1、1第 28讲 图形的平移、旋转与位似命题点 近 8年的命题形式 考查方向平移 2018(T15选)，2014( T24解)，2011(T17填)由于平移的性质比较简单，因此考查的频率较少，注意平移的隐性考查，即函数图象的平移越来越可能出现在中考的题目中.旋转2017(T25解、 T23解)，2015(T26解)，2014( T23解)，2013(T20填、 T24解、 T26解)，2011(T25解)主要是解答题形式，以常见的几何图形为背高 频 考 点景，旋转为操作手段，通过对特殊位置的研究，考查几何图形的性质，综合解题能力.位似 2012(T23解)，2011( T20(1)解) 既考查位似
2、作图，又考查在位似变换的条件下，探究变换后原来结论是否成立.命题点 1 图形的平移1(2011河北 T173分)如图 1，两个等边 ABD， CBD的边长均为 1，将 ABD沿 AC方向向右平移到A B D的位置，得到图 2，则阴影部分的周长为 2图 1 图 2命题点 2 位似2(2011河北 T208分)如图，在 68网格图中，每个小正方形边长均为 1，点 O和 ABC的顶点均为小正方形的顶点(1)以 O为位似中心，在网格图中作 A B C，使 A B C和 ABC位似，且位似比为 12；(2)连接(1)中的 AA，求四边形 AA C C的周长(结果保留根号)解：(1)如图所示(2)AA C
3、C2.在 Rt OA C中， OA OC2， A C2 .2同理可得， AC4 .2四边形 AA C C的周长为 46 .22重难点 1 图形的平移在由相同的小正方形组成的 34的网格中，有 3个小正方形已经涂黑，请你再涂黑一个小正方形，使涂黑的四个小正方形中，其中两个可以由另外两个平移得到，则还需要涂黑的小正方形序号是( D)A或 B或 C或 D或【变式训练 1】 (2017石家庄模拟)如图，将边长为 2个单位长度的等边ABC 沿边 BC向右平移 1个单位长度得到DEF，则四边形 ABFD的周长为 8个单位长度【变式训练 2】 如图，边长为 8 cm的正方形 ABCD 先向上平移 4 cm，
4、再向右平移 2 cm，得到正方形ABCD，此时阴影部分的面积为 24_cm2判断两个图形之间的平移情况时，两个图形必须全等，才可以转化成图形上对应点的平移方 法 指 导易把图形的平移与图形轴对称混淆，从而产生错误易 错 提 示重难点 2 与图形的旋转相关的计算与证明如图，在 RtABC 中，C90，点 D为 AC边上一点，将线段 AD绕点 A逆时针旋转到线段 AE，使得AEAB，且点 E，D，B 恰好在同一直线上，作 EMAC 于点 M.(1)若线段 AD逆时针旋转了 54，求CBD 的度数；(2)求证：ABEMBC.【思路点拨】 (1)求CBD 的度数可以转化成求ADE 的度数，求ADE 的
5、度数相当于在等腰ADE 中，已知顶角求底角；(2)对于证明 ABEMBC，可作 DFAB 于 F，先证明 AFEM，再证明 BFBC.【自主解答】 解：(1)由旋转的性质，得 ADAE，DAE54，ADE (180DAE) (18054)63.12 12BDCADE63，C90，CBD90BDC906327.(2)证明：过点 D作 DFAB 于点 F.AEAB，EMAC，AEMEAMDAFEAM90，即AEMDAF.3在AEM 和DAF 中， AEM DAF， AME DFA 90，AE DA， )AEMDAF( AAS)AFEM.CBDBDC90，ABDAED90，AEDADEBDC，CBD
6、ABD.又DCBC，DFBF，CDFD.在 RtBCD 和 RtBFD 中， BD BD，CD FD， ) RtBCD RtBFD( HL)BCBF.又ABAFBF，ABEMBC.【变式训练 3】 (2018南充)如图，在矩形 ABCD中，AC2AB，将矩形 ABCD绕点 A旋转得到矩形 ABCD，使点 B的对应点 B落在 AC上，BC交 AD于点 E，在 BC上取点 F，使 BFAB.(1)求证：AECE；(2)求FBB的度数；(3)已知 AB2，求 BF的长解：(1)证明：在 RtABC 中，AC2AB，ACBACB30，BAC60.由旋转，得 ABAB，BACBAC60.EACACB30
7、.AECE.(2)BAC60，ABAB，ABB为等边三角形ABBB，ABB60.FBB150.BFABBB，FBB (180FBB)15.12(3)过点 B作 BHBC，垂足为 H.BBH30，BB2，BH1，BH .FH 2.3 3BF .12 （ 2 3） 2 8 43 6 2方 法 指 导1一条线段旋转相当于形成一个等腰三角形，旋转角是等腰三角形的顶角，同样等腰三角形也可以看作一条线段绕它的一个端点旋转得到图形2证明一条线段等于两条线段的和，通常用截长法或补短法，表示为：若证明 abc，先从 a中截取dc，再证明剩下的 eb 或先把 b，c 补成一条线段，再证明补得的线段与 a相等注：本
8、题还可以先截取 AFEM，再证明 BFBC.重难点 3 位似如图，等腰OBA 和等腰ACD 是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是(2，0)【思路点拨】 由于位似中心是对应点连线的交点，对应边平行或在同一条直线上，因此连接 CB并延长与 x轴的交点即所求4【变式训练 4】 (2018河北模拟)如图，在平面直角坐标系中，与ABC 是位似图形的是( C)A B C D【变式训练 5】 (2018承德模拟)在平面直角坐标系中，点 A(6，3)，以原点 O为位似中心，在第一象限内把线段 OA缩小为原来的 得到线段 OC，则点 C的坐标为( A)13A(2，1) B(2，0) C(3，3) D(
9、3，1)方 法 指 导1位似的两个图形，只可能有一个位似中心，位似中心是两对对应点连线的交点2位似比确定，位似中心确定，可作一个图形的两个位似图形，且分居位似中心两侧，大小、形状相等作一个图形的位似图形时，可能漏掉一个易 错 提 示1如图，将方格纸中上面的图形平移后和下面的图形拼成一个长方形，那么正确的平移方法是( C)A先向下移动 1格，再向左移动 1格B先向下移动 1格，再向左移动 2格C先向下移动 2格，再向左移动 1格D先向下移动 2格，再向左移动 2格2(2018唐山路北区二模)如图，将正方形 ABCD中的阴影三角形绕点 A顺时针旋转 90后，得到的图形为( A)A B C D53(
10、2017枣庄)将数字“6”旋转 180，得到数字“9” ，将数字“9”旋转 180，得到数字“6” ，现将数字“69”旋转 180，得到的数字是( B)A96 B69 C66 D994如图，将ABC 的三边分别扩大一倍，得A 1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点 P为位似中心的位似图形，则点 P的坐标是( D)A(2，0) B(1，0) C(0，2) D(0，1)5如图，若正六边形 ABCDEF绕着中心点 O旋转 度后得到的图形与原来图形重合，则 的最小值为( D)A120 B90 C45 D606(2017天津)如图，将ABC 绕点 B顺时针旋转 60得到DBE，点 C的对应点 E恰好落
11、在 AB延长线上，连接AD.下列结论一定正确的是( C)AABDE BCBECCADBC DADBC7(2018大连)如图，将ABC 绕点 B逆时针旋转 ，得到EBD.若点 A恰好在 ED的延长线上，则CAD 的度数为( C)A90 B C180 D28(2018唐山乐亭县一模)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1.图中线段 AB和点 P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段 AB和点 P，则点 P所在的单位正方形区域是( D)A B C D69(2018枣庄)如图，在正方形 ABCD中，AD2 ，把边 BC绕点 B逆时针旋转 30得到线段 BP，连接 AP并延3长交 CD于点 E，连接 PC
12、，则三角形 PCE的面积为 95 310(2018曲靖)如图，图形均是以 P0为圆心，1 个单位长度为半径的扇形，将图形分别沿东北，正南，西北方向同时平移，每次移动 1个单位长度，第一次移动后图形的圆心依次为 P1，P 2，P 3；第二次移动后图形的圆心依次为 P4，P 5，P 6；依此规律，P 0P2 018673 个单位长度11(2018吉林)如图是由边长为 1的小正方形组成的 48网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D 均在格点上，在网格中将点 D按下列步骤移动：第一步：点 D绕点 A顺时针旋转 180得到点 D1；第二步：点 D1绕点 B顺时针旋转 90得到点 D2；第三步
13、：点 D2绕点 C顺时针旋转 90回到点 D.(1)请用圆规画出点 DD 1D 2D 经过的路径；(2)所画图形是轴对称图形；(3)求所画图形的周长(结果保留 )解：(1)如图所示(3)所画图形周长为 4 8 .90 418012(2017徐州)如图，已知 ACBC，垂足为 C，AC4，BC3 ，将线段 AC绕点 A按逆时针方向旋转 60，得3到线段 AD，连接 DC，DB.7(1)线段 DC4；(2)求线段 DB的长度解：ACAD，CAD60，ACD 是等边三角形DCAC4.过点 D作 DEBC 于点 E.ACD 是等边三角形，ACD60.又ACBC，DCEACBACD906030.在 Rt
14、CDE 中，DE DC2，CEDC cos304 2 .12 32 3BEBCCE3 2 .3 3 3在 RtBDE 中，BD .DE2 BE2 713(2018宜宾)如图，将ABC 沿 BC边上的中线 AD平移到ABC的位置，已知ABC 的面积为 9，阴影部分三角形的面积为 4.若 AA1，则 AD 等于( A)A2 B3 C. D.23 3214(2018邯郸模拟)一个数学游戏，正六边形被平均分为 6格(其中 1格涂有阴影)，规则如下：若第一个正六边形下面标的数字为 a(a为正整数)，则先绕正六边形的中心顺时针旋转 a格；再沿某条边所在的直线 l翻折，得到第二个图形例如：若第一个正六边形下
15、面标的数字为 2，如图，则先绕其中心顺时针旋转 2格；再沿直线 l翻折，得到第二个图形若第一个正六边形下面标的数字为 4，如图，按照游戏规则，得到第二个图形应是( A)15(2018石家庄模拟)如图，已知AOB90，点 A绕点 O顺时针旋转后的对应点 A1落在射线 OB上，点 A绕点 A1顺时针旋转后的对应点 A2落在射线 OB上，点 A绕点 A2顺时针旋转后的对应点 A3落在射线 OB上，连接8AA1，AA 2，AA 3，依此作法，则AA 2A3157.5，AA nAn1 (180 )(用含 n的代数式表示，n 为正整902n数)16如图，ABC 为等腰三角形，ABAC，D 为ABC 内一点
16、，连接 AD，将线段 AD绕点 A旋转至 AE，使得DAEBAC，F，G，H 分别为 BC，CD，DE 的中点，连接 BD，CE，GF，GH.(1)求证：GHGF；(2)试说明FGH 与BAC 互补解：(1)证明：DAEBAC，BADCAE.在ABD 和ACE 中，AB AC， BAD CAE，AD AE， )ABDACE( SAS)BDCE.F，G，H 分别为 BC，CD，DE 的中点，HGCE，GFBD，且 GH CE，GF BD.GHGF.12 12(2)ABDACE，ABDACE.HGCE，GFBD，HGDECD，GFCDBC.HGDACDACEACDABD，DGFGFCGCFDBCG
17、CF.FGHDGFHGDDBCGCFACDABDABCACB180BAC.FGH 与BAC 互补17如图 1，在ABCD 中，AB10 cm，BC4 cm，BCD120，CE 平分BCD 交 AB于点 E.点 P从 A点出发，沿AB方向以 1 cm/s的速度运动，连接 CP，将PCE 绕点 C逆时针旋转，使 CE与 CB重合，得到QCB，连接 PQ.(1)求证：PCQ 是等边三角形；(2)如图 2，当点 P在线段 EB上运动时，PBQ 的周长是否存在最小值？若存在，求出PBQ 周长的最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图 3，当点 P在射线 AB上运动时，是否存在以点 P，B，Q 为顶点的直
18、角三角形？若存在，求出此时 t的值；若不存在，请说明理由9解：(1)证明：由旋转性质，得PCEQCB，CPCQ，PCEQCB.BCD120，CE 平分BCD，BCE60.PCQ60.PCQ 为等边三角形(2)CE 平分BCD，BCE60.四边形 ABCD是平行四边形，ABCD.ABC18012060.BCE 为等边三角形BECB4.由(1)得，PCEQCB，EPBQ.C PBQ PBBQPQPBEPPQBEPQ4CP.当 CPAB 时，CP 最小CP 最小值 BC sin602 .3PBQ 周长最小值为 42 .3(3)当 0t6 时，由旋转可知，CPECQB，CEPCBQ，由(2)知，BCE
19、 为等边三角形，CEB60.CBQCEP18060120.PBQ1206060.又BPQCPQCPB60，PQB 可能为直角由(1)知，PCQ 为等边三角形，PQC60，CQB30.CQBCPB，CPB30.CEB60，ECPEPC30.PECE4.APAEEP642.t212( s)当 t6 时，点 P，C，E 不能构成三角形当 6t10 时，由PBQ12090，不存在当 t10 时，由旋转得，PBQ60，由(1)得，CPQ60，BPQCPQBPC60BPC.BPC0，BPQ60.BPQ90.BCP30.BPBC4.AP14 cm.t14 s.综上所述，t 为 2 s或 14 s时，符合题意