1、1第 19 讲 锐角三角函数命题点 解直角三角形1(2017承德模拟)如图，在 RtABC 中，C90，BC8，tanB ，点 D 在 BC 上，且 BDAD，求 AC 的长12和 cosADC 的值解：在 RtABC 中，BC8，tanB ，ACBCtanB4.ACBC 12设 ADx，则 BDx，CD8x，在 RtADC 中，(8x) 24 2x 2，解得 x5.AD5，CD853，cosADC .DCAD 352(2017河北模拟)如图，AD 是ABC 的中线，tanB ，cosC ，AC .求：13 22 2(1)BC 的长；(2)sinADC 的值解：(1)过点 A 作 AEBC 于
2、点 E.cosC ，C45.22在 RtACE 中，CEACcosC1，AECE1.在 RtABE 中，tanB ，即 ，13 AEBE 13BE3AE3.BCBECE4.(2)AD 是ABC 的中线，CD BC2.12DECDCE1.AEBC，DEAE，ADC45.sinADC .22重难点 1 解直角三角形2(2018河北模拟)已知，在ABC 中，ACB90，tanB ，AB5，D 在 AB 上43(1)求 BC 的长；(2)如图 1，若CDBB，求 sinDCB 的值；(3)如图 2，过点 B 作 BECD 所在的直线，垂足为 E，BE 的延长线交直线 AC 于点 F.当 tanBCD2
3、 时，求 SCBF ；当 AF 时，求线段 AD 的长54【思路点拨】 (1)由正切的定义可知ABC 是一个勾 3，股 4，弦 5 的直角三角形；(2)可通过过点 D 作 DEBC，利用 tanB 找到 DE，BE 的数量关系，再解直角DCE，求得 sinDCB 的值；(3)因为BCDCFB：利用tanCFB 的值，求 CF，进而求 SCBF ；可通过过点 A 作 BC 的平行线交 CD 延长线于点 G，先求 AG，再利用相似求 AD 的长【自主解答】 解：(1)在ABC 中，ACB90，tanB ，43tanB ，AC BC.ACBC 43 43AC 2BC 2AB 2，( BC)2BC 2
4、5 2，BC3.43(2)过点 D 作 DEBC，则 tanB ，43 DEBEBE DE，CEBCBE3 DE.34 34CDBB，CDCB3.CD 2CE 2DE 2，3 2DE 2(3 DE)2，解得 DE .34 7225sinDCB .DEDC 2425(3)BCDFCE90，CFBFCE90，BCDCFB.tanBCDtanCFB2.tanCFB 2，BC3，CF .BCCF 32S CBF .94当点 F 在线段 AC 上时，如图 3，过点 A 作 AGBC 交 CD 延长线于点 G，tanACGtanCBF ，AC4，AG .AGAC CFBC 1112 113AGBC， .A
5、GBC ADBD ，AD .119 AD5 AD 1143图 3 图 4当点 F 在线段 CA 的延长线上，如图 4，过点 A 作 AGBC 交 CD 延长线于点 G.tanACGtanCBF ，AC4，AG7.AGAC CFBC 74AGBC， . .AD .AGBC ADBD 73 AD5 AD 72方 法 指 导1解直角三角形，需知除直角以外的两个条件(一边和一角或两边)，可求得其余的边或角2在求解时，一般选取既含未知边(角)又含有已知边(或角)的直角三角形，通过锐角三角函数的定义或勾股定理，建构已知或未知之间的桥梁；从而实现求解3若所求的线段(或角)不能直接求解，可以通过作出点到直线的
6、距离或三角形高线，进而转化成直角三角形求解4解直角三角形和相似三角形的性质，是几何求解中的重要工具,【变式训练 1】 如图是由一个角为 60且边长为 1 的菱形组成的网格，每个菱形的顶点称为格点，点 A，B，C都在格点上，则 tanBAC 233【变式训练 2】(2018上海)如图，已知在ABC 中，ABBC5，tanABC .34(1)求边 AC 的长；(2)设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值ADDB解：(1)过点 A 作 AEBC，在 RtABE 中，tanABC ，AB5，AEBE 34AE3，BE4.CEBCBE541.在 RtAEC 中，根据勾股定理，得 AC
7、 .32 12 10(2)如图，DF 垂直平分 BC，BDCD，BFCF .524tanDBF ，DF .DFBF 34 158在 RtBFD 中，根据勾股定理，得 BD ， AD5 ，则 .（ 52） 2 （ 158） 2 258 258 158 ADDB 35重难点 2 解直角三角形的应用(1)如图 1，为了游客的安全，某景点将原坡角为 60的斜坡 AB 改为坡度为 1 的斜坡 AC，已知3AB100 米，BC 在同一水平线上，求改造后斜坡的坡脚向前移动距离 BC 的长；(2)(2018郴州)小亮在某桥附近试飞无人机，如图 2，为了测量无人机飞行的高度 AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥
8、头 B，C 的俯角分别为EAB60，EAC30，且 D，B，C 在同一水平线上已知桥 BC30 米，求无人机飞行的高度 AD；(精确到 0.01 米，参考数据： 1.414， 1.732)2 3(3)(2018湘西)如图 3，某市郊外景区内一条笔直的公路 l 经过 A，B 两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 C.经测量，C 位于 A 的北偏东 60的方向上，C 位于 B 的北偏东 30的方向上，且 AB10 km.求景点 B 与 C 的距离；为了方便游客到景点 C 游玩，景区管委会准备由景点 C 向公路 l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长(结果保留根号)【思
9、路点拨】这三个问题均可以通过过点 A 作直线 BC 的垂线，垂足为 D，再利用解直角三角形 ABD 和直角三角形ACD 来解决【自主解答】解：(1)过点 A 作 ADBC 于点 D，在 RtABD 中，ABD60，BDABcosABD100cos6050(米)，ADABsinABD50 米3AC 的坡度为 1 ，3ADCD1 .3CD150，BCCDBD15050100(米)改造后斜坡的坡脚向前移动距离 BC 的长是 100 m.(2)由题意，得EAC30，EAB60，AEBC，EACACB30，EABABD60.ABDACBBAC，BACACB30.ABBC30.在 RtABD 中，ADAB
10、sinABD15 25.98(米)3(3)由题意，得CAB30，ABC9030120，C180CABABC30.CABC30.BCAB10 km，即景点 B，C 的距离为 10 km.过点 C 作 CDAB 于点 D，BC10 km，C 位于 B 的北偏东 30的方向上，CBD60，在 RtCBD 中，CD BC5 km.32 3【变式训练 3】(2018常州)京杭大运河是世界文化遗产综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽(岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点 A，B 和点 C，D，先用卷尺量得 AB160 m，CD40 m，再用测角仪测得CAB30，DBA60，求该段运河的河宽(即 CH
11、 的长)解：过点 D 作 DEAB 于点 E，可得四边形 CHED 为矩形，5HECD40 m.设 CHDEx m，在 RtBDE 中，DBA60，BE x.33在 RtACH 中，BAC30，AH x.3由 AHHEEBAB160 m，得 x40 x160，333解得 x30 ，即 CH30 m.3 3答：该段运河的河宽为 30 m3方 法 指 导1对于解直角三角形的实际应用题，要灵活运用转化思想，通常是根据以下方法和步骤解决：(1)有图的要先将题干中的已知量在图中表示出来，找到与已知量和未知量相关联的三角形，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系；(2)若三角形是直角三角形，根据边
12、角关系进行计算；若三角形不是直角三角形，可通过添加辅助线构造直角三角形来解决，其中作某边上的高是常用的辅助线总的来说，解直角三角形的实际应用问题，关键是要根据实际情况建立数学模型，正确画出图形或作出辅助线并找准直角三角形,模型建立)本题的三个题均可以抽象出如下图形：另外实际问题还可以抽象的几何图形为：1(2018孝感)如图，在 RtABC 中，C90，AB10，AC8，则 sinA 等于(A)A. B. C. D.35 45 34 432(2018保定模拟)在ABC 中，A，B 均为锐角，且(tanB )(2sinA )0，则ABC 一定是(D)3 3A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D有一
13、个角是 60的三角形3(2018唐山丰南区模拟)在ABC 中，ABAC13，BC24，则 tanB 等于(B)6A. B. C. D.513 512 1213 1254(2018贵阳)如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 tanBAC 的值为(B)A. B1 C. D.12 33 35(2018河北模拟)如图，ABC 在边长为 1 个单位长度的方格纸中，它的顶点在小正方形的顶点位置如果ABC 的面积为 10，且 sinA ，那么点 C 的位置可以在(D)55A点 C1处 B点 C2处 C点 C3处 D点 C4处6如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一
14、侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，一辆小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车门打开角度AOB 为 40时，车门是否会碰到墙？否；(填“是”或“否”)请简述你的理由点 A 到 OB 的距离小于 OB 与墙 MN 平行的距离(参考数据：sin400.64，cos400.77，tan400.84)7 【分类讨论思想】(2018无锡)已知在ABC 中，AB10，AC2 ，B30，则ABC 的面积等于 15 或7 310 .38(2018贵阳)如图 1，在 RtABC 中，以下是小亮探究 与 之间关系的方法：asinA bsinBsinA ，sinB ，c ，c . ，根据你掌握的三角函
15、数知识在图 2 的锐角ac bc asinA bsinB asinA bsinBABC 中，探究 ， ， 之间的关系，并写出探究过程asinA bsinB csinC7解： .asinA bsinB csinC理由：过点 A 作 ADBC，过点 B 作 BEAC，在 RtABD 中，sinB ，即 ADcsinB，ADc在 RtADC 中，sinC ，即 ADbsinC，ADbcsinBbsinC，即 .bsinB csinC同理可得 ，asinA csinC则 .asinA bsinB csinC9(2018衡阳)一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆 C 出发，沿北偏东 30的方向行走 2 0
16、00 米到达石鼓书院A 处，参观后又从 A 处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东 45方向的雁峰公园 B 处，如图所示(1)求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；(2)若这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在 15 分钟内能否到达宾馆？解：(1)过点 C 作 CPAB 于点 P，由题意，得A30，AP2 000 米，则 CP AC1 000 米12(2)在 RtPBC 中，PC1 000，PBCBCP45，BC PC1 000 米2 2这名徒步爱好者以 100 米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，他到达宾馆需要的时间为 10 15.1
17、 0002100 2他在 15 分钟内能到达宾馆10如图，在四边形 ABCD 中，AB8，BC1，DAB30，ABC60，则四边形 ABCD 的面积为 5 ，AD 的3长是 2 3提示：延长 AD，BC 相交于点 E，可得ABE 为直角三角形11(2018眉山)如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A，B，C，D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 O，则 tanAOD2提示：连接 BE，构造 RtBOF，根据AOCBOK 可得 OK 与 CK 的数量关系，求出 OF 与 BF 的数量关系即可812如图，已知，在ABC 中，ABAC2 ，sinB ，D 为边 BC 的中点，E
18、为边 BC 的延长线上一点，且5255CEBC.连接 AE，F 为线段 AE 的中点求：(1)线段 DE 的长；(2)CAE 的正切值解：(1)连接 AD.ABAC，D 为 BC 的中点，ADBC，即ADB90.ABAC2 ，sinB ，5255 .AD4.ADAB 255由勾股定理，得 BD2，DCBD2，BC4.CEBC，CE4.DEDCCE246.(2)过点 C 作 CMAE 于点 M, 则CMACME90.在 RtADE 中，由勾股定理，得AE 2 .AD2 DE2 13CM 2AC 2AM 2CE 2EM 2，(2 )2AM 24 2(2 AM) 2，5 13解得 AM .141313CM .AC2 AM281313tanCAE .CMAM 4713(2018河北模拟)阅读下面的材料：嘉嘉在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果 ， 都为锐角，且 tan ，tan ，求 的度数12 13淇淇是这样解决问题的：如图 1，把 ， 放在正方形网格中，使得ABD，CBE，且 BA，BC 在直线 BD 的两侧，连接 AC，可证得ABC 是等腰直角三角形，因此可求得 ABC45请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果 ， 都为锐角，当 tan4，tan 时，在图 2 的正方形网格中，利用已作出的锐角 ，画出359MON，由此可得 45解：如图