1、1第 25讲 与圆有关的计算命题点 近 8年的命题形式 考查方向扇形弧长、面积的计算2018(T25(1)解)，2017( T23(2)解、T25(3)解)，2016( T25解)，2015(T26解)，2014( T19填)，2013(T14选)题型呈现形式比较丰富，选择题、高 频 考 点填空题、解答题三种题型都有出现，弧长的考查侧重于对弧长公式的考查，计算较简单，扇形面积的考查侧重在动态变化过程中形成的区域面积，可用多种方法进行尝试转化成求扇形面积.正多边形与圆 2014(T15选)侧重于有关正多边形面积的计算，一般都有技巧性，需要我们熟练掌握正多边形的各个量之间的关系，并能把正多边形进行
2、分割与拼接.命题点 1 扇形弧长、面积的计算1(2013河北 T143分)如图， AB是 O的直径，弦 CD AB， C30， CD2 .则 S 阴影 (D)3A B2 C. D. 233 232(2014河北 T193分)如图，将长为 8 cm的铁丝首尾相接围成半径为 2 cm的扇形则 S 扇形 4cm 2.命题点 2 正多边形与圆3(2014河北 T153分)如图，边长为 a的正六边形内有两个三角形(数据如图)，则 (C)S阴 影S空 白A3 B4 C5 D6重难点 1 弧长的计算如图，ABC 是正三角形，曲线 CDEFG叫做“正三角形的渐开线” ，曲线的各部分为圆弧2(1)图中已经有 4
3、段圆弧，请接着画出第 5段圆弧 GH；(2)设ABC 的边长为 a，则第 1段弧的长是 ；第 5段弧的长是 ；前 5段弧长的和(即曲线 CDEFGH的2 a3 10 a3长)是 10 a；(3)类似地有“正方形的渐开线” “正五边形的渐开线”，边长为 a的正方形的渐开线的前 5段弧长的和是；15 a2(4)猜想：边长为 a的正 n边形的前 5段弧长的和是 ；30 an边长为 a的正 n边形的前 m段弧长的和是 m（ m 1） an【思路点拨】 (1)以点 B为圆心，BG 长为半径画弧即可；(2)利用弧长公式计算但要先确定弧所对的圆心角都是 120度，半径却在不断地增大，第 1段弧的半径是 a，
4、第 2段弧的半径是 2a，第 3段弧的半径是 3a，依此下去第 5段弧的半径是 5a，总和就是把五段弧长加起来；(3)先利用正方形的性质求出正方形的外角度数，结合每段弧所在圆的半径变化规律，利用弧长公式计算每段弧长，最后求和；(4)可以利用前面的探究方法，结合正 n边形的性质解决【变式训练 1】 (2018淄博)如图，O 的直径 AB6.若BAC50，则劣弧 AC的长为( D)A2 B. C. D.83 34 43【变式训练 2】 (2018廊坊模拟)如图，在边长为 6的菱形 ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是 6 (结果保留 )方
5、法 指 导1求弧长，要先确定两个要素，一是弧所在圆的半径，二是弧所在扇形的圆心角，再代入弧长公式计算即可2同一正多边形的渐开线每部分弧所对的圆心角不变，半径后一段比相邻的前一段增加一个正多边形的边长边长为 a的正 n边形的渐开线第 m段弧长为 .模 型 建 立2 man重难点 2 扇形面积的有关计算如图 1，直径 AB为 6的半圆，绕点 A逆时针旋转 60，此时点 B到达点 B，求圆中阴影部分的面积3图 1 图 2 图 3【变式 1】 (2018大庆)如图 2，在 RtABC 中，ACB90，ACBC2，将 RtABC 绕点 A逆时针旋转30后得到 RtADE，点 B经过的路径为弧 BD，则图
6、中阴影部分的面积为 23【变式 2】 如图 3，在 RtABC 中，ACB90，AC1，ABC30，将 RtABC 绕 A点逆时针旋转30后得到 RtADE，点 B经过的路径为弧 BD，则图中阴影部分的面积是 13【变式 3】 如图 4，在ABC 中，AB6，将ABC 绕点 B顺时针旋转 60后得到DBE，点 A经过的路径为弧 AD，则图中阴影部分的面积是 6 图 4 图 5【变式 4】 如图 5，在 RtABC 中，ACB90，BC1，将 RtABC 绕点 C顺时针旋转 60，此时点 B恰好在 DE上，其中点 A经过的路径为弧 AD，则图中阴影部分的面积是 (注：所有小题结果保留 )2 34
7、【思路点拨】 阴影部分的面积可以看作以旋转点为圆心，旋转角为圆心角，AB 为半径的扇形面积；只有变式 4阴影部分的面积是 S 扇形 ACDS BCE .【自主解答】 解：ABAB6，BAB60，S 阴影 S 扇形 BAB S 半圆 O S 半圆 OS 扇形 BAB 626 .60360在圆中求阴影部分面积大致有以下方法：方 法 指 导(1)弓形或弓形的一部分可转化成扇形减去三角形的面积；(2)新月形可以用扇形减去一个弓形的面积；(3)可以利用等积变换求阴影部分的面积；(4)可以利用轴对称、中心对称求阴影部分的面积；(5)旋转形成阴影部分的面积，往往可以转化成求一个扇形的面积重难点 3 正多边形
8、和圆(2017河北模拟)如图是由有两个公共顶点的正六边形与正方形组成的一个图形若阴影部分的周长为10，则这个图形的外轮廓线的周长为( A)A18 B18 C22 D223 3【思路点拨】 从图形上能看出，正方形的边长等于正六边形边长的 2倍提示：设正六边形的边长为 a，则正方形的边长为 2a，由题意，得 5a10，解得 a2.则外轮廓线的周长为3a2a39a18.【变式训练 3】 (2017河北模拟)如图，正六边形与正方形有重合的中心 O.若BOC 是正 n边形的一个外角，则n的值为( C)A8 B10 C12 D164【变式训练 4】 (2018石家庄二模)正六边形 ABCDEF与正三角形A
9、CG 按如图所示位置摆放，在六边形 AGCDEF中， 的值是( D)S阴 影S空 白A. B. C. D.25 15 16 17方 法 指 导1熟悉常见正多边形边长与对角线的数量关系2正 n边形的中心角与每一个外角相等，都等于 (n3)360n3研究面积相关问题时可采用割补与拼接等方法，研究周长可采用化曲为直等方法注：正多边形与圆中，正多边形通常是指正方形，正五边形，正六边形，正八边形等常见的正多边形1(2018盘锦)如图，一段公路的转弯处是一段圆弧( )，则 的展直长度为( B)AB AB A3 m B6 m C9 m D12 m2(2018成都)如图，在ABCD 中，B60，C 的半径为
10、3，则图中阴影部分的面积是( C)A B2 C3 D6 3(2018德州)如图，从一块直径为 2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为 90的扇形，则此扇形的面积为( A)A. m2 B. m2 C m2 D2 m22 3254(2018河北模拟)如图，分别把正六边形边 AB，EF，CD 向两个方向延长，相交于点 M，N，Q，则阴影部分与空白部分的面积比为( A)A. B. C. D.12 13 25 145(2018河北模拟)如图，六边形 ABCDEF和六边形 MNPQGH都是正六边形若 AB10，则 MN的值可能是( D)A. B5 C5 D5532 2 36(2018株洲)如图，正五边形 AB
11、CDE和正三角形 AMN都是O 的内接多边形，则BOM487(2018石家庄藁城区模拟)如图，M，N 分别是正五边形 ABCDE的边 AB，AE 的中点，四边形 MNHG是位于该正五边形内的正方形，则BMH 的度数是 998(2018盐城)如图，图 1是由若干个相同的图形(图 2)组成的美丽图案的一部分，图 2中图形的相关数据：半径 OA2 cm，AOB120.则图 2的图形周长为 cm(结果保留 )8369(2018河南)如图，在ABC 中，ACB90，ACBC2，将ABC 绕 AC的中点 D逆时针旋转 90得到ABC，其中点 B的运动路径为 ，则图中阴影部分的面积为 BB 54 3210(
12、2018邢台宁晋县模拟)如图，半圆 O的直径 AB4，P，Q 是半圆 O上的点，弦 PQ的长为 2，则 与 的长AP QB 度之和为( B)A. B. C. D 23 43 53提示：连接 OP，OQ，易知OPQ 为等边三角形，l l 2 .AP QB 120180 4311(2018威海)如图，在正方形 ABCD中，AB12，点 E为 BC的中点，以 CD为直径作半圆 CFD，点 F为半圆的中点，连接 AF，EF，则图中阴影部分的面积是( C)A1836 B2418 C1818 D1218 提示：作 FHBC 交 BC延长线于点 H，连接 AE，S 阴影 S 正方形 ABCDS 半圆 S A
13、BE S AEF 1212 62 126 6 6 1818 .12 12 12 5 512(2018河北模拟)如图，点 P是O 外一点，PA 切O 于点 A，AB 是O 的直径，连接 OP，过点 B作 BCOP交O 于点 C，连接 AC交 OP于点 D.(1)求证：PC 是O 的切线；7(2)若 PD cm，AC8 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2；163 25 482(3)在(2)的条件下，若点 E是 的中点，连接 CE，求 CE的长AB 解：(1)证明：连接 OC，PA 切O 于点 A，PAO90.OPBC，AOPOBC，COPOCB.OCOB，OBCOCB.AOPCOP.在PAO 和
14、PCO 中， OA OC， AOP COP，OP OP， )PAOPCO( SAS)PAOPCO90.又OC 是O 的半径，PC 是O 的切线(3)连接 AE，BE，过点 B作 BMCE 于点 M，CMBEMB90，AEB90.又点 E是 的中点， .AB AE BE ECBACE ACB45.12又CMB90，CBM45.BMCM.在 RtBCM 中，由勾股定理，得 CM2BM 2BC 2，即 CM2BM 236，CMBM3 cm.2又ABEACE45，在 RtAEB 中，BEAB cosABE5 cm.2在 RtBEM 中，由勾股定理，得EM 4 (cm)，BE2 BM2 （ 52） 2 （ 32） 2 2CECMEM7 cm，2即 CE的长为 7 cm.213(2018宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在九章算术中提出了“割圆术” ，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆 O的半径为 1.若用圆 O的外切正六边形的面积来近似估计圆 O的面积，则 S2 (结果保留根号)3