1、2020 年福建省厦门市同安区中考数学模拟试卷（年福建省厦门市同安区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的项是符合要求的. 1 （4 分）下列四个数的相反数最大的数是（ ） A B2 C4 D2 2 （4 分）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A B C D 3 （4 分）去年由于中美贸易战的影响，华为受到美国政府的制裁，禁止美国高科技公司向 华为供货，而华为在这种压力下迎难而上，华为总裁
2、任正非宣布正在生产不含任何美国 零件的5G基站， 明年预计最少生产1500000个 将1500000用科学记数法可表示为 （ ） A15105 B1.5106 C150104 D0.15107 4 （4 分）下列运算结果是 a2的是（ ） Aa+a Ba+2 Ca2 Daa 5 （4 分）已知正方形 ABCD 中，对角线 AC4，这个正方形的面积是（ ） A8 B16 C8 D16 6 （4 分）一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出 一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ） A B C D 7 （4 分）函数 y中自变
3、量 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 8 （4 分）如图，A，B，C 三点在O 上，若ACB120，则AOB 的度数是（ ） A60 B90 C100 D120 9 （4 分）若二次函数 y|a|x2+bx+c 的图象经过 A（m，n） 、B（0，y1） 、C（3m，n） 、D （，y2） 、E（2，y3）五点，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ） Ay1y3y2 By1y2y3 Cy2y3y1 Dy3y2y1 10 （4 分）在平面直角坐标系中，一系列正三角形中其中两个顶点在 x 轴上，第三个顶点 在第一象限内，且第一个正三角形的边长为 2，第二个正B0A1B1中 A
4、1的坐标为（4， 2） ，接下去的正AnBnBn1的顶点 An都在直线 A0A1上，如图所示，则第 10 个正三 角形的面积为（ ） A B49 C210 D29 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）分解因式：x2+6x+9 12 （4 分）已知一组数据从小到大顺序排列为 abcdefg则 a+1，b+2，c+1， d+2，e+2，f+3，g+2 这组数据的中位数是 13 （4 分）如图，ABCD，CB 平分ABD，若ABC40，则D 的度数为 14 （4 分）不等式组的解集为 15 （4 分）如图，RtABC 中
5、，ACB90，A30，BC2将ABC 绕点 C 按顺 时针方向旋转一定角度后得EDC，点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 于点 F，则图中阴 影部分面积为 16 （4 分）如图，RtABC 中，BAC90，AB3，AC6，点 D，E 分别是边 BC， AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，共小题，共 86 分分.解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （6 分）计算：2sin60（2+）0+|2|（） 1 18 （8 分）如图，ABC 和EFD 分别在线段 AE 的两侧，点 C，D
6、在线段 AE 上，AB EF，BF，ABEFAC4，AE10求 CD 的长度 19 （8 分）先化简，再求值： （2）；其中 a1 20 （8 分）如图，在ABC 中，C90 （1）尺规作图：在 AB 上求作点 D 使得 DCDB （2）设 E 为 BC 的中点，连结 DC 和 DE，求证DCEABC 21 （8 分） “今有善行者行一百步，不善行者行六十步 ” （出自九章算术 ）意思是：同 样的时间段里，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等， 据此回答以下问题： （1）今善行者与不善行者相距 960 步，两者相向而行，问，相遇时两者各行几步？ （2）今不善行
7、者先行 100 步，善行者追之，不善行者再行 300 步，请问谁在前面，两人 相隔多少步？ 22 （10 分） “创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进 行调查其中 A、B 两小区分别有 600 名居民，从两个社区各随机抽取 20 名居民的竞赛成 绩（百分制）进行分析，结果 80 分及以上为优秀，低于 60 分不合格过程如下： 收集数据： A 社区：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85， 86，87，94 B 社区：41，71，70，72，72，74，77，77，80，80，81，81，81，82，82
8、，83，83， 87，92，94 整理数据： 40 x49 50 x59 60 x69 70 x79 80 x89 90 x99 A 社区 0 1 0 a 7 1 B 社区 1 0 0 7 b 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 A 社区 78 75 c B 社区 78 d 80.5 应用数据： （1）由上表填空：a ，b ，c ，d 并分别求出两 个小区优秀的居民各有几个？ （2）你认为哪个社区对垃圾分类知识掌握的总体水平较好，请说明理由 23 （12 分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究： 如图 1，将长为 12cm 的铅笔 AB 斜靠在垂直于水平桌面 AE 的直尺 FO 的边沿
9、上，一端 A 固定在桌面上，图 2 是示意图 活动一 如图 3，将铅笔 AB 绕端点 A 顺时针旋转，AB 与 OF 交于点 D，当旋转至水平位置时， 铅笔 AB 的中点 C 与点 O 重合 数学思考 （1）设 CDxcm，点 B 到 OF 的距离 GBycm 用含 x 的代数式表示：AD 的长是 cm，BD 的长是 cm； y 与 x 的函数关系式是 ，自变量 x 的取值范围是 活动二 （2）列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格 x（cm） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 2.47 3 4.29 5.08 描点：根据表
10、中数值，继续描出中剩余的两个点（x，y） 连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象 数学思考 （3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，OA 比 OC 大 2，点 E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的O交 x 轴于点 D，过 D 作 DFEA交 AE 于点 F （1）求 OA、OC 的长及点 O的坐标； （2）求证：DF 为O的切线； （3）小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形，由此他断定“直线 BC 上一定存在 除点 E 以外的点 P，使AOP 也是等腰三角形，且点 P 一定在O
11、外” 你同意他的看 法吗？请说明理由 25 （14 分）已知抛物线 y2x2+（b2）x+（c2020） （b，c 为常数） （1）若抛物线的顶点坐标为（1，1） ，求 b，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围； （3） 在 （1） 的条件下， 存在正实数 m， n （mn） ， 当 mxn 时， 恰好有 ，求 m，n 的值 2020 年福建省厦门市同安区中考数学模拟试卷（年福建省厦门市同安区中考数学模拟试卷（6 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共
12、 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合要求的项是符合要求的. 1 （4 分）下列四个数的相反数最大的数是（ ） A B2 C4 D2 【分析】分别求出各数的相反数再进行大小比较即可 【解答】解： 的相反数是； 2 的相反数是 2； 4 的相反数是 4； 2 的相反数是2； 224， 相反数最大的数是4， 故选：C 2 （4 分）如图，是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A B C D 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案 【解答】解：从上边看是一个长方形，长方形的中间是一个圆， 故选：C 3 （4 分）去年由于
13、中美贸易战的影响，华为受到美国政府的制裁，禁止美国高科技公司向 华为供货，而华为在这种压力下迎难而上，华为总裁任正非宣布正在生产不含任何美国 零件的5G基站， 明年预计最少生产1500000个 将1500000用科学记数法可表示为 （ ） A15105 B1.5106 C150104 D0.15107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同 【解答】解：15000001.5106， 故选：B 4 （4 分）下列运算结果是 a2的是（ ） Aa+a Ba+2
14、Ca2 Daa 【分析】逐项进行计算，得出答案 【解答】解：a+a2a，因此选项 A 不符合题意； a+2a+2，因此选项 B 不符合题意； a22a，因此选项 C 不符合题意； aaa2，因此选项 D 符合题意； 故选：D 5 （4 分）已知正方形 ABCD 中，对角线 AC4，这个正方形的面积是（ ） A8 B16 C8 D16 【分析】根据勾股定理，可得正方形的边长，根据乘方运算，可得正方形的面积 【解答】解：由勾股定理得， AB2+BC2AC2， 2AB242， AB28 故选：A 6 （4 分）一个布袋内只装有 1 个黑球和 2 个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出 一个球后放
15、回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是（ ） A B C D 【分析】列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解：列表得： 黑 白 白 黑 （黑，黑） （黑，白） （黑，白） 白 （白，黑） （白，白） （白，白） 白 （白，黑） （白，白） （白，白） 共 9 种等可能的结果，两次都是黑色的情况有 1 种， 两次摸出的球都是黑球的概率为， 故选：D 7 （4 分）函数 y中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax4 Bx4 Cx4 Dx4 【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以 x40，可求 x 的范围 【解答】解：x40 解得 x
16、4， 故选：B 8 （4 分）如图，A，B，C 三点在O 上，若ACB120，则AOB 的度数是（ ） A60 B90 C100 D120 【分析】如图，在优弧 AB 上取一点 D，连接 AD，BD利用圆内接四边形的性质求出 ADB，再利用圆周角定理即可解决问题 【解答】解：如图，在优弧 AB 上取一点 D，连接 AD，BD ACB+ADB180，ACB120， ADB60， AOB2ADB120， 故选：D 9 （4 分）若二次函数 y|a|x2+bx+c 的图象经过 A（m，n） 、B（0，y1） 、C（3m，n） 、D （，y2） 、E（2，y3）五点，则 y1，y2，y3的大小关系是（
17、 ） Ay1y3y2 By1y2y3 Cy2y3y1 Dy3y2y1 【分析】由点 A（m，n） 、C（3m，n）的对称性，可求函数的对称轴为 x，再由 B （0，y1） 、D（，y2） 、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断 y1y3y2 【解答】解：二次函数 y|a|x2+bx+c 的图象经过 A（m，n） 、C（3m，n） ， 开口向上，对称轴为直线 x， B（0，y1） 、D（，y2） 、E（2，y3）与对称轴的距离 B 最远，D 最近， y2y3y1； 故选：C 10 （4 分）在平面直角坐标系中，一系列正三角形中其中两个顶点在 x 轴上，第三个顶点 在第一象限内，且第一个正三角形
18、的边长为 2，第二个正B0A1B1中 A1的坐标为（4， 2） ，接下去的正AnBnBn1的顶点 An都在直线 A0A1上，如图所示，则第 10 个正三 角形的面积为（ ） A B49 C210 D29 【分析】 根据第一个正三角形的边长为 2， 第二个正B0A1B1中 A1的坐标为 （4， 2） ， 可得第二个正B0A1B1，边长为 4，进而可求面积，同理可得其余正三角形的面积，进而 得出规律，所以可得第 10 个正三角形的面积 【解答】解：因为第一个正三角形的边长为 2，第二个正B0A1B1中 A1的坐标为（4， 2） ， 所以第二个正B0A1B1，边长为 4，面积为：42441； 同理，
19、第 3 个正三角形的边长为 8，面积为：841642； 第 4 个正三角形的边长为 16，面积为：1686443； ， 所以第 10 个正三角形的面积为：49 故选：B 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分. 11 （4 分）分解因式：x2+6x+9 （x+3）2 【分析】直接用完全平方公式分解即可 【解答】解：x2+6x+9（x+3）2 12 （4 分）已知一组数据从小到大顺序排列为 abcdefg则 a+1，b+2，c+1， d+2，e+2，f+3，g+2 这组数据的中位数是 d+2 【分析】根据中位数的概念求解可得 【解答】解：
20、abcdefg， a+2b+2c+2d+2e+2f+2g+2， 而 a+1a+2，c+1c+2，f+2f+3， 这组数据的中位数为 d+2， 故答案为：d+2 13 （4 分）如图， ABCD，CB 平分ABD，若ABC40， 则D 的度数为 100 【分析】根据角平分线定义和平行线的性质即可求出D 的度数 【解答】解：CB 平分ABD， ABD2ABC80， ABCD， ABD+D180， D18080100， 则D 的度数为 100 故答案为：100 14 （4 分）不等式组的解集为 1x2 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了
21、确定不等式组的解集 【解答】解：解不等式 x+23，得：x1， 解不等式 2x31，得：x2， 不等式组的解集为 1x2， 故答案为：1x2 15 （4 分）如图，RtABC 中，ACB90，A30，BC2将ABC 绕点 C 按顺 时针方向旋转一定角度后得EDC，点 D 在 AB 边上，斜边 DE 交 AC 于点 F，则图中阴 影部分面积为 【分析】先根据已知条件求出 AC 的长及B 的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角 形的判定定理判断出BCD 的形状，进而得出DCF 的度数，由直角三角形的性质可判 断出 DF 是ABC 的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论 【解答】解：ABC 是直角
22、三角形，ACB90，A30，BC2， B60，AB2BC4，AC2， EDC 是ABC 旋转而成， BCCDBDAB2， B60， BCD 是等边三角形， BCD60， DCF30，DFC90， 即 DEAC， DEBC， BDAB2， DF 是ABC 的中位线， DFBC21，CFAC2， S阴影DFCF 16 （4 分）如图，RtABC 中，BAC90，AB3，AC6，点 D，E 分别是边 BC， AC 上的动点，则 DA+DE 的最小值为 【分析】如图，作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，交 BC 于 F，过 A作 AEAC 于 E， 交 BC 于 D，则 ADAD，此时 AD
23、+DE 的值最小，就是 AE 的长，根据相似三角形对应 边的比可得结论 【解答】解：作 A 关于 BC 的对称点 A，连接 AA，交 BC 于 F，过 A作 AEAC 于 E， 交 BC 于 D，则 ADAD，此时 AD+DE 的值最小，就是 AE 的长； RtABC 中，BAC90，AB3，AC6， BC9， SABCABACBCAF， 39AF， AF2， AA2AF4， AFDDEC90，ADFCDE， AC， AEABAC90， AEABAC， ， ， AE， 即 AD+DE 的最小值是； 故答案为： 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 9 小题，共小题，共 86 分分.解答应写成文
24、字说明、证明过程或演算步骤解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （6 分）计算：2sin60（2+）0+|2|（） 1 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和负整数指数幂的性质分别化 简得出答案 【解答】解：原式21+22 1+22 1 18 （8 分）如图，ABC 和EFD 分别在线段 AE 的两侧，点 C，D 在线段 AE 上，AB EF，BF，ABEFAC4，AE10求 CD 的长度 【分析】根据三角形的全等得出ACBDEF，进而解答即可 【解答】解：ABEF， AE， ABEF，BF， ACBDEF（ASA） ， ACDE， CDAEACDE10442 19
25、（8 分）先化简，再求值： （2）；其中 a1 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将 a 的值代入化简后的式 子即可解答本题 【解答】解： （2） ， 当 a1 时，原式 20 （8 分）如图，在ABC 中，C90 （1）尺规作图：在 AB 上求作点 D 使得 DCDB （2）设 E 为 BC 的中点，连结 DC 和 DE，求证DCEABC 【分析】 （1）作出 BC 的垂直平分线即可得到结论； （2）根据线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论 【解答】解： （1）作 BC 的垂直平分线交 AB 于 D， 则点 D 即为所求； （2）CDBD，E 为 BC
26、的中点， DCEB，DEBC， DECACB90， DCEABC 21 （8 分） “今有善行者行一百步，不善行者行六十步 ” （出自九章算术 ）意思是：同 样的时间段里，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步假定两者步长相等， 据此回答以下问题： （1）今善行者与不善行者相距 960 步，两者相向而行，问，相遇时两者各行几步？ （2）今不善行者先行 100 步，善行者追之，不善行者再行 300 步，请问谁在前面，两人 相隔多少步？ 【分析】 （1）设两者相遇时行走的时间为 t，根据两者行走的步数和为 960 列出方程，求 得 t，进而便可求得各自行走的步数； （2）通过列式求
27、出两者各自行走的步数，便可解决问题 【解答】解： （1）设两者相遇时行走的时间为 t，根据题意得， 100t+60t960， 解得，t6， 100t600， 60t360， 答：相遇时，善行者走了 600 步，不善行者走了 360 步； （2）不善行者一共走了 100+300400（步） ， 善行者行走了（步）400 步， 善行者在前面， 两人相距：500400100（步） ， 答：善行者在前面，两人相隔 100 步 22 （10 分） “创全国文明城市”活动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进 行调查其中 A、B 两小区分别有 600 名居民，从两个社区各随机抽取 20 名居民的竞
28、赛成 绩（百分制）进行分析，结果 80 分及以上为优秀，低于 60 分不合格过程如下： 收集数据： A 社区：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85， 86，87，94 B 社区：41，71，70，72，72，74，77，77，80，80，81，81，81，82，82，83，83， 87，92，94 整理数据： 40 x49 50 x59 60 x69 70 x79 80 x89 90 x99 A 社区 0 1 0 a 7 1 B 社区 1 0 0 7 b 2 分析数据： 平均数 众数 中位数 A 社区 78 75 c B 社区 7
29、8 d 80.5 应用数据： （1）由上表填空：a 11 ，b 10 ，c 78 ，d 81 并分别求出两个小 区优秀的居民各有几个？ （2）你认为哪个社区对垃圾分类知识掌握的总体水平较好，请说明理由 【分析】 （1）根据已知数据及中位数和众数的概念、利用样本估计总体思想求解可得； （2）答案不唯一，合理均可 【解答】解： （1）由题意知 a11，b10， 将 A 小区成绩排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80， 81，83，85，86，87，94， 其中位数 c78， B 小区成绩的众数 d81， A 小区优秀的居民有 600240（人）
30、， B 小区优秀的居民有 600360（人） 故答案为：11，10，78，81； （2）B 小区的总体水平较好， A、B 小区的平均成绩相等，而 B 小区的中位数大于 A 小区的中位数， B 小区得分高的人数相对较多， B 小区的居民对垃圾分类知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可） 23 （12 分）数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究： 如图 1，将长为 12cm 的铅笔 AB 斜靠在垂直于水平桌面 AE 的直尺 FO 的边沿上，一端 A 固定在桌面上，图 2 是示意图 活动一 如图 3，将铅笔 AB 绕端点 A 顺时针旋转，AB 与 OF 交于点 D，当旋转至水平位置时， 铅笔
31、 AB 的中点 C 与点 O 重合 数学思考 （1）设 CDxcm，点 B 到 OF 的距离 GBycm 用含 x 的代数式表示：AD 的长是 （6+x） cm，BD 的长是 （6x） cm； y 与 x 的函数关系式是 y ，自变量 x 的取值范围是 0 x6 活动二 （2）列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全表格 x（cm） 6 5 4 3.5 3 2.5 2 1 0.5 0 y（cm） 0 0.55 1.2 1.58 2 2.47 3 4.29 5.08 6 描点：根据表中数值，继续描出中剩余的两个点（x，y） 连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象 数学思考 （
32、3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论 【分析】 （1）利用线段的和差定义计算即可 利用平行线分线段成比例定理解决问题即可 （2）利用函数关系式计算即可 描出点（0，6） ， （3，2）即可 由平滑的曲线画出该函数的图象即可 （3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一） 【解答】解： （1）如图 3 中，由题意 ACOAAB6（cm） ， CDxcm， AD（6+x） （cm） ，BD12（6+x）（6x） （cm） ， 故答案为： （6+x） ， （6x） OAOF，BGOF， BGOA， ， ， y（0 x6） ， 故答案为：y，0 x6 （2）当 x3 时，y2，当 x0
33、 时，y6， 故答案为 2，6 点（0，6） ，点（3，2）如图所示 函数图象如图所示 （3）性质 1：函数值 y 的取值范围为 0y6 性质 2：函数图象在第一象限，y 随 x 的增大而减小 24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCO 的面积为 15，OA 比 OC 大 2，点 E 为 BC 的中点，以 OE 为直径的O交 x 轴于点 D，过 D 作 DFEA交 AE 于点 F （1）求 OA、OC 的长及点 O的坐标； （2）求证：DF 为O的切线； （3）小明在解答本题时，发现AOE 是等腰三角形，由此他断定“直线 BC 上一定存在 除点 E 以外的点 P，使AOP 也是
34、等腰三角形，且点 P 一定在O外” 你同意他的看 法吗？请说明理由 【分析】 （1） 在矩形 OABC 中， 利用边长之间的关系和面积公式即可求得 OC， OA 的长， 再利用已知结合 O是 OE 的中点得出答案； （2）连接 OD，通过证明OCEABE 得到 DFOD，所以 DF 为O切线； （3）分两种情况进行分析：当 AOAP；当 OAOP，从而得到在直线 BC 上，除 了 E 点外，既存在O内的点 P，又存在O外的点 P2、P3、P4，它们分别使AOP 为等腰三角形 【解答】 （1）解：在矩形 OABC 中，设 OCx，则 OAx+2 x（x+2）15 x13，x25 x25（不合题意
35、，舍去） OC3，OA5； 点 E 为 BC 的中点， EC， O是 OE 的中点， O（，） ； （2）证明：如图，连接 OD； 在OCE 和ABE 中， ， OCEABE（SAS） ， EAEO， 12； 在O中，OOOD， 13， 32， ODAE； DFAE， DFOD， 点 D 在O上，OD 为O的半径， DF 为O切线； （3）解：不同意理由如下： 当 AOAP 时，以点 A 为圆心，以 AO 为半径画弧交 BC 于 P1和 P4两点 过 P1点作 P1HOA 于点 H，P1HOC3； APlOA5， AH4， OHl， 则点 P1（1，3） ，同理可得：P4（9，3） ； 当 O
36、AOP 时， 同上可求得 P2（4，3） ，P3（4，3） ， 故在直线 BC 上，除了 E 点外，既存在O内的点 P1，又存在O外的点 P2、P3、 P4，它们分别使AOP 为等腰三角形 25 （14 分）已知抛物线 y2x2+（b2）x+（c2020） （b，c 为常数） （1）若抛物线的顶点坐标为（1，1） ，求 b，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围； （3） 在 （1） 的条件下， 存在正实数 m， n （mn） ， 当 mxn 时， 恰好有 ，求 m，n 的值 【分析】 （1）由题意可知，抛物线解析式是：y2（x1）2+1，把它化成一般
37、式即可 求得； （2）设符合题意的两点分别是（x0，y0） ， （x0，y0） ，代入解析式，两式相加即可得 到 c2x02+2020，根据二次函数的性质即可求得； （3）由题意知，抛物线为 y2x2+4x12（x1）2+1，则 y1利用不等式的性 质推知：myn，易得 mn1由二次函数图象的性质得到：当 xm 时，y最小值 2m2+4m1当 xn 时，y最大值2n2+4n1所以有，通过解方程求 得 m、n 的值 【解答】解： （1）由题意可知，抛物线解析式是：y2（x1）2+12x2+4x1， ， b6，c2019； （2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0） ， （x0，y0） ， 代入解析式可得：， 两式相加可得：4x02+2（c2020）0， 化简得：c2x02+2020， 又x00， c2020； （3）由（1）可知抛物线为 y2x2+4x12（x1）2+1 y1， 0mn，当 mxn 时，恰好有， 化简得：， 反比例函数在第一象限内 y 随 x 的增大而减小， m+2y+2n+2， myn， 又y1， mn1， 抛物线的对称轴是直线 x1，且开口向下， 当 mxn 时，y 随 x 的增大而增大 当 xm 时，y最小值2m2+4m1 当 xn 时，y最大值2n2+4n1， 又myn， 有， 解得：m1 或，n1 或， mn1，