1、2020-2021 学年人教版初一数学上册期中考点专题学年人教版初一数学上册期中考点专题 04 有理数的乘除法有理数的乘除法 重点突破重点突破 知识点一知识点一 有理数的乘法有理数的乘法 有理数的乘法法则：有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同 0 相乘，都得 0. 倒数：倒数：乘积是 1 的两个有理数互为倒数倒数。 【注意】0 没有倒数。 （数 0a a 的倒数是 1 a ） 确定乘积符号：确定乘积符号： (1)若 a0,b0,则 ab 0 ; (3)若 ab0,则 a、b 同号 (4)若 ab0,则 a、b 异号 (5)若 ab = 0,则
2、 a、b 中至少有一个数为 0. 多个有理数相乘的法则及规律：多个有理数相乘的法则及规律： （1）几个不是 0 的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后， 把各个因数的绝对值相乘。 （2）几个数相乘，有一个因数为 0，积为 0；反之，如果积为 0，那么至少有一个因数是 0. 注意注意 在乘法计算时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先化成分数，再进行计算。 有理数的乘法运算律有理数的乘法运算律 乘法交换律：乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。 即a bb a 。 乘法结合律：乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个
3、数相乘，积相等。 即a bcab c 。 乘法分配律：乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 即abca ba c 。 知识点二知识点二 有理数的除法有理数的除法 有理数除法法则：有理数除法法则： （1）除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数。即 1 0abab b 。 （2）两数相除（被除数不为 0） ，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 【注意】0 除以任何不为 0 的数，都得 0。 除法步骤：除法步骤： 1.将除号变为乘号。 2.将除数变为它的倒数。 3.按照乘法法则进行计算。 考查题型考查题型 考查题型一考查题型一 有理数的乘法运算有理
4、数的乘法运算 典例典例 1 （2018 重庆市期末）在2，3，4，5 这四个数中，任取两个数相乘，所得积中最大的是（ ） A20 B20 C12 D10 【答案】C 【解析】本题考查的是有理数的乘法 根据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于一切负数，可知同号两数相乘的积大于异号两 数相乘的积，则只有两种情况，-2 （-5）与 3 4，比较即可得出 ，所得积最大的是，故选 C。 变式变式 1-1 （2018 保定市期中）已知：a2(10)，b2(10)，c2 ( 1 10)，下列判断正确的是( ) Aabc Bbca Ccba Dacb 【答案】B 【提示】首先利用有理数的加
5、法法则、减法法则、乘方法则计算出 a、b、c的值，再比较大小即可 【详解】a=-2+（-10）=-12，b=-2-（-10）=-2+10=8，c=-2 （-1 10）= 1 5， 81 5-12， bca， 故选：B 【名师点拨】此题主要考查了有理数的乘法、加法和减法，关键是熟练掌握计算法则 变式变式 1-2 （2018 漯河市期末）若|a|=4，|b|=5，且 ab0，则 a+b的值是（ ） A1 B9 C9 或9 D1 或1 【答案】D 【解析】试题提示：|a|4，|b|5，且 ab0， a4，b5；a4，b5， 则 ab1 或1， 故选 D 变式变式 1-3 （2020 银川市期中）已知
6、两个有理数 a，b，如果 ab0且 a+b0，那么（ ） Aa0，b0 Ba0，b0 Ca、b同号 Da、b 异号，且正数的绝对值较大 【答案】D 【提示】先由有理数的乘法法则，判断出 a，b 异号，再用有理数加法法则即可得出结论 【详解】ab0， a，b 异号， a+b0， 正数的绝对值较大， 故选 D 【名师点拨】本题考查了有理数的乘法、加法，熟练掌握和灵活应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键. 考查题型二考查题型二 有理数乘法的运算律有理数乘法的运算律 典例典例 2 （2020 承德市期末）用分配律计算 1314 48123 ，去括号后正确的是（ ） A 1431 43812 B
7、143414 4383123 C 143414 4383123 D 143414 4383123 【答案】D 【提示】根据乘法分配律可以将括号去掉，本题得以解决，注意符号的变化 【详解】解： 1314 48123 = 143414 4383123 ， 故选 D 【名师点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法 变式变式 2-1 （2019 梁山县期中）在 22 4 ( 7)( 5)(4 5) (7) 77 中，运用的是乘法的（ ） A交换律 B结合律 C分配律 D交换律和结合律 【答案】D 【提示】乘法交换律：两个因数交换位置，积不变如 a b=b a 乘法结
8、合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变如 a b c=a （b c） 【详解】 22 4 ( 7)( 5)(4 5) (7) 77 ，运用了乘法的交换律与结合律 故选 D. 【名师点拨】此题考查有理数的乘法，运算定律与简便运算，解题关键在于掌握运算法则 变式变式 2-2 （2018 福州市期末）若 201924=m，则 201925的值可表示为 ( ) Am+1 Bm+24 Cm+2019 Dm+25 【答案】C 【提示】因为 201925 =2019（24+1） ，利用乘法分配律得 201925 =201924+20191，即可求解. 【详解】201925 =2019（24+1）=201
9、924+20191 =201924+2019, 又201924=m, 201925 = m+2019. 故选 C. 【名师点拨】本题考查有理数的乘法-乘法分配律. 变式变式 2-3 （2017 绍兴市期中）运用分配律计算 57 13 716 时，下列变形最简便的是（ ） A 57 13 716 B 27 14 716 C 57 103 716 D 27 162 716 【答案】D 【详解】解：因为 57277167 13162167 16 71671616716 ， 计算 57 13 716 ， 最简便的方法是 27 162 716 . 故选：D 考查题型三考查题型三 倒数倒数 典例 3 （2
10、020 南昌市期末）2019的倒数是（ ） A2019 B 1 2019 C 1 2019 D2019 【答案】B 【提示】直接利用倒数的定义进而得出答案 【详解】2019 ( 1 2019 )=1， 2019的倒数 1 2019 . 故选 B. 【名师点拨】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键 变式变式 3-1 （2019 枣庄市期中）2019的倒数的相反数是（ ） A-2019 B 1 2019 C 1 2019 D2019 【答案】B 【提示】先求 2019 的倒数，再求倒数的相反数即可. 【详解】2019的倒数是 1 2019 ， 1 2019 的相反数为 1 2019 ，
11、 所以 2019 的倒数的相反数是 1 2019 ， 故选 B 【名师点拨】本题考查了倒数和相反数，熟练掌握倒数和相反数的求法是解题的关键 变式变式 3-2 （2019 石家庄市期中）若 1 2的倒数与 + 4互为相反数，则的值是（ ） A1 B1 C2 D2 【答案】D 【提示】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可 【详解】 1 2的倒数与 m+4 互为相反数，得 m+4=2， 解得 m=2， 故选：D. 【名师点拨】本题考查了倒数与相反数定义。 变式变式 3-3 （2017 长沙市期中）下列各对数是互为倒数的是（ ） A4 和4 B3和 1 3 C2和 1 2 D0和
12、0 【答案】C 【解析】试题解析：A、4 （-4）1，选项错误； B、-31 3 1，选项错误； C、-2 （- 1 2 ）=1，选项正确； D、001，选项错误 故选 C 考查题型四考查题型四 有理数的除法运算有理数的除法运算 典例典例 4 （2019 长沙市期中）小华作业本中有四道计算题：0（5）=5；（3）+（9）=12；2 3 （ 9 4）= 3 2；（36）（9）=4其中他做对的题的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B 【提示】根据有理数的运算法则逐个计算提示. 【详解】0（5）=5； （3）+（9）=12； 2 3（ 9 4）= 3 2； （36）（9）
13、=4 所以，只有正确. 故选：B 【名师点拨】本题考核知识点：有理数运算.解题关键点:掌握有理数运算法则. 变式变式 4-1 （2020 泉州市期中）有理数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则下列判断正确的是( ) A a b 0 Bab0 C|a|b| Dab0、n0，则 |n| + m mn = mn mn =1-1=0； 若 m0，则 |n| + m mn = mn mn =-1+1=0； 综上可知 |n| + m mn 的值为 0或 2 或-2，不可能是 1， 故选 B. 【名师点拨】本题考查了绝对值的化简，分类讨论 m、n 的不同情况是解决本题的关键. 考查题型五考查题型五 有理数的
14、除法应用有理数的除法应用 典例典例 5（2018 宜昌市期中） 一道计算题不慎被墨水覆盖了一部分， 则覆盖的数字为 （ ） A3 B3 C6 D6 【答案】B 【提示】设被墨水覆盖了一部分为 x，在代入式中计算即可. 【详解】设被墨水覆盖了一部分为 x， 则（-3）x=-9， x=3. 故答案选：B. 【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的应用. 变式变式 5-1 （2019 大庆市期中）一双鞋打八折后是 60元，这双鞋原来( )元 A65 B72 C75 D20 【答案】C 【提示】打八折是指现价是原价的 80%，用除法就可以求出原价 【详解】这双鞋原
15、来价格为：60 80%=75（元） 故选：C 【名师点拨】此题考查有理数除法的应用，解题关键是理解打折的含义，打几折，现价就是原价的百分之几十 变式变式 5-2 （2018 北京市期末） （原创）按 100 分制 60 分及格来算，满分是 150 分的及格分是（ ） A60 分 B72 分 C90 分 D105 分 【答案】B 【解析】试题提示：先根据“100 分制 60 分及格”求得及格的百分数，即可求得结果. 由题意得满分是 120 分的及格分分，故选 B. 考查题型六考查题型六 有理数的乘除混合运算有理数的乘除混合运算 典例典例 6（2018 北京市期中） 122 31 335 【答案】
16、 4 5 【解析】 122 31 335 1032 355 1032 355 4 5 变式变式 6-1 （2018 北京市期中） 122 31 335 【答案】 4 5 【解析】 122 31 335 = 1032 355 = 1032 355 4 5 变式变式 6-2 （2019 怀柔区期末）计算： （ 3 4 ） （ 1 2 ） （2 1 4 ） 【答案】 1 6 【提示】先确定结果的符号，把除法统一成乘法，利用乘法法则计算出结果. 【详解】原式 3 4 1 2 4 9 1 6 【名师点拨】此题考查有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键. 考查题型七考查题型七 有
17、理数加减乘除混合运算有理数加减乘除混合运算 典例 7 （2018 陕西洛南 初一期末）计算： 5285 2 2514 【答案】 3 2 根据有理数混合运算法则可以解答本题 【详解】原式= 52815 25214 = 5 1 2 = 3 2 【名师点拨】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法 变式变式 7-1 （2019 石家庄市期中）计算： 118 22 223 【答案】 1 3 6 【提示】根据有理数混合运算法则及绝对值的意义可以解答本题 【详解】原式= 1118 2 2223 = 12 2 23 = 1 3 6 【名师点拨】本题考查了有理数的混合运算及绝对值的意义，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法及 绝对值的意义 变式变式 7-2（2018 南阳市期中）计算：8 （ 2 5 ）（4） （ 2 9 ）+（8）3 5 ； 3 4 （8 4 3 8 15 ）+6 （ 1 10 ） 【答案】8 8 9 ；4 【解析】试题提示： （1）根据本题特点，逆用“乘法分配律”进行计算，可使运算简便一些； （2）根据“乘法分配律”结合有理数的乘法法则计算即可. 试题解析： 原式= 213108 8 ()88 59599 ； 原式= 23 6 14 55 .