1、1第 17讲 全等三角形命题点 全等三角形的性质与判定1(2016河北 T219分)如图，点 B，F，C，E 在直线 l上(F，C 之间不能直接测量)，点 A，D 在 l异侧，测得ABDE，ACDF，BFEC.(1)求证：ABCDEF；(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由解：(1)证明：BFEC，BFFCECCF，即 BCEF.又ABDE，ACDF，ABCDEF(SSS)(2)ABDE，ACDF.理由：ABCDEF，ABCDEF，ACBDFE.ABDE，ACDF.2(2014河北 T2311分)如图，ABC 中，ABAC，BAC40，将ABC 绕点 A按逆时针方向旋转 100，得到ADE，
2、连接 BD，CE 交于点 F.(1)求证：ABDACE；(2)求ACE 的度数；(3)求证：四边形 ABFE是菱形解：(1)证明：由旋转性质，得BACDAE40，BADCAE100，又ABAC，ABACADAE.在ABD 和ACE 中，AB AC， BAD CAE，AD AE， )ABDACE(SAS)(2)CAE100，ACAE，ACE (180CAE) (180100)40.12 12(3)证明：BADCAE100，ABACADAE，ABDADBACEAEC40.BAEBADDAE140，BFE360BAEABDAEC140.BAEBFE.四边形 ABFE是平行四边形ABAE，四边形 AB
3、FE是菱形3(2018河北 T239分)如图，AB50，P 为 AB中点，点 M为射线 AC上(不与点 A重合)的任意一点，2连接 AP，并使 MP的延长线交射线 BD于点 N，设BPN.(1)求证：APMBPN；(2)当 MN2BN 时，求 的度数；(3)若BPN 的外心在该三角形的内部，直接写出 的取值范围解：(1)证明：P 为 AB中点，APBP.在APM 和BPN 中， A B，AP BP， APM BPN， )APMBPN(ASA)(2)由(1)的结论可知：PMPN，2PNMN.又MN2BN，PNBN.B50.(3)4090.重难点 全等三角形的性质与判定某产品的商标如图所示，O 是
4、线段 AC，DB 的交点，且 ACBD，ABDC，嘉琪认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：ACDB，AOBDOC，ABDC，ABODCO.你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程【思路点拨】判定两个三角形是否满足全等条件“SAS” 【自主解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由已知条件不能直接得到这两个三角形全等可考虑连接BC，由 SSS可先得ABC 和DCB 全等，由全等三角形的性质，可得到AD，再根据AOBDOC，ABDC，由 AAS判断得到ABODCO.【变式 1】 如图，已知 ABCD，AD，求证：ABCDCB.【思
5、路点拨】 先判定AEBDEC，再判定ABCDCB.证明：ABCD，AD，AEBDEC，AEBDEC(AAS)BECE，ABEDCE.EBCECB.ABCDCB.3在ABC 和DCB 中， AB DC， ABC DCB，BC CB， )ABCDCB(SAS)【变式 2】 如图，已知点 D在 AB上，点 E在 AC上，BE 和 CD相交于点 O，OBOC，BC.求证：ABEACD.【思路点拨】先判定DOBEOC，再判定ABEACD.证明：在OBD 和OCE 中， B C，OB OC， DOB EOC， )OBDOCE(ASA)ODOE.BECD.AA，BC，ABEACD(AAS)【变式 3】如图，
6、已知 AC，BD 相交于点 O，DBACAB，12.求证：CDADCB.【思路点拨】先判定DABCBA，再判定ADCBCD，再由全等的性质得CDADCB.证明：DBACAB，12，ABBA，DABCBA(AAS)ACBD，ADBC.CDDC，ADCBCD(SSS)CDADCB.【拓展】点 D在ABC 的边 BC上，BEAD，CFAD，垂足分别为 E，F，BECF，请你判断 AD是不是ABC 的中线，如果是，请给出证明【思路点拨】由BDE 和CDF 全等，可得 AD是ABC 的中线证明：CFDBED，CFBE，又BDECDF， BDECDF(AAS)BDDC.AD 是ABC 的中线方 法 指 导
7、1要证三角形全等，至少要有一组边相等的条件，所以一般情况下，我们先找对应边相等2在有一组对应边相等的前提下，找任意两组对应角相等即可；在有两组对应边分别相等的前提下，可以找第三组对应边相等，或者找这两组对应边的夹角相等，注意必须是夹角；4若有三组对应边分别相等，则可以直接根据边边边求解3题目可能隐含着条件(公共边或公共角)，再根据三角形全等的判定方法还需要寻找什么样的条件探究证明思路时，往往用到执因寻果，执果寻因，两头碰等方法本例题大都含有基本图形“燕子图” ，在条件给足的背景下，两个三角形是全等的，从图形变换条件，模 型 建 立两个三角形关于过公共顶点的一条竖直直线对称归纳几何基本图形，然后
8、对基本图形进行变式与拓展，是学习几何图形相关知识的重要手段如：旋转模型三垂直模型,一线三等角模型,易错提示)已知两边及一边对角对应相等的两个三角形，不全等，即“SSA”得不到两个三角形全等 【变式训练 1】(2018安顺)如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE相交于点 O，已知 ABAC，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABEACD(D)ABCBADAECBDCEDBECD 【变式训练 2】(2018恩施)如图，点 B，F，C，E 在一条直线上，FBCE，ABED，ACFD，AD 交 BE于点 O.求证：AD 与 BE互相平分证明：FBCE，FBFCCEFC，即 BCEF.
9、ABED，ABCDEF.ACFD，ACBDFE.在ABC 和DEF 中， ABC DEF，BC EF， ACB DFE， )ABCDEF(ASA)ACDF.在DFO 和ACO 中， DOF AOC， DFO ACO，DF AC， )DFOACO(AAS)OFOC.BFOFCEOC，即 BOEO.AD 与 BE互相平分如图 1所示，在ABC 中，ABAC，BAC90，点 D为射线 BC上一动点，连接 AD，以 AD为直角边，A为直角顶点，在 AD左侧作等腰直角ADF，连接 CF.5(1)当点 D在线段 BC上时(不与点 B重合)，线段 CF和 BD的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明；(2
10、)当点 D在线段 BC的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图 2中画出相应的图形，并说明理由【思路点拨】 可证明ACFABD，再利用全等三角形的性质，可得 CFBD，CFBD.【自主解答】 解：(1)CFBD，且 CFBD.证明：FADCAB90，FACDAB.在ACF 和ABD 中， ACFABD(SAS)AC AB， CAF BAD，AF AD， )CFBD，FCADBA.FCDFCAACDDBAACD90，即 FCCB.综上，CFBD，且 CFBD.(2)(1)的结论仍然成立CABDAF90，CABCADDAFCAD，即CAFBAD.在ACF 和ABD 中， ACFABD(SAS
11、)AC AB， CAF BAD，AF AD， )CFBD，ACFB.ABAC，BAC90，BACB45.BCFACFACB454590，即 CFBD.综上，CFBD，且 CFBD.【变式训练 3】 已知：ACB90，ACBC，ADCM，BECM，垂足分别为 D，E.(1)如图 1，线段 CD和 BE的数量关系是 CDBE；请写出线段 AD，BE，DE 之间的数量关系并证明；(2)如图 2，上述结论还成立吗？如果不成立，请直接写出线段 AD，BE，DE 之间的数量关系解：(1)结论：ADBEDE.理由：ADCM，BECM，ACBBECADC90.ACDBCE90，BCECBE90.ACDB.在A
12、CD 和CBE 中， ADC BEC， ACD B，AC CB， )ACDCBE(AAS)CDBE.ADCE.CECDDEBEDE，即 ADBEDE.(2)中的结论不成立结论：DEADBE.理由：ADCM，BECM，6ACBBECADC90.ACDBCE90，BCEB90.ACDB.ACCB，ACDCBE(AAS)ADCE，CDBE.DECDCEBEAD，DEADBE.方 法 指 导1全等三角形是证明两条线段相等或垂直常用的方法2变化题目中某些条件，结论是否成立，关键是得到结论的核心是否仍然存在，比如：两个三角形是否仍然全等或相似思维定式是条件改变，结论必须改变，但本题 AF，AD 虽然长度改
13、变，但仍相等；CAF，BAD 虽然变大易 错 提 示了，但仍相等，所以ACF，ABD 尽管都变化，但全等的关系仍然存在，导致结论不变.1如图，ABCDCB，若 AC7，BE5，则 DE的长为(A)A2B3C4D52(2018石家庄裕华区模拟)如图，有一张三角形纸片 ABC，已知BCx，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是(C)3(2018黔西南)下列各图中 a，b，c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC 全等的是(B)A甲和乙 B乙和丙 C甲和丙 D只有丙4(2018南京)如图，ABCD，且 ABCD.E，F 是 AD上两点，CEAD，BFAD.若 C
14、Ea，BFb，EFc，则 AD的长为(D)Aac7BbcCabcDabc5(2018金华)如图，ABC 的两条高 AD，BE 相交于点 F，请添加一个条件，使得ADCBEC(不添加其他字母及辅助线)，你添加的条件是 ACBC 或 ADBE 或 DCEC6(2018深圳)如图，四边形 ACDF是正方形，CEA 和ABF 都是直角且点 E，A，B 三点共线，AB4，则阴影部分的面积是 87(2018苏州)如图，点 A，F，C，D 在一条直线上，ABDE，ABDE，AFDC.求证：BCEF.证明：ABDE，AD.AFDC，ACDF.ABDE，ABCDEF(SAS)ACBDFE.BCEF.8(2018
15、陕西)如图，ABCD，E，F 分别为 AB，CD 上的点，且 ECBF，连接 AD，分别与 EC，BF 相交于点 G，H.若ABCD，求证：AGDH.证明：ABCD，ECBF，四边形 BFCE是平行四边形，AD.BECBFC，BECF，AEGDFH.ABCD，AEDF.AEGDFH(ASA)，AGDH.9(2018黑龙江)如图，在四边形 ABCD中，ABAD，AC5，DABDCB90，则四边形 ABCD的面积为(B)8A15B12.5C14.5D17提示：过点 A作 AEAC，交 CB的延长线于点 E，可证ACDAEB.10 【分类讨论思想】(2018绍兴)等腰ABC 中，顶角 A为 40，点
16、 P在以 A为圆心，BC 长为半径的圆上，且BPBA，则PBC 的度数为 30或 11011(1)如图 1，在四边形 ABCD中，ABDC，E 是 BC的中点，若 AE是BAD 的平分线，试探究 AB，AD，DC 之间的等量关系，证明你的结论；(2)如图 2，在四边形 ABCD中，ABDC，AF 与 DC的延长线交于点 F，E 是 BC的中点，若 AE是BAF 的平分线，试探究 AB，AF，CF 之间的等量关系，证明你的结论解：(1)ADDCAB.证明：延长 AE交 DC的延长线于点 F.E 是 BC的中点，CEBE.ABDC，BAEF.AEBFEC，AEBFEC，ABFC.AE 是BAD 的平分线，BAEEAD.ABCD，BAEF.EADF.ADDF.ADDFDCCFDCAB.(2)ABACCF.证明：延长 AE交 DF的延长线于点 G.E 是 BC的中点，CEBE.ABDC，BAEG.AEBGEC，AEBGEC.ABGC.AE 是BAF 的平分线，BAGFAG.ABCD，BAGG.FAGG.FAFG.ABCGAFCF.