1、 1 / 22 第一章第一章 有理数有理数 1.正负数 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然 0 既不是正数，也不是负数. 2.有理数：整数与分数统称有理数. () 正整数 自然数 整数零 有理数 按定义分类负整数 正分数 分数 负分数 ()() 正整数 正有理数 正分数 有理数 按符号分类零 零既不是正数,也不是负数 负整数 负有理数 负分数 3.正数和零统称为非负数； 负数和零统称为非正数； 正整数和零统称为非负整数； 负整数和零统称为非正整数. 4.数轴：规定了原点正方向和单位长度的直线. 5.有理数与数轴的关系： 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. 在数轴上，
2、右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大. 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于一切负数. 初一上知识点汇总 2 / 22 6.相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数特别地，0 的相反数是 0. 相反数的性质： (1)代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0 的相反数是 0 (2)几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等 这两点是关于原点对称的 (3)求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可 (4)互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则， 0ab 7.绝对值的意义及其化简 (1)绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数
3、轴上表示a的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . (2)绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值是 0. (3)绝对值的性质： (0) 0(0) (0) a a aa a a ， (0) (0) a a a a a 或 (0) (0) a a a a a (4)绝对值其他的重要性质： 任何一个数的绝对值都不小于这个数， 也不小于这个数的相反数， 即aa且aa 若ab，则ab或ab a bab， a a bb （0b ） 2 22 aaa 8.有理数的运算 (1)有理数的加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. 绝对值不相等的异号
4、两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用 较大的绝对值减去较小的绝对值. 3 / 22 一个数同 0 相加，仍得这个数. (2)有理数的减法：减去一个数，等于加这个数的相反数.()abab (3)有理数的乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同 0 相 乘，都得 0. (4)有理数的除法：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数. 1 aba b （ 0b ） (5)有理数的乘方：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方. 9.科学计数法：把一个大于 10 的数表示成10na的形式（其中110a，n是整数） ，此 种记法叫做科学记数法 10.有效数字：从一个数的左边第一个非
5、0 数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数 的有效数字 【例 1】下列语句：不带“-”号的数都是正数；带“-”号的数一定是负数；不 存在既不是正数也不是负数的数；0表示没有温度其中正确的有（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【例 2】下列四种说法：0 是整数；0 是自然数；0 是偶数；0 是非负数其中正 确的有（ ） A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 【例 3】最小的正整数是 _，最大的负整数是 _. 有理数中， 是整数而不是正数的数是 _， 是负数而不是分数的是_ 请写出三个既是负数，又是分数的有理数：_ 4 / 22 【例 4】与在数轴上表示数 2 的点距离等于 3 个
6、单位的点所表示的数是（ ） A-1 B5 C3 或 D-1 或 5 【例 5】有理数 ab 在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ） Aab Bab Cab Dab 【例 6】若 a，b 互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（ ） A-2a 和-2b Ba+1 和 b+1 Ca+1 和 b-1 D2a 和 2b 【例 7】已知代数式 3x+1 与代数式 5-2x 的值互为相反数，则 x=_ 【例 8】下列说法正确的有（ ） 有理数的绝对值一定比 0 大； 如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等； 互为相反数的两个数的绝对值相等； 没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数
7、； 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；符号不同的两个数互为相反数 A B C D 【例 9】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，求 11abbacc 的值. 【例 10】若 42ab ，则 _ab ba 11 a b 0 c 1 5 / 22 【例 11】若3 230 xy ，则 y x 的值是多少？ 【例 12】化简12mmm 的值. 【例 13】已知m是实数，求2468mmmm的最小值 【例 14】计算 （1） 1 350221 5 （2） 21 110.523 3 （3）2 2101 4 2 321 2 1 25. 0 （4） （3 2 ） （ 11 15 ） 3 2 （ 13
8、15 ） 3 2 （ 14 15 ） 6 / 22 第二章第二章 整式的加减整式的加减 1.单项式：像 23 4 ,6,2x vtaanr,它们都是数或字母的积，这样的代数式叫做单项式.单 独的一个数或一个字母也是单项式.单项式中的数字因数叫做这个单项式的 系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 2.多项式：几个单项式的和叫做多项式.例如： 22 2,3aabb mn等.在多项式中，每个单 项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项.多项式里次数最高的 项的次数，就是这个多项式的次数. 3.整式：单项式与多项式都是整式. 4.同类项：所含字母相同，并且相同的字母的指
9、数也相同的项. 5.合并同类项：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变. 6.常考题型： （1）化简求值； （2）找规律； （3）降次 【例 1】 若 12 4 mn m xy 是系数为-1 的五次单项式，求mn，的值 【例 2】(1)如果 231 (1) n mx y 是关于 , x y的六次单项式，则,m n应满足什么条件？ （2）如果2(1)1 n xmx是关于x的三次二项式，求 22 mn的值。 （3）若多项式 22 2(1)xkxyyk不含xy的项，求k的值。 7 / 22 【例 3】 （1）若 212 2 m ab 与 23 3 4 mn ab 是同类项，求 ,m n的值。
10、（2）若 4 7 a x y与 5 7 9 b x y是同类项，,a b的值 【例 4】合并下列同类项 (1) 2222 xxxx (2) 322322 51152 253 63363 a ba baba babba (3) 111 0.50.20.3 nnnnn xxxxx 8 / 22 【例 5】化简求值 2323 (1)381231xxxxx，其中2x 2222 (2)42923xxyyxxyy，其中2,5xy 【例 6】若 22 253Axxyy， 22 234Bxxyy，且230ABC，求C 【例 7】有理数 ,abc在数轴上的位置如图所示： 若32253Pacabbcc,3425Q
11、bcacbba,化简2QP b ac 1 0-1 9 / 22 【例 8】若1a+ 2 2b 0， 222 36,5AaabbBa ,求AB的值 【例 9】 （1）若当 1x 时，多项式 3 1axbx的值为5，则当 1x 时，多项式 3 11 1 22 axbx 的值为_ （2）当 2x 时,代数式 3 1axbx的值等于 17,那么当1x 时,代数式 3 1235axbx 的值等于_ 【例 10】 （1）若 2 310 xx ，则 32 558xxx ； （2）若代数式 2 234aa的值为 6，则代数式 2 2 1 3 aa的值为 . 【例 11】按照规律填上所缺的单项式并回答问题： (
12、1)a、 2 2a、 3 3a、 4 4a，_，_； (2)试写出第 2007 个和第 2008 个单项式 (3) 试写出第 n 个单项式 10 / 22 【例 12】定义一种新运算： 1 2 abab ，那么 4*（-1）= _ 【例 13】为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示： 按照上面的规律，摆n个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A2 6n B86n C44n D8n 【例 14】观察下列顺次排列的等式： 2222 1 3321,3 51541,5 73561,7 96381 ， 猜想：第 n 个等式（n 为正整数）应为 【例 15】观察下面的变形规律：
13、11111111 1. . . 12223233434 ， 解答下面的问题： 若n为正整数，请你猜想 1 1n n ； 证明你猜想的结论； 求和： 1111 . 1 2233420092010 . 11 / 22 第三章第三章 一元一次方程一元一次方程 1.等式 （1）用等号“”来表示相等关系的式子，叫做等式 （2）在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边 （3）等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算 法则 2.方程：含有未知数的等式叫方程，如 21x ，它有两层含义：方程必须是等式； 等式中必须含有未知数 3.方程的解：使方程左右两边的值相
14、等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解， 也叫方程的根。 4.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不等于 0 的方 程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数， “次”是指含未知数 的项的最高次数 5.最简形式：方程ax b（0a ，a，b为已知数）叫一元一次方程的最简形式 标准形式：方程 0axb（其中0a ，a，b是已知数）叫一元一次方程的标准形式 6.等式的性质 性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 若a b，则ambm； 性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是 0）或同一个整式，所得 结果仍是等式 若a
15、 b，则ambm， ab mm (0)m 7.解一元一次方程的步骤 （1）去分母：在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数 12 / 22 （2）去括号：一般地，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 （3）移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，不含未知数的项移到方程的另一边 （4）合并同类项：把方程化成ax b 的形式 （5）系数化为 1：在方程的两边都除以未知数的系数a（ 0a ） ，得到方程的解 8.列方程解应用题的步骤： 审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 设：设未知数（一般求什么，就设什么为 x） 找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 列：根据这个相等关系列出
16、需要的代数式，进而列出方程 解：解所列出的方程，求出未知数的值 答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 【例 1】若2为关于x的一元一次方程， 713mx 的解，则m的值是 【例 2】已知关于x的方程（a1）x（4a1）0 的解为2，则a的值等于（ ） A.2 B.0 C. 3 2 D. 2 3 【例 3】已知方程 1 247 m mx 是关于 x 的一元一次方程，则 m=_ 【例 4】解方程：6(1 )5(2)2(23)xxx 12 2 25 yy y b x a 13 / 22 【例 5】解方程： 111107 2 1()3(2) 33623 xxx xx 【例 6】解方程：
17、 11 3113 77 32 5235 xx 【例 7】为整数，关于 的方程的解为正整数，求的值 【例 8】若关于 的方程的解为正整数，则 的值为 【例 9】若 ， 为定值，关于 的一元一次方程，无论 为何值时，它的解总 是，求 和 的值 【例 10】已知关于 的方程，和方程有相同的解，求这个相 同的解 mx6xmxm x917xkxk abx 2 2 36 kaxbx k 1x ab x32()4 3 a xxx 315 1 128 xax 14 / 22 【例 11】解方程 【例 12】解方程 【例 13】解方程 【例 14】一个三位数，三个数位上的和是 17，百位上的数比十位上的数大 7
18、，个位上的数是十位上的数 的 3 倍。求这个数。 【例 15】甲、乙两书架各有若干本书，如果从乙架拿 100 本放到甲架上，那么甲架上的书比乙架上所剩的 书多 5 倍，如果从甲架上拿 100 本书放到乙架上，两架所有书相等。问原来每架上各有多少书？ 4329xx 2131xx 154xx 15 / 22 【例 16】某公司有甲乙两个工程队，甲队人数比乙队人数的 2 3 多28人现因任务需要，从乙队调走 20 人到甲队，这时甲队人数是乙队人数的 2 倍，则甲乙两队原来的人数分别是多少人？ 【例 17】一个通迅员骑摩托车追赶前面部队乘坐的汽车，汽车的速度是每小时 28 千米，摩托车的速度是 每小时
19、 42 千米，通讯员出发 4 小时后追上汽车，求部队比通讯员早出发几小时？ 【例 18】甲、乙两港相距 360 千米，一轮船往返两港需 35 小时，逆流航行比顺流航行多花了 5 小时，现 有一机帆船，静水中速度是每小时 12 千米，问这机帆船往返两港要多少小时？ 【例 19】一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作 3 天后，甲有其他任 务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？ 【例 20】某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔 25 元，而按定价的九折出售将赚 20 元。问这种商品的定价是多少？ 16 / 22 第四章第四章
20、几何图形初步几何图形初步 1.正方形展开图的知识要点： 第一类：6 种.特点：4 个连成一排的正方形，两侧各有一个正方形.简称“141 型” 第二类：3 种.特点：有 3 个连成一排的正方形，两侧分别有 1 个和两个相连 的正方形;简称“132 型” 第三类：仅有一种.特点：是两个连成一排的正方形的两侧又各有两个连成一排的正 方形；简称“222 型” 第四类：仅有 1 种，三个连成一排的正方形的一侧，还有 3 个连成一排的正方形，可 简称“33 型” 17 / 22 2.正方形展开图的识别方法： 排除法： （1）由少于或多于 6 个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图 （2）有“凹”字型或
21、“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图 对比法：对照上面的四种规则进行对照； 从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字 型和“田”字型结构。 3.直线、射线、线段的概念： (1)在直线的基础上定义射线、线段： 直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点 直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫线段的端点 (2) 在线段的基础上定义直线、射线： 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫射线， 把线段向两方无限延伸所形成的图形是直线 4.两个重要公理： 经过两点有且只有一条直线，也称为“两点确定一条直线” 两点之间的连线中，线段最短，简称“两点之间，线段最短”
22、5. (1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角. (2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角. 6.角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个 角的平分线. 7.用尺规做已知角的平分线方法 18 / 22 （1）以O点为圆心，以任意长为半径，交角的两边于AB、两点； （2）分别以AB两点为圆心，以大于 1 2 AB长为半径画弧，画弧交于C点； （3）过C点作射线OC。 所以，射线OC就是所求作的。 8.单位换算 1 度60 分(160 ) 1 分=60 秒(160 ) 9.角的度量单位及其换算 1周角=360 1平角180
23、1直角90 1周角2平角 1平角2直角 10.角的分类： 锐角（090） ，直角（90） ，钝角（90180 ） 11.余角、补角 （1）如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角.简称“互补”. （2）如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，简称“互余”. （3）补角、余角的性质：同角或等角的补角相等.同角或等角的余角相等. 12.钟表角度问题 时针 12 小时转动 360 度，每小时转动 30 度； 分针 60 分钟转动 360 度，每分钟转动 6 度； 秒针 60 秒钟转动 360 度，每秒钟转动 6 度. O C B A 19 / 22 【例 1】将如图所示表面带有
24、图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ） A B C D 【例 2】如图，图中共有_条线段. 【例 3】如图，已知线段AB上依次有三个点 ,C D E把线段AB分成2:3:4:5四个部分， 56AB ，求BD的长度. 【例 4】如图，已知, A B在直线l的两侧，在l上求一点P，使PAPB最小； EDFCBA E DCBA B A l 图1 20 / 22 【例 5】如图，有一个正方体的盒子 1111 ABCDABC D，在盒子内的顶点A处有一只蜘蛛，而 在对角的顶点 1 C处有一只苍蝇。 蜘蛛应沿着什么路径爬行， 才能在最短的时间内捕捉 到苍蝇？（假设苍蝇在 1 C处不动） 【例 6】
25、下列语句正确的是（ ） 角的大小与边的长短无关。 如果一个角能用一个大写字母A表示，那么以A为顶点的角只有一个 如果一个角能表示为1，那么以1顶点为顶点的角只有一个。 两条射线组成的图形叫做角 A B C D 【例 7】判断 （ ）一条射线绕它的端点旋转一周所成的角是平角 （ ）用倍的放大镜看的角，这个角就变成了 （ ）由两条射线组成的图形叫做角 （ ）延长一个角的两边 （ ）平角就是一条直线；周角就是一条射线 【例 8】（1）51 49 24 21_ ；（2）39 41 24 45_ ； 图3 D1 C1 B1 A1 D C BA 21 / 22 （3）23 13 423_ ；（4）12 1
26、34_ 【例 9】如图，图中包含小于平角的角的个数有（ ） A4 个 B5 个 C6 个 D7 个 【例 10】如右图，AOB是直线， 1:2:31:3:2 ，求 DOB 的度数 【例 11】一个角和它的余角的比是5:4，则这个角的补角是 【例 12】 如图， 直线AB，CD相交于点O， 作D O EB O D，OF平分AOE， 若2 8A O C， 求EOF 【例 13】钟表在 12 点钟时三针重合，经过x分钟后，秒针第一次将分针和时针所夹的锐角 平分，则x的值是多少? DC B A 22 / 22 【例 14】已知点 A、B、C 都是直线l上的点，且 AB=5cm，BC=3cm，那么点 A 与点 C 之间的 距离是（ ）. A8cm B2cm C8cm 或 2cm D4cm 【例 15】已知两角之比为 7:3，它们的差为 72，求这两个角的度数.它们互补吗 ?