1、第 1 页，共 24 页 山东省青岛市市南区九年级（上）期中复习数学试卷山东省青岛市市南区九年级（上）期中复习数学试卷 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分） 1. 一元二次方程2 3 = 0的解是( ) A. 1= 2= 3 B. 1= 2= 3 C. 1= 0，2= 3 D. 1= 0，2= 3 2. 下列命题是假命题的是( ) A. 四条边都相等的四边形是菱形 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D. 平行四边形的对边相等 3. 在图形：线段；等边三角形；矩形；菱形；平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对 称图形的个数是
2、( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图， 在 中， 点 E在 BC边上， 连接 AE， 点 D在线段 AE上， /， 且交 BC 于点 G，/，且交 AC于点 F，则下列结论一定正确的是( ) A. = B. = C. = D. = 5. 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金 比已知这本书的长为 20cm，则它的宽约为( ) A. 12.36 B. 13.6 C. 32.36 D. 7.64 6. 已知关于 x 的方程2+ 3 + = 0有一个根为2，则另一个根为( ) A. 5 B. 1 C. 2 D. 5 7. 某小组做“用频率估计概率”的实
3、验时，统计了某一结果出现的频率， 绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是( ) A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”。 B. 暗箱中有 1个红球和 2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一 球是黄球。 C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 4。 D. 掷一枚一元硬币，落地后正面朝上。 8. 将边长为 1 的一个正方形和一个等边三角形按如图的方式摆放，则 的面积为( ) A. 1 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 4 二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分） 9. 一个不透明的袋中装有若干个红球， 为了估计袋中红球的个数， 小文在
4、袋中放入 10个白球(每个球除颜 色外其余都与红球相同).摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球 试验后发现，摸到白球的频率是0.4，则袋中红球约为_个 10. 若关于 x的一元二次方程2+ 4 + 3 = 0有两个不相等的实数根，则 n的取值范围是_ 11. 如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔 5米有一棵树，在河的北岸边每隔 50 米有一 根电线杆，小丽站在离南岸 15 米的点 P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮 住，并且在这两棵树之间还有四棵树，则河的宽度为_米 12. 某厂一月份生产某机器 100 台，计划三月份生产 1
5、44台设二、三月份每月的平均增长率为 x，根据题 意列出的方程是_ 13. 如图，在矩形 ABCD中， = 6， = 8，P是 AD上不与 A、D 重合的一动点， ， ，E、F 分别为垂足，则 + 的值为 14. 在矩形 ABCD中， = 4， = 3，点 E 为线段 CD 一个动点，把 沿 AE 折叠， 使点 D 落在点 F处， 当 为直角三角形时， DE的长为_ 第 3 页，共 24 页 三、解答题（本大题共 10 小题，共 76 分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保郎画图痕迹 已知：线段 a， 求作：菱形 ABCD，使 = ， = 16. 解方程(1)2 2 = 5 (2)2
6、( 3) = 3( 3) 17. 在课堂上，老师将除颜色外都相同的 1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让全班同 学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数 m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中 a 的值等于 ； (2)估算口袋中白球的个数； (3)在(2)的条件下，若小明同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白 球的概率 18. 如图，在ABCD 中，点 E在边 B
7、C 上，点 F在边 AD 的延长线上，且 = ，EF与 CD交于点 G (1)求证：/； (2)若 = 2 3， = 4，求 EC 的长 19. 如图，在一块长为 36 米，宽为 20米的矩形试验田中，计划挖两横、两 竖四条水渠，横、竖水渠的宽度比为1:2，要使四条水渠所占面积是这 块试验田面积的五分之一，求水渠的宽度 第 5 页，共 24 页 20. 如图所示，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通 过调整测量位置， 使斜边DF与地面保持平行， 并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上， 已知 = 0.5米， = 0.25米，目测点 D 到地面的距离
8、 = 1.5米，到旗杆的水平距离 = 20米，求旗杆的高度 21. 如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 = ， = ，过 O点作 ， 分别交 AD、BC于点 E、F (1)求证： ； (2)判断四边形 BEDF的形状，并说明理由 22. 在某市组织的大型商业演出活动中， 对团体购买门票实行优惠， 决定在原定票价基础上每张降价 80元， 这样按原定票价需花费 6000 元购买的门票张数，现在只花费了 4800元 (1)求每张门票的原定票价； (2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策，原定票价经过连续二次降价后降 为 324 元，求平均每次降价的
9、百分率 23. 如图 1 所示：等边 中，线段 AD为其内角角平分线，过 D点的直线11 于1交 AB的延长 线于1 (1)请你探究： = ， 1 1 = 1 1是否都成立？ (2)请你继续探究：若 为任意三角形，线段 AD 为其内角角平分线，请问 = 一定成立吗？并 证明你的判断 (3)如图 2 所示 中， = 90， = 8， = 40 3 ，E为 AB 上一点且 = 5，CE 交其内角 角平分线 AD 于.试求 的值 第 7 页，共 24 页 24. 如图 1，在等边 中， = = = 8，现有两个动点 E，P 分别从点 A 和点 B 同时出发， 其中点E以1/秒的速度沿AB向终点B运动
10、； 点P以2/秒的速度沿射线BC运动 过点E作/ 交 AC于点 F，连接 EP，.设动点运动时间为 t秒(0 8) (1)当点 P在线段 BC上运动时，t为何值，四边形 PCFE 是平行四边形？请说明理由； (2)设 的面积为(2)，求 y与 t之间的函数关系式； (3)当点 P在射线 BC上运动时，是否存在某一时刻 t，使点 C在 PF的中垂线上？若存在，请直接给出 此时 t的值(无需证明)，若不存在，请说明理由 答案和解析答案和解析 1.【答案】C 【解析】解： ( 3) = 0， = 0或 3 = 0， 解得：1= 0，2= 3， 故选：C 将原方程因式分解成( 3) = 0，即可得答案
11、 本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分 解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法 2.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不大，属于基础题利 用特殊的四边形的判定和性质定理逐一判断后即可确定正确的选项 【解答】 解：.四条边都相等的四边形是菱形， 正确，是真命题； B.矩形的对角线相等， 正确，是真命题； C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形，错误，是假命题； D.平行四边形的对边相等 ， 正确，是真命题； 故选 C 3.【答案】B 第 9 页，共 24 页 【解析】解：
12、线段既是轴对称图形又是中心对称图形， 等边三角形是轴对称图形不是中心对称图形， 矩形既是轴对称图形又是中心对称图形， 菱形既是轴对称图形又是中心对称图形， 平行四边形不是轴对称图形是中心对称图形， 所以既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是 3个 故选 B 根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重 合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转 180度后两部分重合 4.【答案】C 【解析】解： /， = ，故本选项不符合题意； B、 /， ， = ，故本选项不符合题意； C、 /， ， = ， /，
13、= ， = ，故本选项符合题意； D、 /， = ， /， ， = ， ，故本选项不符合题意； 故选：C 根据相似三角形的判定推出 ， ，再得出比例式，再判断即可 本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能灵活运用性质得出正确比例式是解此 题的关键 5.【答案】A 【解析】 【分析】 理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分 割，他们的比值( 5;1 2 )叫做黄金比 【解答】 解：方法 1：设书的宽为 x，则有(20+ )：20 = 20：x， 解得 =
14、12.36 方法 2：书的宽为20 0.618 = 12.36 故选 A 6.【答案】B 【解析】 【分析】 第 11 页，共 24 页 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程2+ + = 0的两根为1，2，则1+ 2= ， 1 2= .根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和即可求出另一根 【解答】 解：设一元二次方程的另一根为1，则根据一元二次方程根与系数的关系， 得2 + 1= 3， 解得：1= 1 故选 B 7.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的 幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用
15、频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这 个事件的概率当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等 时，一般通过统计频率来估计概率根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.17左右，再分别计算出四个 选项中的概率，然后进行判断 【解答】 解：.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是1 3，不符合题意； B.暗箱中有 1个红球和 2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为1 3，不符合题意； C.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 4的概率为1 6 0.17，符合题意； D.掷一枚一元硬币，落地后正面上的概率
16、为1 2，不符合题意 故选 C 8.【答案】D 【解析】解：过点 C作 CD和 CE垂直正方形的两个边长，如图， 一个正方形和一个等边三角形的摆放， 四边形 DBEC 是矩形， = = 1 2， 的面积= 1 2 = 1 2 1 1 2 = 1 4， 故选：D 过点C作CD和CE垂直正方形的两个边长， 再利用正方形和等边三角形的性质得出CE的长， 进而得出 的面积即可 此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和等边三角形的性质得出 BE 和 CE 的长 9.【答案】15 【解析】解：通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率是0.4，口袋中有 20 个白球， 假设有 x个红球， 10 10: =
17、 0.4， 解得： = 15， 口袋中有红球约有 15个 故答案为：15 根据口袋中有 10个白球，利用小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可 此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该 相等是解决问题的关键 10.【答案】 0，方程有两个不相 第 13 页，共 24 页 等的实数根；当 = 0，方程有两个相等的实数根；当 0， 解得 7 故答案为： ，作图观察知， 45，则 90， 当 为直角三角形时，只有两种情况： = 90或 = 90， 当 = 90时，F落在 AC上，如下图所示 由折叠的性质得： = ， = = 4， 设 =
18、 ，则 = ， = 3 ， 在 中，由勾股定理得： 2+ 2= 2， 2+ 12= (3 )2， 解得 = 4 3， = 4 3； 当 = 90时，点 F落在 BC 边上，如下图所示， 易知 = = 4， = 在 中， = 2 2= 7， = = 4 7， 设 = ，则 = ， = 3 ， 2= 2+ 2， 2= (3 )2+ (4 7)2， 解得 = 16;47 3 ， = 16;47 3 ， 第 17 页，共 24 页 综上所述，DE的长为4 3或 16;47 3 故答案为4 3或 16;47 3 15.【答案】解：作 = 作的平分线 BE，在射线 BE 上截取 = 作线段 BD的垂直平分
19、线交 BM 于点 A，交 BN于点 C，连接 AD， CD 菱形 ABCD即为所求 【解析】作 = .作的平分线 BE，在射线 BE上截 取 = .作线段 BD 的垂直平分线交 BM于点 A，交 BN于点 C， 连接 AD，CD，菱形 ABCD即为所求 本题考查作图复杂作图， 菱形的判定等知识， 解题的关键是熟练掌握 五种基本作图，属于中考常考题型 16.【答案】解：(1) 2 2 = 5， 2 2 + 1 = 5 + 1， ( 1)2= 6， 1 = 6， 解得1= 1 + 6，2 = 1 6； (2) 2( 3) = 3( 3)， 2( 3) 3( 3) = 0， ( 3)(2 3) =
20、0， 3 = 0或2 3 = 0， 解得1= 3，2= 2 3 【解析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是根据方程的特点选择合适的解答方法 (1)根据配方法可以解答此方程； (2)先移项，然后根据因式分解法可以解答此方程 17.【答案】(1)0.25； (2)由表格中数据可得出，摸到黑球的频率稳定在0.25，故1 0.25 1 = 3(个)，答：口袋中白球的个数为 3 个； (3)画树状图得：共有 16种等可能的结果，两 次都摸到白球的有 9 种情况，两次都摸到白球的概率为： 9 16 【解析】此题考查了模拟实验以及频率求法和树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况 数与总
21、情况数之比 (1)直接利用频数总数=频率求出答案； 解：由题意可得： = 200 800 = 0.25； 故答案为0.25； (2)直接利用表格中数据估算出得到白球的频率，进而得出答案； (3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到白球的情况，再利用概率 公式即可求得答案 18.【答案】(1)证明：四边形 ABCD 是平行四边形， / = ， 四边形 BEFD是平行四边形， /； (2) 四边形 BEFD是平行四边形， = = 4 /， = ， = ， ， = ， 第 19 页，共 24 页 = = 4 3 2 = 6 【解析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，
22、平行四边形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性 质是解题的关键 (1)根据平行四边形的判定与性质，可得答案； (2)根据相似三角形的判定与性质，可得答案 19.【答案】解：设横向水渠的宽度为 x米，则竖向水渠的宽度为 2x 米， 根据题意，得(36 4)(20 2) = 3620 (1 1 5)， 解得 1= 1， 2= 18(不符合题意，舍去)， 当 = 1时，2 = 2 1 = 2(米) 答：横向水渠的宽度为 1米，竖向水渠的宽度为 2米 【解析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找 出合适的等量关系，列出方程，再求解 设横向水渠的宽度为
23、x米，则竖直水渠的宽度为 2x米，根据试验田的面积可列方程求解 20.【答案】解：由题意可得： ， 则 = ， = 0.5米， = 0.25米， = 1.5米， = 20米， 0.5 20 = 0.25 ， 解得： = 10， 故 AB= + = 10 + 1.5 = 11.5(米)， 答：旗杆的高度为11.5米 【解析】根据题意可得： ，进而利用相似三角形的性质得出 AC的长，即可得出答案 此题主要考查了相似三角形的应用，得出 是解题关键 21.【答案】(1)证明： = ， = ， 四边形 ABCD是平行四边形， /， = ， + = + = 90, = , = , 在 和 中， = = =
24、 ， () (2)解：结论：四边形 BEDF是菱形， ， = ， = ， = ， /， 四边形 BEDF是平行四边形， = ， ， = ， 四边形 BEDF是菱形 【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键 是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 (1)首先证明四边形 ABCD是平行四边形，再利用 ASA证明 ； (2)结论：四边形 BEDF 是菱形根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； 22.【答案】解：(1)设每张门票的原定票价为 x元，则现在每张门票的票价为( 80)元，根据题意得 6000 = 4800 ;80， 解得 = 40
25、0 经检验， = 400是原方程的根， 答：每张门票的原定票价为 400 元； 第 21 页，共 24 页 (2)设平均每次降价的百分率为 y，根据题意得 400(1 )2= 324， 解得：1 = 0.1，2 = 1.9(不合题意，舍去)， 答：平均每次降价10% 【解析】本题考查了一元二次方程与分式方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解 (1)设每张门票的原定票价为 x 元，则现在每张门票的票价为( 80)元，根据“按原定票价需花费 6000 元 购买的门票张数，现在只花费了 4800元”建立方程，解方程即可； (2)设平均每次降
26、价的百分率为 y，根据“原定票价经过连续二次降价后降为 324元”建立方程，解方程即 可 23.【答案】解：(1)两个等式都成立理由如下： 为等边三角形，AD为角平分线， 垂直平分 BC， = = 30， = ， = ， = ； 11= 60， 1= 30， 1= 21， 又 1= 30， = 1， 而 = 21， 1= 21， 1 1 = 1 1； (2)结论仍然成立，理由如下： 如右图所示， 为任意三角形，过 B 点作/交 AD 的延长线于 E 点， = = ， = ， /， ， = 而 = ， = ； (3)如图，连 DE， 为 的内角角平分线 = = 8 40 3 = 3 5， = =
27、 5 8， 又 = 5 40 3 ;5 = 3 5， = ， /， ， = = 5 8 【解析】(1)根据等边三角形的性质得到 AD垂直平分 BC， = = 30， = ，则 = ， 易得 = ； 由于11 = 60， 得1= 30， 则1= 21， 同理可得到1= 21， 易得 1 1 = 1 1； (2)过B点作/交AD的延长线于E点， 根据平行线的性质和角平分线的定义得到 = = ， 则 = ，并且根据相似三角形的判定得 ，得到 = ，而 = ，于是有 = ， 这实际是三角形的角平分线定理； (3)为 的内角角平分线，由(2)的结论得到 = = 8 40 3 = 3 5， = = 5 8
28、，又 = 5 40 3 ;5 = 3 5，则有 = ，得到/，根据相似三角形的判定得 ，即有 = = 5 8 本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三 角形相似；相似三角形对应边的比相等也考查了等边三角形的性质、含30的直角三角形三边的关系以及 第 23 页，共 24 页 角平分线的性质 24.【答案】解：(1)如图 1中， /， 当 = 时，四边形 PCFE 是平行四边形， = 8 2， = 8 3 (2)如图 2 中，作 于 H 在 中， = 8 ， = 60， = 60 = (8 ) 3 2 ， = 1 2 = 1 2 2 3 2 (8
29、 ) = 3 2 2+ 43(0 8) (3)如图 3 中，当点 P 在 BC的延长线上时， = 时，点 C在 PF的中垂线上 2 8 = 8 ， = 16 3 ， = 16 3 时，点 C 在 PF 的中垂线上 【解析】(1)当 = 时，四边形 PCFE 是平行四边形，延长构建方程即可解决问题； (2)如图 2 中，作 于.求出 EH，利用三角形的面积公式计算即可； (3)如图 3 中，当点 P 在 BC 的延长线上时， = 时，点 C在 PF 的中垂线上，延长构建方程即可解决问 题； 本题考查四边形综合题、 等边三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、 平行四边形的判定和性质等知识， 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题