1、1第 14 讲 三角形的基础知识命题点 1 三角形的稳定性及三边关系1(2018河北 T13 分)下列图形具有稳定性的是(A)2(2011河北 T103 分)已知三角形三边长分别为 2，x，13，若 x 为正整数，则这样的三角形个数为(B)A2 B3 C5 D133(2013河北 T153 分)如图 1，M 是铁丝 AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成ABC，且B30，C100，如图 2，则下列说法正确的是(C)图 1 图 2A点 M 在 AB 上B点 M 在 BC 的中点处C点 M 在 BC 上，且距点 B 较近，距点 C 较远D点 M 在 BC 上，且距点 C 较近，距点 B 较远命题点 2
2、 三角形内角和定理及推论4(2014河北 T42 分)如图，平面上直线 a，b 分别过线段 OK 两端点(数据如图)，则 a，b 相交所成的锐角是(B)A20 B30 C70 D805(2013河北 T133 分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若350，则12(B)A90 B100 C130 D180命题点 3 三角形的中位线6(2014河北 T22 分)如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点若 DE2，则 BC(C)A2 B3 C4 D57(2015河北 T152 分)如图，点 A，B 为定点，定直线 lAB，P 是 l 上一动点，点 M，N 分别为 PA，PB
3、 的中点，对下列各值：线段 MN 的长；PAB 的周长；PMN 的面积；直线 MN，AB 之间的距离；APB 的大小其中会随点 P 的移动而变化的是(B)A B C D28(2017河北 T173 分)如图，A，B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离于是，小明在岸边选一点 C，连接 CA，CB，分别延长到点 M，N，使 AMAC，BNBC，测得 MN200 m，则 A，B 间的距离为 100m.重难点 1 三角形边与角的性质如图，D 是ABC 边 BA 延长上一点(1)若 BC3，AC6，则 AB 的长在什么范围？若 AC6，则ABC 的周长可能是(D)A8 B10 C12 D14(2)若CA
4、B36，BACB，则ACB72；若CABBACB357，求CAD 的度数；若 CE 是ABC 的角平分线，CAD CEA，BCA80，求CEA 的度数43【思路点拨】(1)可利用三角形三边大小关系来解；(2)可利用三角形内角和为 180，通过方程(组)来求解；设每份为 x，利用三角形内角和，求出CAB，再利用互补求CAD；需要利用外角与内角之间的数量关系，再结合已知条件求解【自主解答】解：(1)由三角形任意两边和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，ACBCABBCAC，所以 3AB9.(2)CABBACB357，设CAB3x，B5x，ACB7x.CABBACB180，3x5x7x180，
5、解得 x12.CAB36.CAD180CAB144.CADCEAECA，CAD CEA，43CEA3ECA.CE 是ABC 的角平分线，CEA BCA120.32【变式训练 1】(2018长沙)下列长度的三条线段，能组成三角形的是(B)A4 cm，5 cm，9 cm B8 cm，8 cm，15 cmC5 cm，5 cm，10 cm D6 cm，7 cm，14 cm【变式训练 2】(2018长春)如图，在ABC 中，CD 平分ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEBC 交 AC 于点 E.若A54，B48，则CDE 的大小为(C)3A44B40C39D38方 法 指 导1三角形三边大小关
6、系实际上是两点之间线段最短在三角形知识中的具体应用；还可以从不等式组的解集角度来进行处理，解决一些特殊解问题；判断三条线段是否能组成三角形，只需满足两较小线段的和大于最大线段即可2三角形中求角常用到下列知识：(1)三角形内角和定理；(2)三角形外角与内角之间的数量关系；(3)角平分线的定义；(4)平行线的性质；其中利用三角形内角和定理求角时，包括三种类型：已知两角求第三角，已知一个角以及两角的数量关系，求这两个角；已知三个角的数量关系，求这三个角重难点 2 三角形中的重要线段如图，CD，CE，CF 分别是ABC 的高、角平分线、中线(1)有四种说法：BA2BF；ACE ACB；AEBE；CDA
7、B，则错误的说法是；12(2)若A72，ABC28，求DCE；(3)BG 是ABC 的高，A72，求DHB；(4)若 M 是 BC 的中点，若A90，AB16，BC20，求 FM 的长【思路点拨】 (1)由三角形高线，角平分线，中线的定义进行判断即可；(2)先由A，ABC 可求ACB，由CE 是角平分线，可求得ACE，从而可利用ACE 和ACD 作差可解决问题；(3)由四边形内角和是 360，可求得DHG，由互补可求得DHB；(4)由勾股定理求 AC，由中位线定理求 AC.【自主解答】解：(2)A72，ABC28，ACB80.CE 是ABC 的角平分线，ACEBCE40.A72，CD 是ABC
8、 的高，ACD18.DCEACEACD22.(3)BG 是ABC 的高，CD 是ABC 的高，ADCAGH90.AADCDHGAGH360，DHG108.DHB180DHG72.(4)A90，AB16，BC20，AC12.4FM 是ABC 的中位线，FM AC6.12【变式训练 3】(2018贵阳)如图，在ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是ABC 的中线，则该线段是(B)A线段 DE B线段 BE C线段 EF D线段 FG【变式训练 4】(2018唐山乐亭县二模)如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，点F 是 BD 的中点若
9、 AB10，则 EF(A)A2.5 B3 C4 D5方 法 指 导1三角形同一顶点上角平分线与高线的夹角等于其他两个角差的一半；如下图所示：DAE (BC)122三角形两条高线的夹角与第三个角相等或互补；如下图所示：AOEC，AOBC180.3三角形中，已知中点求边长(或周长)问题，往往要用到三角形中位线定理中线和中位线是易混淆的两个概念，中线是连接顶点与对边中点之间的线段，中位线是连接两边中易 错 提 示点之间的线段，中线把三角形面积等分，中位线把三角形面积分为 13.1下列图形中，具有稳定性的是(B)2(2018石家庄十八县大联考)如图，长度为 10 m 的木条，从两边各截取长度为 x m
10、 的木条，若得到的三根木条能组成三角形，则 x 可以取的值为(C)5A2 B. C3 D6523(2018眉山)将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30角的三角板的一条直角边和含 45角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则 的度数是(C)A45 B60 C75 D854(2018黄石)如图，ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE，BF 分别是BAC，ABC 的平分线，BAC50，ABC60，则EADACD(A)A75 B80 C85 D905 【转化思想】(2018石家庄裕华区模拟)如图，将ABC 沿 DE，EF 翻折，顶点 A，B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB重合于线
11、段 EO.若DOF142，则C 的度数为(A)A38 B39 C42 D486如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，M，N，P 分别是 AD，BC，BD 的中点若MPN130，则NMP 的度数为(C)A10 B15 C25 D407(2018淄博)已知：如图，ABC 是任意一个三角形，求证：ABC180.证明：过点 A 作 EFBC，EFBC，EABB，FACC.EABFACBAC180.BACBC180，即ABC180.8(2018石家庄裕华区模拟)如图，ABC 的顶点落在两条平行线上，点 D，E，F 分别是ABC 三边中点，平行6线间的距离是 8，BC6，移动点 A，当 CDBD 时，E
12、F 的长度是 5提示：过点 D 作 DHBC 于点 H，BC6，CDBD，BHCH3.平行线间的距离是 8，点 D 是 AB 的中点，DH4.在 RtBDH 中，由勾股定理知，BD 5.点 D 是 AB 的中点AB2BD10.又点 E， FDH2 BH2分别是 AC，BC 的中点，EF 是ABC 的中位线EF AB5.129(2017河北模拟)已知在ABC 中，A165，我们做如下操作，如图以 B 为顶点，以 AB 为一边，在ABC 的外部作A 1BAABC，以 C 为顶点，以 AC 为一边，在ACB 的外部作A 1CAACB，我们记作 1 次操作；以 B 为顶点，以 A1B 为一边，在A 1
13、BA 的外部作A 2BA1A 1BA，以 C 为顶点，以 A1C 为一边，在A 1CA 的外部作A 2CA1A 1CA，我们记作 2 次操作；则A 1150；若能进行 n 次操作，则 n 的最大值为 1010如图，在ABC 中，点 D 为边 AC 的中点，且 DBBC，BC4，CD5.(1)求 DB 的长；(2)在ABC 中，求边 BC 上的高解：(1)DBBC，DBC90.在 RtDBC 中，BC4，CD5，DB 3.CD2 BC2 52 42(2)过 A 作 AEBC 交线段 CB 延长线于点 E，则 AEDB.点 D 为 AC 的中点，DB 为ACE 的中位线AE2DB6.边 BC 上的
14、高为 6.11如图 1，在ABC 中，CD，CE 分别是ABC 的高和角平分线，BAC，B()7图 1 图 2 图 3(1)若BAC70，B40，求DCE 的度数；(2)若BAC，B()，则DCE (用含 ， 的代数式表示)； 2(3)若将ABC 换成钝角三角形，如图 2，其他条件不变，试用 ， 的代数式表示DCE 的度数并说明理由；(4)如图 3，若 CE 是ABC 外角ACF 的平分线，交 BA 的延长线于点 E.且 30，则DCE75(直接写出结果)解：(1)BAC70，B40，ACB180(BACB)70.又CE 是ACB 的平分线，ACE ACB35.12CD 是高线，ADC90.ACD90BAC20.DCEACEACD15.(3)DCE ()理由：12ACB180(BACB)180()，CE 是ACB 的平分线，ACE ACB90 ()12 12CD 是高线，ADC90.ACDBAC9090.DCEACEACD90 ()9012 ()12