1、2020 年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题给出的四个选项分，在每小题给出的四个选项 A、B、 C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应位置）中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应位置） 1 （3 分）下列四个数中，是负数的是（ ） A|3| B（3） C （3）2 D 2 （3 分）如图，有一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边，如果2 46，那么1 的度数是（ ） A14 B15 C16
2、D17 3 （3 分）国家发改委 2 月 7 日紧急下达第二批中央预算内投资 200000000 元人民币，专项 补助承担重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设， 其中数据 200000000 用科学记数法表示为（ ） A2107 B2108 C20107 D0.2108 4 （3 分）如图几何体的主视图是（ ） A B C D 5 （3 分）某班 40 名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 人数（人） 3 17 13 7 时间（小时） 7 8 9 10 那么该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A17，8.5 B17，9 C8，9 D8，8.5 6
3、 （3 分）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：林茂 从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家图中 x 表示时间，y 表示林茂离家的距离依据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A体育场离林茂家 2.5km B体育场离文具店 1km C林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 50m/min D林茂从文具店回家的平均速度是 60m/min 7 （3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，C90，BCCD8，过点 B 作 EB AB，交 CD 于点 E若 DE6，则 AD 的长为（ ） A6 B8 C10 D无法确定 8 （3 分）如图是
4、抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n） ，且与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间则下列结论： ab+c0； 3a+b0； b24a（cn） ； 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）不等式组的非负整数解的个数是 10 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程（a1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a 11 （3 分）如图，点 A，B，C，
5、D 在O 上，CAD30，ACD50，则 ADB 12 （3 分）若 2a3b1，则代数式 4a26ab+3b 的值为 13 （3 分）如图，在平面直角坐标中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正 半轴上，点 A 坐标为（4，0） ，点 D 的坐标为（1，4） ，反比例函数 y（x0） 的图象恰好经过点 C，则 k 的值为 14 （3 分）如图，在ABC 中，BAC90，ABAC10cm，点 D 为ABC 内一点， BAD15，AD6cm，连接 BD，将ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE，DE 交 AC
6、于点 F，则 CF 的长为 cm 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内） 15计算：12020+2 2+4cos30|2 | 16先化简，再求值： （），其中 x 是方程 x22x20 的根 17如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，延长 BC 到 E，使 CEBC，连接 AE 交 CD 于点 F，点 F 是 CD 的中点求证： （1）ADFECF （2）四边形 ABCD 是平行四边形 18某网店专售一款新型钢笔，其成本为 20 元/支，销售中发现，该商品每天的销售量 y 与 销售单价 x（元/支）
7、之间存在如下关系：y10 x+400，自武汉爆发了“新型冠状病毒” 疫情该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 200 元捐赠给武汉，同时又让顾客得到实 惠，当销售单价定位多少元时，捐款后每天剩余利润为 550 元？ 19如图，山顶有一塔 AB，塔高 33m计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF从 与 E 点相距 80m 的 C 处测得 A、B 的仰角分别为 27、22，从与 F 点相距 50m 的 D 处测得 A 的仰角为 45求隧道 EF 的长度 （参考数据：tan220.40，tan270.51 ） 20如图，一次函数 yx+3 的图象与反比例函数 y（k0）在第一象限的图象交于
8、 A （1，a）和 B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，且APC 的面积为 5，求点 P 的坐标 21为庆祝建国 70 周年，东营市某中学决定举办校园艺术节学生从“书法” 、 “绘画” 、 “声 乐” 、 “器乐” 、 “舞蹈”五个类别中选择一类报名参加为了了解报名情况，组委会在全 校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计 图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数； （4）小东
9、和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐 器中随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率 22如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 延长线上一 点，且CDEBAC （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AB3BD，CE2，求O 的半径 23在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP （1）观察猜想 如图 1，当 60时，的值是 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小
10、角的度 数是 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数， 并就图 2 的情形说明理由 （3）解决问题 当 90时， 若点 E， F 分别是 CA， CB 的中点， 点 P 在直线 EF 上， 请直接写出点 C， P，D 在同一直线上时的值 24如图，抛物线 yax2+x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C直线 yx2 经 过点 A，C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐 标为 m 当PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 作点
11、 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B到该直线的距离 都相等 当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上， 且与点 B 不重合时， 请直接写出直线 l： ykx+b 的解析式 （k，b 可用含 m 的式子表示） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 24 分，在每小题给出的四个选项分，在每小题给出的四个选项 A、B、 C、D 中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应位置）中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项涂在答题卡相应位置） 1 （3 分）下列四个数中，是负
12、数的是（ ） A|3| B（3） C （3）2 D 【分析】根据小于 0 的是负数即可求解 【解答】解：|3|3，（3）3， （3）29， 四个数中，负数是 故选：D 2 （3 分）如图，有一块含有 30角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边，如果2 46，那么1 的度数是（ ） A14 B15 C16 D17 【分析】依据ABC60，246，即可得到EBC14，再根据 BECD，即 可得出1EBC14 【解答】解：如图，ABC60，246， EBC14， BECD， 1EBC14， 故选：A 3 （3 分）国家发改委 2 月 7 日紧急下达第二批中央预算内投资 200000000 元人民币，
13、专项 补助承担重症感染患者救治任务的湖北多家医院重症治疗病区建设， 其中数据 200000000 用科学记数法表示为（ ） A2107 B2108 C20107 D0.2108 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：将 200000000 用科学记数法表示为：2108 故选：B 4 （3 分）如图几何体的主视图是（ ） A B C D 【分析】依据从该几何体的正面看到的图形，即可得
14、到主视图 【解答】解：由图可得，几何体的主视图是： 故选：B 5 （3 分）某班 40 名同学一周参加体育锻炼时间统计如表所示： 人数（人） 3 17 13 7 时间（小时） 7 8 9 10 那么该班 40 名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A17，8.5 B17，9 C8，9 D8，8.5 【分析】根据中位数、众数的概念分别求得这组数据的中位数、众数 【解答】解：众数是一组数据中出现次数最多的数，即 8； 由统计表可知，处于 20，21 两个数的平均数就是中位数， 这组数据的中位数为8.5； 故选：D 6 （3 分）已知林茂的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反
15、映的过程是：林茂 从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家图中 x 表示时间，y 表示林茂离家的距离依据图中的信息，下列说法错误的是（ ） A体育场离林茂家 2.5km B体育场离文具店 1km C林茂从体育场出发到文具店的平均速度是 50m/min D林茂从文具店回家的平均速度是 60m/min 【分析】从图中可得信息：体育场离文具店 1000m，所用时间是（4530）分钟，可算 出速度 【解答】解：从图中可知：体育场离文具店的距离是：2.51.51km1000m， 所用时间是（4530）15 分钟， 体育场出发到文具店的平均速度m/min 故选：C 7 （3 分
16、）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，C90，BCCD8，过点 B 作 EB AB，交 CD 于点 E若 DE6，则 AD 的长为（ ） A6 B8 C10 D无法确定 【分析】作 BFAD 与 F，就可以得出 BFCD，就可以得出四边形 BCDF 是矩形，进 而得出四边形BCDF是正方形， 就有BFBC， 证明BCEBAF就可以得出AFCE， 进而得出结论 【解答】解：作 BFAD 与 F， AFBBFD90， ADBC， FBCAFB90， C90， CAFBBFDFBC90 四边形 BCDF 是矩形 BCCD， 四边形 BCDF 是正方形， BCBFFD EBAB， ABE90， A
17、BEFBC， ABEFBEFBCFBE， CBEFBA 在BCE 和BAF 中 ， BCEBAF（ASA） ， CEFA CDBC8，DE6， DF8，CE2， FA2， AD8+210 故选 C 8 （3 分）如图是抛物线 yax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n） ，且与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间则下列结论： ab+c0； 3a+b0； b24a（cn） ； 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的另一个交点在点（2，
18、0）和（1， 0）之间，则当 x1 时，y0，于是可对进行判断；利用抛物线的对称轴为直线 x 1，即 b2a，则可对进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为 n 得到 n，则可对进行判断；由于抛物线与直线 yn 有一个公共点，则抛物线与 直线 yn1 有 2 个公共点，于是可对进行判断 【解答】解：抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对 称轴为直线 x1， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点（2，0）和（1，0）之间 当 x1 时，y0， 即 ab+c0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x1，即 b2a， 3a+b3a2aa，所以错误； 抛物线的顶点坐标为（1，n）
19、 ， n， b24ac4an4a（cn） ，所以正确； 抛物线与直线 yn 有一个公共点， 抛物线与直线 yn1 有 2 个公共点， 一元二次方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根，所以正确 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）不等式组的非负整数解的个数是 4 【分析】求出不等式组的解集，确定出整数解即可 【解答】解：， 解不等式得：x2， 解不等式得 x3， 不等式组的解集为2x3， 非负整数解为 0，1，2，3 共 4 个， 故答案为 4 10 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程（a
20、1）x22x+a210 有一个根为 x0，则 a 1 【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x0 代入原方程得到关于 a 的一元二次方程， 解得 a1，然后根据一元二次方程的定义确定 a 的值 【解答】解：把 x0 代入（a1）x22x+a210 得 a210，解得 a1， a10， a1 故答案为1 11 （3 分）如图，点 A，B，C，D 在O 上，CAD30，ACD50，则 ADB 70 【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出ACBADB180 CABABC，进而得出答案 【解答】解：，CAD30， CADCAB30， DBCDAC30， ACD50， ABD50， AD
21、BACB180CABABC18050303070 故答案为：70 12 （3 分）若 2a3b1，则代数式 4a26ab+3b 的值为 1 【分析】由已知字母 a、b 的系数为 2、3，代数式中前二项的北系娄秋 4、6，提取 此二项的公因式 2a 后，代入求值变形得2a+3b，与已知条件互为相反数，可求出代数 式的值为 1 【解答】解：2a3b1， 4a26ab+3b 2a（2a3b）+3b 2a（1）+3b 2a+3b （2a3b） （1） 1 故答案为 1 13 （3 分）如图，在平面直角坐标中，点 O 为坐标原点，菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正 半轴上，点 A 坐标为（4，0
22、） ，点 D 的坐标为（1，4） ，反比例函数 y（x0） 的图象恰好经过点 C，则 k 的值为 16 【分析】要求 k 的值，求出点 C 坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾 股定理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出 k 的值 【解答】解：过点 C、D 作 CEx 轴，DFx 轴，垂足为 E、F， ABCD 是菱形， ABBCCDDA， 易证ADFBCE， 点 A（4，0） ，D（1，4） ， DFCE4，OF1，AFOAOF3， 在 RtADF 中，AD， OEEFOF514， C（4，4） k4416 故答案为：16 14 （3 分）如图，在ABC 中，BAC
23、90，ABAC10cm，点 D 为ABC 内一点， BAD15，AD6cm，连接 BD，将ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转，使 AB 与 AC 重合，点 D 的对应点为点 E，连接 DE，DE 交 AC 于点 F，则 CF 的长为 （102） cm 【分析】过点 A 作 AGDE 于点 G，由旋转的性质推出AEDADG45，AFD 60，利用锐角三角函数分别求出 AG，GF，AF 的长，即可求出 CFACAF（10 2）cm 【解答】解：过点 A 作 AGDE 于点 G， 由旋转知：ADAE，DAE90，CAEBAD15， AEDADG45， 在AEF 中，AFDAED+CAE60， 在 R
24、tADG 中，AGDG3cm， 在 RtAFG 中，GFcm，AF2FG2cm， CFACAF（102）cm， 故答案为： （102）cm 三、解答题（本题共三、解答题（本题共 78 分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内）分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域内） 15计算：12020+2 2+4cos30|2 | 【分析】利用乘方的意义、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质 进行计算，再算乘法，后算加减即可 【解答】解：原式1+4（22） 16先化简，再求值： （），其中 x 是方程 x22x20 的根 【分析】首先把所求的式子中括号内的分式通分相加，然后把除法转化为
25、乘法，计算乘 法即可化简，然后根据 x22x20 得到 x22（x+1） ，代入求值即可 【解答】解：原式 x22x20， x22（x+1） ， 原式2 17如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，延长 BC 到 E，使 CEBC，连接 AE 交 CD 于点 F，点 F 是 CD 的中点求证： （1）ADFECF （2）四边形 ABCD 是平行四边形 【分析】 （1）根据平行线的性质得到DAFE，根据线段中点的定义得到 DFCF， 根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到 ADEC，等量代换得到 ADBC，根据平行四边形的 判定定理即可得到结论 【解答】证明： （
26、1）ADBC， DAFE， 点 F 是 CD 的中点， DFCF， 在ADF 与ECF 中， ADFECF（AAS） ； （2）ADFECF， ADEC， CEBC， ADBC， ADBC， 四边形 ABCD 是平行四边形 18某网店专售一款新型钢笔，其成本为 20 元/支，销售中发现，该商品每天的销售量 y 与 销售单价 x（元/支）之间存在如下关系：y10 x+400，自武汉爆发了“新型冠状病毒” 疫情该网店店主决定从每天获得的利润中抽出 200 元捐赠给武汉，同时又让顾客得到实 惠，当销售单价定位多少元时，捐款后每天剩余利润为 550 元？ 【分析】根据总利润单件的利润销量即可列出方程求
27、得答案 【解答】解：由题意可得（x20） （10 x+400）200550 解得 x125，x235 因为要让顾客得到实惠，所以 x25 答：当销售单价定为 25 元时，捐款后每天剩余利润为 550 元 19如图，山顶有一塔 AB，塔高 33m计划在塔的正下方沿直线 CD 开通穿山隧道 EF从 与 E 点相距 80m 的 C 处测得 A、B 的仰角分别为 27、22，从与 F 点相距 50m 的 D 处测得 A 的仰角为 45求隧道 EF 的长度 （参考数据：tan220.40，tan270.51 ） 【分析】延长 AB 交 CD 于 H，利用正切的定义用 CH 表示出 AH、BH，根据题意列
28、式求 出 CH，计算即可 【解答】解：延长 AB 交 CD 于 H， 则 AHCD， 在 RtAHD 中，D45， AHDH， 在 RtAHC 中，tanACH， AHCHtanACH0.51CH， 在 RtBHC 中，tanBCH， BHCHtanBCH0.4CH， 由题意得，0.51CH0.4CH33， 解得，CH300， EHCHCE220，BH120， AHAB+BH153， DHAH153， HFDHDF103， EFEH+FH323， 答：隧道 EF 的长度为 323m 20如图，一次函数 yx+3 的图象与反比例函数 y（k0）在第一象限的图象交于 A （1，a）和 B 两点，与
29、 x 轴交于点 C （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，且APC 的面积为 5，求点 P 的坐标 【分析】 （1）利用点 A 在 yx+3 上求 a，进而代入反比例函数 y（k0）求 k 即 可； （2）设 P（x，0） ，求得 C 点的坐标，则 PC|3x|，然后根据三角形面积公式列出方 程，解方程即可 【解答】解： （1）把点 A（1，a）代入 yx+3，得 a2， A（1，2） 把 A（1，2）代入反比例函数 y， k122； 反比例函数的表达式为 y； （2）一次函数 yx+3 的图象与 x 轴交于点 C， C（3，0） ， 设 P（x，0） ， PC|3x|，
30、 SAPC|3x|25， x2 或 x8， P 的坐标为（2，0）或（8，0） 21为庆祝建国 70 周年，东营市某中学决定举办校园艺术节学生从“书法” 、 “绘画” 、 “声 乐” 、 “器乐” 、 “舞蹈”五个类别中选择一类报名参加为了了解报名情况，组委会在全 校随机抽取了若干名学生进行问卷调查，现将报名情况绘制成如图所示的不完整的统计 图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，求“声乐”类对应扇形圆心角的度数； （4）小东和小颖报名参加“器乐”类比赛，现从小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐 器中
31、随机选择一种乐器，用列表法或画树状图法求出他们选中同一种乐器的概率 【分析】（1） 根据抽取的报名 “书法” 类的人数有 20 人， 占整个被抽取到学生总数的 10%， 得出算式即可得出结果； （2）由抽取的人数乘以报名“绘画”类的人数所占的比例得出报名“绘画”类的人数； 补全条形统计图即可； （3）用 360乘以“声乐”类的人数所占的比例即可； （4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为 A、B、C、D，画出树状图，即 可得出答案 【解答】解： （1）被抽到的学生中，报名“书法”类的人数有 20 人， 占整个被抽取到学生总数的 10%， 在这次调查中，一共抽取了学生为：2010%20
32、0（人） ； （2）被抽到的学生中，报名“绘画”类的人数为：20017.5%35（人） ， 报名“舞蹈”类的人数为：20025%50（人） ； 补全条形统计图如下： （3）被抽到的学生中，报名“声乐”类的人数为 70 人， 扇形统计图中， “声乐”类对应扇形圆心角的度数为：360126； （4）设小提琴、单簧管、钢琴、电子琴四种乐器分别为 A、B、C、D， 画树状图如图所示： 共有 16 个等可能的结果，小东和小颖选中同一种乐器的结果有 4 个， 小东和小颖选中同一种乐器的概率为 22如图，ABC 中，ABAC，以 AC 为直径的O 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 延长线上一 点，且CD
33、EBAC （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AB3BD，CE2，求O 的半径 【分析】 （1）根据圆周角定理得出ADC90，按照等腰三角形的性质和已知的 2 倍 角关系，证明ODE 为直角即可； （2）通过证得CDEDAE，根据相似三角形的性质即可求得 【解答】解： （1）如图，连接 OD，AD， AC 是直径， ADC90， ADBC， ABAC， CADBADBAC， CDEBAC CDECAD， OAOD， CADADO， ADO+ODC90， ODC+CDE90 ODE90 又OD 是O 的半径 DE 是O 的切线； （2）解：ABAC，ADBC， BDCD， AB3BD，
34、AC3DC， 设 DCx，则 AC3x， AD2x， CDECAD，DECAED， CDEDAE， ，即 DE4，x， AC3x14， O 的半径为 7 23在ABC 中，CACB，ACB点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP （1）观察猜想 如图 1，当 60时，的值是 1 ，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数 是 60 （2）类比探究 如图 2，当 90时，请写出的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数， 并就图 2 的情形说明理由 （3）解决问题 当 90时， 若点
35、E， F 分别是 CA， CB 的中点， 点 P 在直线 EF 上， 请直接写出点 C， P，D 在同一直线上时的值 【分析】 （1）如图 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O证明CAP BAD（SAS） ，即可解决问题 （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E证明DABPAC，即可解 决问题 （3）分两种情形：如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上时，延长 AD 交 BC 的延长线 于 H证明 ADDC 即可解决问题 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC 解决问题 【解答】解： （1）如图
36、 1 中，延长 CP 交 BD 的延长线于 E，设 AB 交 EC 于点 O PADCAB60， CAPBAD， CABA，PADA， CAPBAD（SAS） ， PCBD，ACPABD， AOCBOE， BEOCAO60， 1，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数是 60， 故答案为 1，60 （2）如图 2 中，设 BD 交 AC 于点 O，BD 交 PC 于点 E PADCAB45， PACDAB， ， DABPAC， PCADBA， EOCAOB， CEOOAB45， 直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为 45 （3）如图 31 中，当点 D 在线段 PC 上
37、时，延长 AD 交 BC 的延长线于 H CEEA，CFFB， EFAB， EFCABC45， PAO45， PAOOFH， POAFOH， HAPO， APC90，EAEC， PEEAEC， EPAEAPBAH， HBAH， BHBA， ADPBDC45， ADB90， BDAH， DBADBC22.5， ADBACB90， A，D，C，B 四点共圆， DACDBC22.5，DCAABD22.5， DACDCA22.5， DADC，设 ADa，则 DCADa，PDa， 2 如图 32 中，当点 P 在线段 CD 上时，同法可证：DADC，设 ADa，则 CDAD a，PDa， PCaa， 2
38、+ 24如图，抛物线 yax2+x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C直线 yx2 经 过点 A，C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐 标为 m 当PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标； 作点 B 关于点 C 的对称点 B，则平面内存在直线 l，使点 M，B，B到该直线的距离 都相等 当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上， 且与点 B 不重合时， 请直接写出直线 l： ykx+b 的解析式 （k，b 可用含 m 的式子表示） 【分析】 （1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点 A
39、，C 的坐标，根据点 A，C 的 坐标，利用待定系数法可求出二次函数解析式； （2）由 PMx 轴可得出PMC90，分MPC90及PCM90两种情况考 虑： （i）当MPC90时，PCx 轴，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点 P 的坐标； （ii）当PCM90时，设 PC 与 x 轴交于点 D，易证AOCCOD，利用 相似三角形的性质可求出点 D 的坐标，根据点 C，D 的坐标，利用待定系数法可求出直 线 PC 的解析式， 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组， 通过解方程组可求出点 P 的 坐标综上，此问得解； 利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点 B
40、，M 的 坐标，结合点 C 的坐标可得出点 B的坐标，根据点 M，B，B的坐标，利用待定系数 法可分别求出直线 BM， BM 和 BB的解析式， 利用平行线的性质可求出直线 l 的解析 式 【解答】解： （1）当 x0 时，yx22， 点 C 的坐标为（0，2） ； 当 y0 时，x20， 解得：x4， 点 A 的坐标为（4，0） 将 A（4，0） ，C（0，2）代入 yax2+x+c，得： ，解得：， 抛物线的解析式为 yx2+x2 （2）PMx 轴， PMC90， 分两种情况考虑，如图 1 所示 （i）当MPC90时，PCx 轴， 点 P 的纵坐标为2 当 y2 时，x2+x22， 解得：
41、x12，x20， 点 P 的坐标为（2，2） ； （ii）当PCM90时，设 PC 与 x 轴交于点 D OAC+OCA90，OCA+OCD90， OACOCD 又AOCCOD90， AOCCOD， ，即， OD1， 点 D 的坐标为（1，0） 设直线 PC 的解析式为 ykx+b（k0） ， 将 C（0，2） ，D（1，0）代入 ykx+b，得： ，解得：， 直线 PC 的解析式为 y2x2 联立直线 PC 和抛物线的解析式成方程组，得：， 解得：， 点 P 的坐标为（6，10） 综上所述：当PCM 是直角三角形时，点 P 的坐标为（2，2）或（6，10） 当 y0 时，x2+x20， 解得
42、：x14，x22， 点 B 的坐标为（2，0） 点 C 的坐标为（0，2） ，点 B，B关于点 C 对称， 点 B的坐标为（2，4） 点 P 的横坐标为 m（m0 且 m2） ， 点 M 的坐标为（m，m2） 利用待定系数法可求出：直线 BM 的解析式为 yx+，直线 BM 的解析式 为 yx，直线 BB的解析式为 yx2 分三种情况考虑，如图 2 所示： 当直线 lBM 且过点 C 时，直线 l 的解析式为 yx2； 当直线 lBM 且过点 C 时，直线 l 的解析式为 yx2； 当直线 lBB且过线段 CM 的中点 N（m，m2）时，直线 l 的解析式为 yx m2 综上所述：直线 l 的解析式为 yx2，yx2 或 yxm2