1、20202020 年山东省各市中考数学真题汇编压轴题二次函数年山东省各市中考数学真题汇编压轴题二次函数 1（2020济南）如图 1，抛物线yx2+bx+c过点A（1，0），点B（3，0）与y轴交于点C在x轴 上有一动点E（m，0）（0m3），过点E作直线lx轴，交抛物线于点M （1）求抛物线的解析式及C点坐标； （2）当m1 时，D是直线l上的点且在第一象限内，若ACD是以DCA为底角的等腰三角形，求点D 的坐标； （3）如图 2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设AEM的面积为S1，MON的面积为S2，若 S12S2，求m的值 2（2020日照）如图，函数yx2+bx+c的图象经
2、过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程 x22x30 的两个实数根，且mn （）求m，n的值以及函数的解析式； （）设抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD求 证：BCDOBA； （）对于（）中所求的函数yx2+bx+c， （1）当 0 x3 时，求函数y的最大值和最小值； （2）设函数y在txt+1 内的最大值为p，最小值为q，若pq3，求t的值 3（2020东营）如图，抛物线yax23ax4a的图象经过点C（0，2），交x轴于点A、B（点A在点B 左侧），连接BC，直线ykx+1（k0）与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于
3、点E，与BC交于点F （1）求抛物线的解析式及点A、B的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由 4 （2020威海） 已知， 在平面直角坐标系中， 抛物线yx22mx+m2+2m1 的顶点为A 点B的坐标为 （3， 5） （1）求抛物线过点B时顶点A的坐标； （2）点A的坐标记为（x，y），求y与x的函数表达式； （3） 已知C点的坐标为 （0， 2） ， 当m取何值时， 抛物线yx22mx+m2+2m1 与线段BC只有一个交点 5（2020淄博）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（2，0），B，C三点的抛 物线yax2
4、+bx+（a0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E （1）求这条抛物线对应的函数表达式； （2）已知R是抛物线上的点，使得ADR的面积是OABC的面积的，求点R的坐标； （3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得PQE45，求点P的坐 标 6（2020烟台）如图，抛物线yax2+bx+2 与x轴交于A，B两点，且OA2OB，与y轴交于点C，连接 BC，抛物线对称轴为直线x，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DEOA于点E，与AC交于 点F，设点D的横坐标为m （1）求抛物线的表达式； （2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标； （3）抛物
5、线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似？若存在，求出m的值； 若不存在，请说明理由 7（2020潍坊）如图，抛物线yax2+bx+8（a0）与x轴交于点A（2，0）和点B（8，0），与y轴 交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E （1）求抛物线的表达式； （2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当SPBCSABC时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三 角形与OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由 8 （2020菏泽）如图，抛物线yax2+
6、bx6 与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA2，OB4， 直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点D在x轴的下方，当BCD的面积是时，求ABD的面积； （3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M， N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 9 （2020泰安）若一次函数y3x3 的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0）， 二次函数yax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1
7、） （1）求二次函数的表达式； （2）如图（1），过点C作CDx轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分 DBE求直线BE的表达式； （3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，SBFPmSBAF 当m时，求点P的坐标； 求m的最大值 10（2020德州）如图 1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2），在x轴上任取一点M，连接 AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M 作x轴的垂线l交直线GH于点P根据以上操作，完成下列问题 探究： （1）线段PA与PM的数量关系为 ，其理
8、由为： （2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格： M的坐标 （2，0） （0，0） （2，0） （4，0） P的坐标 （0，1） （2，2） 猜想： （3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图 2 中连接起来；观察画出的曲线L，猜 想曲线L的形状是 验证： （4）设点P的坐标是（x，y），根据图 1 中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式 应用： （5）如图 3，点B（1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且BDC30，求点D的 纵坐标yD的取值范围 11（2020枣庄）如图，抛物线yax2+bx+4 交x轴于A（3，
9、0），B（4，0）两点，与y轴交于点C， 连接AC，BCM为线段OB上的一个动点，过点M作PMx轴，交抛物线于点P，交BC于点Q （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PNBC，垂足为点N设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长， 并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？ （3）试探究点M在运动过程中， 是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若 存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由 12（2020滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，1），与y轴交于点B（0，），点F（2，1）为其 对称轴上的一个定点 （1）求这条抛物线的函数解析式；
10、 （2）已知直线l是过点C（0，3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线 l的距离为d，求证：PFd； （3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使DFQ的周长最小，并求此时DFQ 周长的最小值及点Q的坐标 13 （2020济宁）我们把方程（xm） 2+（yn）2r2称为圆心为（m，n）、半径长为 r的圆的标准方程例 如，圆心为（1，2）、半径长为 3 的圆的标准方程是（x1）2+（y+2）29在平面直角坐标系中， C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物 线的顶点为E （1）求C的标准方程； （
11、2）试判断直线AE与C的位置关系，并说明理由 14（2020聊城）如图，二次函数yax2+bx+4 的图象与x轴交于点A（1，0），B（4，0），与y轴交 于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段 BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点 （1）求出二次函数yax2+bx+4 和BC所在直线的表达式； （2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标； （3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角 形与DCE相似？如果存
12、在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由 参考答案 1解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为yx2+2x+3， 当x0 时，y3，故点C（0，3）； （2）当m1 时，点E（1，0），设点D的坐标为（1，a）， 由点A、C、D的坐标得，AC，同理可得：AD，CD， 当CDAD时，即，解得a1； 当ACAD时，同理可得a（舍去负值）； 故点D的坐标为（1，1）或（1，）； （3）E（m，0），则设点M（m，m2+2m+3）， 设直线BM的表达式为ysx+t，则，解得， 故直线BM的表达式为y（m1）x+3m+3， 当x0 时，y3m+3，故点N（0，3m+3）
13、，则ON3m+3； S1AEyM（m+1）（m2+2m+3）， 2S2ONxM（3m+3）mS1（m+1）（m2+2m+3）， 解得m2或1（舍去负值）， 故m2 2（I）解：m，n分别是方程x22x30 的两个实数根，且mn， 用因式分解法解方程：（x+1）（x3）0， x11，x23， m1，n3， A（1，0），B（0，3）， 把（1，0），（0，3）代入得，解得， 函数解析式为yx2+2x+3 （ II）证明：令yx2+2x+30，即x22x30， 解得x11，x23， 抛物线yx2+2x+3 与x轴的交点为A（1，0），C（3，0）， OA1，OC3， 对称轴为，顶点D（1，1+2+
14、3），即D（1，4）， ， CD2DB2+CB2， BCD是直角三角形，且DBC90， AOBDBC， 在 RtAOB和 RtDBC中， ， BCDOBA； （ III）解：抛物线yx2+2x+3 的对称轴为x1，顶点为D（1，4）， （1）在 0 x3 范围内， 当x1 时，y最大值4；当x3 时，y最小值0； （2）当函数y在txt+1 内的抛物线完全在对称轴的左侧，当xt时取得最小值qt2+2t+3， 最大值p（t+1）2+2（t+1）+3， 令pq（t+1）2+2（t+1）+3（t2+2t+3）3，即2t+13，解得t1 当t+11 时，此时p4，q3，不合题意，舍去； 当函数y在tx
15、t+1 内的抛物线分别在对称轴的两侧， 此时p4， 令pq4（t2+2t+3） 3，即t22t20 解得：t11+（舍），t21（舍）； 或者pq4（t+1）2+2（t+1）+33，即（不合题意，舍去）； 当t1 时，此时p4，q3，不合题意，舍去； 当函数y在txt+1 内的抛物线完全在对称轴的右侧， 当xt时取得最大值pt2+2t+3， 最小值 q（t+1）2+2（t+1）+3， 令pqt2+2t+3（t+1）2+2（t+1）+33，解得t2 综上，t1 或t2 3解：（1）把C（0，2）代入yax23ax4a得：4a2 解得a 则该抛物线解析式为yx2+x+2 由于yx2+x+2（x+1
16、）（x4） 故A（1，0），B（4，0）； （2）存在，理由如下： 由题意知，点E位于y轴右侧，作EGy轴，交BC于点G， CDEG， 直线ykx+1（k0）与y轴交于点D，则D（0，1） CD211 EG 设BC所在直线的解析式为ymx+n（m0） 将B（4，0），C（0，2）代入，得 解得 直线BC的解析式是yx+2 设E（t，t2+t+2），则G（t，t+2），其中 0t4 EG（t2+t+2）（t+2）（t2）2+2 （t2）2+2 0， 当t2 时，存在最大值，最大值为 2，此时点E的坐标是（2，3） 4解：（1）抛物线yx22mx+m2+2m1 过点B（3，5）， 把B（3，5）代
17、入yx22mx+m2+2m1，整理得，m24m+30， 解，得m11，m23， 当m1 时，yx22x+2（x1）2+1， 其顶点A的坐标为（1，1）； 当m3 时，yx26x+14（x3）2+5， 其顶点A的坐标为（3，5）； 综上，顶点A的坐标为（1，1）或（3，5）； （2）yx22mx+m2+2m1（xm）2+2m1， 顶点A的坐标为（m，2m1）， 点A的坐标记为（x，y）， xm， y2x1； （3）由（2）可知，抛物线的顶点在直线y2x1 上运动，且形状不变， 由（1）知，当m1 或 3 时，抛物线过B（3，5）， 把C（0，2）代入yx22mx+m2+2m1，得m2+2m12，
18、 解，得m1 或3， 所以当m1 或3 时，抛物线经过点C（0，2）， 如图所示，当m3 或 3 时，抛物线与线段BC只有一个交点（即线段CB的端点）， 当m1 时，抛物线同时过点B、C，不合题意， 所以m的取值范围是3m3 且m1 5解：（1）OA2BC，故函数的对称轴为x1，则x1， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：04a2b+， 联立并解得， 故抛物线的表达式为：yx2+x+； （2）yx2+x+（x1）2+3， 抛物线的顶点M（1，3） 令y0，可得x2 或 4， 点D（4，0）； ADR的面积是OABC的面积的， AD|yR|OAOB，则6|yR|2，解得：yR， 联立并解得或， 故
19、点R的坐标为（1+，）或（1，）或（1，）或（1，）； （3）（）当点Q在MQ之间时， 作PEQ的外接圆R， PQE45，故PRE90，则PER为等腰直角三角形， 当在直线MD上存在唯一的点Q时，圆R与直线MD相切， 点M、D的坐标分别为（1，3）、（4，0）， 则ME3，ED413，则MD3， 过点R作RHME于点H， 设点P（1，2m），则PHHEHRm，则圆R的半径为m，则点R（1+m，m）， SMEDSMRD+SMRE+SDRE，即EMEDMDRQEDyR+MERH， 333m+3m3m，解得：m， 故点P（1，）； （）当点Q与点D重合时， 由点M、E、D的坐标知，MEED，即MDE
20、45； 当点P在x轴上方时，当点P与点M重合时，此时PQE45，此时点P（1，3）， 当点P在x轴下方时，同理可得：点P（1，3）， 综上，点P的坐标为（1，）或（1，3）或（1，3） 6解：（1）设OBt，则OA2t，则点A、B的坐标分别为（2t，0）、（t，0）， 则x（2tt），解得：t1， 故点A、B的坐标分别为（2，0）、（1，0）， 则抛物线的表达式为：ya（x2）（x+1）ax2+bx+2， 解得：a1， 故抛物线的表达式为：yx2+x+2； （2）对于yx2+x+2，令x0，则y2，故点C（0，2）， 由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx+2， 设点D的横坐标为m，则点
21、D（m，m2+m+2），则点F（m，m+2）， 则DFm2+m+2（m+2）m2+2m， 10，故DF有最大值，DF最大时m1， 点D（1，2）； （3）存在，理由： 点D（m，m2+m+2）（m0），则OEm，DEm2+m+2， 以点O，D，E为顶点的三角形与BOC相似， 则，即或 2，即或 2， 解得：m1 或2（舍去）或或（舍去）， 故m1 或 7解：（1）抛物线yax2+bx+8（a0）过点A（2，0）和点B（8，0）， ，解得， 抛物线解析式为：； （2）当x0 时，y8， C（0，8）， 直线BC解析式为：yx+8， ， ， 过点P作PGx轴，交x轴于点G，交BC于点F， 设， F
22、（t，t+8）， ， ， 即， t12，t26， P1（2，12），P2（6，8）； （3）C（0，8），B（8，0），COB90， OBC为等腰直角三角形， 抛物线的对称轴为， 点E的横坐标为 3， 又点E在直线BC上， 点E的纵坐标为 5， E（3，5）， 设， 当MNEM，EMN90， NMECOB，则， 解得或（舍去）， 此时点M的坐标为（3，8）， 当MEEN，当MEN90时， 则，解得：或（舍去）， 此时点M的坐标为； 当MNEN，MNE90时， 此时MNE与COB相似， 此时的点M与点E关于的结果（3，8）对称， 设M（3，m）， 则m885， 解得m11， M（3，11）； 此
23、时点M的坐标为（3，11）； 故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与OBC相似，点M的坐标为：（3，8）， 或（3，11） 8解：（1）OA2，OB4， A（2，0），B（4，0）， 把A（2，0），B（4，0）代入抛物线yax2+bx6 中得：， 抛物线的解析式为：yx2x6； （2）如图 1，过D作DGx轴于G，交BC于H， 当x0 时，y6， C（0，6）， 设BC的解析式为：ykx+n， 则，解得：， BC的解析式为：yx6， 设D（x，x2x6），则H（x，x6）， DHx6（x2x6）， BCD的面积是， ， ， 解得：x1 或 3， 点D在直线l右侧的抛物线上
24、， D（3，）， ABD的面积； （3）分两种情况： 如图 2，N在x轴的上方时，四边形MNBD是平行四边形， B（4，0），D（3，），且M在x轴上， N的纵坐标为， 当y时，即x2x6， 解得：x1+或 1， N（1，）或（1+，）； 如图 3，点N在x轴的下方时，四边形BDNM是平行四边形，此时M与O重合， N（1，）； 综上，点N的坐标为：（1，）或（1+，）或（1，） 9解： （1）一次函数y3x3 的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（1， 0）、（0，3）， 将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：yx22x3； （2）设直线B
25、E交y轴于点M， 从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x1， CDx轴交抛物线于点D，故点D（2，3）， 由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为 45，即MCBDCB45， BC恰好平分DBE，故MBCDBC， 而BCBC， 故BCDBCM（ASA）， CMCD2，故OM321，故点M（0，1）， 设直线BE的表达式为：ykx+b，则，解得， 故直线BE的表达式为：yx1； （3）过点P作PNx轴交BC于点N， 则PFNAFB，则， 而SBFPmSBAF，则，解得：mPN， 当m时，则PN2， 设点P（t，t22t3）， 由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：yx3，当xt2 时，yt5，
26、故点N（t2，t5）， 故t5t22t3， 解得：t1 或 2，故点P（2，3）或（1，4）； mPNt（t22t）（t）2+， 0，故m的最大值为 10解：（1）分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点， GH是AM的垂直平分线， 点P是GH上一点， PAPM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）， 故答案为：PAPM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等； （2）当点M（2，0）时，设点P（2，a），（a0） PAPM， a， a2， 点P（2，2）， 当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b0） PAPM， b， b5， 点P（4，
27、5）， 故答案为：（2，2），（4，5）； （3）依照题意，画出图象， 猜想曲线L的形状为抛物线， 故答案为：抛物线； （4）PAPM，点P的坐标是（x，y），（y0）， y， yx21； （5）点B（1，），C（1，）， BC2，OB2，OC2， BCOBOC， BOC是等边三角形， BOC60， 如图 3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L于点E，连接BE，CE， BEC30， 设点E（m，n）， 点E在抛物线上， nm21， OEOB2， 2， n122，n22+2（舍去）， 如图 3，可知当点D在点E下方时，BDC30， 点D的纵坐标yD的取值范围为yD22 11解：（1）将点A
28、、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：yx2+x+4； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，4）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+4； 设点M（m，0），则点P（m，m2+m+4），点Q（m，m+4）， PQm2+m+4+m4m2+m， OBOC，故ABCOCB45， PQNBQM45， PNPQsin45（m2+m）（m2）2+， 0，故当m2 时，PN有最大值为； （3）存在，理由： 点A、C的坐标分别为（3，0）、（0，4），则AC5， 当ACCQ时，过点Q作QEy轴于点E， 则CQ2CE2+EQ2，即m2+4（m+4）225， 解得：m（舍去负值），
29、 故点Q（，）； 当ACAQ时，则AQAC5， 在 RtAMQ中，由勾股定理得：m（3）2+（m+4）225，解得：m1 或 0（舍去 0）， 故点Q（1，3）； 当CQAQ时，则 2m2m（3）2+（m+4）2，解得：m（舍去）； 综上，点Q的坐标为（1，3）或（，） 12（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，1），可以假设抛物线的解析式为ya（x2）21， 抛物线经过B（0，）， 4a1， a 抛物线的解析式为y（x2）21 （2）证明：过点P作PJAF于J P（m，n）， n（m2）21m2m， P（m，m2m）， dm2m（3）m2m+， F（2，1）， PF， d2m4m3+m2m+，
30、PF2m4m3+m2m+， d2PF2， PFd （3）如图，过点Q作QH直线l于H，过点D作DN直线l于N DFQ的周长DF+DQ+FQ，DF是定值2， DQ+QF的值最小时，DFQ的周长最小， 由（2）可知QFQH， DQ+QFDQ+QH， 根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上， DQ+QH的最小值为 6， DFQ的周长的最小值为 2+6，此时Q（4，） 13解：（1）如图，连接CD，CB，过点C作CMAB于M设C的半径为r 与y轴相切于点D（0，4）， CDOD， CDOCMODOM90， 四边形ODCM是矩形， CMOD4，CD
31、OMr， B（8，0）， OB8， BM8r， 在 RtCMB中，BC2CM2+BM2， r242+（8r）2， 解得r5， C（5，4）， C的标准方程为（x5）2+（y4）225 （2）结论：AE是C的切线 理由：连接AC，CE CMAB， AMBM3， A（2，0），B（8，0） 设抛物线的解析式为ya（x2）（x8）， 把D（0，4）代入ya（x2）（x8），可得a， 抛物线的解析式为y（x2）（x8）x2x+4（x5）2， 抛物线的顶点E（5，）， AE，CE4+，AC5， EC2AC2+AE2， CAE90， CAAE， AE是C的切线 14解：（1）将点A（1，0），B（4，0）
32、，代入yax2+bx+4， 得：， 解得：， 二次函数的表达式为：yx2+3x+4， 当x0 时，y4， C（0，4）， 设BC所在直线的表达式为：ymx+n， 将C（0，4）、B（4，0）代入ymx+n， 得：， 解得：， BC所在直线的表达式为：yx+4； （2）DEx轴，PFx轴， DEPF， 只要DEPF，四边形DEFP即为平行四边形， yx2+3x+4（x）2+， 点D的坐标为：（，）， 将x代入yx+4，即y+4， 点E的坐标为：（，）， DE， 设点P的横坐标为t， 则P的坐标为：（t，t2+3t+4），F的坐标为：（t，t+4）， PFt2+3t+4（t+4）t2+4t， 由DEPF得：t2+4t， 解得：t1（不合题意舍去），t2， 当t时，t2+3t+4（）2+3+4， 点P的坐标为（，）； （3）存在，理由如下： 如图 2 所示： 由（2）得：PFDE， CEDCFP， 又PCF与DCE有共同的顶点C，且PCF在DCE的内部， PCFDCE， 只有PCFCDE时，PCFCDE， ， C（0，4）、E（，）， CE， 由（2）得：DE，PFt2+4t，F的坐标为：（t，t+4）， CFt， ， t0， （t+4）3， 解得：t， 当t时，t2+3t+4（）2+3+4， 点P的坐标为：（，）