是解直角三角形的应用仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地 构建出直角三角
33、形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键 20（9 分）如图，网格线的交点称为格点双曲线 y与直线 yk2x 在第二象限交于格点 A （1）填空：k1 2 ，k2 2 ； （2）双曲线与直线的另一个交点 B 的坐标为 （1，2） ，在图中标出来； （3）在图中仅用直尺、2B 铅笔画ABC，使其面积为 2|k1|，其中点 C 为格点 【分析】（1）由待定系数，将点 A（1，2）代入两个表达式，直接可求 （2） 利用双曲线与正比例函数都关于坐标原点对称， 所以交点也关于原点对称， 利用对称性直接求点 B （3）在网格中直接找到 C 点 【解答】解：（1）由图直接可得 A（1，2），
34、 将点 A（1，2）分别代入双曲线 y和直线 yk2x， 可得 k12，k22， （2）因为双曲线与正比例函数都是中心对称图形， 由对称性可知，它们的另一个交点于点 A（1，2）关于坐标原点对称， 另一交点（1，2）； 图中 B 点即是 （3）k12， 2|k1|4， 满足条件的点 C 有四个，如图所示 【点评】考查知识点：待定系数法确定函数解析式；函数的对称性，结合点的对称性，求交点坐标解 题关键，熟练掌握正比例函数和反比例函数图象特点，注意数形结合思想的应用 21（10 分）某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元，经 市场调查，每天的销售量
35、y（千克）与每千克售价 x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价 x（元/千克） 50 60 70 销售量 y（千克） 100 80 60 （1）求 y 与 x 之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为 W（元），求 W 与 x 之间的函数表达式（利润收入成本）； （3）试说明（2）中总利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最 大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意可以设出 y 与 x 之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得 y 与 x 之间 的函数表达式； （2）根据题意可以写出 W 与 x 之间的函数表达式； （3）根据（2）中的
36、函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于 成本，且不高于 80 元，即可得到利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，以及售价为多少元时获得最大 利润，最大利润是多少 【解答】解：（1）设 y 与 x 之间的函数解析式为 ykx+b（k0）， ， 得， 即 y 与 x 之间的函数表达式是 y2x+200； （2）由题意可得， W（x40）（2x+200）2x2+280 x8000， 即 W 与 x 之间的函数表达式是 W2x2+280 x8000； （3）W2x2+280 x80002（x70）2+1800，40 x80， 当 40 x70 时，W 随 x
37、 的增大而增大，当 70 x80 时，W 随 x 的增大而减小， 当 x70 时，W 取得最大值，此时 W1800， 答：当 40 x70 时，W 随 x 的增大而增大，当 70 x80 时，W 随 x 的增大而减小，售价为 70 元时获 得最大利润，最大利润是 1800 元 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函 数的性质和二次函数的顶点式解答 22（10 分）观察猜想 （1）如图，在 RtABC 中，BAC90，ABAC3，点 D 与点 A 重合，点 E 在边 BC 上，连接 DE，将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90得到线段 DF，
38、连接 BF，BE 与 BF 的位置关系是 BFBE ， BE+BF BC ； 探究证明 （2）在（1）中，如果将点 D 沿 AB 方向移动，使 AD1，其余条件不变，如图，判断 BE 与 BF 的 位置关系，并求 BE+BF 的值，请写出你的理由或计算过程； 拓展延伸 （3）如图，在ABC 中，ABAC，BACa，点 D 在边 BA 的延长线上，BDn，连接 DE，将线 段 DE 绕着点 D 顺时针旋转，旋转角EDFa，连接 BF，则 BE+BF 的值是多少？请用含有 n，a 的式 子直接写出结论 【分析】（1）只要证明BAFCAE，即可解决问题； （2）如图中，作 DHAC 交 BC 于 H
39、利用（1）中结论即可解决问题； （3）如图中，作 DHAC 交 BC 的延长线于 H，作 DMBC 于 M只要证明BDFHDE，可证 BF+BEBH，即可解决问题； 【解答】解：（1）如图中， EAFBAC90， BAFCAE， AFAE，ABAC， BAFCAE， ABFC，BFCE， ABAC，BAC90， ABCC45， FBEABF+ABC90，BCBE+ECBE+BF， 故答案为 BFBE，BC （2）如图中，作 DHAC 交 BC 于 H DHAC， BDHA90，DBH 是等腰直角三角形， 由（1）可知，BFBE，BF+BEBH， ABAC3，AD1， BDDH2， BH2， B
40、F+BEBH2； （3）如图中，作 DHAC 交 BC 的延长线于 H，作 DMBC 于 M ACDH， ACHH，BDHBAC， ABAC， ABCACB DBHH， DBDH， EDFBDH， BDFHDE， DFDE，DBDH， BDFHDE， BFEH， BF+BEEH+BEBH， DBDH，DMBH， BMMH，BDMHDM， BMMHBDsin BF+BEBH2nsin 【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数等知 识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题 23（11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物
41、线 yx2+bx+c 与 x 轴交于点 A，C（1，0），与 y 轴交于 点 B（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 F，交直线 AB 于点 E， 作 PDAB 于点 D 当PDE 的周长最大时，求出点 P 的坐标； 连接 AP， 以 AP 为边在其右侧作正方形 APMN， 随着点 P 的运动， 正方形的大小、 位置也随之改变 则 当顶点 M 或 N 恰好落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点 P 的坐标 【分析】（1）把点 B、C 的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可； （2）根据
42、点 A、B 的坐标求出 OAOB，从而得到AOB 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的 性质可得BAO45，然后求出PED 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD 越大， PDE 的周长最大，再判断出当与直线 AB 平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD 最大，再求出直线 AB 的解析式为 yx3，设与 AB 平行的直线解析式为 yx+m，与抛物线解析式联立消掉 y，得到 关于 x 的一元二次方程，利用根的判别式0 列式求出 m 的值，再求出 x、y 的值，从而得到点 P 的坐 标； 先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点 M 在对称轴上时，过点 P 作 PQ对称轴于 Q，根据同角
43、的 余角相等求出APFQPM，再利用“角角边”证明APF 和MPQ 全等，根据全等三角形对应边相 等可得 PFPQ， 设点 P 的横坐标为 n， 表示出 PQ 的长， 即 PF， 然后代入抛物线解析式计算即可得解； （ii）点 N 在对称轴上时，同理求出APF 和ANQ 全等，根据全等三角形对应边相等可得 PFAQ， 根据点 A 的坐标求出点 P 的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点 P 的坐标 【解答】解：（1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 B（0，3），C（1，0）， ， 解得， 所以，抛物线的解析式为 yx2+2x3； （2）把 y0 代入解析式可得： x11，x23，
44、 A（3，0）， B（0，3）， OAOB3， AOB 是等腰直角三角形， BAO45， PFx 轴， AEF904545， 又PDAB， PDE 是等腰直角三角形， PD 越大，PDE 的周长越大， 易得直线 AB 的解析式为 yx3， 设与 AB 平行的直线解析式为 yxm， 联立， 消掉 y 得，x2+3x+m30， 当3241（m3）0， 即 m时，直线与抛物线只有一个交点，PD 最长， 此时 x，y， 点 P（，）时，PDE 的周长最大； 抛物线 yx2+2x3 的对称轴为直线 x1， （i）如图 1，点 M 在对称轴上时，过点 P作 PQ对称轴于 Q， 在正方形 APMN 中，AP
45、PM，APM90， APF+FPM90，QPM+FPM90， APFQPM， 在APF 和MPQ 中， ， APFMPQ（AAS）， PFPQ， 设点 P的横坐标为 n（n0），则 PQ1n， 即 PF1n， 点 P的坐标为（n，1+n）， 点 P在抛物线 yx2+2x3 上， n2+2n31+n， 整理得，n2+n40， 解得 n1 （舍去），n2， 1+n ， 所以，点 P 的坐标为（，）； （ii）如图 2，点 N 在对称轴上时，设抛物线对称轴与 x 轴交于点 Q， PAF+FPA90，PAF+QAN90， FPAQAN， 又PFAAQN90，PAAN， APFNAQ， PFAQ， 设点
46、 P坐标为 P（x，x2+2x3）， 则有 x2+2x3132， 解得 x1（不合题意，舍去）或 x1， 此时点 P 坐标为（1，2） 综上所述，当顶点 M 恰好落在抛物线对称轴上时，点 P 坐标为（，），当顶点 N 恰好 落在抛物线对称轴上时，点 P 的坐标为（1，2） 【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定 与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，（2）确定出PDE 是等 腰直角三角形， 从而判断出点 P 为平行于 AB 的直线与抛物线只有一个交点时的位置是解题的关键，（3） 根据全等三角形的性质用点 P 的横坐标表示出纵坐标或用纵坐标求出横坐标是解题的关键