1、 确定圆的条件及直线与圆的位置关系 第15讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1. 确定圆的条件 2. 直线与圆的位置关系 教学目标 1、掌握确定圆的条件 2、掌握直线与圆的位置关系 教学重点 能熟练掌握确定圆的条件及直线与圆的位置关系 教学难点 能熟练掌握确定圆的条件及直线与圆的位置关系 【教学建议】【教学建议】 本节课的内容在圆这一章中，占有重要的地位，也是中考中的必考内容。教师在教学中要让学生亲自 动手去画一画，发现确定圆的条件以及三角形的外心是怎们确定的。对于切线的性质与切线的判定是中考 中的热点问题，要以典例引领，帮助
2、学生形成有效的解题策略（解题模型）。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1. 确定圆的条件的探索； 2. 切线的性质； 3.切线的判定。 【知识导图】【知识导图】 确定圆的条件及直线与圆的位置关系 确定圆的条件 直线与圆的位置关系 确定圆的条件 三角形的外接圆和外心 切线的性质 切线的判定 三角形的内切圆 三角形的内心 概述 教学过程 一、导入 【教学建议】【教学建议】 本节内容属于中考数学的必考内容，尤其以切线的性质与切线的判定出现的次数最多。在教学中，教师需 要帮助学生理清切线的性质和切线的判定的使用条件和常用的解题模型。如有可能最好给学生补充弦切角 定理及其逆定理（使用时须证
3、明），这样可以拓宽学生的解题思路。 1.不在同一条直线上的三个点确定一个圆； 2.一个三角形能画一个外接圆，一个圆中有无数个内接三角形。 3.三角形的外接圆与外心 示意图 点和圆的位置关系 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外 接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外 心从三角形外心的定义知:三角形的外心到三角形的三个顶点的距离 相等 如图,分别作出线段 AB 的垂直平分线 l1和线段 BC 的垂直平分线 l2,设 它们的交点为 O,则 OAOBOC 于是以点 O 为圆心,OA(或 OB、 OC) 为半径,便可作出经过 A、B、C 三点的圆因为过
4、 A、B、C 三点的圆 的圆心只能是点 O,半径等等于 OA,所以这样的圆只有一个 过一点可以作 圆；过两点可以作 圆；并且这些圆的在以这两点为端点的 上；过三点可以作 圆 的三个确定一个圆 1.直线和圆有几种位置关系 二、知识讲解 知识点 1 确定圆的条件 知识点 2 直线与圆的位置关系 如图（a），直线 L 和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个 点叫做切点 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离 2.切线的判定和性质 1、切线的性质定理圆的切线垂直于
5、过切点的半径 2、推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点，经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 3、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4.弦切角定理及其逆定理 弦切角定理(需证明) 弦切角的定义 顶点在圆上,并且一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角 弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹得弧所对得圆心角得一半,等于它所交得 弧所对得圆周角得度数 如图所示,线段 PT 所在的直线切圆 O 于点 C,BC、AC 为圆 O 的弦,TCB、TCA、 PCA、PCB 都为弦切角 证明过程略. 弦切角定理逆定理(需证明) l l (a)(b) 相离 相切相交 (c)
6、 l 弦切角定理逆定理 如右图,在ABC 的形外作PAB=BCA,则 PA 是ABC 的外接圆的切线. 证明:只要用切线的定义,要证 AP 垂直于过 切点的半径,先作过 A 点的直径,连接 DB,则 DBA=90,D=C=PAB,所以PAD= DAB+PAB=DAB+D=90. 所以 PA 是圆 O 的切线. 【题干】小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,） 小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ） A. 第块 B. 第块 C. 第块 D. 第块 【答案】【答案】B 【解析】【解析】不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 【题干】【题干】如图，有一
7、个三角形池塘，在它的三个顶点 A，B，C 处均有一棵白杨树，现设想把三角形池塘扩 建成圆形的养鱼池，但必须保持白杨树不动，请问能否实现这一设想？若能，请设计并画出图形；若不能， 请说明理由 三、例题精析 例题 1 例题 2 【答案】【答案】白杨树保持不变，则 A，B，C 三点必须在圆上，因此，就是作ABC 的外接圆 【解析】【解析】白杨树保持不变，则 A，B，C 三点必须在圆上，因此，就是作ABC 的外接圆 解：能作法如下： (1)分别作 BC，AC 的垂直平分线，设这两条垂直平分线的交点为 O； (2)以 O 为圆心，OA 长为半径作圆 如图中的O 即为所求的圆形养鱼池 【题干】【题干】如图
8、，AD 为ABC 外接圆的直径，ADBC，垂足为 F，ABC 的平分线交 AD 于点 E，连接 BD， CD. (1) 求证：BDCD; (2) 请判断 B，E，C 三点是否在以点 D 为圆心，DB 长为半径的圆上，并说明理由 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)证明：AD 为直径，ADBC， BFCF，BDCD. (2)B，E，C 三点在以点 D 为圆心，DB 长为半径的圆上理由如下： 由(1)知， BADCBD. BE 平分ABC，CBEABE. DBECBDCBE，DEBBADABE， DBEDEB，DBDE. 由(1)知 BDCD， 例题 3 DBDEDC. B，E，C 三点
9、在以点 D 为圆心，DB 长为半径的圆上 【题干】【题干】如图，AB为O 的弦，C为劣弧AB的中点， （1）若O 的半径为 5，AB=8，求tanBAC； （2）若DACBAC，且点D在O 的外部，判断AD与O 的位置关系，并说明理由 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）如图，AB 为O 的弦，C 为劣弧 AB 的中点，AB=8，OCAB 于 E，AE 1 2 AB4， 又AO=5，OE 22 OAAE3，CE=OC-OE=2，在 RtAEC 中，tanBAC 21 42 EC AE ； （2） AD 与O 相切 理由如下： OA=OC， C=OAC， 由 （1） 知 OCAB， C
10、+BAC=90 又 BAC=DAC，OAC+DAC=90，AD 与O 相切 【题干】【题干】如图，AC 是O 的直径，PB 切O 于点 D，交 AC的延长线于点 B，且DABB （1）求B 的度数； （2）若 BD9，求 BC 的长 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：（1）连结 ODPB 切O 于点 D，ODPB OA=OD，COD=2A，而A=B， 例题 4 例题 5 COD=2B 在 RtBOD 中，B=30 （2）在 RtBOD 中，BD=9，OD=OC=33，OB=63 BC=33. 【题干】【题干】如图，AB 是O 的直径，点 F，C 是O 上两点，且 = = ，连接 A
11、C，AF，过点 C 作 CDAF 交 AF 延长线于点 D，垂足为 D 求证：CD 是O 的切线； 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：连结 OC，如图， = ，FAC=BAC， OA=OC，OAC=OCA，FAC=OCA，OCAF， CDAF，OCCD，CD 是O 的切线； 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习。 1.下列四个命题正确的有( ) 经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； 例题 6 四 、课堂运用 基础 任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三
12、角形；三角形的外心到该三角形三个顶点的 距离相等 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】B 【解析】【解析】根据相关结论易得。 2.直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是_ 【答案】【答案】10 或 8 【解析】【解析】提示：因为斜边未知，所以分两种情况，然后根据直角三角形的外心是斜边的中点，等于斜边的 一半即可得。 3.已知： O 的半径为 2cm， 圆心到直线 l 的距离为 1cm， 将直线 l 沿垂直于 l 的方向平移， 使 l 与O 相切， 则平移的距离是（ ） A1cm B3cm 或 2cm C3cm D1cm 或 3cm 【答案】【答案
13、】D 【解析】【解析】提示：注意分两种情况。 4.如图，在平面直角坐标系中，过格点 A，B，C 作一圆弧，点 B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切 的是（ ） A点（0，3） B点（2，3） C点（5，1） D点（6，1） 【答案】【答案】C 【解析】【解析】提示：先找圆心，然后连接过 B 点的半径，最后过 B 点作垂线即可得。 5.下列四个命题：与圆有公共点的直线是该圆的切线；到圆心的距离等于该圆半径的直线是该圆的切 线；垂直于圆的半径的直线是该圆的切线；过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是该圆的切线其 中正确的是( ) A B C D 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据切线的判定
14、即可得。 6.如图，ABC 中，CA=CB，以 BC 为直径的半圆 O 交于 AB 于 D，DEAC 于 E求证：DE 是半圆 O 的 切线 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】连接 OD，如图所示， AC=BC，A=ABC， OD=OB，OBD=ODB，ODB=A，ODAC， 又DEAC，CED=90，ODG=90，ODEG， DE 是O 的切线 1.ABC 为O 的内接三角形，若AOC160，则ABC 的度数是( ) A80 B160 C100 D80或 100 巩固 【答案】【答案】D 【解析】【解析】注意分类讨论 2.已知O 的半径 r=3，设圆心 O 到一条直线的距离为 d，圆上
15、到这条直线的距离为 2 的点的个数为 m，给 出下列命题： 若 d5，则 m=0；若 d=5，则 m=1；若 1d5，则 m=3；若 d=1，则 m=2；若 d1，则 m=4 其中正确命题的个数是（ ） A1 B2 C4 D5 【答案】【答案】C 【解析】【解析】根据直线与圆的位置关系即可得。 3.如图，AB 是O 的切线，B 为切点，AO 与O 交于点 C，若BCA=115，则A 的度数为（ ） A40 B45 C50 D55 【答案】【答案】A 【解析】【解析】根据切线的性质和三角形内角和定理即可得。 4.如图，ABC 为等腰三角形，AB=AC，O 是底边 BC 的中点，O 与腰 AB 相
16、切于点 D，求证：AC 与O 相切 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】连接 OD，过点 O 作 OEAC 于 E 点， 则OEC=90， AB 切O 于 D，ODAB，ODB=90，ODB=OEC； 又O 是 BC 的中点，OB=OC， AB=AC，B=C，OBDOCE， OE=OD，即 OE 是O 的半径， AC 与O 相切 5.如图，D 为O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，CDA=CBD 求证：CD 是O 的切线。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】证明：连 OD，OE，AB 为直径，ADB=90，即ADO+1=90，又CDA=CBD， 而CBD=1，1=CDA，C
17、DA+ADO=90，即CDO=90，CD 是O 的切线； 6.如图，RtABC 中，C=90，ABC 的内切圆O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F （1）求证：四边形 ODCE 是正方形； （2）若 BC=5、AC=12，O 的半径为 R，求 R 的值 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）证明：ABC 的内切圆O 与 BC，CA，AB 分别相切于点 D，E，F， OEAC，ODBC，OFAB， OED=ODE=90，OE=OD， C=90， 四边形 ODCE 是正方形； （2）解：BC=5，AC=12，由勾股定理得：AB=13， 连接 OA、OB、OC、OF， SABC
18、=SAOB+SAOC+SBOC， ACBC= ABOF+ ACOE+ BCOD， 512=13R+12R+5R， R=2 答：R 的值是 2 拔高 1.如图，O 的直径 AB 为 6，弦 AC 的长为 2，ACB 的平分线交O 于点 D，求四边形 ADBC 的面积 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】AB 是直径，ACBADB90. 在 RtABC 中，AB6，AC2， BC AB 2AC2 62224 2. ACB 的平分线交O 于点 D， DCABCD， ，ADBD. 在 RtABD 中，ADBD 2 2 AB3 2， 四边形 ADBC 的面积SABCSABD1 2ACBC 1 2AD
19、BD 1 224 2 1 2(3 2) 294 2. 2.已知圆心 O 到直线 m 的距离为 d，O 的半径为 r （1）当 d、r 是方程 x 2-9x+20=0 的两根时，判断直线 m 与O 的位置关系? （2）当 d、r 是方程 x 2-4x+p=0 的两根时，直线 m 与O 相切，求 p 的值 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】 解：（1）解方程 x2-9x+20=0 得 d=5 r=4 或 d=4 r=5 当 d=5 r=4 时 ，dr ，此时直线 m 与o 相离 当 d=4 r=5 时 ，dr ，此时直线 m 与o 相交 （2）当直线 m 与o 相切时，d=r 0416p p
20、=4 3.已知 AB 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的动点，点 D 是线段 AB 延长线上的动点，在运动过程中， 保持 CD=OA （1）当直线 CD 与半圆 O 相切时（如图），求ODC 的度数； （2）当直线 CD 与半圆 O 相交时（如图），设另一交点为 E，连接 AE，若 AEOC， AE 与 OD 的大小有什么关系？为什么？ 求ODC 的度数 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）如图，连接 OC， OC=OA，CD=OA， OC=CD，ODC=COD， CD 是O 的切线， OCD=90，ODC=45； （2）如图，连接 OE CD=OA，CD=OC=OE=OA
21、， 1=2，3=4 AEOC， 2=3 设ODC=1=x，则2=3=4=x AOE=OCD=180-2x AE=OD理由如下： 在AOE 与OCD 中， OAOC AOEOCD OECD AOEOCD（SAS）， AE=OD 6=1+2=2x OE=OC，5=6=2x AEOC，4+5+6=180，即：x+2x+2x=180， x=36ODC=36 4.如图，在ABC 中，C=90，AD 是BAC 的平分线，O 是 AB 上一点，以 OA 为半径的O 经过点 D。 （1）求证：BC 是O 切线； （2）若 BD=5，DC=3，求 AC 的长。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）证明
22、:连接 OD OA=OD AD 平分BAC ODA=OAD OAD=CAD ODA=CAD OD/AC ODB=C=90 BC 是O 的切线 （2）过 D 点作 AB 的垂线段 DE DE=DC=3，BD=5， 则 BE=4， 又AE=AC，在直角ABC 中运用勾股定理，设 AC=x，则 x+8=(x+4)解得：x=6， AC=6 5.如图，AB 是O 的弦，OPOA 交 AB 于点 P，过点 B 的直线交 OP 的延长线于点 C，且 CP=CB O A CDB （1）求证：BC 是O 的切线； （2）若O 的半径为5，OP=1，求 BC 的长 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）连
23、接 OB，如图， OPOA， AOP=90， A+APO=90， CP=CB， CBP=CPB， 而CPB=APO， APO=CBP， OA=OB， A=OBA， OBC=CBP+OBA=APO+A=90， OBBC， BC 是O 的切线； （2）设 BC=x，则 PC=x， 在 RtOBC 中，OB=5，OC=CP+OP=x+1， OB 2+BC2=OC2， （5） 2+x2=（x+1）2， 解得 x=2， 即 BC 的长为 2 6.已知：如图，ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 P，PDAC 于点 D （1）求证：PD 是O 的切线 （2）若CAB=120，AB=
24、2，求 BC 的长 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）连接 AP，因为 AB 为直径，所以APB=90，APBC，因为 AB=AC，所以 BP=CP，又因为 AO=BO，所以 OPAC，因为 PDAC，所以 PDOP又因为 OP 是半径，所以 PD 是O 的切线 （2）因为 APBC，AB=AC，CAB=120，所以PAB=PAC=60，所以B=30，在 RtAPB 中，因 为 AB=2，所以 AP=1，PB=，所以 BC=2BP=2即 BC 的长是 2 1. 确定圆的条件 （1）确定圆的条件； （2）三角形的外接圆。 2. 直线与圆的位置关系 （1）切线的性质； （2）切线的判定
25、； （3）三角形的内切圆和内心。 1. 如图， 若锐角三角形ABC内接于O， 点D在O外(与点C在AB同侧), 则下列三个结论： sinCsinD； 课堂小结 拓展延伸 基础 cosCcosD；tanCtanD，其中正确的结论为( ) A B C D 【答案】【答案】D 【解析】【解析】根据相关结论易得。 2. 如图，AB 是O 的弦，点 C 在过点 B 的切线上，且 OCOA，OC 交 AB 于点 P，已知OAB22， 则OCB_ 【答案答案】44 【解析解析】连接 OB，OAOB，OBAA22 ，AOB180 222 136 ；又OCOA，BOC 136 90 46 ；BC 切O 于点 B
26、，OBBC，OCB90 BOC90 46 44 3.如图，点 A，B，D 在O 上，A20，BC 是O 的切线，B 为切点，OD 的延长线交 BC 于点 C， OCB 度. P C O A B P C O A B 【答案答案】50 【解析解析】B0D2A，A20， BOD40 又BC 与O 相切 BCOB，OBC90 OCB50 4.如图， 在ABC 中， ABC=90， 以 AB 为直径的O 与 AC 边交于点 D， 过点 D 的直线交 BC 边于点 E， BDE=A （1）判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由 （2）若O 的半径 R=5，若 BC:AB=3：4，求线段 CD 的长
27、【答案答案】见解析 【解析解析】（1）直线 DE 与O 相切 理由如下：连接 OD OA=OD ODA=A 又BDE=A ODA=BDE AB 是O 直径 ADB=90 即ODA+ODB=90 BDE+ODB=90 ODE=90 ODDE DE 与O 相切； （2）R=5， AB=10， 在 RtABC 中 BC:AB=3：4 BC =10 = ， AC= ABBC=ACBD CD=45 5.如图，四边形 OABC 是平行四边形，以 O 为圆心，OA 为半径的圆交 AB 于 D，延长 AO 交O 于 E，连 接 CD，CE，若 CE 是O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是O 的切线
28、； （2）若平行四边形 OABC 的两边长是方程 2 16600 xx的两根，求平行四边形 OABC 的面积 【答案答案】见解析 【解析解析】证明：（1）连 OD，CE 是O 的切线， OEC=90O ，OD=OA，ODA=OAD，又 OC/AD OAD =EOC，DOC=ODA，EOC=DOC， 又OD=OE，OC=OC， ODCOEC （SAS） ODC=OEC=90 O， CD 是O 的切线。 （2） 2 16600 xx， 12 10,6xx，即 OC=10，OA=6 在 RtODC， CD=8 ODCOEC ， CE=CD=8 平行四边形 OABC 的面积 S=OACE=68=48
29、6.如图，在ABC 中，CAB=90，CBA=50，以 AB 为直径作O 交 BC 于点 D，点 E 在边 AC 上，且 满足 ED=EA （1）求DOA 的度数； （2）求证：直线 ED 与O 相切 【答案答案】见解析 【解析解析】证明：（1）DBA=50，DOA=2DBA=100； （2）证明：连接 OE， 在EAO 和EDO 中， AO=DO，EA=ED，EO=EO， EAOEDO， 得到EDO=EAO=90， 直线 ED 与O 相切 1.如图， 在圆O中， AB为直径， AD为弦， 过点B的切线与AD的延长线交于点C,AD=DC,则C= 度. 【答案答案】45 0 【解析】AB 为直径
30、，ADB=90 0,AD=DC,AB=BC,BC 为圆 O 的切线,ABBC,ABC 是等 腰直角三角形，C=45 0. 2.如图，在 RtABC 中，ACB=90，以 AC 为直径作O 交 AB 于点 D，连接 CD （1）求证：A=BCD； （2）若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与O 相切？并说明理由 【答案答案】见解析 【解析】（1）证明：AC 为直径， O D CB A 巩固 ADC=90， A+DCA=90， ACB=90， DCB+ACD=90， DCB=A； （2）当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与O 相切； 解：
31、连接 DO， DO=CO，1=2， DM=CM，4=3， 2+4=90，1+3=90，直线 DM 与O 相切， 故当 MC=MD（或点 M 是 BC 的中点）时，直线 DM 与O 相切 3.图，正方形ABCD的边长为 8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点 P 为圆心， PM 长为半径作P.当P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 【答案答案】3 或34 【解析】由题意知，BM=4，分两种情况，（1）与 CD 相切时，设 PM=PC=x，由勾股定理得，x 2=42(8 x) 2,解得 x=5,所以 BP=3；（2）与 AD 相切时，PM=8，由勾股定理得，BP2=82
32、42，即 BP= 34。 4.已知：如图ABC 中，AC=BC，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEAC 于 E，交 BC 的延 长线于点 F A B C D F E O 求证：（1）AD=BD； （2）DF 是O 的切线 【答案答案】见解析 【解析】证明：（1）连接 CD， BC 为O 的直径， CDAB AC=BC， AD=BD （2）连接 OD； AD=BD，OB=OC， OD 是BCA 的中位线，ODAC DEAC，DFOD OD 为半径，DF 是O 的切线 5.如图，PA 是O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连接 PB、PC，PC 交 AB 于
33、点 E，且 PAPB. （1）求证：PB 是O 的切线； （2）若APC3BPC，求 CE PE 的值. 【答案答案】见解析 【解析】 （1） 证明： 方法一:分别连接 OB， OP， 在OAP 和OBP 中， OAOB OPOP APBP ， OAPOBP(SSS)， OBPOAP，PA 是O 的切线，OBPOAP90，PB 是O 的切线. 方法二：连接 OB. PA 是O 的切线，PAO90. OAOB，PAPB， OABOBA， PABPBA. PBOPAO90， PB 是O 的切线. 连接 BC，设 AB 与 OP 交于点 F， AC 是O 的直径，ABC90， PA，PB 是O 的切
34、线， PO 垂直平分 AB， PO 平分APB . OPBC， OPCPCB. APC3BPC， OPCCPB， PCBCPB. CBBP 设OFt，则 CBBP2t， 由PBFPOB，得 PB 2PFPO. 即(2t) 2 PF(PFt). 解得 PF 117 2 t .(取正值) PFECBE， PEPF CEBC ， PE CE PF BC 171 4 . 6.如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，且交O 于 点 E连接 OC，BE，相交于点 F （1）求证：EFBF （2）若 DC4，DE2，求直径 AB 的长 【答案答案】见解析 【
35、解析解析】（1）AB 为O 的直径，AEB90DEF90 DC 与O 相切于点 C，DCO90ADCD，D90DEFDCO 四边形 CDEF 是矩形EFC90OCBEEFBF （2）四边形 CDEF 是矩形EFCD4，CFDE2 由（1），EFBFBF4 设O 的半径为 r，则 OBr，OFr2 在 RtOBF 中，根据勾股定理可得，OF 2BF2OB2 (r2) 242r2r5AB10 1.如图，AB、AC 分别是O 的直径和弦，ODAC 于点 D，过点 A 作O 的切线与 OD 的延长线交于点 P， D E A O B F C 拔高 PC、AB 的延长线交于点 F （1）求证：PC 是O
36、的切线； （2）若ABC60，AB10，求线段 CF 的长 【答案答案】见解析 【解析】（1）证明：连接 OC， ODAC，OD 经过圆心 O， ADCD， PAPC， 在OAP 和OCP 中， ， OAPOCP（SSS）， OCPOAP PA 是半O 的切线， OAP90 OCP90， 即 OCPC PC 是O 的切线 （2）解：AB 是直径， ACB90， ABC60， COF60， PC 是半O 的切线，AB10， OCPF，OCOBAB5， OF10， CF35 2.如图，在以线段 AB 为直径的O 上取一点 C，连接 AC、BC将ABC 沿 AB 翻折后得到ABD （1）试说明点 D
37、 在O 上； （2）在线段 AD 的延长线上取一点 E，使 AB 2ACAE求证：BE 为O 的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段 AE、CB 相交于点 F，若 BC2，AC4，求线段 EF 的长 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）点 C 在以线段 AB 为直径的O 上，ACB90， 将ABC 沿 AB 翻折后得到ABD，ADBACB90， 点 D 在O 上 （2）由轴对称性质得：DABCAB， 又AB 2ACAE， AB AC AE AB ， A D C F E B O 在ABC 和AEB 中， AB AC AE AB ，DABCAB，ABCAEB， ABEACB90， BE
38、为O 的切线 （3）设 EFx， BC2，AC4，由轴对称的性质得 BDBC2，ADAC4， 在 RtABC 中，由勾股定理得：AB 22 BCAC 22 24 52， AB 2ACAE，AE5，DEAEAD541， 在 RtABE 中，由勾股定理得：BE 22 ABAE 2 2 525 5， ABEACB90，FBEABC90，CABABC90，FBECAB， 又DABCAB，FBEDAB， 在EBF 和BAF 中，FBEDAB，BFEAFB，EBFBAF， 2 1 52 5 AB BE BF EF ，即 BF2EF2x， 在 RtBDF 中，由勾股定理得：BD 2DF2EF2，即 4（1x
39、）24x2解得 x 1 6 13 ，x2 2 1 （舍）， 答：线段 EF 的长为 6 13 3.如图，在ABC 中，O 为 AC 上一点，以点 O 为圆心，OC 为半径作圆，与 BC 相切于点 C，过点 A 作 ADBO 的延长线于点 D，且AODBAD （1）求证：AB 为O 的切线； （2）若 BC6，tanABC4 3，求 AD 的长 【答案答案】见解析 【解析解析】如图，作 OEAB 于 E 因为O 与BC相切于点C，所以 ACBC， 因为AODBAD，所以OADABD， 因为OADOBC，所以ABDOBC，所以 OEOC， 所以点 E 在O 上，即AB为O 的切线 （2）由 4 6
40、 tan 3 BCABC，得 BE6，AC8，AB10，AE4 令 OE OCx，则在 RtAEO 中，（8x） 242x2，x3，所以 BO3 5 因为 ABOEOBAD，1033 5AD，所以 AD2 5 （或：AOBCOBAD，563 5AD， AD2 5） 4.如图，ABC 内接于O，ABAC，BAC36，过点 A 作 ADBC，与ABC 的平分线交于点 D， BD 与 AC 交于点 E，与O 交于点 F （1）求DAF 的度数； （2）求证：AE 2EFED； （3）求证：AD 是O 的切线 【答案答案】见解析 【解析】（1）解：ABAC，BAC36，BD 平分ABC，ABDDBC3
41、6，C72 ADBC，DACC72FACFBC36，DAF36 （2）证明：ADBC，DDBCDBCFAE，DFAE 在DAE 和AFE 中， ， ， DEAAEF FAED DAEAFE， AE ED EF AE ，AE 2EFED 图15 E D O B C A A D O B C E F （3）证明：连接 AO、OB、OC，延长 AO 交 BC 于点 P ,ACAB OAOA OCOB ， ， OABOAC (SSS)，BAOCAO，APBC ADBC，OAAD，AD 是O 的切线 5.如图，在 RtABC 中，C90，BE 平分ABC 交 AC 于点 E，作 EDEB 交 AB 于点
42、D，O 是 BED 的外接圆 （1）求证：AC 是O 的切线； （2）已知O 的半径为 2.5，BE4，求 BC，AD 的长 【答案答案】见解析 【解析】 (1)连接 OE，OBOE，OBEOEB BE 平分ABC，OBEEBC OEBEBC OEBC 又C90，OEA90，即 ACOE 又OE 是O 的半径，AC 是O 的切线 ()在BCE 与BED 中， CBED90，EBCDBE， BCEBED P A D B C E F O BEBC BDBE ， BE4，BD 是O 的直径， BD5， 4 54 BC ，BC= 16 5 ， 又OEBC， AOOE ABBC ， AO=AD+2.5，
43、AB=AD+5， 2.52.5 16 5 5 AD AD ，解得 AD= 45 7 . 6.如图，已知 D、E 分别为ABC 的边 AB、BC 上两点，点 A、C、E 在D 上，点 B、D 在E 上，点 F 为BD上一点，连接 EF 并延长交 AC 的延长线于点 N，交 AB 于点 M （1）若EBD 为，请将CAD 用含的代数式表示； （2）若 EM=MB，请说明当CAD 为多少度时，直线 EF 为D 的切线； （3）在（2）的条件下，若 AD=3，求 MN MF 的值 【答案答案】见解析 【解析】（1）连接 CD、DE DE=EB，EDB=EBDCED=EDB+EBD=2 同理，CDB=2
44、CADDC=DE，DCE=CED =2 N M F E D C B A DCE+CED+CDE=180，即 2CAD+2+2=180， CAD= 3 90 2 （2）当 EM=MB 时，MEB=MBE=EMD=2 当 EDM+EMD=90，即 3=90，=30时，直线 EF 为D 的切线 此时CAD= 3 90 2 =45 （3）在（2）的条件下，DCE=CED =2=60，CE=DE NCE=A+ABC=45+30=75 又CEN=MEB=30，N=75NE=CE=DE=AD=3 EDB=30，DEM=90，EM=DEtan30=1 DM=2 MF=EF-EM=3-132 13 13 MF MN N M F E D C B A 教学反思