1、1第 24讲 与圆有关的位置关系命题点 近 8年的命题形式 考查方向点与圆的位置关系 2017(T23(3)解)作为圆的核心知识点的补充，在中考范围内仅出现一次(2017 年)，并巧妙结合外心与扇形相关内容进行考查，估计这种形式将偶尔出现.切线的性质与判定2018(T25解)，2017(T23 解)，2016(T25解)，2015(T26 解)，2014(T25解)，2013(T24 解)，2012(T25解)，2011(T25 解)切线的性质与判定是河北省中考必考高 频 考 点考点，呈现方式稳定，多以部分圆为背景(半圆或扇形，弓形等)，以旋转或折叠等方式，在变化过程中，对某一位置或某一时刻形
2、成相切时，对对应的某一量进行求解，体现了从一般到特殊，再到一般的研究问题的思维过程.三角形的内心与外心2018(T15选，T23(3)解)，2017(T23(3)解)，2016(T9 选)，2015(T6选)作为圆的核心知识点的补充，近四年出常 考 点现在中考试题中，既体现考查知识的连续性，又体现考查知识的全面性，估计这种全局设计方式在一定时期内将一直存在.命题点 1 三角形的内心与外心1(2015河北 T63分)如图， AC， BE是 O的直径，弦 AD与 BE相交于点 F，下列三角形中，外心不是点 O的是(B)A ABE B ACF C ABD D ADE2(2016河北 T93分)如图为
3、 44的网格图， A， B， C， D， O均在格点上，点 O是(B)A ACD的外心 B ABC的外心 C ACD的内心 D ABC的内心3(2018河北 T152分)如图，点 I为ABC 的内心，AB4，AC3，BC2，将ACB 平移使其顶点与 I重合，则图中阴影部分的周长为( B)2A4.5 B4 C3 D2命题点 2 切线的性质与判定4(2013河北 T2411分)如图，在 OAB中， OA OB10， AOB80，以点 O为圆心，6 为半径的优弧 分MN 别交 OA， OB于点 M， N.(1)点 P在右半弧上( BOP是锐角)，将 OP绕点 O逆时针旋转 80得 OP.求证： AP
4、 BP；(2)点 T在左半弧上，若 AT与 相切，求点 T到 OA的距离；MN (3)设点 Q在优弧 上，当 AOQ的面积最大时，直接写出 BOQ的度数MN 解：(1)证明： AOP AOB BOP80 BOP， BOP POP BOP80 BOP， AOP BOP.又 OA OB， OP OP， AOP BOP(SAS) AP BP.(2)连接 OT，过点 T作 TH OA于点 H. AT与 相切， ATO90.MN AT 8.OA2 OT2 102 62 OATH ATOT，12 12 TH .ATOTOA 8610 245点 T到 OA的距离为 .245(3)10或 170.(注：当 O
5、Q OA时， AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点)重难点 1 切线的性质如图，AB 是O 的直径，且长为 10，点 P是 AB下方的半圆上不与点 A，B 重合的一个动点，点 C为 AP的中点，延长 CO交O 于点 D，连接 AD，过点 D作O 的切线交 PB的延长线于点 E，连 CE.(1)若ADC30，求 的长；BD (2)求证：DACECP；3(3)在点 P运动过程中，若 tanDCE ，求 AD的长12【思路点拨】 (1)利用同弧所对圆周角与圆心角之间的关系，可求得DOB60，利用弧长公式求 的长；BD (2)先证得四边形 DCPE是矩形，从而证明DACECP；(3)可以利用 t
6、anDCE 在 RtDAC 中获得三边的数量关系，在 RtAOC 中建立方程求解【自主解答】 解：(1)ADC30，OAOD，OAD30.DOB60.l .BD 60 5180 53(2)证明：连接 OP.AOOP，点 C是 AP的中点，DCP90.DE 是O 的切线，CDE90.AB 是O 的直径，APB90.四边形 DCPE是矩形DCEP.又ACCP，ACDCPE90，DACECP( SAS)(3)由(2)知，四边形 DCPE是矩形，DACECP，ADCCEPDCE. tanDCE ， tanADC .12 12设 ACx，则 DC2x，AD x.5在 RtAOC 中，OC2x5，AO 2
7、AC 2OC 2，5 2x 2(2x5) 2，解得 x10(舍去)，x 24.AD4 .5【变式训练 1】 如图，AB 是O 的直径，BAC60，P 是 OB上一点，过点 P作 AB的垂线与 AC的延长线交于点 Q，过点 C的切线 CD交 PQ于点 D，连接 OC.(1)求证：CDQ 是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求 BPPO 的值解：(1)证明：AB 是O 的直径，ACB90.PQAB，APQ90.又BAC60，OAOC，OAC 是等边三角形，ABCQ30.ACO60.DCQ180906030.DCQQ.CDQ 是等腰三角形4(2)设O 的半径为 x，则 AB2x，ACx，BC x.
8、3CDQCOB，CQBC x.3AQACCQ(1 )x.AP AQ x.312 1 32BPABAP x，POAPAO x.3 32 3 12BPPO .3方 法 指 导1遇切线，通常的方法是连接过切点的半径，利用切线垂直于过切点的半径，构建直角三角形，进而利用直角三角形进行求解或证明2在圆中还可以获得直角的方法有：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，直径所对的圆周角是直角3以圆为背景的求解题，往往转化成解双直角三角形或者相似三角形重难点 2 切线的判定(2018聊城)如图，在 RtABC 中，C90，BE 平分ABC 交 AC于点 E，作 EDEB 交 AB于点 D，O是BED 的外接圆(1)
9、求证：AC 是O 的切线；(2)已知O 的半径为 2.5，BE4，求 BC，AD 的长【思路点拨】 (1)证 AC是O 的切线，可转化为证 OEAC；(2)求 BC，AD 的长可通过证明BDEBEC 和AOEABC.【自主解答】 解：(1)证明：连接 OE.OBOE，OBEOEB.BE 平分ABC，OBECBE.OEBCBE.OEBC.又C90，AEO90，即 OEAC.又OE 是O 的半径，AC 为O 的切线(2)EDBE，BEDC90.又DBEEBC，BDEBEC. ，即 .BC .BDBE BEBC 54 4BC 165AEOC90，AA，AOEABC. ，即 .AD .AOAB OEB
10、C AD 2.5AD 5 2.5165 457【变式训练 2】 (2018安顺)如图，在ABC 中，ABAC，点 O为 BC的中点，AC 与半圆 O相切于点 D.(1)求证：AB 是半圆 O所在圆的切线；(2)若 cosABC ，AB12，求半圆 O所在圆的半径235解：(1)证明：作 OEAB 于点 E，连接 OD，OA.ABAC，点 O是 BC的中点，CAOBAO.AC 与半圆 O相切于点 D，ODAC.又OEAB，ODOE，即 OE是半圆 O所在圆的半径AB 是半圆 O所在圆的切线(2)ABAC，点 O是 BC的中点，AOBC.在 RtAOB 中，OBAB cosABC12 8.23根据
11、勾股定理，得 OA 4 .AB2 OB2 5S AOB ABOE OBOA，12 12OE ，即半圆 O所在圆的半径为 .OBOAAB 853 853方 法 指 导1证明某条直线是圆的切线的方法：(1)若这条直线经过圆上一点，需证明这条直线和经过这一点的半径垂直；(2)若没有明确直线经过圆上一点，需证明圆心到这条直线的距离等于圆的半径2不能或不易直接求解的边长可转化成易求两条边长的差或和重难点 3 三角形的内心与外心如图，点 O为锐角ABC 的外心，四边形 OCDE为正方形，其中 E点在ABC 的外部，判断下列说法正确的是( B)A点 O是AEB 的外心，点 O是AED 的外心B点 O是AEB
12、 的外心，点 O不是AED 的外心C点 O不是AEB 的外心，点 O是AED 的外心D点 O不是AEB 的外心，点 O不是AED 的外心【变式训练 3】 如图，若点 O是 AB的中点，且点 O不是一个三角形的外心，则这个三角形可以是( B)AABC BABE CABF DABD6【变式训练 4】 如图，O 截ABC 的三条边所得的弦长相等，则下列说法正确的是( A)A点 O是ABC 的内心 B点 O是ABC 的外心CABC 是正三角形 DABC 是等腰三角形【变式训练 5】 如图，ABC 的外心坐标是( B)A(1，2) B(2，1) C(2，2) D(1，1)方 法 指 导1判断点是某个三角
13、形的外心，只需说明点到此三角形的三个顶点的距离相等即可；判断点是某个三角形的内心，只需说明点到此三角形三边的距离相等即可2三角形的内心是三角形角平分线的交点，又是三角形内切圆的圆心；三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，又是三角形外接圆的圆心它是串联圆与三角形之间的关键点，可以利用它从一个图形过渡到另一个图形重难点 4 切线长定理如图，ABC 是一张周长为 17 cm的三角形纸片，BC5 cm，O 是它的内切圆，小明准备用剪刀在O的右侧沿着与O 相切的任意一条直线 MN剪下AMN，则剪下的三角形的周长为( B)A12 cm B7 cm C6 cm D随直线 MN的变化而变化【思路点拨】 由
14、切线长定理，可将AMN 的周长转化成求 ADAE 的和，而 BDCE 的和等于 BC.【变式训练 6】 如图，EB，EC 是O 的两条切线，B，C 是切点，A，D 是O 上两点若E46，DCF32，则A 的度数是 99方 法 指 导1由切线长定理及三角形周长可得：7AD CABC BC；12BD CABC AC；12CE CABC AB.122若已知三角形的内切圆及切点，求线段的长或周长时，往往用到切线长定理1已知O 的半径为 6，圆心 O到直线 l的距离为 10，则反映直线 l与O 的位置关系的图形是( D)2已知O 的半径是 3，点 P在圆内，则线段 OP的长可能是( A)A2 B3 C4
15、 D53(2018宜昌)如图，直线 AB是O 的切线，C 为切点，ODAB 交O 于点 D，点 E在O 上，连接OC，EC，ED，则CED 的度数为( D)A30 B35 C40 D454(2018河北模拟)九个相同的等边三角形如图所示，已知点 O是一个三角形的外心，则这个三角形是( C)AABC BABE CABD DACE5(2018保定模拟)如图，在ABC 中，AB3，AC4，BC5，点 D，E 分别是 AC，AB 的中点，则以 DE为直径的圆与 BC的位置关系是( B)A相切 B相交 C相离 D无法确定6(2018烟台)如图，四边形 ABCD内接于O，点 I是ABC 的内心，AIC12
16、4，点 E在 AD的延长线上，则CDE 的度数为( C)A56 B62 C68 D7887(2018石家庄长安区模拟)如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，点 M，N，O 均为格点，点 N在O上若过点 M作O 的一条切线 MK，切点为 K，则 MK( B)A3 B2 C5 D.2 5 348(2018烟台)如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1个单位长度，点 O，A，B，C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点 O为原点建立平面直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为(1，2)9(2018安徽)如图，菱形 ABOC的边 AB，AC 分别与O 相切于点 D，E.若点 D是 A
17、B的中点，则DOE6010(2018邵阳)如图所示，AB 是O 的直径，点 C为O 上一点，过点 B作 BDCD，垂足为 D，连接 BC，BC 平分ABD.求证：CD 为O 的切线证明：BC 平分ABD，OBCDBC.OBOC，OBCOCB.OCBDBC.OCBD.BDCD，OCCD.又OC 为O 的半径，CD 为O 的切线11(2018黄冈)如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB的延长线交于点 P，过 B点的切线交9OP于点 C.(1)求证：CBPD；(2)若 OA2，AB1，求线段 BP的长解：(1)证明：连接 OB.AD 是O 的直径，ABD90.AD90.
18、BC 为切线，OBBC，即OBC90.OBACBP90.OAOB，AOBA.CBPD.(2)OPAD，POA90.PA90.PD.又AA，AOPABD. ，即 .APAD AOAB 1 BP4 21BP7.12(2018荆门)如图，在平面直角坐标系 xOy中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I 是ABC 的内心，将ABC 绕原点 O逆时针旋转 90后，I 的对应点 I的坐标为( A)A(2，3) B(3，2) C(3，2) D(2，3)提示：I(3，2)13(2018台州)如图，等边三角形 ABC边长是定值，点 O是它的外心，过点 O任意作一条直线分别交 AB，BC 于点 D，E.将
19、BDE 沿直线 DE折叠，得到BDE，若 BD，BE 分别交 AC于点 F，G，连接 OF，OG，则下列判断错误的是( D)AADFCGEBBFG 的周长是一个定值C四边形 FOEC的面积是一个定值D四边形 OGBF 的面积是一个定值10提示：连接 OA，OC，易证DOFGOFGOE，OADOCG，OAFOCE，ADFCGE，故选项 A正确；DOFGOFGOE，DFGFGE.ADFBGFCGE.BFAF，BGCG.C BFG FGBFBGFGAFCGAC(定值)，故选项 B正确；S 四边形 FOECS OCF S OCE S OCF S OAF S AOC SABC (定值)，故选项 C正确；
20、S 四边形 OGBF S OFG S BGF S OFD S ADF S 四边形 OFADS OAD S OAF S OCG S 13OAFS OAC S OFG ，过点 O作 OHAC 于点 H，S OFG FGOH，由于 OH是定值，FG 变化，故OFG 的面积变化，12从而四边形 OGBF 的面积也变化，故选项 D错误14(2018南京)如图，在矩形 ABCD中，AB5，BC4，以 CD为直径作O.将矩形 ABCD绕点 C旋转，使所得矩形 ABCD的边 AB与O 相切，切点为 E，边 CD与O 相交于点 F，则 CF的长为 4提示：连接 OE，延长 EO交 CD于点 G，则OEOC2.5
21、.OGEGOE1.5.CG 2.CF2CG4.OC2 OG215 【分类讨论思想】(2018宁波)如图，正方形 ABCD的边长为 8，M 是 AB的中点，P 是 BC边上的动点，连接PM，以点 P为圆心，PM 长为半径作P.当P 与正方形 ABCD的边相切时，BP 的长为 3或 4 3提示：分两种情况讨论：当P 与直线 CD相切时，BP3；当P 与直线 AD相切时，PB4 .316(2018扬州)如图，在ABC 中，ABAC，AOBC 于点 O，OEAB 于点 E，以点 O为圆心，OE 为半径作半圆，交 AO于点 F.(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若点 F是 OA的中点，OE3，求图中
22、阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，点 P是 BC边上的动点，当 PEPF 取最小值时，直接写出 BP的长11解：(1)证明：作 OHAC 于点 H.ABAC，AOBC，AO 平分BAC.又OEAB，OHAC，OHOE，即 OH为O 的半径AC 是O 的切线(2)点 F是 OA的中点，OA2OF2OE6.又OE3，OAE30，AOE60.AE3 .3S 阴影 S AOE S 扇形 EOF 33 12 3 60 32360 .93 32(3)作 F点关于 BC的对称点 F，连接 EF交 BC于点 P，此时 PEPF 最小OFOFOE，FOEF.AOEFOEF60，F30.FEAF.EFEA3 ，即 PEPF 最小值为 3 .3 3在 RtOPF中，OP tan30OF ，3在 RtABO 中，OB tan30OA2 ，3BP2 .3 3 3