1、2020 年四川省各市中考数学真题汇编压轴题圆年四川省各市中考数学真题汇编压轴题圆 1（2020德阳）如图，在O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为M，CD的延长线上有 一点P，满足PBDDAB过点P作PNCD，交OA的延长线于点N，连接DN交AP于点H （1）求证：BP是O的切线； （2）如果OA5，AM4，求PN的值； （3）如果PDPH，求证：AHOPHPAP 2（2020绵阳）如图，在矩形ABCD中，对角线相交于点O，M为BCD的内切圆，切点分别为N，P，Q， DN4，BN6 （1）求BC，CD； （2）点H从点A出发，沿线段AD向点D以每秒 3 个单位长度的速度运动，当点H运动到点D时停
2、止， 过点H作HIBD交AC于点I，设运动时间为t秒 将AHI沿AC翻折得AHI，是否存在时刻t，使点H恰好落在边BC上？若存在，求t的值；若 不存在，请说明理由； 若点F为线段CD上的动点，当OFH为正三角形时，求t的值 3（2020雅安）如图，四边形ABCD内接于圆，ABC60，对角线BD平分ADC （1）求证：ABC是等边三角形； （2）过点B作BECD交DA的延长线于点E，若AD2，DC3，求BDE的面积 4（2020绵阳）如图，ABC内接于O，点D在O外，ADC90，BD交O于点E，交AC于点F， EACDCE，CEBDCA，CD6，AD8 （1）求证：ABCD； （2）求证：CD是
3、O的切线； （3）求 tanACB的值 5（2020内江）如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODBC于点D，过点C作O的切线，交OD的 延长线于点E，连结BE （1）求证：BE是O的切线； （2）设OE交O于点F，若DF2，BC4，求线段EF的长； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积 6（2020凉山州）如图，O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，A、B、C所对的边分别是a、 b、c （1）求证：2R； （2）若A60，C45，BC4，利用（1）的结论求AB的长和 sinB的值 7（2020凉山州）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分BAC交半圆于点D，过点D 作
4、DHAC与AC的延长线交于点H （1）求证：DH是半圆的切线； （2）若DH2，sinBAC，求半圆的直径 8（2020泸州）如图，AB是O的直径，点D在O上，AD的延长线与过点B的切线交于点C，E为线段 AD上的点，过点E的弦FGAB于点H （1）求证：CAGD； （2）已知BC6，CD4，且CE2AE，求EF的长 9（2020乐山）如图 1，AB是半圆O的直径，AC是一条弦，D是上一点，DEAB于点E，交AC于点F， 连结BD交AC于点G，且AFFG （1）求证：点D平分； （2）如图 2 所示，延长BA至点H，使AHAO，连结DH若点E是线段AO的中点求证：DH是O的 切线 10（202
5、0成都）如图，在ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画O，O与边AB相切于 点D，ACAD，连接OA交O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F （1）求证：AC是O的切线； （2）若AB10，tanB，求O的半径； （3）若F是AB的中点，试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由 11（2020甘孜州）如图，AB是O的直径，C为O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D （1）求证：CADCAB； （2）若，AC2，求CD的长 12（2020自贡）如图，O是ABC的外接圆，AB为直径，点P为O外一点，且PAPCAB，连接 PO交AC于点D，延长PO交O于点F （1）证明：；
6、 （2）若 tanABC2，证明：PA是O的切线； （3）在（2）条件下，连接PB交O于点E，连接DE，若BC2，求DE的长 13（2020南充）如图，点A，B，C是半径为 2 的O上三个点，AB为直径，BAC的平分线交圆于点D， 过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长ED交AB的延长线于点F （1）判断直线EF与O的位置关系，并证明 （2）若DF4，求 tanEAD的值 14（2020遂宁）如图，在 RtABC中，ACB90，D为AB边上的一点，以AD为直径的O交BC于 点E，交AC于点F，过点C作CGAB交AB于点G，交AE于点H，过点E的弦EP交AB于点Q（EP不是 直径），点Q为
7、弦EP的中点，连结BP，BP恰好为O的切线 （1）求证：BC是O的切线 （2）求证： （3）若 sinABC，AC15，求四边形CHQE的面积 15（2020广元）在 RtABC中，ACB90，OA平分BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作 圆交BC于点D （1）如图 1，求证：AB为O的切线； （2）如图 2，AB与O相切于点E，连接CE交OA于点F 试判断线段OA与CE的关系，并说明理由 若OF：FC1：2，OC3，求 tanB的值 参考答案参考答案 1（1）证明：如图，连接BC，OB CD是直径， CBD90， OCOB， CCBO， CBAD，PBDDAB， CBOPBD， O
8、BPCBD90， PBOB， PB是O的切线 （2）解：CDAB， PAPB， OAOB，OPOP， PAOPBO（SSS）， OAPOBP90， AMO90， OM3， AOMAOP，OAPAMO， AOMPOA， ， ， OP， PNPC， NPCAMO90， ， ， PN （3）证明：PDPH， PDHPHD， PDHPOA+OND，PHDAPN+PND， POA+APO90，APN+APO90， POAANP， ANHPND， PDNPHDAHN， NAHNPD， ， APNPOA，PANPAO90， PANOAP， ， ， ， AHOPHPAP 2解：（1）M为BCD的内切圆，切点分
9、别为N，P，Q，DN4，BN6， BPBN6，DQDN4，CPCQ，BDBN+DN10， 设CPCQa，则BC6+a，CD4+a， 四边形ABCD是矩形， BCD90， BC2+CD2BD2，即（6+a）2+（4+a）2102， 解得：a2， BC6+28，CD4+26； （2）存在时刻ts，使点H恰好落在边BC上；理由如下： 如图 1 所示： 由折叠的性质得：AHIAHI，AHAH3t， 四边形ABCD是矩形， ADBC8，ADBC，BCD90，OAOCAC，OBODBD，ACBD， ACBD10，OAOD5， ADOOAD， HIBD， AHIADO， AHIAHIADOOADACH， A
10、IHAHC， ， AH2AIAC， HIBD， AIHAOD， ，即， 解得：AIt， （3t）2t10， 解得：t， 即存在时刻ts，使点H恰好落在边BC上； 作PHOH于H，交OF的延长线于P，作OMAD于M，PNAD于N，如图 2 所示： 则OMCDPN，OMHHNP90，OM是ACD的中位线， OMCD3， OFH是等边三角形， OFFH，OHFHOF60， FHPHPO30， FHFPOF，HPOH， DF是梯形OMNP的中位线， DNDM4， MHO+MOHMHO+NHP90， MOHNHP， OMHHNP， ， HNOM3， DHHNDN34， AHADDH123， t4， 即当
11、OFH为正三角形时，t的值为（4）s 3（1）证明：四边形ABCD内接于圆 ABC+ADC180， ABC60， ADC120， DB平分ADC， ADBCDB60， ACBADB60，BACCDB60， ABCBCABAC， ABC是等边三角形 （2）过点A作AMCD，垂足为点M，过点B作BNAC，垂足为点N AMD90， ADC120， ADM60， DAM30， DMAD1，AM， CD3， CMCD+DM1+34， SACDCDAM， RtAMC中，AMD90， AC， ABC是等边三角形， ABBCAC， BNBC， SABC， 四边形ABCD的面积+， BECD， E+ADC180
12、， ADC120， E60， EBDC， 四边形ABCD内接于O， EABBCD， 在EAB和DCB中， ， EABDCB（AAS）， BDE的面积四边形ABCD的面积 4（1）证明：BACCEB，CEBDCA， BACDCA， ABCD； （2）证明：连接EO并延长交O于G，连接CG、OC，如图 1 所示： 则EG为O的直径， ECG90， OCOG， OCGEGC， EACEGC，EACDCE， DCEEGCOCG， OCG+OCEECG90， DCE+OCE90，即DCO90， OC是O的半径， CD是O的切线； （3）解：在 RtADC中，由勾股定理得：AC10， cosACD， CD
13、是O的切线，ABCD， ABCACDCAB， BCAC10，AB2BCcosABC21012， 过点B作BGAC于C，如图 2 所示： 设GCx，则AG10 x， 由勾股定理得：AB2AG2BG2BC2GC2， 即：122（10 x）2102x2， 解得：x， GC， BG， tanACB 5（1）证明：连接OC，如图， CE为切线， OCCE， OCE90， ODBC， CDBD， 即OD垂直平分BC， ECEB， 在OCE和OBE中 ， OCEOBE（SSS）， OBEOCE90， OBBE， BE与O相切； （2）解：设O的半径为x，则ODOFDFx2，OBx， 在 RtOBD中，BDB
14、C2， OD2+BD2OB2， （x2）2+（2）2x2，解得x4， OD2，OB4， OBD30， BOD60， OE2OB8， EFOEOF844 （3）BOE60，OBE90， 在 RtOBE中，BEOB4， S阴影S四边形OBECS扇形OBC 244， 16 6（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示： 则BCE90，EA， sinAsinE， 2R， 同理：2R，2R， 2R； （2）解：由（1）得：， 即2R， AB4，2R8， 过B作BHAC于H， AHBBHC90， AHABcos6042，CHBC2， ACAH+CH2（）， sinB 7（1）证明：连接OD， OAOD，
15、DAOADO， AD平分BAC， CADOAD， CADADO， AHOD， DHAC， ODDH， DH是半圆的切线； （2）解：连接BC交OD于E， AB是半圆AOB的直径， ACB90， AD平分BAC， CADOAD， ， ODBC， HHCEDEC90， 四边形CEDH是矩形， CEDH2，DEC90， ODBC， BC2CE4， sinBAC， AB12， 即半圆的直径为 12 8（1）证明：如图 1，连接BD， AB是O的直径， ADB90， DAB+DBA90， BC是O的切线， ABC90， C+CAB90， CABD， AGDABD， AGDC； （2）解：BDCABC90
16、，CC， ABCBDC， ， ， AC9， AB3， CE2AE， AE3，CE6， FHAB， FHBC， AHEABC， ， ， AH，EH2， 如图 2，连接AF，BF， AB是O的直径， AFB90， AFH+BFHAFH+FAH90， FAHBFH， AFHFBH， ， ， FH， EF2 9证明：（1）如图 1，连接AD、BC， AB是半圆O的直径， ADB90， DEAB， ADEABD， 又AFFG，即点F是 RtAGD的斜边AG的中点， DFAF， DAFADFABD， 又DACDBC， ABDDBC， ， 即点D平分； （2）如图 2 所示，连接OD、AD， 点E是线段OA
17、的中点， ， AOD60， OAD是等边三角形， ADAOAH， ODH是直角三角形，且HDO90， DH是O的切线 10解：（1）如图，连接OD， O与边AB相切于点D， ODAB，即ADO90， AOAO，ACAD，OCOD， ACOADO（SSS）， ADOACO90， 又OC是半径， AC是O的切线； （2）tanB， 设AC4x，BC3x， AC2+BC2AB2， 16x2+9x2100， x2， BC6， ACAD8，AB10， BD2， OB2OD2+BD2， （6OC）2OC2+4， OC， 故O的半径为； （3）AFCE+BD，理由如下： 连接OD，DE， 由（1）可知：AC
18、OADO， ACOADO90，AOCAOD， 又CODO，OEOE， COEDOE（SAS）， OCEODE， OCOEOD， OCEOECOEDODE， DEF180OECOED1802OCE， 点F是AB中点，ACB90， CFBFAF， FCBFBC， DFE180BCFCBF1802OCE， DEFDFE， DEDFCE， AFBFDF+BDCE+BD 11（1）证明：如图 1，连接OC， ， CD是切线， OCCD ADCD， ADOC， 14 OAOC， 24， 12， 即CADCAB （2）解：如图 2， 连接BC， ， 设AD2x，AB3x， AB是O的直径， ACBADC90
19、， ACB90，ADDC， ADC90， DACCAB， ACDABC， ， ， 解得，x12，x22（舍去）， AD4， CD2 12（1）证明：连接OC PCPA，OCOA， OP垂直平分线段AC， （2）证明：设BCa， AB是直径， ACB90， tanABC2， AC2a，AB3a， OCOAOB，CDADa， PAPCAB， PAPC3a， PDC90， PD4a， DCDA，AOOB， ODBCa， AD2PDOD， ， ADPADO90， ADPODA， PADDOA， DOA+DAO90， PAD+DAO90， PAO90， OAPA， PA是O的切线 （3）解：法一：如图，
20、过点E作EJPF于J，BKPF于K BC2， 由（1）可知，PA6，AB6， PAB90， PB6， PA2PEPB， PE4， CDKBKDBCD90， 四边形CDKB是矩形， CDBK2，BCDK2， PD8， PK10， EJBK， ， ， EJ，PJ， DJPDPJ8， DE 法二：由（2）可得BC2，AC4，AB6，PA6，PB6， 在 RtPBA中，连接AE，可得AEB90， PEAPAB90，又APEAPB， PEAPAB， ， PE4， 过E作EJPD于J，过B作BKPF于K，如图所示， BCDCDFBKD90， 四边形BCDK是矩形， BKCD2， 在 RtBPH中，sinB
21、PH， 在 RtPEN中，sinBPH， EJ， PJ， JDPDPJ， 在 RtNED中，DE 13（1）证明：连接OD，如图所示： OAOD， OADODA， AD平分EAF， DAEDAO， DAEADO， ODAE， AEEF， ODEF， EF是O的切线； （2）解：在 RtODF中，OD2，DF4， OF6， ODAE， ， ， AE，ED， tanEAD 14（1）证明：连接OE，OP， AD为直径，点Q为弦EP的中点， PEAB，点Q为弦EP的中点， AB垂直平分EP， PBBE， OEOP，OBOB， BEOBPO（SSS）， BEOBPO， BP为O的切线， BPO90，
22、BEO90， OEBC， BC是O的切线 （2）证明：BEOACB90， ACOE， CAEOEA， OAOE， EAOAEO， CAEEAO， （3）解：AD为的O直径，点Q为弦EP的中点， EPAB， CGAB， CGEP， ACBBEO90， ACOE， CAEAEO， OAOE， EAQAEO， CAEEAO， ACEAQE90，AEAE， ACEAQE（AAS）， CEQE， AEC+CAEEAQ+AHG90， CEHAHG， AHGCHE， CHECEH， CHCE， CHEQ， 四边形CHQE是平行四边形， CHCE， 四边形CHQE是菱形， sinABCsinACG， AC15
23、， AG9， CG12， ACEAQE， AQAC15， QG6， HQ2HG2+QG2， HQ2（12HQ）2+62， 解得：HQ， CHHQ， 四边形CHQE的面积CHGQ645 15解：（1）如图，过点O作OGAB，垂足为G， OA平分BAC交BC于点O， OGOC， 点G在O上， 即AB与O相切； （2）OA垂直平分CE，理由是： 连接OE， AB与O相切于点E，AC与O相切于点C， AEAC， OEOC， OA垂直平分CE； OF：FC1：2，OC3， 则FC2OF，在OCF中，OF2+（2OF）232， 解得：OF，则CF， 由得：OACE， COFAOC，CFOACO90， OCFOAC， ，即， 解得：AC6， AB与圆O切于点E， BEO90，ACAE6，而BB， BEOBCA， ，设BOx，BEy， 则， 可得：， 解得：，即BO5，BE4， tanB