1、 相似多边形及相似三角形的判定相似多边形及相似三角形的判定 第10讲 适用学科 初中数学 适用年级 初三 适用区域 北师版区域 课时时长（分钟） 120 知识点 判断多边形是否相似 相似多边形的应用 应用 AA 证明三角形相似 应用 SAS、SSS 证明三角形相似 黄金分割 相似综合 教学目标 1、掌握相似多边形的性质及应用. 2、掌握相似三角形的判定方法 3、了解黄金分割 教学重点 能熟练掌握相似多边形及相似三角形的判定. 教学难点 能熟练掌握相似多边形及相似三角形的判定. 【教学建议教学建议】 相似这一部分知识是整个初中阶段难度较高的一部分，同时也是中考中的热门考点，在本讲教学过程 中建议
2、联系全等的判定知识来学习相似多边形和相似三角形的判定这个知识点. 【知识导图】【知识导图】 概 述 【教学建议】【教学建议】 在这一讲知识的学习中，可以对比全等来帮助学生更好的理解成比例线段的知识. 全等的证明我们并不陌生，通过边角关系的应用我们可以使用四种方法来证明两个三角形全等.全等作 为相似的一种特殊情况，可以帮助我们更好的理解相似，学习相似. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 判定定理 1：两角分别相等的两个三角形相似 判定定理 2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 判定定理 3：三边:成比例的两个三角形相似 一般地，点 C 把线
3、段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，如果 那么称线段 AB 被点 C 黄金分割 （golden section）,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比.其中0.618. 类型一 判断多边形是否相似判断多边形是否相似 若如图所示的两个四边形相似，则的度数是 （ ） 教学过程 考点 1 相似多边形的定义 二、知识讲解 一、导入 三 、例题精析 例题 1 考点 2 三角形相似判定定 考点 3 黄金分割 A87 0 B600 C750 D1200 【解析】A 对应角相等，360-60-75-138=87. 【总结与反思】两个多边形相似，他们的对应角相等，对应边成比例
4、. 类型二 相似多边形的应用相似多边形的应用 在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为 3、4、5 的三角形按图 1 的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为 1，则新三角 形与原三角形相似 乙：将邻边为 3 和 5 的矩形按图 2 的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为 1，则新矩形与 原矩形不相似 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A两人都对 B两人都不对 C甲对，乙不对 D甲不对，乙对 【解析】A 往外扩张相同的距离，即新的边与旧的边是平行的，因此根据平行线的性质，得到对应角相等，且对应边 成比例，所以相似. 【总结与反思】 此题考察了多边形相似的
5、应用. 类型三：三角形相似的证明三角形相似的证明 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F. 60 75 60 138 例题 1 例题 1 求证：PFAABE； 【解析】证明：ADBC， PAF=AEB. PFA=ABE=90， PFAABE. 【总结与反思】 通过两角对应相等得到相似. 如图，ACB=ADC=90，AC=，AD=2问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似 【解析】AC=，AD=2， CD=要使这两个直角三角形相似，有两种情况： （1）当 RtABCRtACD 时，有=，AB=3； （2）当 Rt
6、ACBRtCDA 时，有=，AB=3 故当 AB 的长为 3 或 3时，这两个直角三角形相似 【总结与反思】两个形似三角形，对应角相等，对应边成比例. 类型四：黄金分割：黄金分割 若点 C 是线段 AB 的分割点（ACBC），AB16，则 AC_，BC_；如果 D 是线段 AB 的另一个 黄金分割点，则 CD_。 例题 1 例题 2 【解析】8 5-8，24- 8 5，16 5-16； 根据黄金分割比是 51 2 ，即可由乘法得到本题答案. 【总结与反思】此类型考察的是黄金分割比使用. 类型五：相似综合：相似综合 如图，点 O 为矩形 ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点
7、E、F、G 分别从 A、B、C 三点同时出发，沿矩 形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为 1cm/s，点 F 的运动速度为 3cm/s，点 G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C（即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF 关于直 线 EF 的对称图形是EBF设点 E、F、G 运动的时间为 t（单位：s） （1）当 t= s 时，四边形 EBFB为正方形； （2）若以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为顶点的三角形相似，求 t 的值； （3）是否存在实数 t，使得点 B与点 O 重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明
8、理由 【解析】 （1）若四边形 EBFB为正方形，则 BE=BF， 即：10t=3t， 解得 t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下： 若EBFFCG， 则有，即， 解得：t=2.8； 若EBFGCF， 则有，即， 例题 1 解得：t=142（不合题意，舍去）或 t=14+2 当 t=2.8s 或 t=（14+2）s 时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F，C，G 为顶点的三角形相似 （3）假设存在实数 t，使得点 B与点 O 重合 如图，过点 O 作 OMBC 于点 M，则在 RtOFM 中，OF=BF=3t，FM= BCBF=63t，OM=5， 由勾股定理得：OM 2+FM2=O
9、F2， 即：5 2+（63t）2=（3t）2 解得：t=； 过点 O 作 ONAB 于点 N，则在 RtOEN 中，OE=BE=10t，EN=BEBN=10t5=5t，ON=6， 由勾股定理得：ON 2+EN2=OE2， 即：6 2+（5t）2=（10t）2 解得：t=3.9 3.9， 不存在实数 t，使得点 B与点 O 重合 【总结与反思】本题考查了三角形相似的综合使用能力及灵活运用能力. 1.两个相似多边形的一组对应边分别为 3cm 和 4cm，如果它们的周长和为 84cm，那么较大多边形的周长为 （ ） A54cm B36 cm C48 cm D42 cm 2.两个相似多边形的面积比是
10、9：16，其中小多边形的周长为 36cm，则较大多边形的周长为（ ） A48cm B 54cm C 56cm D 64cm 3.如图， 一张矩形纸片ABCD的长aAB ， 宽bBC 将纸片对折， 折痕为EF， 所得矩形AFED 与矩形ABCD相似，则ba:（ ） （A）1:2 （B）1:2 （C）3:3 （D）2:3 四 、课堂运用 基础 4.如图，12，则下列各式中，不能 说明ABCADE 的是（ ） A、DB B、EC C、 AC AE AB AD D、 BC DE AB AD 5.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，则 SDEF：
11、SBCF =（ ） A4：9 B1：4 C1：2 D1：1 答案与解析答案与解析 1.【答案】C 【解析】对应边成比例，周长之比等于边长比，8474=48. 2.【答案】A 【解析】面积之比等于周长之比的平方，3634=48. 3. 【答案】B 【解析】对应边成比例， a b 2 = ba ，a：b=2:1. 4.【答案】D 【解析】 两边成比例，但是夹角不一定成比例. 5.【答案】B 【解析】 面积之比等于边长之比的平方，边长之比为 2:1，面积之比为 4:1. 1.在一矩形 ABCD 的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等如果花坛 AB=20 米，AD=30 米，试问小路的宽
12、 x 与 y 的比值为_能使小路四周所围成的矩形 ABCD与矩形 ABCD 相似 巩固 2.已知：P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP=3PC，M 是 CD 的中点，试说明：ADMMCP 答案与解析答案与解析 1. 【答案】3:2 【解析】20:30=（20+2y）：（30+2x），x：y=3:2. 2.【答案】见解析 【解析】证明：正方形 ABCD，M 为 CD 中点， CM=MD= AD BP=3PC， PC= BC= AD= CM PCM=ADM=90， MCPADM 1.已知： 如图,在梯形ABCD中,ADBC,DCB=90,E是AD的中点,点P是BC边上的动点(不与点
13、B重合)， EP 与 BD 相交于点 O. (1)当 P 点在 BC 边上运动时,求证：BOPDOE； (2)设(1)中的相似比为 k,若 AD:BC=2:3.请探究：当 k 为下列三种情况时,四边形 ABPE 是什么四边形? 当 k=1 时,是_; 拔高 当 k=2 时,是_; 当 k=3 时，是_.并证明 k=2 时的结论。 2.如果一个矩形ABCD(ABBC)中， 2 15 BC AB 0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以 美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE(如图 1)，请问矩形ABFE是否是黄金矩形？ 请说明你的结论的正确性. 答案与解析
14、答案与解析 1.【答案】见解析 【解析】 (1)证明： ADBC OBP=ODE. 又BOP=DOE， BOPDOE;(有两个角对应相等的两三角形相似)； (2)平行四边形； 直角梯形； 等腰梯形； 证明：当k=2 时,BPDE=2， BP=2DE=AD 又AD:BC=2:3,即BC=32AD， PC=BCBP=32ADAD=12AD=ED， 又EDPC， 四边形PCDE是平行四边形， DCB=90 四边形PCDE是矩形 EPB=90 又在直角梯形ABCD中 ADBC，AB与DC不平行 AEBP，AB与EP不平行 四边形ABPE是直角梯形。 2.【答案】见解析 【解析】矩形ABFE是黄金矩形。
15、 AD=BC，DE=AB， AE = BC-AB AB = AB 矩形ABFE是黄金矩形。 本节的重要内容：相似多边形及相似三角形的判定. 相似多边形：对应边成比例，对应角相等. 相似三角形：三边成比例；两边成比例且夹角相等；两角相等；A 型，X 型. 1.给出下列几何图形： 两个圆； 两个正方形； 两个矩形； 两个正六边形； 两个等腰三角形； 两个直角三角形； 四个角对应相等的两个等腰梯形； 有一个角为 40的菱形 五 、课堂小结 六 、课后作业 基础 其中，一定相似的有（ ）个. A2 B. 3 C. 4 D. 5 2.下列结论中正确的是（ ） A.两个正方形一定相似 B.两个菱形一定相似
16、 C.两个等腰梯形一定相似 D.两个直角梯形一定相似 3.如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别为 AB、BC 的中点，AF 与 DE 相交于点 O，则 DO AO 的值是（ ） A 3 1 B 2 1 C 2 3 D 5 52 4.有以下命题: 如果线段d是线段a,b,c的第四比例项，则有 d c b a 如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项 如果点C是线段AB的黄金分割点，且ACBC，那么AC是AB与BC的比例中项 如果点C是线段AB的黄金分割点，ACBC，且AB=2，则AC=51 其中正确的判断有（ ） A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 5.已知点M将
17、线段AB黄金分割(AMBM)，则下列各式中不正确的是( ) A.AMBM=ABAM B.AM= 2 15 AB C.BM= 2 15 AB D.AM0.618AB 答案与解析答案与解析 1. 【答案】C 【解析】这 4 个图形一定相似. 2.【答案】A 【解析】正多边形一定是相似的. 3.【答案】B 【解析】AODEOD。AO：DO=AE：AD=1:2. 4.【答案】C 【解析】错误，中点的时候各边不成比例. 5.【答案】C 【解析】较短的线段和总边长的比例是 35 2 . 1.已知，如图，在边长为 a 的正方形 ABCD 中，M 是 AD 的中点，能否在边 AB 上找一点 N（不含 A、B）
18、 ，使得 CDM 与MAN 相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由 2.如图设M为线段AB中点，AE与BD交于点CDME=A=B=，且DM交AC于F，EM交BD于G. (1)写出图中三对相似三角形，并对其中一对作出证明； (2)连接FG,设=45 0,AB= 24，AF=3，求FG长。 3.如图，将矩形 ABCD 沿着对角线 AC 分割，得到ABC 和ACD，将ACD 绕点 A 按逆时针方向旋转 度，使 D，A，B 三点在同一直线上，得到图，再把图中的ADE 沿着 AB 方向平移 s 格，使点 D 与 点 A 重合，得到图，设 EF 与 AC 相交于点 G. 请解答以下问题： 巩固 (1)
19、上述过程中，=_度，s=_格； (2)在图中,除了ABCEAF 以外，还能找出对相似三角形； (3)请写一对你在图中找出的相似三角形，并加以证明。 答案与解析答案与解析 :()3:5xxy，3（x+y）=5x，x：y=3:2. AF=AE=4，BD：CD=6:3=2:1=BE：AE=8:4. 查格数可得 1.【答案】见解析 【解析】证明：分两种情况讨论： 若CDMMAN，则 AM CD AN DM 边长为 a，M 是 AD 的中点， AN= a 若CDMNAM，则 边长为 a，M 是 AD 的中点， AN=a，即 N 点与 B 重合，不合题意 所以，能在边 AB 上找一点 N（不含 A、B）
20、，使得CDM 与MAN 相似当 AN= a 时，N 点的位置满足条件 2.【答案】见解析 【解析】(1)AMEMFE,BMDMGD,AMFBGM, AMD=B+D，BGM=DMG+D 又B=A=DME= AMF=BGM， AMFBGM, (2)连接FG， 由(1)知,AMFBGM， AF BM AM BG ，BG= 3 8 =45， ABC为等腰直角三角形， M是线段AB中点， AB=24,AM=BM=22， AC=BC=4，CF=ACAF=1， CG=4 3 8 = 3 4 ， 由勾股定理得FG= 3 5 . 3.【答案】见解析 【解析】：(1)根据图形分析容易得出：=90，S=3 (2)A
21、EFGAF；AEFABC；ABCGAF；GAEABC；GAEAGF 共 5 对. (3)AEFGAF. 证明：在图中，四边形 ABCD 是矩形 ACD=CAB 即在图中，AEF=GAF 又AFE=GFA AEFGAF 拔高 1.在RtABC中,C=90，BC=8cm，AB=10cm，点P从B点出发，沿BC方向以 2cm/s的速度移动，点Q从C 点出发，沿CA方向以 1cm/s的速度移动，若点P、Q从 B. C两点同时出发，设运动时间为ts，当t为何 值时，CPQ与CBA相似? 2. 如图， 在ABC 中， BAC=90， AD 是 BC 边上的高， E 是 BC 边上的一个动点 （不与 B，
22、C 重合） ， EFAB， EGAC，垂足分别为 F，G （1）求证： CD CG AD EG ； （2）FD 与 DG 是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由； （3）当 AB=AC 时，FDG 为等腰直角三角形吗？并说明理由 3.如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到ABE，过B点折纸片使 D点叠在直线AD上，得折痕PQ. (1)求证：PBEQAB； (2)你认为PBE和BAE相似吗?如果相似给出证明，如不相似请说明理由； (3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上?为什么? 4.如图，在平面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两条
23、直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并且 OA、OB 的 长分别是方程长分别是方程 x 27x+12=0 的两根(OA0B)， 动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 l 个单位长 度的速度向点 O 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 (1)求 A、B 两点的坐标。 (2)求当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似 (3)当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请 直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 答案与
24、解析答案与解析 CBO 与DEO 相似，相似比为 2：1，OD：OC=1：2=2:4. 1.【答案】见解析 【解析】解答： 在RtABC中,C=90，BC=8cm，AB=10cm， ）cm（6810BCABAC 2222 设经过ts,CPQ与CBA相似,则有BP=2tcm,PC=(82t)cm，CQ=tcm， 分两种情况： 当PQCABC时,有 AC PC BC QC ，即 6 28 8 tt ,解得t= 11 32 ； 当QPCABC时,有 BC PC AC QC ,即 8 28 6 tt ,解得t= 5 12 . 综上可知,经过 5 12 s或 11 32 s，CPQ与CBA相似。 2.【
25、答案】见解析 【解析】（1）在ADC 和EGC 中， ADC=EGC，C=C， ADCEGC CD CG AD EG （2）FD 与 DG 垂直 证明如下： 在四边形 AFEG 中， FAG=AFE=AGE=90， 四边形 AFEG 为矩形 AF=EG CD CG AD EG CD CG AD AF ABC 为直角三角形， ADBC FAD=C AFDCGD ADF=CDG CDG+ADG=90， ADF+ADG=90 即FDG=90 FDDG （3）当 AB=AC 时，FDG 为等腰直角三角形，理由如下： AB=AC，BAC=90， AD=DC AFDCGD， 1 DC AD GD FD F
26、D=DG FDG=90， FDG 为等腰直角三角形 3.【答案】见解析 【解析】（1）A(0，3)， B(4，0)（2）t= 11 15 ；t= 13 25 （3）存在。M1（ 5 4 ， 5 22 ）， M2（ 5 4 ， 5 2 ）， M3（ 5 8 5 4 -，） 解：（1）由0127 2 xx解得 1 x=3， 2 x=4。 OAOB ，OA=3 , OB=4。A(0，3)， B(4，0)。 (2)由 OA=3 , OB=4，根据勾股定理，得 AB=5。 由题意得，AP=t, AQ=52t 。分两种情况讨论： 当APQ=AOB 时，如图 1， APQAOB。 AB AQ AO AP ，
27、即 5 25 3 tt 解得 11 15 t。 AQP=AOB 时，如图 2， APQABO。 AO AQ AB AP ，即 3 25 5 tt 解得 t= 13 25 。 （3）存在。M1（ 5 4 ， 5 22 ）， M2（ 5 4 ， 5 2 ），M3（ 5 8 5 4 -，） 4.【答案】见解析 【解析】（1）解出一元二次方程，结合 OAOB 即可求出 A、B 两点的坐标。 （2）分APQ=AOB 和AQP=AOB 两种情况讨论即可。 （3）当 t=2 时，如图， OP=2，BQ=4，P（0，1），Q（ 5 12 5 4， ）。 若以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形，则 当 AQ 为对角线时，点 M1的横坐标与点 Q 的横坐标相同，纵坐标为 5 22 2 5 12 。M1（ 5 22 5 4， ）。 当 PQ 为对角线时，点 M2的横坐标与点 Q 的横坐标相同，纵坐标为 5 2 2- 5 12 。M2（ 5 2 5 4， ）。 当 AP 为对角线时，点 Q、M3关于 AP 的中点对称。 由 A(0，3)，P（0，1）得 AP 的中点坐标为（0，2）。 由 Q（ 5 12 5 4， ）得 M3的横坐标为 5 4 - 5 4 -02，纵坐标为 5 8 5 12 -22。M3（ 5 8 5 4 -，）。 七 、教学反思