1、1第六单元 圆第 23讲 圆的基本性质命题点 近 8年的命题形式 考查方向垂径定理2016(T25解)，2014(T25 解)，2013(T14选)，2012(T5 选)，2011(T25解)垂径定理是圆的轴对称性的具体体现，它可高 频 考 点以串联弦、弧、角、图形的大小和位置关系，常与圆的相关知识综合，为进一步探索提供数据支持.圆周角定理 2011(T16填)考查的频率较低，常与其他有关“角”的知识内容串联，作为圆大题的补充题型多以选择题和填空题为主.命题点 1 垂径定理1(2012河北 T52分)如图， CD是 O的直径， AB是弦(不是直径)， AB CD于点 E，则下列结论正确的是(D
2、)A AEBEB. AD BC C D AEC12D ADE CBE命题点 2 圆周角定理2(2011河北 T163分)如图，点 O为优弧 所在圆的圆心， AOC108，点 D在 AB的延长线上， BD BC，AB 则 D27重难点 1 垂径定理及其应用已知 AB是半径为 5的O 的直径，E 是 AB上一点，且 BE2.(1)如图 1，过点 E作直线 CDAB，交O 于 C，D 两点，则 CD8；图 1 图 2 图 3 图 4探究：如图 2，连接 AD，过点 O作 OFAD 于点 F，则 OF ；5(2)过点 E作直线 CD交O 于 C，D 两点2若AED30，如图 3，则 CD ；91若AE
3、D45，如图 4，则 CD 82【思路点拨】 由于 CD是O 的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦【变式训练 1】 (2018襄阳)如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2的O 上若 OABC，CDA30，则弦BC的长为( D)A4 B2 C. D22 3 3【变式训练 2】 【分类讨论思想】(2018孝感)已知O 的半径为 10 cm，AB，CD 是O 的两条弦，ABCD，AB16 cm，CD12 cm，则弦 AB和 CD之间的距离是 2_cm或 14_cm方 法 指 导1垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分
4、弦，平分弦所对的优弧与劣弧2圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解3事实上，过点 E任作一条弦，只要确定弦与 AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长重难点 2 圆周角定理及其推论已知O 是ABC 的外接圆，且半径为 4.(1)如图 1，若A30，求 BC的长；(2)如图 2，若A45：求 BC的长；若点 C是 的中点，求 AB的长；AB (3)如图 3，若A135，求 BC的长图 1 图 2 图 3【思路点拨】 连接 OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角
5、的 2倍，构建可解的等腰三角形求解【自主解答】 解：(1)连接 OB，OC.BOC2A60，OBOC，OBC 是等边三角形BCOB4.(2)连接 OB，OC.BOC2A90，OBOC，OBC 是等腰直角三角形OBOC4，BC4 .2点 C是 的中点，ABCA45.AB ACB90.AB 是O 的直径AB8.(3)在优弧 上任取一点 D，连接 BD，CD，连接 BO，CO.BC 3A135，D45.BOC2D90.OBOC4，BC4 .2【变式训练 3】 (2018南充)如图，BC 是O 的直径，A 是O 上的一点，OAC32，则B 的度数是( A)A58 B60 C64 D68【变式训练 4】
6、 (2018秦皇岛海港区一模)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C在半圆上点 A，B 的读数分别为 88，30，则ACB 的大小为( C)A15 B28 C29 D34方 法 指 导1在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧2弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决3一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边模 型 建 立注意同弧所对的圆心角是圆周角的 2倍，避免把数量关系弄颠倒易 错 提 示重难点 3 圆内接四边形(2017
7、潍坊)如图，四边形 ABCD为O 的内接四边形延长 AB与 DC相交于点 G，AOCD，垂足为E，连接 BD，GBC50，则DBC 的度数为( C)A50 B60 C80 D90【思路点拨】 延长 AE交O 于点 M，由垂径定理可得 2 ，所以CBD2EAD.由圆内接四边形的对角CD DM 互补，可推得ADEGBC，而ADE 与EAD 互余，由此得解【变式训练 5】 (2018邵阳)如图所示，四边形 ABCD为O 的内接四边形，BCD120，则BOD 的大小是( B)A80 B120 C100 D904【变式训练 6】 (2018曲靖)如图，四边形 ABCD内接于O，E 为 BC延长线上一点若
8、An，则DCEn方 法 指 导1找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质2在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍1如图，在O 中，如果 2 ，那么(C)AB AC A AB AC B AB2 AC C AB2 AC D AB2 AC2(2018邯郸模拟)如图，在半径为 4的O 中，弦 ABOC，BOC30，则 AB的长为( D)A2 B2 C4 D43 33(2017承德模拟)如图，在平面直角坐标系中，O经过原点 O，并
9、且分别与 x轴、y 轴交于点 B，C，分别作OEOC 于点 E，ODOB 于点 D.若 OB8，OC6，则O的半径为( C)A7 B6 C5 D454(2018聊城)如图，在O 中，弦 BC与半径 OA相交于点 D，连接 AB，OC.若A60，ADC85，则C的度数是( D)A25 B27.5 C30 D355(2018陕西)如图，ABC 是O 的内接三角形，ABAC，BCA65，作 CDAB，并与O 相交于点 D，连接 BD，则DBC 的大小为( A)A15 B35 C25 D456(2018河北模拟)如图，分别延长圆内接四边形 ABDE的两组对边，延长线相交于点 F，C.若F27，A53，
10、则C 的度数为( C)A30 B43 C47 D537(2018玉林)如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2 cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位： cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是10cm.8(2017临沂)如图，BAC 的平分线交ABC 的外接圆于点 D，ABC 的平分线交 AD于点 E.(1)求证：DEDB；(2)若BAC90，BD4，求ABC 外接圆的半径解：(1)证明：AD 平分BAC，BE 平分ABC，BAECAD，ABECBE. .BD CD DBCBAE.6DBECBEDBC，DEBABEBAE,
11、 DBEDEB.DEDB.(2)连接 CD. ，CDBD4.BD CD BAC90，BC 是直径BDC90.BC 4 .BD2 CD2 2ABC 外接圆的半径为 2 .29(2018遵义)如图，四边形 ABCD中，ADBC，ABC90，AB5，BC10，连接 AC，BD，以 BD为直径的圆交 AC于点 E.若 DE3，则 AD的长为( D)A5 B4 C3 D25 5提示：过点 D作 DFAC 于点 F，利用ADFCAB，DEFDBA 可求解10(2018宜宾)如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是 的中点，DEAB 于点 E，且 DE交 AC于点 F，DBAC 交 AC于点 G.若
12、 ，则 EFAE 34 CGGB 5511(2018金华)如图 1是小明制作的一副弓箭，点 A，D 分别是弓臂 BAC与弓弦 BC的中点，弓弦 BC60 cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂 BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长如图 2，当弓箭从自然状态的点 D拉到点 D1时，有 AD130 cm，B 1D1C1120.(1)图 2中，弓臂两端 B1，C 1的距离为 30 cm；3(2)如图 3，将弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2为半圆，则 D1D2的长为(10 10) cm.512如图所示，AB 为O 的直径，CD 为弦，且 CDAB，垂足为 H.(1)如果O 的半径为 4，CD4
13、 ，求BAC 的度数；37(2)若点 E为 的中点，连接 OE，CE.求证：CE 平分OCD；ADB (3)在(1)的条件下，圆周上到直线 AC的距离为 3的点有多少个？并说明理由解：(1)AB 为O 的直径，CDAB，CH CD2 .12 3在 RtCOH 中， sinCOH ，COH60.CHOC 32BAC COH30.12(2)证明：点 E是 的中点，OEAB.ADB 又CDAB，OECD.ECDOEC.又OEOC，OECOCE.OCEDCE，即 CE平分OCD.(3)圆周上到直线 AC的距离为 3的点有 2个因为 上的点到直线 AC的最大距离为 2， 上的点到直线 AC的最大距离为 6，236，根据圆的轴对称性，AC ADC 到直线 AC的距离为 3的点有 2个ADC