1、1第五单元 四边形第 20讲 多边形命题点 多边形及其内角和、外角和1(2017河北 T162分)已知正方形 MNOK和正六边形 ABCDEF边长均为 1，把正方形放在正六边形中，使 OK边与 AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B顺时针旋转，使 KM边与 BC边重合，完成第一次旋转；再绕点 C顺时针旋转，使 MN边与 CD边重合，完成第二次旋转；在这样连续 6次旋转的过程中，点 B，M 间的距离可能是(C)A1.4 B1.1 C0.8 D0.52(2015河北 T193分)平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则312
2、243(2018河北 T196分)如图 1，作BPC 平分线的反向延长线 PA，现要分别以APB，APC，BPC 为内角作正多边形，且边长均为 1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案例如，若以BPC 为内角，可作出一个边长为 1的正方形，此时BPC90，而 45是 360(多边形外角和)的 ，这样就恰好可作出两个902 18边长均为 1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图 2所示图 2中的图案外轮廓周长是 14；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是 214(2016河北 T229分)已知 n边形的内角和 (n2)180.(1)甲同
3、学说， 能取 360；而乙同学说， 也能取 630.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数 n；若不对，说明理由；(2)若 n边形变为(nx)边形，发现内角和增加了 360，用列方程的方法确定 x.解：(1)甲对，乙不对理由：360，(n2)180360.解得 n4.630，(n2)180630.解得 n .112n 为整数， 不能取 630.甲对，乙不对(2)依题意，得(n2)180360(nx2)180.解得 x2.2重难点 多边形的内角和与外角和在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的 3倍还大 20.(1)这个多边形的边数为 9；(2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角
4、和是 1_080或 1_260或 1_440【思路点拨】(1)由这个多边形的各个内角、外角均相等，可以用内角与相邻外角互补建立方程来求得外角，再由外角和等于 360求边数；(2)一个多边形切去一个角，这个角有三种位置：一是过两个顶点，二是过一个顶点及边上任一点，三是过相邻两边的任意两点，进而得到剩下多边数的边数，再利用多边形的内角和公式来求解【变式训练 1】如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是(B)A B C D方 法 指 导1从多边形(边数大于 3)剪下一个角，得到图形的边数可能比原图形边数大 1或相等或小 1.2一个多边形，若边数
5、增加 1，则内角和增加 180.多边形剪下一个角，有三种情况，容易忽略丢掉其他情况 易 错 提 示【变式训练 2】(2018河北模拟)在一个多边形中，一个内角相邻的外角与其他各内角的和为 600.(1)如果这个多边形是五边形，请求出这个外角的度数；(2)是否存在符合题意的其他多边形？如果存在，请求出边数及这个外角的度数；如果不存在，请说明理由解：(1)设这个外角的度数是 x.由题意，得(52)180(180x)x600.解得 x120.故这个外角的度数是 120.(2)存在设这个多边形的边数为 n，这个外角的度数是 x.由题意，得(n2)180(180x)x600.整理，得 x57090n.0
6、x180，即 057090n180.解得 4 n6 .13 13又n 为正整数，n5 或 n6.当 n6 时，x30.故这个多边形的边数是 6，这个外角的度数为 30.本题注意隐含条件的挖掘，即邻补角和为 180及凸多边形的一个内角是小于平角的角方 法 指 导1(2018云南)一个五边形的内角和为(A)A540 B450 C360 D1802(2018呼和浩特)已知一个多边形的内角和为 1 080，则这个多边形是(B)A九边形 B八边形 C七边形 D六边形3(2018北京)若正多边形的一个外角是 60，则该正多边形的内角和为(C)A360 B540 C720 D9004(2018河北模拟)连接
7、多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了 4个三角形，则原多边形是(C)A四边形 B五边形 C六边形 D七边形5(2018济宁)如图，在五边形 ABCDE中，ABE300，DP，CP 分别平分EDC，BCD，则P(C)A50 B55 C60 D6536(2018石家庄模拟)有公共顶点 A，B 的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接 AC交正六边形于点D，则ADE 的度数为(B)A144 B84 C74 D54提示：ADE 是四边形 ADEB的一个内角7(2018宿迁)若一个多边形的内角和是其外角和的 3倍，则这个多边形的边数是 88(2018上海)通过画出多边形的对角线，可以把
8、多边形内角和问题转化为三角形内角和问题如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2条，那么该多边形的内角和是 540度9(2018山西)图 1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美图 2是从图 1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则12345360 度10一个机器人以 0.2 m/s的速度在平地上按下图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需时间为 80_s11(2018河北模拟)如图，多边形 ABCDEF与 AGHEMN都是正六边形，则FAN 的度数为(C)A15 B20 C30 D4512(2018河北模拟)
9、边长均为 1的等边三角形和正六边形按如图所示摆放，正六边形保持不动，等边三角形依次绕正六边形的顶点，按顺时针方向，经过六次旋转，在正六边形边上旋转一周，M 为正六边形的顶点，N 为等边三角形的顶点，则在旋转过程中，M，N 两点的距离一定不能是(D)A1.9B2.1C2.9D3.1413(2017河北模拟)看图回答问题：(1)内角和为 2 018，佳佳为什么说不可能？(2)音音求的是几边形的内角和？解：(1)n 边形的内角和是(n2)180，内角和一定是 180的倍数2 0181801138，内角和为 2 018不可能(2)设漏加的内角为 x，依题意，得(n2)1802 018x，x180n2 378.90x180，90180n2 378180.解得 13 n14 ，且 n为整数3245 1990多边形的边数是 14.故音音求的是十四边形的内角和