1、 二次函数的图像与性质 1 第6讲 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 1.二次函数 22 yxyx 与 的图像与性质 2.二次函数 2 yax 的图像与性质 3.二次函数 2 yaxc 的图像与性质 教学目标 1.掌握二次函数的图像与性质 2.掌握平移问题 教学重点 能熟练掌握二次函数的图像与性质 教学难点 能熟练掌握二次函数的图像与性质 【教学建议】【教学建议】 本节的教学重点是让学生经历研究函数的一般过程，去探索最简单的二次函数的图象与性质，为以后 的类比迁移做好铺垫。在授课过程中，教师要注重从研究函数的五个方面引导学生去观察
2、二次函数的图象， 体会数形结合在解题中的作用。 学生学习本节时可能会在以下三个方面感到困难： 1.对二次项系数 a 的理解； 2.对抛物线的开口方向和大小、对称轴、顶点坐标、最值、增减性的理解； 3.什么样的二次函数可以相互平移及其原因。 【知识导图】【知识导图】 二次函数的图像与性质 1 二次函数 y=x2 与 y=-x2 的图象与性质 二次函数 y=ax2 的图象与性质 二次函数 y=ax2+c 的图象与性质 概述 【教学建议】【教学建议】 二次函数在中考中占有的地位毋容置疑，本节作为二次函数的图象与性质的基础，学好本节可以很好地迁 移到后续复杂的二次函数的图象与性质的学习中去。教师在教学
3、中要注重对二次项系数a 的理解以及二次 函数的上下平移及其增减性，这是中考常出题型。 函数性质 函数种类 x y 2 x y 2 函数图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0,0） 对称轴 y 轴 最值 最小值 0 最大值 0 增减性 对称轴左侧，图象从左到右 下降，即 x0 时，y 随 x 的 增大而减小； 对称轴右侧，图象从左到右 上升，即 x0 时，y 随 x 的 增大而增大； 对称轴左侧， 图象从左到右上升， 即 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 对称轴右侧， 图象从左到右下降， 即 x0 时，y 随 x 的增大而减小； 教学过程 一、导入 二、知识讲解 知识点 1 二次函数的图
4、像与性质 函数性质 2 yax a 的值 0a 0a 函数图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0,0） 对称轴 y 轴 开口大小 |a|越大，开口越小 最值 最小值 0 最大值 0 增减性 对称轴左侧，图象从左到右 下降，即 x0 时，y 随 x 的 增大而减小； 对称轴右侧，图象从左到右 上升，即 x0 时，y 随 x 的 增大而增大； 对称轴左侧， 图象从左到右上升， 即 x0 时，y 随 x 的增大而增大； 对称轴右侧， 图象从左到右下降， 即 x0 时，y 随 x 的增大而减小； 二次函数 2 yaxc(a0，a,c 为常数) a 的符号 a0 a0 图象 开口方向 向上 向下 知
5、识点2 二次函数的图像与性质 知识点 3 二次函数的图像与性质 y=ax2+c(c0) y=ax2+c(c0) y=ax2 y=ax2+c(c33,因此 2 4yx 的函数值比较大。 【教学建议】【教学建议】 在讲解过程中，教师可以以中考真题入手，重点放在二次函数图象和性质上以及如何通过平移得到的等， 先把例题讲解清晰，再给学生做针对性的练习，注意从（开口方向和开口大小、对称轴、顶点坐标、最值、 增减性）五方面去总结。 1. 已知 A(m,a)B(n,a)都在抛物线 2 xy 上，则 m,n 之间的关系正确的是（ ） A.m=n B.m+n=0 C.m+n0 D.m+n0 【答案】【答案】B
6、【解析】【解析】带入计算即可发现规律。 2.在同一坐标系中，抛物线 2 4xy ， 2 14xy ， 2 14xy的共同特点是（ ） A. 关于 y 轴对称，开口向上 B. 关于 y 轴对称，y 随 x 的增大而增大 C. 关于 y 轴对称，y 随 x 的增大而减小 D. 关于 y 轴对称，顶点是原点 【答案】【答案】D 【解析】【解析】参照前面的知识点总结即可. 3.已知 a0，则函数 y=ax 2+a 的图象经过的象限是（ ） A第三、四象限 B第一、二象限 C第二、三、四象限 D第一、二、三象限 【答案】【答案】B 【解析】【解析】参考前面知识点中的图象即可得。 四 、课堂运用 基础 1
7、.关于函数 2 3xy 的性质的叙述,错误的是( ) A. 对称轴是 y 轴 B. 顶点是原点 C. 当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 D. y 有最大值 【答案】【答案】D 【解析】【解析】开口向上有最小值 2.已知函数 y=2x 和抛物线 y=ax 2+3 相交于点(2,b). (1)求 a，b 的值； (2)若函数 y=2x 的图象上纵坐标为 2 的点为 A,抛物线 y=ax 2+3 的顶点为 B,求 S AOB. 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)点(2,b)在直线 y=2x 上，b=4， 又(2,b)即(2,4)在抛物线 y=ax 2+3 上，4a+3=4，a=1/
8、4； (2) 3 2 3.已知函数23) 3( 2 mxmy m 是关于 x 的二次函数 （1）求 m 的值； （2）当 m 为何值时,该函数的图象开口向下? （3）当 m 为何值时,该函数有最小值? 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】（1）x 次数是 2，所以 m+3m-2=2 即 m+3m-4=0 (m-1)(m+4)=0，m=1,m=-4 （2）开口向下则系数小于 0，所以 m+30，m0，m-3，又因为 m=1 或 m=-4 所以 m=1。 巩固 1.函数 4 2 )2( mm xmy是关于 x 的二次函数，求： (1)满足条件的 m 值； (2)m 为何值时，抛物线有最低点?求
9、出这个最低点。这时，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而增大? (3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是多少?这时，当 x 为何值时，y 随 x 的增大而减小。 【答案】【答案】见解析 【解析】【解析】(1)满足条件的 m 值为 2 或3； (2) 抛物线解析式为 2 4xy ， 所以抛物线的最低点为(0,0)，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大； (3)当 m=3 时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为 2 xy， 所以二次函数的最大值是 0，这时，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小。 2. 已知函数 2 3xy 的图象上的三点：A（x1，1），B（x2，2），C（x
10、3，3）在抛物线上，关于所给 x1、x2、 x3的大小关系的四条结论： x1x2x3； x3x2x1； x1x3x2； x2x1x3， 其中正确的结论为 . （填写其序号） 【答案】【答案】、 【解析】【解析】根据题意绘制出二次函数 y=3x 2的草图，然后由其增减性将所给点 A、B、C 的坐标标注在图象上， 如解图所示，当在对称轴两侧时，结论、成立，但当点 B 与点 A、C 在对称轴异侧时，根据解图可知 x2x1x3，因此结论也成立，而结论无法根据所做图象满足，故不成立. 第 2 题解题 第 2 题解图 第 2 题解图 拔高 3.在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c 与二次函数 y=a
11、x 2+c 的图象大致为（ ） 【答案】【答案】B 【解析】【解析】采取排除法处理本题，先观察每个选项中的二次函数的图象，由开口方向确定 a 值的正负问题， 再由顶点坐标所在的位置确定 c 值得正负问题，然后由确定好的 a、c 的值去判定一次函数所过的象限符不 符合要求，符合要求的就成立，否则不成立. A 项，根据抛物线的开口向下，所以 a0，因为抛物线的顶点在 y 轴的正半轴上，所以 c0.根据 a0，c 0 可知一次函数 y=ax+c 过第一、二、四象限，而 A 图中的一次函数 y=ax+c 的图象过得是第一、二、三， 所以排除 A 项.同理可以排除 C 项和 D 项. 1.二次函数 22
12、 yxyx 与 的图像与性质; 2.二次函数 2 yax 的图像与性质; 3.二次函数 2 yaxc 的图像与性质; 4.二次函数 2 yax 与 2 yaxc 两者之间的关系具体见下表: 2 yax 向上平移|c|个单位 向下平移|c|个单位 2 yax(a0) c (a0，c0) 2 yaxc (a0，c0) 课堂小结 2 yax(a 0) 2 yaxc (a0，c0) 2 yaxc (a0，c0) 1. 已知原点是抛物线 y=(2m+4)x 2的最低点，则 m 的取值范围是（ ） A. m-2 C. m2 D m0，解得 x2. 2. 已知二次函数 y=ax 2+k 的图象如图所示，则下
13、列说法正确的是（ ） A. 0,0ak B. 0,0ak C. 0,0ak D. 0,0ak 【答案答案】C 【解析解析】由函数图象知图象开口向上，所以 a0，顶点在 x 轴下方，所以 k0，所以选 C. 3.下列哪组抛物线可以通过互相平移而得到（ ） A.y=2x 2与 y=3x2 B.y= +2 与 y=2x 2+ C.y=2x 2与 y=x2+2 D.y=x2+2 与 y=x2-2. 2 1 2 x 1 2 拓展延伸 基础 【答案答案】D 【解析解析】抛物线的开口方向、形状和开口大小是由二次项系数 a 的值决定的，只有两个二次函数的二次项 系数的值相等时，才可以通过平移彼此而得到对方，只
14、有 D 选项中的二次项的值才相等，都为 1，所以可 以通过平移彼此而得到对方. 1.已知一个函数的图象与抛物线 y=-2x 2关于 x 轴对称，则该二次函数的表达式为_ _. 【答案答案】 y=2x2 【解析】因为抛物线 y=ax 2 与抛物线 y=ax2关于 x 轴对称 抛物线 y=-2x 2关于 x 轴对称的二次函数的表达式为 y=2x2。 2.抛物线 y=ax 2+c 与 y=3x2的开口方向、形状大小都相同，且其顶点坐标为（0，1），则其表达式为_. 【答案答案】y=3x2+1 【解析】抛物线的开口方向、形状和开口大小是由二次项系数 a 的值决定的，因为抛物线 y=ax 2+c 与 y
15、=3x2 的开口方向、形状和开口大小都相同，所以 a=3.又因为抛物线 y=ax 2+c 得顶点坐标为（0，1），所以可以采 取待定系数法求得 c=1，所以此抛物线的表达式是 y=3x 2+1. 3.抛物线 y1= 4 1 x 2，y 2= 4 1 x 2+7，y 3= 4 1 x 2-7，当 x=2 时，这三个函数对应的 y 值的大小顺序 为 ， 在对称轴的右侧， y取同一值时， 这三个函数对应的x的取值大小顺序为 . 【答案答案】y2y1y3 ； x3 x 1 y1y3 ，这三个函数 的对称轴为 y 轴，在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小，由此可得，当 y 取同一值时， x3 x 1
16、x2. 1.二次函数 y=ax 2与直线 y=2x-2 的图象交于点 P（2，m）。 （1）求 a，m 的值； （2）写出二次函数的表达式，并指出 x 取何值时，y 随 x 的增大而减小? 巩固 拔高 【答案答案】见解析 【解析解析】（1）将（2，m）代入至 y=2x-2 得，22-2=m，m=2；点 P 坐标为（2，2）， 把（2，2）代入 y=ax 2得，a=0.5， （2）由（1）知，a=0.5，二次函数 y=ax 2的表达式为 y=0.5x2，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小。 2.已知点 A(-1，a)在二次函数 2 yx的图象上. （1）求点 A 的坐标； （2）在 x 轴上
17、是否存在点 P，使OAP 是等腰三角形，若存在，写出点 P 的坐标，若不存在，说明理由. 【答案答案】见解析 【解析解析】(1)因为点 A(-1，a)在二次函数 2 yx的图象上， 所以 2 ( 1)1a ， 所以点 A 的坐标为（-1,1）. （2）如图所示，共有 4 个满足条件的点. 过 A 作 AP2x 轴于点 P2，因为点 A 的坐标为（-1,1），所以点 P2（-1,0），此时有 AP2=P2O，满足 APO 是等腰三角形； 当 AP=AO，此时点 P 在点 P1 的位置，如图，易得 P1P2=P2O，所以点 P1 的坐标为（-2,0）. 当 OA=OP 时，点 P 可能在 P3 和 P4 两个位置. 在 RtAOP2 中，根据勾股定理易得 AO=2，所以点 P3 的坐标为（2.0），点 P4 的坐标为（2.0）. 3.如图，点 P 是抛物线 y= 4 1 x 2-1 上的任意一点，PAx 轴于点 A，则 OP-PA= . 【答案答案】2 【解析解析】根据题意可以设出点 P 坐标为（m， 4 1 m 2-1），所以得出：PA= 4 1 m 2-1，OA=m， 由勾股定理可得：PO= 22 OAPA = 222 ) 1 4 1 (mm= 4 1 m 2+1，所以 OP-PA= 4 1 m 2+1-（ 4 1 m 2-1）=2. 教学反思